Sonlu Darbe Tepkili (SDT) Süzgeç Tasarımı İçin Yeni Bir

ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ
Sonlu Darbe Tepkili (SDT) Süzgeç
Tasarımı İçin
Yeni Bir Pencereleme Fonksiyonu
Derya Çevik Taşdemir-Prof. Dr. Arif Nacaroğlu
deryaceviktasdemir@gmail.com - arif1@gantep.edu.tr
Gaziantep Üniversitesi/Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
Özet
S
onlu Darbe Tepkeli (SDP) sayısal süzgeç tasarımında
Fourier Seriler kullanılarak elde edilen katsayıların pencerelenmesi için mevcut pencere fonksiyonlarına alternatif
yeni bir pencere fonksiyonu önerilmiştir. Önerilen fonksiyon
temel olarak Gauss Penceresi ve Hamming Penceresi üzerinde çalışılarak elde edilmiş bir pencere fonksiyonudur. Bu
iki pencere fonksiyonunun birleştirilmesi ve etkili değiştirge
sayısının arttırılması ana kulak darlığının ve yan kulak büyüklüğünün daha fazla değişken üzerinden kontrol edilmesini
kolaylaştırmıştır. Birçok sayısal örnek üzerinde çalışmalar
yapılarak uygun sayısal katsayı değerlerinin bulunması amaçlanmıştır. Önerilen pencere fonksiyonu farklı süzgeç tipleri,
farklı pencere uzunlukları v.b. üzerinde denenmiş, çalıştırılan
örneklerden önerilen pencere fonksiyonun özellikle yan kulak
eğrilerinde kullanılan mevcut pencere fonksiyonlarına kıyasla
daha verimli olduğu gözlemlenmiştir.
Temel olarak Gauss ve Hamming pencere fonksiyonları
Denklem 1 ve Denklem 2’de gösterilmiştir.
w(n)= e(-1/2)*
(K*n/(N/2))2
(1)
w(n)= 0.54-0.46cos(2π(n/N))
(2)
Burada N+1 pencere uzunluğunu ifade etmektedir ve n değeri
-N/2≤ n≤ N/2 aralığında tam sayı olarak değişmektedir. Esas
olarak spektrumlarının yapısı ile doğrudan ilişkili olan verimlilikleri (1) ve (2) numaralı denklemlerde verilen pencere fonksiyonlarının uygun şekilde ve aynı denklem içinde kullanılmasının
daha iyi sonuç ortaya koyacağı temelinden yola çıkılarak,
2
w(n)= cos(π(n/N))n * αβ(/Ν) (3)
denklemi ile verilen pencere fonksiyonunun çeşitli süzgeç
tasarımlarında uygulanması incelenmiştir. 3 değişken ile şekillendirilebilen bu pencere fonksiyonu hem daha dar spektruma hem de daha düşük yan kazanç eğrisine sahiptir.
Giriş
Pencere fonksiyonları sayısal devre tasarımlarında ve uygulamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Sayısal süzgeç tasarımında temel iki analitik yaklaşım vardır. Sonlu ve sonsuz
darbe tepkili tasarımlar olarak bilinen süzgeç şekillerinde
sayısal yaklaşım metoduna karşı bir seçenek olarak Fourier
Serilerin kullanımı temel bir yöntem olmuştur. Özellikle
Sonlu Darbe Tepkili (SDT) sayısal süzgeçlerde önerilen
kazanç eğrilerine en yakın kazancın elde edilmesi sadece
yüksek dereceli süzgeçler tasarlanmasına değil, ancak aynı
süzgeç uzunluğu (N) için daha uygun pencere fonksiyonlarının bulunmasına da bağlıdır.
Esas olarak sonsuz Fourier katsayılarının kullanımıyla ideale yaklaşma olasılığı artan geçiş işlevlerinde, katsayıların
sayılarının azaltılarak aynı ya da daha iyi kazanç eğrilerinin
elde edilmesini sağlayan pencere fonksiyonlarının özellikle
spektrumlarının darbe fonksiyonuna yaklaşması umulur. Bu
çalışmada spektrumu darbe fonksiyonuna daha çok benzeyen Gauss ve Hamming pencere fonksiyonlarının birleştirilmesi ile daha iyi bir pencere fonksiyonu elde edildiği
görülmüştür. Önerilen pencere fonksiyonu sayısal birçok
örnek ile denenmiş ve kazanç eğrileri karşılaştırılarak pencerenin verimliliği tartışılmıştır.
Önerilen Pencere Fonksiyonu
Zaman domeninde esas olarak Gauss eğrisine benzeyen
pencere fonksiyonu ile dörtgen pencere fonksiyonunun gelişmiş hali olan Hamming pencere fonksiyonu birleştirilerek
yeni bir pencere fonksiyonu elde edilmiştir.
2013 Ekim • Sayı-448
İdeal Bant Geçiren Süzgecin Bazı Pencere
Fonksiyonları ile Elde Edilen Kazanç Eğrileri
Bu bölümde 3 numaralı denklem ile verilen 3 değiştirgeli
pencere fonksiyonunun, pencere uzunluğu sabit tutularak,
farklı değiştirgeler için, farklı süzgeç çeşitlerine uygulanması ve sonuçların kıyaslanması amaçlanmıştır.
Gauss ve Hamming pencerelerinin değiştirilerek birlikte kullanılması ile elde edilen yeni pencere fonksiyonunda Gauss özelliğini veren e sayısı α ile değiştirilerek, fonksiyonun 3 değişkenli
olması ve ana kulak ve yan kulaklarının darlık ve genliklerinin
birbirinden bağımsız olarak kontrol edilebilmesi sağlanmıştır.
Bu çalışmada, önerilen pencere fonksiyonun kalitesi pencere
fonksiyonunun spektrumunun incelenmesinden çok bu fonksiyonun ideal süzgeç örneklerine uygulanması ile ortaya çıkan
sonuçlarla incelenmiştir. α, β, η olarak belirtilen üç değerin
farklı sınırlar içinde değiştirilmesi ile her 3 tip ideal süzgeç
karektiristiklerinde kontrol edilebilir değişiklikler olduğu
gözlemlenmiştir. İdeal bir bant geçiren süzgeç üzerinde çeşitli pencere fonksiyonları denenmiş ve var olan fonksiyonlar
içinde Blackman Penceresi’nin diğerlerine göre ideale daha
yakın sonuç verdiği gözlemlenmiştir. Buradan yola çıkılarak
(3) numaralı denklem ile önerilen pencere fonksiyonunda
değeri Blackman Penceresi’nin verdiği optimum ana kulak
eğrisini sağlayacak şekilde seçilmiştir. Seçilen bu değer ile
oluşturulan bant geçiren eğrinin yan kulak genlikleri kıyaslanmıştır. Aynı süzgeç, aynı uzunlukta bazı farklı pencere fonksiyonlarıyla da elde edilmiş ve hem ana kulak hem yan kulak
genliklerini gösteren grafikler Şekil 2.1’de verilmiştir.
91
ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ
Şekil 2.1. Önerilen Pencere Fonksiyonunun Mevcut Pencere Fonksiyonları ile Kıyaslanması
Şekil 2.3. η=3 için Farklı Pencere Fonksiyonları ile Elde Edilen
Bant Geçiren Süzgeç Karekteristiklerinin Kıyaslanması
Şekil 2.1’de Blackman Pencere Fonksiyonu (yeşil), Hamming
Pencere Fonksiyonu (kırmızı), Kaiser Pencere Fonksiyonu
(açık mavi), Bartlett Pencere Fonksiyonu (mor), Gauss Pencere
Fonksiyonu (siyah) olarak gösterilmiştir ve bu şekilde dikey eksen dB cinsinden kazancı (kaybı) göstermektedir. Bu çalışmada
önerilen pencere fonksiyonu farklı ideal süzgeç kazanç eğrileri
için denenmiş ve hepsinde benzer sonuçlar elde edilmiştir. Şekil
2.1’de verilen örnek, geçirme frekansı örnekleme frekansının
1/8’i, bant genişliği örnekleme frekansının 1/20’si ve pencere
uzunluğu 151 olan bir bant geçiren süzgeçtir.
Önerilen Pencere Fonksiyonunda Farklı Pencere
Uzunluklarının Kullanılması
Önerilen pencere fonksiyonunun bant geçiren süzgeç üzerindeki verimliliğini incelenmek amacıyla α için 2, β için 8
ve η için 2.4 optimum değerler alınarak; 3 farklı pencere
uzunluğunda, önerilen pencere fonksiyonun en çok kullanılan diğer pencere fonksiyonları ile kıyaslanması yapılmıştır.
Sonuçlar Şekil 2.4, 2.5 ve 2.6’da gösterilmiştir.
α, β ve η değerlerinin belirli sınırlar içerisinde arttırılıp-azaltılması önerilen pencere fonksiyonu ile tasarlanan bant geçiren
süzgecin ana kulak ve yan kulak eğrilerinde değişime sebep
olmuştur. Bu değişimin gözlemlenebilmesi için Şekil 2.1’de
verilen süzgeç şartları aynı tutularak η değeri 2.4 olarak alınmış
ve tasarlanan süzgecin kazanç eğrileri Şekil 2.2’de verilmiştir.
η=3 için elde edilen kazanç eğrileri de Şekil 2.3’te gösterilmiştir. Aynı değişiklikler geniş bir aralıkta α ve β değerleri için de
yapılmış ve elde edilen sonuçlardan α değerinin 2 ve β değerinin
8 alınması durumunda önerilen pencere fonksiyonunun diğer
pencere fonksiyonlarına kıyasla ideale daha yakın bant geçiren
süzgeç karekteristiği verdiği gözlenmiştir.
Şekil 2.4. N+1=51 için Önerilen Pencere Fonksiyonunun
Diğer Pencere Fonksiyonları ile Kıyaslanması
Şekil 2.2. η=2.4 için Farklı Pencere Fonksiyonları ile Elde Edilen Bant Geçiren Süzgeç Karekteristiklerinin Kıyaslanması
Grafiklerde; Bartlett Pencere Fonksiyonu (-.-.-.-). mor çizgi, Gauss Pencere Fonksiyonu (……) yeşil çizgi, Blackman
Pencere Fonksiyonu (-----)kırmızı çizgi, önerilen pencere
fonksiyonu (___) mavi çizgi ile belirtilmiştir.
92
Şekil 2.5. N+1=151 için Önerilen Pencere Fonksiyonunun
Diğer Pencere Fonksiyonları ile Kıyaslanması
2013 Ekim • Sayı-448
ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ
Şekil 2.6. N+1=202 için Önerilen Pencere Fonksiyonunun
Diğer Pencere Fonksiyonları ile Kıyaslanması
Şekil 2.8. Farklı Pencere Fonksiyonları ile Tasarlanan Yüksek Geçiren Süzgeç Kazanç Eğrilerinin Kıyaslanması
Şekil 2.4, 2.5 ve 2.6’dan önerilen pencere fonksiyonunun
diğer pencere fonksiyonlarına kıyasla, yan kazanç kulak
eğrileri bakımından farklı pencere uzunluklarında da daha
başarılı olduğu görülmektedir. Yani pencere uzunluğunun
değişmesinin, önerilen pencere fonksiyonunun başarısını
etkilemediği gözlemlenmiştir.
Önerilen Pencere Fonksiyonunun Farklı Süzgeç
Tasarımlarında Kullanılması
Bu bölümde alçak geçiren, yüksek geçiren ve çift bant geçiren süzgeç tasarımlarında önerilen pencerenin kullanılması
ile elde edilen kazanç eğrilerinin bilinen pencere fonksiyonlarıyla elde edilen kazanç eğrileri ile kıyaslanması yapılmıştır. Her üç örnek için de α değeri 2, β değeri 8 ve η değeri
2.4 olarak seçilmiştir. Kıyaslamanın sağlıklı olabilmesi için
süzgeç uzunlukları 151 olarak alınmıştır. Sonuçlar sırasıyla
Şekil 2.7, Şekil.2.8 ve Şekil 2.9’da gösterilmiştir.
Şekil 2.9. Farklı Pencere Fonksiyonları ile Tasarlanan Çift
Bant Geçiren Süzgeç Kazanç Eğrilerinin Kıyaslanması
Sonuçlar
Bu çalışmada, sonlu darbe tepkili süzgeç tasarımlarında
halen kullanılmakta olan pencere fonksiyonlarına farklı bir
seçenek olarak Gauss ve Hamming Pencere fonksiyonlarının değiştirilmesi ve harmanlanması ile elde edilen yeni bir
pencere fonksiyonu önerilmiştir. Önerilen pencere fonksiyonu farklı pencere uzunluklarında (N+1), farklı süzgeç
tiplerinde ve çeşitli sayısal örnekler üzerinde denenmiştir.
Önerilen fonksiyonun özellikle yan kulak kazançlarının düşürülmesinde oldukça başarılı olduğu gözlemlenmiştir.
Kaynaklar
Şekil 2.7. Farklı Pencere Fonksiyonları ile Tasarlanan Alçak
Geçiren Süzgeç Kazanç Eğrilerinin Kıyaslanması
Şekil 2.7, 2.8 ve 2.9’da, önerilen pencere fonksiyonunun
farklı pencere uzunluklarında da, en çok kullanılan Bartlett, Gauss, Blackman pencere fonksiyonlarına kıyasla, farklı
süzgeç tasarımlarında da özellikle yan kulak kazanç eğrileri
bakımından daha başarılı olduğu görülmektedir. Denemelerin ışığında, kullanılan süzgeç tipinin, süzgeç uzunluğunun
değişmesinin önerilen pencere fonksiyonunun başarısını
olumsuz olarak etkilemediği sonucuna varılmıştır.
2013 Ekim • Sayı-448
[1] Avcı K, Nacaroğlu A “Cosh window family and its application to FIR Filter Design”, Science Direct, 2009
[2] Antoniou A. Digital Signal Processing: signal, systems
and filters. Newyork: Mc Graw Hill
[3] Avcı K, Nacaroğlu A. Cosine hyperbolic window family
with its application to FIR filter design. In Proceedings
of the 3rd interbational conference on information and
communication Technologies: from theory to applications
(ICTTA ’08), Damascus, Syria, 2008. p. 289-90
[4] Schlichtharle D. Digital filters: basic and design. Heidelberg: Springer; 2000
[5] Dolph CL. A current distribution for roadside arrays
which optimizes the reletionship between beamwidth and
side-lobe level. Proc IRE 1946;35-48
93