tc selçuk üniversitesi fen bilimleri enstitüsü sihirli sayıların nükleer

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SİHİRLİ SAYILARIN NÜKLEER TABAKA
MODELİNE GÖRE BELİRLENMESİ
Figen BOSTANCI
YÜKSEK LİSANS
FizikAnabilim Dalı
Eylül–2014
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait
olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and
presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as
required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and
results that are not original to this work.
İmza
Figen BOSTANCI
Tarih:
SİHİRLİ SAYILARIN NÜKLEER TABAKA MODELİNE GÖRE
BELİRLENMESİ
ÖZET
YÜKSEK LİSANS
Figen BOSTANCI
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Rıza OĞUL
2014, 47Sayfa
Jüri
Prof. Dr. Rıza OĞUL
Doç. Dr. Nihal BÜYÜKÇİZMECİ
Doç. Dr. Ömer DERELİ
Nükleer kabuk modeli, sıvı damlası modeli ve Fermi gaz modeli gibi temel nükleer modelleri
inceledik. Nükleer kabuk modelini kullanarak, Hamiltoniyen içinde harmonik salınıcı potansiyelini
kullanarak, bir çok atomik çekirdek için kapalı kabuk sihirli sayılarını elde etmek için, tek-parçacık
durumları için Schrödinger dalga denklemini çözdük. Sonuçların, sihirli sayıların elde edilmesinde
yeterince tatmin edici olmadığı görüldü. Bu güçlüğü yenmek için Hamiltoniyen içine spin-yörünge
terimini ekleyerek deneysel sihirli sayıları elde etmeye çalıştık ve bu sefer tatmin edici sonuçları elde
ettik.
Anahtar Kelimeler:kabuk model, nükleer modeller, sihirli sayılar, spin-yörünge etkileşmesi
iv
DETERMINATION OF MAGIC NUMBERS WITHIN NUCLEAR SHELL
MODEL
ABSTRACT
MS THESIS
Figen BOSTANCI
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF
SELÇUK UNIVERSITY
DEPARTMENT of PHYSICS
Supervisor: Prof. Dr.Rıza OĞUL
2014, 47 Pages
Jury
Prof. Dr. Rıza OĞUL
Assoc. Prof. Dr. Nihal BÜYÜKÇİZMECİ
Assoc. Prof. Dr. Ömer DERELİ
We have reviewed fundamental nuclear models such as shell model, liquid drop model, and
Fermi gas model. Using harmonic ossilator potential in the Hamiltonian we solved the Schrödinger
equation for single particle states to obtain magic numbers for several closed shells within nuclear shell
model. It is seen that the results are not satisfactory enough to reproduce the magic numbers. In order to
overcome this challenge we included spin-orbit interaction term in the Hamiltonian to reproduce
experimental magic numbers. This time the results were satisfactory.
Keywords:Magic numbers, nuclear models, shell model, spin-orbit interactioni
v
ÖNSÖZ
“Sihirli Sayıların Nükleer Tabaka Modeline Göre Belirlenmesi” adlı bu çalışma
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Çalışmalarım boyunca yardım ve desteğini esirgemeyen hocam Prof. Dr. Rıza
Oğul’a ve her koşulda destekçim olan aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
FigenBOSTANCI
KONYA–2014
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET ......................................................................................................................... iv
ABSTRACT .................................................................................................................v
ÖNSÖZ ...................................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ........................................................................................................ vii
SİMGELER VE KISALTMALAR......................................................................... viii
1.GİRİŞ ........................................................................................................................1
2.NÜKLEER MODELLER ........................................................................................5
2.1.Yarı-Deneysel Kütle Formülü ..................................................................................5
2.2.Sıvı Damlası Modeli ................................................................................................7
2.3.Dejenere Gaz Modeli ............................................................................................. 11
2.4. Nükleer Madde Tanımı ve Fermi Gaz Modeli ....................................................... 23
2.5.Nükleer Kabuk Modelleri (Shell Model) ................................................................ 31
3.SİHİRLİ SAYILARIN NÜKLEER TABAKA MODELİNE GÖRE
AÇIKLANMASI ....................................................................................................... 34
3.1. Giriş ..................................................................................................................... 34
3.2. Harmonik Osilatör Potansiyeli ile Nükleon Enerji Düzeylerinin Hesaplanması ..... 36
3.3.Spin-Yörünge Etkileşme Teriminin Katkısı ........................................................... 40
3.4. Sonuçlar ............................................................................................................... 43
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 45
ÖZGEÇMİŞ............................................................................................................... 47
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
ℓ:açısal momentum kuantum sayısı
α: alfa
k: dalga sayısı
E: enerji
:etkileşme şiddeti
Ef: fermi enerjisi
N:kuanta sayısı
p:momentum
D: nötron fazlalığı
n:radyal kuantum sayısı
W0:salınım açısal frekansı
⃗:spinaçısalmomentum vektörü
Wl: titreşimin açısal frekansı
⃗: toplamaçısal momentum vektörü
⃗ :yörüngesel açısal momentum vektörü
Kısaltmalar
MeV:Mega (Milyon) Elektron Volt
GeV: Giga Elektron Volt
viii
1
1. GİRİŞ
Atomik çekirdeklerin fiziksel özelliklerinin açıklanmasında birçok model
kullanılır. Her bir model farklı özellikleri açıklayabilmektedir. Bu modellerden sıvı
damlası modeli nükleonların çekirdeğe bağlanma enerjisini açıklamak için iyi bir
yaklaşımdır. Ayrıca sıvı-gaz faz geçişleri ile açıklanabilen nükleer parçalanma ürünleri
sıvı damlası modeline dayanan istatistiksel yaklaşımlarla açıklanabilmektedir. Diğer
taraftan, nükleer tabaka modeli (Shell model) nükleonların enerji düzeylerinin
belirlenmesinde, manyetik ve kuadropol momentinin hesaplanmasında iyi sonuçlar verir
(Ring ve ark., 2004). Bütün bu özelliklerin anlaşılması için, önce iki nükleon arasındaki
etkileşme kuvvetinin bilinmesi gerekir. Ayrıca, iki serbest nükleon arasındaki etkileşme
ile çekirdekteki iki nükleon arasındaki etkileşmenin farklı olduğu noktalar vardır.
Örneğin, çekirdek birçok parçacığın oluşturduğu bağlı bir sistemdir ve nükleonlar
bazen, kendisi dışındaki nükleonların etkileşmeleri sonucu oluşan ortalama bir alanda
(meanfield) hareket ediyormuş gibi ele alınabilir. Schrödinger denklemi ile iki parçacık
sistemi olan Hidrojen atomunun veya Döteronun enerji düzeyleri çok iyi şekilde
belirlenirken parçacık sayısı arttıkça problem daha karmaşık hale gelir (Elton, 1959).
Sıvı damlası modeli ile atomik çekirdeklerin parçalanması incelenmelerinde de
geniş ölçüde kullanılır. Bu konular nükleer fizikle birlikte Astrofizikte Süpernova
patlamaları ve büzülmesi, nötron yıldızları ve steallar maddenin dinamiği gibi konuları
çalışmak için önemlidir. Bu alanda hızlandırıcılarda gerçekleştirilen nükleer ağır iyon
parçalanması deneylerinin sonuçlarına göre teorik modeller geliştirilmiştir ve bu
modellerden birisi de istatistiksel parçalanma modelidir. Bu çalışmada atom
çekirdeğinin parçalanması dinamiği istatistiksel yaklaşımlarla incelenmiştir. İstatistiksel
yaklaşımın nükleer fizik alanında uygulanması, ilk kez Niels Bohr tarafından bileşik
çekirdek kavramı kullanılarak, Weisskopf tarafından buharlaşma modeli, Fong
tarafından istatistiksel fisyon ve Fermi-Landau tarafından çok katlı parçacık üretim
teoremi kullanılarak yapılmıştır. Çok-parçacık salkım (cluster) yaklaşımı ilk kez A.
Mekijan tarafından istatistiksel termodinamik kullanılarak çalışılmıştır (Mekjian, 1978).
Biz bu çalışmada nükleer sıvı damlası modeli üzerine kurulan sıvı-gaz faz geçişleri
teorisini kullanarak nükleer parçalanma dinamiğini çalıştık. Bir çekirdek uyarıldığı
zaman (bu uyarma iki çekirdeği çarpıştırarak ya da bir çekirdeği proton, nötron ve alfa
parçacıkları ile bombardıman ederek yapılabilir) sıcak ve yoğun nükleer madde oluşur.
Bu sıcak ve yoğun madde kısa menzilli itici nükleon-nükleon etkileşmeleri sonucunda
2
genişlemeye başlar. Bu genişleme sırasında bu madde belli bir yerde termodinamik
dengeye ulaşır, bunun sonucu olarak sıvı ve gaz fazındaki nükleer damlacıklar ve
kabarcıklar oluşur. Bu şekilde oluşan yüksek sıcaklık ve basınç altında nükleer
maddenin davranışı sıvı-gaz faz geçişleri teorisi ile incelenebilir. Bu şekilde nükleer
maddenin hal denklemi belirlenerek olası sıvı-gaz faz geçişleri araştırılabilir. Nükleer
fizik deneyleri modern hızlandırıcılarda yapılmaktadır. Bu hızlandırıcıların parçacıklara
kazandırdığı uyarma enerjisi, MeV mertebesi ile birkaç GeV (Giga Elektron Volt)
mertebesi aralığındadır. Orta ve yüksek enerjide ağır iyonlar, pionlar ve yüksek şiddetli
proton ışınları üretilebilmektedir. Hedef çekirdek ile hedefe gönderilen çekirdek
(projectile nuclei) veya hızlandırılan parçacıkların esnek olmayan (deep-inelastic)
çarpışmaları, nükleer sistemi, nükleer taban durumdan uyarılmış durumdaki ara nükleer
sisteme dönüştürebilir. Uyarma enerjisi yeterince yüksekse, çekirdeğin iç özellikleri,
özellikle kabuk yapısı önemini kaybeder ve çekirdek veya hadronik maddenin uyarılmış
durumdaki özellikleri araştırılabilir. İki iyonun çarpışıp kaynaşması sonucunda sistem
termodinamik dengeye ulaşır. Böylece bileşik sıcak çekirdek oluşmuş olur. Standart
bileşik çekirdek durumu sadece düşük uyarma enerjilerinde geçerlidir. Çünkü bu
durumda hafif parçacıkların buharlaşması ve fisyon kanalları baskındır. Düşük
enerjilerde bileşik çekirdekte nükleon başına 1-2 MeV uyarılma enerjisi depo edilir.
Bileşik çekirdek belli bir süre yaşadıktan sonra buharlaşma veya fisyona uğrayarak
bozunur. Hedef çekirdeğe gönderilen çekirdeğin veya hızlandırılmış parçacığın enerjisi
arttıkça, bileşik çekirdekte depo edilen uyarılma enerjisi ve bileşik çekirdeğin sıcaklığı
da artar. Ayrıca, çarpışma sonucu oluşan bileşik çekirdek sıkışır ve sistemin yoğunluğu
artar. Bu yüzden yüksek enerjilerde bileşik çekirdeği, sıkışmış ve sıcak bir ara durum
gibi düşünebiliriz. Bu ara durumun hayatta kalma süresi, bileşik çekirdekte depo edilen
uyarılma enerjisine ve basıncına bağlıdır. Yüksek uyarılma enerjilerinde, yüksek
sıcaklık ve basınçtan dolayı sistem genişleme sürecine girmeden tamamen proton ve
nötronlarına ayrışır. Bu durum buharlaşma veya patlama olarak adlandırılabilir. İlk
sıcaklık ve basınç çok fazla değilse sistem, genişleme süreci sonunda parçalanma yerine
irili ufaklı parçalara ayrılır. Bu parçalar nükleer damlalar olarak kabul edilir. Bu olay
nükleer
çok
katlı
parçalanma
(‘‘nuclear
multifragmentation’’)
olarak
adlandırılır(Bondorf ve ark.,1995, Botvina ve ark., 1985, Botvina ve ark.,1995, Botvina
ve ark.,2002, Botvina ve ark.,2004). Son yıllarda nükleer parçalanma için çok çeşitli
modeller önerilmiştir. Bugünkü modeller şu şekilde gruplandırılabilir.
3
1. Olasılık Modelleri: Örnek olarak en küçük bilgi ilkesi, Percolation Teori, vb.
gösterilebilir (Aichelin ve ark., 1984).
2. Makroskopik Modeller:Örnek olarak, Faz-Geçişleri Teorisi, Fisher Yoğunlaşma
Teorisi vb. verilebilir(Goodman ve ark., 1984, Fisher 1967).
3. Mikroskobik Dinamik Modeller: Örnek olarak Zamana Bağlı Hartree-Fock Teorisi,
Moleküler Dinamik Model, Kuantum Moleküler Dinamik Model gösterilebilir(Knoll ve
Strack 1984, Peilert ve ark., 1989).
4. Kinetik Modeller: Örnek olarak Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck (BUU), VlasovUehling-Uhlenbeck (VUU) denklemleri, kararsız modlar yaklaşımı ve dalgalanma
yaklaşımları vardır(Aichelin ve Bertsch 1985, Aichelin 1986, Bauer ve ark., 1986,
Bauer ve ark., 1987, Bauer ve ark., 1992, Pethick ve Ravenhall 1987).
5.Farklı
türlerde
istatistiksel
modeller
(FREESCO,
MMMC,
SMM,
vb.)
bulunmaktadır(Mekjian 1978, Randrup ve Koonin 1981).
6. Hibrit modeller (Reaksiyonun farklı aşamalarında farklı modeller kullanılmaktadır)
bulunmaktadır (Botvina ve ark., 1985).
Atomik çekirdekler uyarıldıkları zaman uyarılma enerjisi depolar ve kuvvetli etkileşen
bu sistemler bu uyarılmalara karşı kollektif hareketler yaparak cevap verirler.
Genellikle, kompleks sistemlerin karmaşık yapıları nedeniyle bu uyarılmalar sonucunda
düzensiz ya da kargaşalı (caotic) hareketler yapması beklenirken, basit kollektif
hareketler yaptıkları gözlenmiştir. Kollektif hareketler titreşim cinsinden ifade
edilebilir. Eğer bulk modülü pozitifse sistem denge civarında salınımlar yapar, negatifse
faz geçişlerine karşı kararsız hale gelir, noneq. states. 1947 fotonükleer reaksiyonlarda
(gamma,n) toplam uyarılma enerjisi Ex=15-20 MeV'de fotonun kuvvetle absorbe
edildiği yani giant resonans gözlendi. PDR (Pygmy Dipole Rezonans Ex= 8-12 MeV)
ve GDR (Giant Dipole Rezonans 15-20MeV).Kuantum mekaniğinde, kararlı titreşimler
bozon serbestlik dereceleri ile açıklanır. İlk bakışta bu durum, özellikle fermiyonlardan
oluşan bir sistemin uyarılmaları gözönüne alındığında şaşırtıcıdır.Kollektif salınımlar
mezoskopik sistemlerde görülür: He3 sıvısındaki zero-sound fononları veya metalik
klusterlardaki plasmonlar gibi. Atom çekirdeği de fononlar olarak bilinen büyük
kollektif titreşim hareketleri gösterir. Dev dipol rezonanslar protonların nötronlara karşı
dev kollektif hareketleri olarak anlaşılmıştır , bu tıpki metallerdeki plazmonlar, Fermi
sıvılarındaki zero sounda benzetilerek sıkışma modunun monopole titreşimi gibi
anlaşılmasıdır ve Giant-quadrupole rezonans da iki sıvı molekülünün kesişimindeki
dalgaya benzetilen yüzey titreşimi gibi anlaşılmıştır (Chomaz, 1997).
4
Mikroskopik yaklaşımda, bu BOZONLAR bozon kuantum sayısına sahip FERMİYONÇİFTLERİ şeklinde tanımlanır. Ancak, olası fermiyon çifti sayısı fermiyon
antisimetrizasyonlarının bozonik davranışı bozmayacak miktarda çok fazla olması
gerekir. Aslında bozonik bir sistemde fermiyonlar Pauli ilkesi nedeniyle sistemin
bozonik yapısından sapmalara neden olmaz. Dev rezonans özellikleri ve zero-sound ve
sonlu sıcaklıkların nükleer reaksiyonlardaki rolü incelenir.Son zamanlara kadar,
multifonon durumlar olarak adlandırılan ikincil ve daha üst kuantalar gözlenememişti.
Bu nedenle dev rezonansın multipole uyarılmalarının gözlenmesi bir bilmece olarak
kalmıştı. Multipole kollektif uyarılmaların mevcut olmaması bizim dev rezonansı
anlamamızda zaafiyet yaratırdı. 1977'lerde dipinelastik ağır iyon çarpışmalarındaki
enerji kaybı multiphonon uyarılmaları ile ilişkilendirildi ve bu yapıların dev rezonansın
multiple uyarılmalarından dolayı olabileceği iddia edildi. Bu uyarılmaların kesin izleri
çok yakın zamanda gözlendi (Chomaz, 1997).
Modellerdeki çok çeşitlilik, çalışılan olayın karmaşık karakterini yansıtır. 80’li
yıllardan buyana yapılan çalışmalar, hiçbir modelin orta ve yüksek enerjideki bir
reaksiyonda çok uyarılmış nükleer sistemlerin bozunma, oluşum ve gelişiminin yeterli
tarifini tek başına vermediğini gösterir. Reaksiyonun seçilen bazı özelliklerini
tanımlayan çeşitli yaklaşımları geliştirmek problemi çözmek için en uygun yol
gözükmektedir. Buna göre her bir teorik modelin sonuçları ile deneysel sonuçlar
sistematik olarak karşılaştırılmalıdır.Sonuç olarak hiçbir model tek başına çekirdekler
hakkında bilinen bütün özellikleri açıklayamaz ve bu sebepten bu modellerin bir kısmı
sırası ile incelenecektir.
5
2. NÜKLEER MODELLER
2.1.
Yarı-Deneysel Kütle Formülü
Sıvı damlası modelinin başarılı olduğu durum atomik çekirdeklerin kütlesinin bu
modele göre bulunmasıdır. Bir atomun kütlesi genellikle atomun çekirdeğinin kütlesi ile
verilir, bunun nedeni elektronların kütlesinin atomun çekirdeğini oluşturan proton ve
nötronların kütlesi yanında ihmal edilebilir boyutlarda olmasındandır. Çekirdeğin
kütlesinin tam olarak ölçülmesi için bağlanma enerjisini etkileyen, Coulomb itmesi,
yüzey gerilim etkisi, simetri enerjisi etkisi ve teklik çiftlik etkisi gibi etkenleri de içine
alan gerçekçi bir formül türetmek gerekir. Böyle bir eşitliği türetmek için önce atomu
oluşturan bileşenlerin kütleleri yazılır ve sonra gerekli düzeltme terimleri ilave
edilir(Oğul ve Eren, 2007).Böyle bir formüle ilk yaklaşım, çekirdeği bir sıvı damlasına
benzeterek Weizsacker tarafından 1935 yılında teklif edilmiştir. Buna göre, eğer bir sıvı
damlası iki kat fazla sıvı taşırsa iki kat da bağlanma enerjisi taşır.
Yarı
deneysel
kütle
formülü
aşağıdaki
terimlerin
toplamı
olarak
yazılabilir:Hacim Terimi: Bir atomik çekirdekte A sayıda nükleon varsa
=−
(2.1)
şeklinde bir bağ enerjisi olur. (-) işareti çekirdekte A arttıkça toplam bağ enerjisinin
artması için daha fazla kütlenin enerjiye dönüşmesi gerektiğini anlatır.
Yüzey Gerilim Etkisi: Çekirdek yüzeyindeki nükleonlar merkezdekilere nazaran daha
zayıf bağlandıkları için bağlanma enerjisini küçültücü bir etkisi vardır. Bu da yüzey
gerilim enerjisini r yarıçaplı ve S yüzey gerilim katsayısı cinsinden
M2=4πr2S=4π(r0A1/3)2S
=(4πr02S)A2/3=a2A2/3
(2.2)
gibi hesaplanır.
Coulomb Terimi:Çekirdekteki protonlar artı yüklü olduğu için birbirlerini iterler ve bu
da bağ enerjisini azaltır. Çekirdekteki yük dağılımını yaklaşık olarak tekdüze alırsak
böyle yüklü bir kürenin elektriksel potansiyel enerjisi, kürenin sonsuz küçük
dilimlerinin integrasyonu şeklinde hesaplanır.
6
=∫
Burada
=
=
=
=
(2.3)
/
ve "R= A1/3 "bağıntıları kullanılmıştır. Burada aslında
( −
1)tane etkileşen proton çifti gözönüne alınmalıdır. Böyle bir protonu küresel gibi
düşünürsek bu da bir enerji fazlalığı getirir ve Z tane proton oluşum enerjisi 3Ze2/5R
olarak bulunur. Bunu (M3)’den çıkartırsak
( − 1) ≅
=
= a
(2.4)
/
Asimetri Terimi: Bu terim proton ve nötron sayıları arasındaki farkın büyüklüğüne
bağlıdır. En kararlı çekirdeklerde proton ve nötron sayıları birbirine yakındır yani bağ
enerjileri kuvvetlidir. Bu fark arttıkça bağ enerjisi azalır.
O halde A=2Z’den
uzaklaştıkça pozitif bir terim
= a
(
)
(2.5)
eklenir.
Teklik-çiftlik etkisi: Proton ve nötron sayısının tek veya çift oluşu da bağ enerjisini
etkiler. Örneğin tek-tek çekirdeklerden sadece dört tane kararlı 1H2, 3Li6, 5B10 ve 7N14
çekirdekleri vardır. Tek-A çekirdekleri için sadece bir tane kararlı izobar varken, çift-A
çekirdekleri için iki veya daha fazla kararlı izobar (çift N ve çift Z) vardır. İzobarlar için
deneysel kütle parabolleri aşağıdaki gibidir.
Tablo2.1.Nükleon sayısının tek ve çift oluşuna göre karalı izotop sayısı
A
Çift
Tek
Tek
Çift
Z
Çift
Çift
Tek
Tek
N
Çift
Tek
Çift
Tek
İzotop Sayısı
156
50
48
5
Buna göre kütle eşitliğine δ(A,Z) gibi bir terim eklenmelidir. Böylece λ
7
λ=
−1
0
+1
ç
ç
,
,
ç
,
,
ı
ı
ı
şeklinde tanımlanarak en deneysel uygun terim δ(A,Z)=λa5A-3/4 ile verilmektedir. Bu
beş etki teriminin toplamı Weizsacker’in yarı deneysel kütle formülünü verir:
= −a
+a
/
+a
+a
−
/ + a
/
(2.6)
buradaki deneysel değerlere ayarlanmış parametriler
=15.75MeV
=17.8MeV
=0.710MeV
(2.7)
=23.7MeV
=34MeV
Bir atomun kütlesini yarı deneysel kütle formülü (BE)i kullanarak
M(A,Z)=
Z+
(A-Z)-
/c2
(2.8)
şeklinde yazabiliriz (Oğul ve Eren, 2007).
2.2.
Sıvı Damlası Modeli
Atomlar arası kuvvetler kısa menzilde çekici, uzun menzilde iticidir
(LennardJohnes potansiyeli). Sıvı damlasını oluşturan moleküller arası kuvvet
çekirdekteki nükleonlar arası kuvvetle benzer davranış gösterdiği için, atom
çekirdeğindeki nükleonlar (proton ve nötronlar) sıvı damlasını oluşturan sıvı
moleküllerine benzetilmiştir. Nükleonların çekirdeğe bağlanma enerjisini veren yarı
deneysel kütle formülünün başarısı iyi bir model olduğunu gösterir. Bu model, çekirdek
enerjilerini ve çekirdeğin kararlılığını incelemeye uygunudur. Sıvı damlası modeli tam
bir küre şeklindedir. Sıvı damlası modeli, aynı zamanda çekirdeklerin bazı uyarılmış
hallerini incelemek için de kullanılır. Ancak burada yalnız sıvı damlasının ne çeşit
deformasyonlar altında nükleer fisyon olayını açıklayabildiği incelenecektir (Cansoy,
1978).
8
Temel halde çekirdeğin, yarıçapı R olan (keskin yüzeyli) bir küre olduğu
düşünülebilir. Uyarılmış bir halde bulunan çekirdeğin küre şekli bozulur (deforme olur).
Bu deformasyonun çok küçük olduğu kabul edilirse, | | ≪ 1 olmak üzere, kürenin
yarıçapı qR kadar değişir. Kürenin küresel koordinatlardaki denklemi r=R olduğundan,
deformasyondan sonra çekirdek yüzeyinin denklemi r=R+qR veya r=R(1+q) olur.
Küresel koordinatlarda çekirdek yüzeyinin denklemi r=r( , ) şeklinde olmalıdır ve
dolayısıyla q=q( , ) olmalıdır. q=q( , ) küresel harmonikler cinsinden
( , )=∑
∑
( , )
(2.9)
şeklinde açılabilir (Ring ve ark., 2004). Buradaqlmlerkomplekstir ve | | ≪ 1 olabilmesi
için |
lm|≪1
olmalıdır. Eğer deformasyon zamanla değişiyorsa qlmler zamanın bir
fonksiyonudur. Kararlı bir çekirdekte yüzey deformasyonlarının değişiminin harmonik
titreşimler halinde olduğu ve qlmlerin zamana bağlılığının
̈
+
=0
(2.10)
diferansiyel denklemi ile yazılabilir; burada Wl, titreşimin açısal frekansıdır. Üniform
bir yük dağılımına sahip ve yüzey gerilim katsayısı
olan bir sıvı damlası için titreşim
frekansının
Wl2=
(
)
( + 2) −
(2.11)
bağıntısı ile verildiği gösterilebilir; burada Ze sıvı damlasının toplam elektrik yükü,
sıvı damlasının kütle yoğunluğu ve R de titreşimin denge durumunda damlanın küresel
yüzeyinin yarıçapıdır (Cansoy, 1978).
Çekirdek yüzeyinin denklemi (2.9)’a göre
r=R[1+∑
∑
( , )]
(2.12)
veya
r=R[1+-
,
√
+∑
( , )+∑
∑
( , )]
(2.13)
9
şeklinde yazılabilir. (2.13) de parantezin içindeki ikinci terim çekirdeğin toplam
hacminin değişimine bağlıdır ve eğer çekirdeğin toplam hacminin deformasyon
esnasında sabit kaldığı düşünülürse q0,0=0 olur. Üçüncü terim ise, çekirdeğin bir bütün
halinde yaptığı öteleme hareketidir. Bizi öteleme hareketi değil, sadece saf çekirdek
deformasyonları ilgilendirdiğinden qlm=0 olmalıdır. Böylece (2.11) ile verilen,
çekirdeğin yüzeyinin saf deformasyonlarına ait titreşim frekansları l=0 ve l=1 için sıfır
olur. Buraya kadar ki sonuçlar klasik mekaniğe dayanır ve ispatları çok uzun olduğu
için yazılmayacaktır.
En alçak seviyedeki uyarılmış haller l> 2 için
=0 ve
≠ 0 ile verilir ve
(2.13) bağıntısı
r=R[1+∑
( , )]
(2.14)
şeklini alır. (2.14) bağıntısı ile ifade edilen deformasyonlara kuvadrupol deformasyonlar
adı verilir. Diğer yandan (2.11) bağıntısı da l=2 için
=
4 −
(2.15)
gösterilebilir. Çekirdeğin kararlı kalabilmesi için, yüzey deformasyon hareketlerinin
harmonik titreşimlerden ibaret, yani, periyodik olması gerekir. Bu da ancak W2nin reel
veya
nin pozitif olması ile mümkündür. Çünkü (2.10) denkleminin
=(
)
,
şeklindeki çözümünde
=(
)
ve
=(
)
reel ve pozitif bir büyüklük olmak üzere W2=i
=(
)
(2.16)
yazılırsa
(2.17)
bulunur; bu da çekirdek yüzeyinin bazı kısımlarının devamlı dışarı doğru, bazı
kısımlarının da devamlı içeri doğru harekete başladığını ifade eder, yani, çekirdek
bölünmeye başlamış demektir. O halde çekirdeğin kararlılık şartı
10
4 −
>0
(2.18)
veya
<
(2.19)
şeklinde yazılabilir. R3=r03A olduğundan
=
∙
=
∙
(2.20)
yazılabilir. Diğer yandan, yüzey gerilimi
/
=
∙4
=4
/
(2.21)
şeklinde yazılabilir; o halde
=4
(2.22)
elde edilir. Böylece, (2.19) kararlılık şartı
∙
<
(2.23)
veya
<
(2.24)
veya
<
şeklinde yazılır. a2=17.804 MeV ve a3=0.7103 MeV olduğundan
(2.25)
11
=
.
.
≅ 50.13
(2.26)
bulunur ve kararlılık şartı olarak
< 50.13
(2.27)
sonucuna varılır. Şüphesiz
> 50.13
(2.28)
şartı da kendiliğinden fisyon yapma şartıdır. Bu şart sağlandığı zaman, fisyon yalnız
kendiliğinden olmakla kalmaz aynı zamanda ani olur.
En ağır çekirdeklerin bu limite yaklaşması ilginçtir.
238
U için
=35.563’tür.
(2.27) şartı, gözlenenlerden daha ağır çekirdeklerin bulunmayışının esas sebebi olarak
düşünülebilir. (2.27) in kullanılması ile, Z 140 ve A 390 oluncaya kadar ani fisyonun
meydana gelemeyeceğiaçıklanabilir (Cansoy, 1978).
2.3.
Dejenere Gaz Modeli
Nükleon çiftlerinin arasındaki kuvvetler ihmal edilirse ve nükleonlardan her
birine tesir eden toplam kuvvet, bütün nükleonların belirli V hacmine sahip
/
=
yarıçapındaki bir küre içine hapsedilmiş olması ile belirlenirse, bu durumda
çekirdek kendisini işgal eden parçacıkların söz konusu küresel kap içerisinde serbestçe
hareket edebildiği bir gaz olarak bakılabilir. Böyle bir inceleme ile çekirdek tamamen
dejenere bir gaz olarak düşünülebilir. Bu durumda çekirdek tamamen dejenere bir gaz
olarak ortaya çıkar ve klasik gazdakinin tersine bütün en aşağı enerji seviyeleri
doldurulur. Çünkü bir çekirdeğin hacmi kadar küçük bir hacme kapatılmış bir gazda
enerji seviyelerinin aralıkları birkaç MeV(Mega Elektron Volt) mertebesindedir. İlk
birkaç uyarılmış halin uyarılma enerjileri bundan daha büyük olamayacağından, temel
hal ve ilk birkaç uyarılmış hal hemen hemen tamamen dejenere olmalıdır. Böyle bir
gazın
kuantum
istatistiğine
göre
incelenmelidir
ve
parçacıklar
anti-simetrik
12
olduklarından
Fermi-Dirac
istatistiği
kullanılmalıdır.
Parçacıkların
birbiriyle
etkileşmediği düşünüldüğünde, dışarlama ilkesi tam olarak uygulanmaktadır
ve
herhangi iki parçacık tam olarak aynı kuantum sayılarına sahip olamaz. Parçacıklar iki
spin halinden birinde (spin yukarı veya spin aşağı durum) bulunabildiklerinden her
momentum halinde en fazla iki parçacık bulunabilir. Bu model yüzey etkilerini
tamamen ihmal eder ve böyle enerji seviyeleri gibi sayısal sonuçlar çoğu kez doğru
değildir.
Dejenere bir Fermi-Dirac gazının klasik bir gazdan gerçekten çok farklı
olduğuna dikkat edilmelidir. Eğer klasik bir gazda sıcaklık sabit basınçta düşürülürse,
parçacıklar arasındaki çarpışmalar sıklaşır ve böylece parçacıkların ortalama serbest
yörüngesi gazın hacim boyutlarına nazaran daha kısa olur. Dejenere birFermi-Dirac
gazında bütün en aşağı haller işgal edilmiştir. Böylece parçacıklar arasındaki büyük
kuvvetlerin normal bir sonucu olan momentum ve enerji transferi Paulidışarlama ilkesi
tarafından yasaklanır. Çünkü eğer bir parçacık momentumu ve enerjisini bir diğerine
transfer ederse, bu diğer parçacık diğer bir hale geçmelidir, bu diğer hal ise tamamen
dejenere bir gazda önceden işgal edilmiştir. Böylece dejenere bir Fermi-Dirac gazında
bir parçacığın ortalama serbest yörüngesi hacim boyutlarına nazaran daha uzundur.
Önce, gazdaki verilmiş bir E enerjisinden veya verilmiş bir p momentumundan daha
küçük bir enerjiye veya bir momentuma sahip bir cins parçacıklara (nötronlara veya
protonlara) ait hallerin sayısını hesaplayacağız. Parçacıkların, hacmi V ve bir kenarının
uzunluğu L olan küp şeklindeki bir kutu içerisinde hareket ettikleri düşünülürse sonuca
kolayca varılabilir. Aynı hacme sahip küresel bir kutu için sonuç orta ve ağır
çekirdeklerde yüzde 25 kadar daha aşağıdadır, fakat burada yalnız büyüklük
mertebelerine baktığımızda sonuçları doğrudan doğruya veren küp şeklindeki bir kutu
kullanacağız.
Her bir parçacığın dalga denklemi
∇
+
ħ
Eψ = 0
şeklinde elde edilir. Eğer
(2.29)
13
2
=ℏ
=
=
=ℏ ,
+
=
+
,
ℏ
=
+
=ℏ
=ℏ
(2.30)
+
bağıntıları kullanılırsa (2.29) denklemi
+
+(kx2+ky2+kz2) ψ=0
+
(2.29`)
şeklinde de yazılabilir. Eğer (2.29`) denkleminde
Ψ(x,y, z)≡u(x)v(y)w(z)
(2.31)
yazılacak ve her iki taraf ψ ye bölünecek olursa
( +
+k2x)+( +
+k2y)+( +
+
2
z)=0
(2.32)
Değişkenlere ayrılmış denklemi vardır. Böylece aşağıdaki adi diferansiyel
denklemler ve genel çözümleri elde edilir:
+
= 0 ⟶ u=B1coskxx+B2sinkxx
+
=0
+
=0
v=C1coskyy+C2sinkyy
w=D1coskzz+D2sinkzz
Böylece (2.29`) denkleminin genel çözümü
Ψ=A(Bcoskxx+ sinkxx)(C coskyy+ sinkyy)(D coskzz+ sinkzz)
şeklinde elde edilebilir, daima A≠0 olmalıdır. Parçacıklardan her biri kübün içerisine
hapsedilmiş olduğundan, dalga fonksiyonu kübün altı duvarının her birinde sıfır
olmalıdır:
14
Ψ(0,y,z)= Ψ(x,0,z)= Ψ(x,y,0)=0
Ψ(L,y,z)= Ψ(x,L,z)= Ψ(x,y,L)=0
Bu sınır şartlarından ilk üçü kullanılırsa
0= Ψ(0,y,z)=AB(Ccoskyy+sinkyy)(Dcoskzz+sinkzz)
⟶
B=0
0= Ψ(x,0,z)=AC(Bcoskxx+sinkxx)(Dcoskzz+sinkzz)
⟶
C=0
0= Ψ(x,y,0)=AD(Bcoskxx+sinkxx)(Ccoskyy+sinkyy)
⟶
D=0
elde edilir. O halde (2.29`) nün çözümü
Ψ=Asinkxxsinkyysinkzz
(2.33)
şeklinde elde edilir. Şimdi de yukardaki sınır şartlardan son üçü kullanılırsa
0=Ψ(L,y,z)=AsinkxLsinkyysinkzz⟶sinkxL=0
⟶kxL=πnx
0= Ψ(x,L,z)=AsinkxxsinkyLsinkzz⟶sinkyL=0
⟶kyL=πny
0= Ψ(x,y,L)=AsinkxxsinkyysinkzL⟶sinkzL=0
⟶kzL=πnz
veya
kx= nx, ky= ny,kz= nz
(2.34)
şeklinde elde edilir ve burada nx,ny,nz pozitif tam sayılardır. (Negatif tam sayılar yeni
çözümler vermez). (2.34) bağıntıları (2.32) bağıntılarının sonuncusunda yerine yazılırsa
gazın
E=
ħ
(nx2+ny2+nz2)
(2.35)
şeklindeki, kuantize enerji seviyeleri bulunabilir. Enerjileri E den veya momentumları p
den veya dalga sayıları k’dan küçük olan haller
15
+
+
<
yani
+
+
<
(2.36)
,
ile verilir. Bu eşitsizliği sağlayan farklı
,
kombinasyonlarının sayısı, yarıçapı
olan bir kürenin bir oktanın (yani sekizde birinin) içinde bulunan birim aralıklı bir
,
kübik kafesin köşe noktalarının sayısı ile verilir; buradaki oktan
,
>
0oluşundan ortaya çıkar. Fakat söz konusu kübik kafesin köşe noktalarının sayısı
,
,
uzayında oktanın hacminden ibarettir. Şimdi (
Kartezyen koordinatlar demek olan (
,
,
,
,
)uzayında
)yerine (r,θ,φ) küresel koordinatlara
geçilirse:
=
cos ,
=
sin
=
bulunur ve böylece
+
+
=
(2.37)
yazılabilir. O halde (2.36) bağıntısı,
<
(2.36 )
şeklinde de gösterilebilir. Oktan içerisinde bulunan ve yarıçapları r ile r+dr arasında
olan küre oktanları arasındaki kafes noktalarının sayısı, bu küre oktanları arasındaki
hacme eşit olacağından,
( )
=
≡
yazılabilir. (2.37) bağıntısı kullanılarak (2.35) bağıntısı
=
ℏ
2
şeklinde elde edilebilir. Bu bağıntıdan
(2.38)
16
/
ℏ
=
2
,
/
/
=
ℏ
bağıntıları ve dolayısı ile
ℏ
=
≡
2
2
ℏ 1
.
2
bağıntısı elde edilir. Bu son bağıntı (2.38) bağıntısı ile karşılaştırılırsa
ℏ
=
( )
(2.39)
şeklinde yazılır. Yarıçapları r ile r+dr arasında olan oktanlar arasındaki kafes
noktalarının sayısı, enerjileri E ile E+dE arasında olan parçacıkların sayısına eşit
olmalıdır.
(
,
,
Çünkü
sistemin
dejenereliği,
(2.35)
bağıntısı
gereğince
muhtelif
)kombinasyonları için aynı bir E enerjisinin elde edilebilmesine dayanır; ve
böyle belirli bir E enerjisi de belirli bir r yarıçapı verir. O halde
N(r)dr=N(E)dE
yazılabilir ve (2.39) bağıntısından
N(E)dE=
(2.40)
ℏ
elde edilir; burada V=L3 bağıntısı kullanılmıştır.
(2.36) bağıntısındaki k dalga sayısı maksimum bir
<
ve
+
veya
+
<
dalga sayısını ifade etmektedir
17
yazmak daha doğrudur. Bu maksimum kmax dalga sayısına tekabül eden (maksimum)
enerjiye Fermi enerjisi adı verilir veEf ile gösterilir. O halde
=
ℏ
2
yazılabilir. Her bir enerji halinde 1/2 spinine sahip iki parçacık bulunabildiğini
hatırlayarak,Ef maksimum enerjisine kadar bütün enerjilere sahip parçacıkların toplam
sayısı şöyle bulunabilir:
2 ( )
N=∫
/
=
=2
/
/
/
ℏ
/
∫
=
/
/
ℏ
/
.
/
(2.40 )
ℏ
buradan
=
2
/
/
3
ℏ
/
/
/
veya
=
/
ℏ
(2.41)
elde edilir. Burada
, parçacıkların sayısal yoğunluğudur. Şimdi sistemdeki
parçacıkların toplam enerjisini bulalım; şüphesiz toplam enerji, parçacık başına
ortalama ⃗ enerjisi ile parçacıkların N toplam sayısının çarpımıdır:
N =∫
=
2 ( )
=
2
/
3
=
/
ℏ
/
/
∫
ℏ
/
.
3
5
.
/
=
/
/
ℏ
.
/
18
Buradan, (2.40 ) bağıntısından faydalanarak,
=
.
3
5
elde edilir. O halde, parçacık başına ortalama enerjinin ifadesi
=
(2.42)
şeklinde olur. Buraya kadar sadece bir cins parçacığa ait hesaplar yapıldı. Parçacıkların
toplam sayısı N olduğuna göre bu parçacıkların nötronlar oldukları söylenebilir. N
yerine Z alınmak suretiyle protonlar için de benzer formüller yazılabilir.
=
olduğundan, (2.41) bağıntısı
=
3
/
/
ℏ
/
1
/
2
veya
=
9
4
ℏ
2
ℏ
şeklinde yazılabilir. Eğer C=
koyacak olursak nötronlara ve protonlara ait
Fermi enerjileri
=
/
,
/
=
(2.43)
ve toplam enerjiler de
=
=
/
/
,
=
/
/
(2.44)
19
şeklinde olur. Burada C≅52 MeVdir.
Artık bir çekirdeğin E(N, Z) toplam kinetik enerjisini veren formülü yazabiliriz:
+
=
+
(2.45)
Şimdi verilmiş bir A için minimum toplam kinetik enerjiyi arayalım. N+Z=A
olduğunu hatırlayarak
=
3
5
5
3
+
5
3
veya
=
+
,
+
=0
yazılabilir. Böylece,
=
−
=0
şartı N=Z= şartını verir. O halde
=
,
= .
/
. 2.
/
≡ 2
/
≡
/
(2.46)
veya
≅ 20
(2.46 )
elde edilir. Böylece, minimum toplam kinetik enerji halinde çekirdekteki bir nükleonun
ortalama kinetik enerjisi 20 MeV olur. Diğer yandan, (2.43) ve (2.44) bağıntılarına
20
=
nazaran
=
gene
33
=
=
ve
=
olacağından, E(N, Z) ≡
olur. O halde, nükleon başına maksimum kinetik enerji
=
=
ve
=
≅
olur. Bu sonuç, dalga boylarını düşünerek elde edilen sonuçlardan biraz daha
büyüktür. Orta ve ağır çekirdeklerde son nükleonun bağ enerjisinin 8 MeV kadar
olduğuna dikkat edilirse, ortalama potansiyel kuyusunun derinliği yaklaşık olarak 41
MeV olur.
Yukarıdaki hesaplar bir izobara ait minimum toplam kinetik enerji için yapıldı.
Minimum toplam kinetik enerji için çekirdek en kararlı haldedir ve Z=N=
için
gerçekleşir; o halde, nötron veya proton fazlalığı olmadığı zaman çekirdek en kararlı
halde bulunur. Eğer bir nötron veya proton fazlalığı varsa toplam kinetik enerji
minimum toplam kinetik enerjiden itibaren bir miktar artar. Şimdi bu artmayı verilmiş
bir izobar için, yani, verilmiş bir A için hesaplayalım. Eğer söz konusu artma
ile
gösterilirse
= ( , )−
= ( , )−
1
,
2
1
2
yazılabilir; bu ifadede (2.45) ve (2.46) bağıntıları yerlerine yazılırsa
3
= .
5
/
/
/
+
/
−2
2
elde edilir. Şimdi nötron fazlalığını D ile gösterelim; o halde D= ( − ) yazılabilir.
Bu bağıntı ile A=N+Z bağıntısından N ve Z çözülürse
=
1
2
+ ,
=
1
2
−
bulunur. O halde,
3
= .
5
/
1
2
/
+
1
+
2
/
−
1
−2
2
/
21
sonucuna varılır. Herhangi bir gerçek çekirdek için D küçük olduğundan,
kadar seriye açabiliriz. Eğer
F(t) ≡
1
2
+
1
2
≡
+
alınırsa, F fonksiyonu
1
2
+
1
2
≅
civarında Taylor serisine açılabilir:
+
2
+
1
2
"
2
diğer yandan,
F(t)=
/
( )=
,
/
,
"(
)= .
/
olduğundan,
1
2
/
+
1
≅
2
5 1
+ . .
3 2
1
+
2
5 2 1
. . .
3 3 2
5 1
. .
3 2
1
+
2
5 2 1
. . .
3 3 2
≅2.
+
/
ve benzer şekilde
1
2
/
−
1
≅
2
−
/
elde edilir. Buradan
+
/
+
−
/
.
.
/
’yı D2 ’ye
22
veya
/
+
+
−
/
−2.
≅
.
/
≡
.
/
/
bulunur. O halde,
≅
3.10. 2
.
5.9
.
/
veya
≅
1
.2
3
/
veya
≅ .2
elde edilir.
≅ 44
(2.47)
daima pozitiftir, yani, Emin gerçekten minimum toplam kinetik enerjidir.
Diğer yandan, potansiyel kuyusunun derinliği N, Z ve A’dan bağımsız olduğu için,
N=Z= şartını sağlayan çekirdek en küçük enerjiye sahip olan izobardır.
D’nin ifadesi ile karşılaştırılacak olursa
=−
ilginç sonucu elde edilir. O
halde (2.47) bağıntısı
= 44.
(2.47')
şeklinde de yazılabilir, yani, minimum enerjiye nazaran artmalar izo-spinin karesiyle
orantılıdır.
Buraya kadar protonlar arasındaki Coulomb etkileşmesi ihmal edildi. Üniform
olarak elektrikle yüklü çekirdek yarıçapı R olan bir küre şeklinde ise, çekirdek
içerisindeki protonlardan her biri
23
=
2
3−
Elektrostatik potansiyeli altında hareket eder. Bu da proton kuyusunun dibini
nötron kuyusunun dibine nazaran eV kadar yükseltir. R=
=
/
3−
/
olduğunu hatırlayarak
(2.48)
/
yazılabilir. Ağır bir çekirdek için bu fark oldukça büyüktür. Mesela,
208
Pb için
elektrostatik potansiyel merkezde 25 MeV’den çekirdek yüzeyinden 16 MeV’e kadar
değişir. Bu sebepten ağır bir çekirdekte protonların sayısı nötronların sayısından daha
azdır (Cansoy, 1978).
2.4. Nükleer Madde Tanımı ve Fermi Gaz Modeli
Atom çekirdeğinin karmaşık yapısının hesaplamaları daha kolaylaştırmak için
bazı varsayımlar yapılmıştır. Daha önce incelenen yarı-deneysel kütle formülünde bir
tek nükleon başına düşen enerjiyi tekrar yazarsak
= −16 + 18.56
+ 0.717
+ 23.7( − ) /
+ 34
/
(2.49)
Şimdi bu terimde nükleon sayısı A’nın sonsuza gittiğini ve protonlar arasındaki
Coulomb itmesini ihmal edersek bu yeni çekirdek maddesine Sonsuz Nükleer Madde
denir. Son 20 yılda bu madde üzerine çok sayıda araştırma yapılmıştır. Çünkü söz
konusu madde, sadece çekirdek maddesi olarak kalmaz ve nötron yıldızlarının
yapısında, süpernovanın büzülmesi ve patlaması teorisinde de araştırma konusudur.
Simetrik nükleer maddede proton ve nötron sayısı eşit alınır ve proton oranı
olarak alınır. Nötron yıldızlarında
formülünde
=0.5
çok daha düşük orandadır. Yarı-deneysel kütle
→ ∞alınırsa nükleon başına bağlanma enerjisi -16 MeV olarak bulunur.
Böylece, bazen literatürde (infinitenuclearmatter) sonsuz nükleer madde terimi bu
yüzden kullanılır. Sonlu nükleer maddede ise (finitenuclearmatter) coulomb etkileşmesi,
yüzey gerilimi gibi etkiler dışarlanamaz, bu durumda doymuş bir çekirdek için
24
bağlanma enerjisi -8 MeV civarındadır. Ayrıca elektronun ağır çekirdekten saçılma
deneylerinde doymuş bir çekirdeğin merkezi civarında sayısal yoğunluğu
0.16
olarak bulunmuştur. O halde sonsuz nükleer madde için (T=0)
)
(1fm=10
=
=
ℏ
2
= −16
= 0.16
= 0.16
ü
= 0.16 × 10
ü
Değeri alınır. Buna karşılık gelen Fermi momentumu
(2.50)
ve indirgenmiş yarıçap
= 1.36
=
/
= 1.2
(2.51)
elde edilir. T=0’daki bir sistem için, F serbest enerjisi E’ye eşit olur. bu durumda serbest
enerji-yoğunluk grafiği şekildeki gibi olur.
Şekil 2.1. T=0 için nükleer maddenin parçacık başına enerji-yoğunluk grafiği
Böyle bir sistemde, basınç aşağıdaki bağıntıyla verilir.
25
(
=
=
)
,
(
=kT
(
)
,
=−
,
/ )
(2.52)
Burada aşağıdaki termodinamik kanonik topluluk bağıntıları yazılır:
Bölüşüm fonksiyonu Q(N, V, T)=(2
(−
= ∫…∫
Şekillenim integrali
/
/ℎ )
.
!
( ⃗, ⃗, … , ⃗)
⃗…
⃗
Helmholtz serbest enerjisi A=−
=
Kimyasal potansiyel
=
İç enerji
N=kT
(
)
,
∑( , , ) = ∑
Bölüşüm fonksiyonu
Basınç
,
=N*
(
)
,
( , , )
PV=kTIn
(
)
,
Entalpi
G=N =E+PV-TS
Şekil 2.1 de
<
(2.53)
bölgesinde basınç negatiftir ve sistem dengede değildir ve
yoğunluklu parçalara ayrılırken bu parçalar arasında boşluklar oluşur.
>
bölgesinde
basınç pozitiftir ve sistem denge yoğunluğuna ulaşıncaya kadar (denge yoğunluğunda
basınç sıfır olur) genişler.
Atom çekirdeği proton ve nötronlardan oluşmuştur. Her iki parçacık da ½ spine
sahip olduğu için fermiyondur ve Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar. Başlangıç olarak
26
çekirdek maddesini (veya nükleer maddeyi), yoğunluğu dışardan fix edilen
etkileşmeyen parçacıklar grubu olarak ele alabiliriz. Bu Fermi-Dirac istatistiğini
kullanmak için bir kanonik bölüşüm fonksiyonu tanımlar. Bunun için E(N, V) sistemin
=
toplam enerjisi ve
( ) sistem
kuantum durumunda iken k’ıncı kuantum
enerjili parçacıkların sayısı olsun. Sistemin kuantum durumu [
durumundaki
] seti
ile belirlenir. Bölüşüm fonksiyonu
( , , )∑
=∑
−
(− ∑
)
(2.54)
şeklinde yazılır.
N=∑
=∑
toplam parçacık sayısıdır. Toplam enerji de
olur. Toplam
parçacık sayısına getirilen kısıtlamadan kurtulmak için Grand kanonik topluluk
kullanılır ve bu toplulukta N sıfırdan sonsuza bütün değerleri alabilir.
(
)kullanırsak
( , , )=
=∑
=
∑
∏ [
(
) ( , , )=
(−
Şimdi toplam
(− Σ
)
)]
(2.55)
=
=0 ve
değerleri arasında alınır. Bir kuantum
durumunda bozonlar için parçacık sayısına bir sınır getirilmez, fermiyonlar için ise
= 1 olmalı, çünkü her bir kuantum durumunda sadece bir parçacık olabilir.
Böylece Grand kanonik bir topluluk için
parçacık sayısı ortalaması, E enerji, P
basınç, ve S entropi için tekrar aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.
=
=
∑
(
)/ ±
,
= 1/ ±1 +
=
∕ ±1 +
∗(
− )
∗(
,
− )
(
)
[
∗(
−
)] =
/ (1 ∓
)
27
=±
∑
∗(
1±
−
)
=∓
∑
(1 ∓
)
(2.56)
Entropi için entalpi denklemlerinden faydalanılır ve
. =−
∑
(
)−
(1 ∓
)±
(1 ∓
)
(2.57)
parametresi sürekli olduğu için, olasılık işgal fonksiyonu
( ) yi aşağıdaki gibi
tanımlayabiliriz(Fermiyonlar için).
∗(
( ) = 1/ 1 +
T=0 da
<
− )
(2.58)
olan tüm enerji düzeyleri dolu
parametresi sıcaklığın fonksiyonudur,
>
olanlar ise tamamen boştur.
= ( ) genelde fermi enerjisi cinsinden
= ( ) şeklinde tanımlanır ve aynı zamanda bir nükleon için
=
/2
olarak da
yazılır.
Şekil 2.2. T=0 ve T>0 için fermi fonksiyonunun
ye göre grafiği
Belli ve eşit sayıda nötron ve protonun a kenarlı V hacimli bir küp içine
konulduğunu düşünelim. İzospin bileşeni dışında proton ve nötronlar eşit parçacıklar
olarak düşünülebilir. İzospinin iki bileşeni spinin de iki bileşeni olduğu için momentum
uzayında Pauli ilkesi gereğince her bir kuantum durumunda en çok 4 nükleon vardır
(g=4).
Üç boyutlu sonsuz potansiyel kuyusu içindeki bir parçacığın enerji durumları,
28
=
ℎ
+
8
+
,
,
,
= 1, 2, 3, …
ile verilir.
=
Bu denklem R yarıçaplı bir küre denklemidir ve
,
+
+
dir.
pozitif tam sayılar olduğu için R yarıçaplı kürenin 1/8 indeki nokta sayısı
/
şeklindedir. Buna göre parçacık durum sayısı yoğunluğu;
ℏ
=
=
(2 )
=
burada g=4 ve
/
∫
ℎ
2
3
8
2
3
dir. Parçacık durum sayısı aşağıdaki gibi olur.
/
=8
=
=
/
=
(
)
(2.59)
/
/
T=0 da tek parçacık ortalama kinetik enerjisi Fermi enerjisinin 3/5’i kadardır.
=
/
=8
/
∫
=
(2.60)
Sıcaklığa bağlı olan ( ) kimyasal potansiyelini parçacık sayısının korunumlu olmasını
göze alarak
/
N=8
∫
/
( )
⇒∫
/
( )
= (
)
/
(2.61)
olarak yazarız ve bu değer bulunduktan sonra diğer bütün termodinamik fonksiyonlar
hesaplanır. Bu hesaplamalar nümerik olarak ya da integral içindeki fonksiyonları Taylor
serisine açarak yapılabilir. Fermi integralleri ile birlikte T>0 için aşağıdaki
termodinamik fonksiyonları
29
( )
=
3
5
( )=
( )
1+
1−
=
5
12
−
1
12
−
1+
1
16
1
80
…
…
−
…
(2.62)
Ve A=E-TS bağıntısından gidilerek
( )
( )
=
3
5
1−
=
5
12
+
−
1
48
…
…
(2.63)
eşitliklerini yazabiliriz.
Fermi gazı içindeki nükleonlar Paulidışarlama ilkesi gereğince kısa menzilde
itme özelliği gösterir. Pauli ilkesinin etkisini iki cisim yoğunluk matrisleri ile aşağıdaki
gibi açıklayabiliriz. Bu yoğunluk matrisleri, klasik dağılım fonksiyonlarının kuantum
mekaniğindeki karşılığıdır. Eğer N-parçacıklı sistemin
( ⃗ , ⃗ , … ⃗ )dalga fonksiyonu
biliniyorsa böyle bir sistem fiziksel olarak tanımlanabilir. Tek parçacık operatörü
=∑
( )
(2.64)
ile tanımlanırsa B’nin matris elemanları
=
=
∫
∗
∗
(⃗ ,… , ⃗ , … , ⃗ ) ( ) (⃗ , … , ⃗ ,… , ⃗ ) ⃗
( ⃗ , … , ⃗ ) (1)
(⃗ , … , ⃗ ) ⃗ … ⃗
⃗
⃗
⃗
(2.65)
30
Burada operatör sadece birinci parçacık üzerine etkir. Bu durumda tek parçacık
yoğunluk matrisi aşağıdaki gibi tanımlanır.
⃗, ⃗ = ∫
( )
∗(
=
⃗ , ⃗ , ⃗ ,…, ⃗ )
⃗ ⃗ ( ⃗, ⃗ )
( )
(⃗ , ⃗ , ⃗ , … , ⃗ ) ⃗ … ⃗
(2.66)
( ⃗, ⃗)
Buradaki b( ⃗, ⃗) operatörü en genel şekilde yazılmıştır ve yerel (lokalize) olmamış bir
operatör de olabilir. Kuşkusuz (2.64) şeklinde yazılamayan operatörler de vardır. Buna
örnek, konuma bağlı olan nükleon-nükleon etkileşme potansiyeli V( ⃗, ⃗)’dir. Bu
operatör iki-parçacık operatörüdür.
=∑
(2.67)
o halde iki-parçacık yoğunluk matrisi tanımlanmaktadır.
( )
(⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) = ∫
( − 1)
2
=
Burada
(
)
⃗
⃗
∗(
⃗
⃗ , ⃗ , ⃗ ,…, ⃗ )
(⃗ , ⃗ , ⃗ ,… , ⃗ ) ⃗ … ⃗
⃗ (⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ )
( )
(2.68)
(⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ )
sayısı parçacık çiftleri arasındaki etkileşme sayısına eşittir. Her bir
etkileşme diğer etkileşmelerden bağımsızdır. Tek-parçacık ve iki parçacık yoğunluk
matrisleri periyodik sınır şartları kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur.
( )(
( )(
)=
(sabit tek parçacık yoğunluğu)
⃗,⃗,⃗,⃗)=
⃗ =
⃗
⃗
( )(
⃗,⃗)=
(
)
∑
,
(2.69)
1−
2⃗ . ⃗
(2.70)
ve ⃗ = ⃗ − ⃗ şeklinde tanımlanmıştır. Toplam N/4 tane dolu durumlar
üzerinden yapılır. Bu toplam yerine
ve
üzerinden integral alınırsa
31
( )(
⃗,⃗)=
±(
)=1±
g-(x)
−
.
ve x=
(2.71)
bulunur. Bu türetmede spin ve izospin ihmal edilmiştir ve dalga fonksiyonu antisimetrik
kabuk edilmiştir. Aynı zamanda, toplam spin ve izospin dalga fonksiyonunun
antisimetrik (uzay dalga fonksiyonunun simetrik) olduğu durumu da gözönüne alırsak
(2.71)’deki sonuç
( ) olur. Sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının küçük x değerleri için
seriye açılımı yapılırsa
≪1 ç
( )=
bulunur. Böylece
,
( )=2−
( ) terimi Pauli itmesi,
(2.72)
( ) de Pauli çekme terimleri olarak
bilinir. Fakat sonuç etki itme şeklindedir çünkü 10 tane simetrik birleşik spin ve izospin
dalga fonksiyonuna karşılık 6 tane antisimetrik dalga fonksiyonları vardır(Oğul ve Eren,
2007) .
2.5. Nükleer Kabuk Modelleri (Shell Model)
Nükleer Fiziğin temel problemlerinden biri de atom çekirdeğinin fiziksel
özelliklerini en iyi şekilde açıklayan modeller geliştirmektir. Protonların ve nötronların
atom çekirdeğine bağlanma enerjisi, atom çekirdeğinin enerji düzeyleri arasındaki geçiş
olasılıkları nükleer manyetik moment, kuadropol moment, titreşim, dönme ve enerji
düzeyleri arasındaki geçiş (transition) özellikleri gibi temel özellikler tek bir model ile
açıklanamaz.
Bu
nedenle
çeşitli
özellikler
farklı
çekirdek
modelleri
ile
açıklanabilmektedir. Örneğin; sıvı damlası modeli nükleonların çekirdeğe bağlanma
enerjisini iyi bir yaklaşımla açıklarken nükleer kabuk modeli (nuclear shell model)
sihirli sayıların açıklanması, nükleonların enerji düzeylerinin kuantum mekaniksel
olarak belirlenmesi, manyetik ve kuadropol momentin hesaplanmasında iyi bir yaklaşım
oluşturur. Deneysel olarak belirlenen 2,8,20,28,50,82,26 gibi sihirli sayılara sahip
çekirdeklerin daha kararlı oluşu bir başka deyimle nükleonların bağlanma enerjilerinin
daha yüksek oluşu, atomlarda elektronların kapalı kabuk oluşturduklarını ve bunların
32
iyonlaşma enerjilerinin yüksek olduğunu çağrıştırır. Atom çekirdeğinde ise protonlar
arasında çekirdek kuvvetlerine ek olarak itici Coulomb kuvvetlerinin oluşu çok
nükleonlu ağır çekirdeklerde nötron sayısının daha yüksek olması sonucuna neden olur.
Bu tezin amacı; deneysel olarak belirlenen sihirli sayıların nükleer tabaka modeli ile
elde edilmesidir.
Bu hesaplamalarla nükleer tabaka modelinin deneysel sonuçları elde etmede ne
derecede başarılı olduğu test edilmiş olacaktır. Bu da çekirdek kabuklarının
kararlılığının belirlenmesinde önemlidir. Tek parçacık ayrışma enerjisi çekirdeğe en
zayıf bağlanmış bir nükleonu çekirdekten koparmak için gerekli enerji olarak tanımlanır
ve bu değer yaklaşık 8MeV civarında iken sihirli sayılara sahip çekirdeklerde daha
yüksek ve çift sihirli çekirdeklerde ise en yüksek değere sahiptir. Bu durum atomlardaki
soygazlar grubunun enerji düzeyleri ile benzerlik taşımaktadır. Bütün bu durumlar
sihirli sayıların ve nükleer tabaka modeline göre tanımlanan ortalama alana karşılık
gelen kabukların varlığını ispatlar.
Öncelikle
nükleer
tabaka
modeline
göre
potansiyellerin
özellikleri
belirlenecektir. Bu potansiyellerden en çok kullanılanı Woods-Saxon ve Harmonik
Osilatör potansiyelleridir. Nükleer tabaka modeline göre tanımlanan tek parçacık dalga
fonksiyonları Schrödinger Dalga Denklemi yukarıda belirlenen potansiyeller için
çözülecek ve Harmonik Osilatör enerji seviyeleri belirlenecektir. Bu seviyelerdeki
bulunması gereken proton ve nötron sayıları kuantum mekaniksel yaklaşımlarla
belirlenecektir. Daha sonra osilatör parametresi hesaplanacaktır. Bulduğumuz sonuçlar
deneysel sonuçlara karşılaştırılacaktır. Buna göre sonsuz kuyu potansiyeli ve harmonik
osilatör potansiyeli kullanılarak elde edilen kararlı kabuklar için sayılar ve enerji
seviyeleri belirlenecektir. Daha sonra deneylerle en iyi uyumu sağlamak için spinyörünge terimlerinin enerji düzeylerine katkıları hesaplanacaktır. Bu şekilde elde edilen
tek-nükleon seviyeleri Harmonik Osilatör potansiyeli için analiz edilecektir. Bu
çalışmada kullanılan yöntemler ile elde edilen tek-parçacık dalga fonksiyonlarının
sihirli sayılar için iyi bir sonuç vereceği beklenmektedir. Sonuçlarımız literatürdeki
çalışmalar ile birlikte değerlendirilip yorumlanacaktır. Örneğin, Ring, P.,Schuck, P.,
2004 çalışmasında atomik çekirdek modelleri detaylı bir şekilde açıklanmış, tekparçacık enerji düzeylerinin hesaplanması ortalama-alan teorisine göre açıklanmıştır.
Sıvı damlası modeline göre nükleonların çekirdeğe bağlanma enerjisinin hesaplanması
ve nükleer tabaka modeli (nuclear shell model) sihirli sayıların açıklanması,
nükleonların enerji düzeylerinin kuantum mekaniksel olarak belirlenmesi gibi daha bir
33
çok özellik detaylı şekilde açıklanmıştır. Nükleer tabaka modeline göre sihirli sayıları
içeren atomik çekirdeklerin kütle numaralarını ve hesaplanan büyüklükleri tablolar
halinde
sunmuşlardır.
Daha
önceki
hesaplamalarla
olan
farklılıklar
tartışılmıştır(Wabstra ve ark., 2003). Atomik çekirdeklerin kabuk yapıları “sihirli
sayılarla” açıklanmış ve kabuk yapıların tek nükleon seviyeleri cinsinden açıklaması, bir
proton veya bir nötronun kendisi dışında kalan tüm nükleonların etkileşmesiyle oluşan
bir ortalama alanda hemen hemen bağımsız bir şekilde hareketinden kabukların
oluşumu açıklanmıştır (Hinke ve ark., 2012). İstatistiksel yaklaşımlar kullanılarak
atomik çekirdeklerde sihirli sayıların varlığını gösteren hesaplamalar yapmışlardır.
Fraksiyonel
işgal
olasılıklarının
hesaplanması
için
nükleer
tabaka
modeli
kullanılmıştır(Lopez-Ruiz ve ark., 2010).Makroskopik-mikroskopikmethod kullanarak
model parametrelerinin izospin ve kütleye bağlı durumları için yarı deneysel kütle
formülü geliştirmişlerdir (Wapstra ve ark., 2003). Bu modele göre küçük nötron zengin
N=16 sihirli çekirdekler incelenmiştir (Wang ve ark., 2010). Soy gazlardaki elektron
kapalı kabuklarına benzer şekilde, nükleer tabaka modeli kullanarak Sn132 sihirli
yapıları Sn133 tek parçacık seviyeleri kullanarak açıklamaya çalışmışlardır (Jones ve
ark., 2010).N=28 kapalı kabuk yapılarının temel özelliklerini nükleer tabaka modelini
baz alarak ve deneysel teknikler kullanılarak elde edilen sonuçlar kullanarak
araştırmışlardır (Sorlin ve ark., 2013). Nükleer self consistent ortalama-alan teorisi
kullanarak, nükleer yapıları araştırmışlardır. Sonuçları diğer nükleer modellerle elde
edilen sonuçlarla karşılaştırmışlardır (Bender ve ark., 2003).Sıvı-Damlası modeli temel
alınarak geliştirilen istatistiksel parçalanma modeline göre, nükleer parçalanmada
simetri ve yüzey gerilim enerjilerinin parçalanmaya etkilerini SMM ensemble
hesaplamaları ile incelemişler ve IMF (intermediatemassfargments) dağılımlarını
hesaplayarak bu katsayıların değişimlerini belirlemişlerdir. Elde edilen sonuçları
ALADIN-GSI deneysel sonuçları ile karşılaştırmışlardır. Yüzey gerilimin ve simetri
enerjisinin yük ve izotopik dağılıma etkileri belirlenmiştir (Oğul ve ark., 2011).
Sıvı-Damlası modeli temel alınarak geliştirilen istatistiksel parçalanma modeline
göre, Markov-chain hesaplamaları ile nükleer parçalanmada sıvı gaz geçiş bölgesindeki
parçacık dağılımı değişimlerini inceleyip MSU-deney sonuçları ile karşılaştırmışlardır.
Bu karşılaştırmalar sonucunda, nükleer maddenin simetri enerji katsayısının standart
değerinin düşük yoğunluklarda 25 MeV’den 15 MeV ya da daha aşağı değerlere
düştüğü belirlenmiştir(Oğul ve ark., 2009)
34
3. SİHİRLİ SAYILARIN NÜKLEER TABAKA MODELİNE GÖRE
AÇIKLANMASI
3.1. Giriş
Nükleer tabaka modeline göre, her bir nükleon, kendisi dışındaki bütün
nükleonların birbiriyle etkileşmesinden oluşan ortalama bir alan içinde, tek-parçacık
yörüngelerinde bağımsız olarak hareket eder. Bunun nedeni Paulidışarlanma ilkesince
çarpışmaların yasaklanması ve belirsizlik ilkesidir. Aslında atom çekirdeğinin kütlesel
yoğunluğu çok büyük olmasına rağmen, parçacık sayısı yoğunluğu açısından yoğun bir
sistem oluşturmaz. Sonsuz itici sert küre yarıçapı 2rn0.4fm civarında iken çekirdek
yarıçapı yaklaşık olarak r=r0A1/3 civarındadır. Bu durumda nükleonları sert küreler
olarak düşünürsek, nükleonların toplam hacminin, çekirdeğin hacmine oranı
ç
=
=
.
× .
≈
(3.1)
olur. Buna göre çekirdekte nükleonlar arasındaki ortalama uzaklık bir hayli fazladır.
Böylece bir nükleon, çoğu kez nükleonlar arasındaki kısa menzildeki çok kuvvetli
etkileşmelerden ziyade, uzun menzildeki çekici etkileşmelerin etkisi altında kalır.
Böylece kuvvetli itici etkileşmelerin çok az görüldüğü bir durum ortaya çıkar ve bu
yüzden, ilk yaklaşım olarak, sistem bağımsız tek-parçacık hareketi cinsinden
tanımlanabilir. Buna rağmen, çekirdeğin yüzeyi gazlara göre çok daha belirli ve
keskindir, bunda da Pauli ilkesinin ve nükleonlararası kuvvetlerin özelliklerinin önemli
rolü vardır. Bir nükleonun çekirdek içindeki ortalama serbest yolu, saçılma deneylerine
göre, çekirdeğin boyutlarında olduğu gösteriyor. Bu da, çekirdek içinde nükleonların
bağımsız parçacık hareketi yaptığının ilk delillerinden birisidir. Bu nükleonların,
ortalama bir alan içinde hareket ettiğini söylemiştik. Böyle bir durum, atom fiziğinden
bildiğimiz bazı sonuçları benzer şekilde çekirdek fiziğine aktarır. Örneğin, deneysel
olarak gözlenen sihirli sayılara (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) sahip çekirdeklerin daha
kararlı oluşu yani nükleonların bağlanma enerjilerinin daha yüksek oluşu, atomlarda
elektronların soy gazlardaki gibi kapalı kabuk oluşturduklarını ve bunların iyonlaşma
enerjilerinin yüksek olduğunu çağrıştırır. Bununla beraber protonlar arasında çekirdek
kuvvetlerine ek olarak Coulomb itmesinin oluşu çok nükleonlu ağır çekirdeklerde
35
nötron sayısı yoğunluğunu yükseltir. Bu da çekirdek kabuklarının kararlılığını
belirlemede atomlarınkine göre daha zor bir duruma neden olur. Tek-parçacık ayrışma
enerjisi, çekirdeğe en zayıf bağlanmış bir nükleonu çekirdekten koparmak için gerekli
enerji olarak tanımlanır. Bu çoğu çekirdekte 8 MeV civarında iken sihirli sayılara sahip
çekirdeklerde daha fazladır. Çift-sihirli çekirdeklerde ise en yüksektir. Benzer duruma
atomlar için soy gazlar grubunda rastlanır. Bütün bu durumlar, sihirli sayıların ve
ortalama alana karşılık gelen kabukların varlığını gösterir.
Çekirdekteki merkezcil Coulomb potansiyeli atomun küresel şekle gelmesini
sağlar. Bu durumda, elektron kabukları arasında büyük enerji farklarına sahip dejenere
gruplar oluşur. Çekirdekteki nükleonlar için böyle merkezcil bir alan yoktur. Fakat
böyle bir potansiyel, bütün nükleonların etkileşmesi sonucu oluşturulabilir. Böyle bir
potansiyel, atomlarda da elektronların etkileşmeleri sonucu oluşur ve bu potansiyel
çekirdeğin Coulomb potansiyeline eklenmelidir. Bu ortalama potansiyel Hartree-Fock
yöntemi ile belirlenir. Bu ortalama potansiyel, bir nükleonun tek parçacık potansiyeli
olarak tanımlanırken, o nükleonun dışında kalan bütün parçacıkların etkileşmelerinin bir
sonucu olarak oluşturulur ve böylece iki-parçacık etkileşmeleri dolaylı olarak potansiyel
içine girmiş olur. Hartree-Fock yöntemi ile belirlenen potansiyeller çoğu kez küresel
simetrik özellik göstermediği için, küresel simetrik bir tek-nükleon potansiyeli bütün
nükleonlarca oluşturulan ortak bir potansiyeli tam olarak tanımlamaz. Yine de, küresel
simetrik bir tek-nükleon potansiyeli çekirdeğin taban durumunu ve buna yakın
uyarılmış durumları açıklamada iyi bir yaklaşım oluşturur. Bu ortalama potansiyeller,
iki-nükleon etkileşmeleri cinsinden yazılırken genelde Brueckner metodu kullanılır ve
burada merdiven diyagramlarından yararlanılır. Buna ek olarak, rölativistik etkileri içine
almak
için
RölativistikBrueckner
metodu
kullanılır,
bazen
RölativistikBruecknerHartree-Fock metodu olarak da anılır. Nükleonlar tek-parçacık
yörüngelerinde, ortalama bir alan içinde hareket ederlerken, bazı durumlarda, ikili
çarpışmalar yapabilirler ve bu tür çarpışmaların artık-etkileşmeler (residualinteractions)
denir. Bu durumda,
( )=
( )=
36
şeklinde yazabileceğimiz ortalama V(i) potansiyeline bu artık etkileşme V(i, j)
potansiyeli de eklenir. Bu artık etkileşme potansiyeli i ve j nükleonunun yer, spin ve
izospin gibi koordinatlarına bağlıdırlar. Üstelik bu V(i, j) potansiyeli ortalama
potansiyel V(i)’ye göre daha zayıf olduğundan yaklaşık metodlarla hesaplanır. Bu
durumda çekirdeğin deneysel olarak gözlenen verilerini, mikroskopik nükleon-nükleon
etkileşme potansiyellerinden giderek, deneysel sonuçları doğrulayacak, V(i) ve V(i, j)
potansiyellerini elde etmek gerekir. Bu potansiyeller kullanılarak, çekirdeğe ait
durumların enerji düzeyleri ve dalga fonksiyonları tayin edilir ve bu dalga
fonksiyonlarından da fiziksel gözlenebilirler hesaplanabilir. Bu tür hesaplamalarda, çokparçacık dalga fonksiyonları, tek parçacık veya iki-parçacık matris elemanları da
cinsinden ifade edilirler. İki-parçacık matris elemanları da açısal ve radyal matris
elemanlarına ayrılarak hesaplanır (Oğul ve Eren, 2007).
3.2. HarmonikOsilatör Potansiyeli ile Nükleon Enerji Düzeylerinin Hesaplanması
Deneysel sonuçlar ve doyma özelliği bize nükleon-nükleon potansiyellerinin
kısa menzilli, merkezcil ve çekici olduğunu (r0.3fm itici sert küre) gösteriyor. Şimdi
tabaka modeline göre potansiyelin nasıl olduğuna bakalım. Çekirdeğin merkezindeki bir
nükleona, diğer nükleonlardan gelen katkıyı tek düze algılayacağı için bileşke net olarak
sıfır kuvvet etkir.
=−
( )
=0
(3.2)
Diğer taraftan, nükleer bağlanma enerjisi yüzeyden (r=R0) merkeze doğru (rR0)
artacaktır.
 0
0
(3.3)
Çekirdek kuvvetleri kısa menzilli olduğu için yüzey dışında
V(r)0, rR0
(3.4)
Bu üç sonucu sağlayan analitik bir çözüm Fermi fonksiyonu ya da Şek. 3.1’dekiWoodsSaxon potansiyelidir.
37
Woods-Saxon potansiyeli
( )=−
1+
(3.5)
Burada R0=r0A1/3, V0=50 MeV, a=0.5fm, r0=1.2 fm
Şekil 3.1.Woods-Saxon potansiyelinin şekli
Bu potansiyelin r=0 da sonlu fakat ihmal edilebilir bir eğimi vardır. Bu potansiyel için
özfonksiyonlar kapalı bir şekilde verilmediğinden, hesaplamalarda daha çok aşağıdaki
iki yaklaşım kullanılır.
a) HarmonikOsilatör Yaklaşımı
( ) = − [1 − ( /
0
2
1
=2
2 bağıntısı
) ]=
(
−
)=−
+
(3.6)
kullanıldı.
b) Kare Kuyu Yaklaşımı
( )=
−
∞,
,
>
ç
ç
(3.7)
Bu üç potansiyel de küresel simetriye sahiptir. Ayrıca, (3.6) ve (3.7) sonsuz terimler
içerdiği için fiziksel bir ifade gibi görünmüyorlar. Ancak tek-parçacık bağlı durumları
ile ilgilenildiği zaman, sadece dalga fonksiyonunun üstel kuyrukları etkileneceğinden,
bu durum o kadar önemli değildir. Schrödinger dalga denklemi
38
ℏ2
− 2 ∇2 + ( )
( )=
( )
(3.8)
(3.6) ve (3.7) potansiyelleri için çözülürse, HarmonikOsilatör için enerji seviyeleri
=−
0
+
3
+2 ℏ
(3.9)
0
şeklinde bulunur. Burada
= 2( − 1) + ℓ, n=1, 2, 3,… ve ℓ = 0, 1, 2, …şeklindedir. n
radyal kuantum sayısı, açısal momentum kuantum sayısı, N kuanta sayısı ve w0 da
salınımın açısal frekansı olarak verilir (Oğul ve Eren, 2007).
Kuantum mekaniğe göre
değerine karşılık -
ile +ℓ arasında (2ℓ + 1) tane
ℓ
= ±1/2 değerleri vardır. Böylece EN seviyeleri için (N+1)(N+2)
ve s=1/2 için iki tane
tane durum vardır, yani
ℏ
enerjisine karşılık gelen bir kabuk (N+1)(N+2) sayıda
nötron veya protonla doldurulabilir. Böylece 0, 1ℏ , 2ℏ , … , ℏ
seviyeleri sırasıyla
2, 8, 20, 40, 70, 112, 168 tane proton veya nötronla doldurulacaktır. Osilatörün verdiği
sihirli sayılar, N=0, 1, 2, 3,… için,
=
1
( + 1)( + 2) = ( + 1)( + 2)( + 3)
3
Bağıntısı ile elde edilebilir. Bu durumda harmonik salınıcı potansiyeli için sihirli sayılar
aşağıdaki gibi elde edilir:
H. Osilatör :2, 8, 20, 40, 70, 112, 168
Daha doğru bir teorinin osilatör ile sonsuz kuyu tarafından verilen seviyeler arasında
kalan seviyeler vereceği düşünülebilir. Böylece, seviyeler arasındaki uzaklık ve hatta
seviyelerin sırası biraz değişir. Osilatöre ait seviyeler aşağıdaki gibi:
Seviye
1s
1p
1d
2s
Seviyedeki sayı
2
6
10
Kabuktaki sayı
2
6
12
Toplam sayı
2
8
20
2
1f
2p
1g 2d 3s
1h 2f 3p
18 10 2
22 14 6
20
30
42
40
70
112
14
6
39
Eğer 1g ile 2d seviyeleri ve 3s ile 2f seviyeleri aralarında değiştirilirse aşağıdaki durum
elde edilir:
Seviye
1s
1p
1d 2s
1f 2p 2d 1g 2f
1h
3s
Seviyedeki sayı
2
6
10 2
14 6 10
18 14
22
2
Kabuktaki sayı
2
6
12
30
32
Toplam sayı
2
6
20
50
82
Şüphesiz tamamen keyfi olan bu değiştirmelerin hiçbir teorik dayanağı yoktur.
Aynı zamanda sırf bu çeşit değiştirmelerde14 ve 28 sihirli sayılarını elde etmeğe imkan
yoktur (Cansoy, 1978).
Harmonikosilatörünaçısal
frekansı
w0,
çekirdek
yarıçapı kare
ortalamasından
hesaplanabilir.
1
2
⟨ 2 ⟩ = ∑ =1 ⟨
1
2
2 ⟨ 2⟩
0
1
= ℏ
2
⟩=
0
3
5
+
2
3
= 5 1.2
1/3
2
(3.10)
3
2
Bu şekilde hesaplanan sonuç
ℏ
/
≅ 41.
MeV
veosilatörparametrisi
=
ℏ
/
≅ 1.01
/
fm
şeklindedir. Bu potansiyellerin her ikisi için de V0 sabiti, 1s düzeylerinin enerjileri aynı
çizgide kalacak şekilde seçilmiştir. Böylece karşılaştırma yapmak daha kolay hale gelir
(Oğul ve Eren, 2007).
40
3.3.Spin-Yörünge Etkileşme Teriminin Katkısı
Şekil 3.2. Sonsuz kuyu potansiyeli ve harmonik osilatör potansiyeli için belirlenen sihirli sayılar ve enerji
seviyeleri
Şekil (3.2)’e bakıldığı zaman her iki potansiyelin de deneysel sihirli sayılar olan
2, 8, 20, 40, 50, 82, 126 değerlerini tam olarak vermediği gözlenir. Bu demektir ki gerek
harmoniksalınıcı, gerekse kare kuyu potansiyelleri gerçekçi potansiyeller değildir. Bu
sihirli sayıları elde etmek için merkezcil potansiyele spin yörünge teriminin de
eklenmesi gerekir. Böylece
( )=−
Burada
+
−ℏ
⃗∙ ⃗
(3.11)
etkileşme şiddeti ile ilgili bir ⃗ yörüngesel açısal momentum vektörü, ⃗ de
spin açısal momentum vektörüdür. Toplam açısal momentum vektörünün ⃗= ⃗+ ⃗
şeklinde yazıldığını biliyoruz.
41
⃗∙ ⃗ = ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ → ⃗ ∙ ⃗ = (
−
−
)
(3.12)
eşitliği yazılabilir. Şimdi V(r) içindeki bu ⃗ ∙ ⃗ terimini hesaplayalım. Toplam açısal
momentum özfonksiyonları | ,
ℓ
ℓ
⟩, yörüngesel açısal momentum özfonksiyonları
( , ) ve spin açısal momentum özfonksiyonları
,
cinsinden aşağıdaki gibi
ifade edilir.
⟩=∑
,
ℓ,
⟨ ,
, ℓ,
ℓ|
⟩
, ℓ, ,
ℓ
ℓ
( , )
(3.13)
,
Bu durumda, kuantum mekaniği derslerinden, açısal momentum operatörlerinin
özdeğerlerinin aşağıdaki gibi verildiğini biliyoruz.
⃗∙ ⃗ ,
Burada
⟩ = ℏ [ ( + 1) − ℓ(ℓ + 1) − ( + 1)] | ,
⟩
(3.14)
= ± olduğu için, = ℓ ± gibi iki değer olabilir. Böylece
= ℓ + için ⃗ ∙ ⃗ ,
⟩ = ℏ ℓ| ,
= ℓ − için ⃗ ∙ ⃗ ,
⟩ = − ℏ (ℓ + 1)| ,
⟩
⟩
(3.15)
özdeğerleri elde edilir. Burada ℓ ≠ 0 durumu göz önüne alınmıştır, çünkü ℓ = 0 için
⃗ ∙ ⃗ terimi sıfıra eşit olur. Böylece (3.5) denkleminde V(r) tek-nükleon potansiyeli
içindeki ⃗ ∙ ⃗ terimi iki-nükleonun toplam açısal momentumunun iki ayrı değeri için
hesaplanmış olur. Bu durumda enerji özdeğerleri sırasıyla
ℓ
=−
+ℏ
2 +ℓ−
− ℓ ( = ℓ+
ℓ
=−
+ℏ
2 +ℓ−
− (ℓ + 1)
için)
( =ℓ−
için)
şeklinde elde edilir. Bu durumda taban durumda n=0 ve ℓ = 0 için
(3.16)
±
enerjisini
çıkarırsak, taban durumu ile olan enerji farkı her iki durum için aşağıdaki gibi bulunur.
42
,ℓ,ℓ
−
, ,
,ℓ,ℓ
−
, ,
= ℏ ( 2 + ℓ) − ℓ
= ℏ ( 2 + ℓ) − ( ℓ + 1 )
(3.17)
> 0 alınırsa = ℓ − durumlarının enerjilerinin = ℓ +
Burada
durumlarının
enerjilerinden daha yüksek olduğu görülür. Bu durumda osilatör enerji düzeylerinin
dejenere olması kısmen bozulmuş olup, | ,
görülür. Bu dejenere durum sayısı
=ℓ−
için (2 + 1) = 2ℓ şeklindedir. Şu ana kadar
⟩ durumlarının m ile dejenere olduğu
için (2 + 1) = 2(ℓ + 1) ve
çarpanını bir sabit gibi değil ⃗ nin bir
radyal fonksiyonu gibi ele alırsak spin yörünge potansiyeli
( )
=−
ℏ
=ℓ+
⃗∙ ⃗
aşağıdaki gibi yazılır.
(3.18)
Bu durumda daha önce bulunan enerji özdeğerleri değişmez fakat = ℓ + ile = ℓ −
durumları arasındaki enerji farkı aşağıdaki şekilde elde edilir.
ℓ
−
ℓ
=
ℓ (2ℓ +
1),
ℓ
=∫
ℓ ( ⃗)
( ⃗) ⃗
(3.19)
43
Tablo 3.1 Spin- Yörünge potansiyellerini içeren harmonikosilatör potansiyeli için tek nükleon seviyeleri
N
n
Kuantum
durumu
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
0
1
1
2
0
2
3
1
1
3
4
2
0
2
4
5
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
3
2
1
1ℎ
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
−
0
ℏ −
ℏ −2
2ℏ − 2
2ℏ
2ℏ − 3
3ℏ − 3
3ℏ −
3ℏ − 2
3ℏ − 4
4ℏ − 4
4ℏ − 2
4ℏ
4ℏ − 3
4ℏ − 5
5ℏ − 5
2
4
2
6
2
4
8
4
2
6
10
6
2
4
8
12
2
8
20
28
40
50
82
Böylece spin-yörünge etkileşme terimi hesaplara katıldığı zaman deneysel
olarak elde edilen değerlere daha çok yaklaşılmış olduğu tablo 3.1 de olduğu gibi
görülür. Bu tabloda tek nükleon düzeyleri ve sihirli sayılar verilmiştir (Oğul ve Eren,
2007).
3.4. Sonuçlar
N=0, 1, 2 için ilk üç tabaka seviyelerinin spin yörüngeye ayrılması çok küçük
olacağından ⃗ ∙ ⃗terimihesaplara katılmadan bulunan değerlere çok yakındır. Fakat N
nin daha yüksek değerleri için,  çarpanının değerlerine bağlı olarak farklı sonuçlar elde
edilir. çarpanı proton ve nötron sayılarına ve n, ℓ kuantum sayılarına bağlıdır. w
çarpanı ise, proton ve nötron sayılarına bağlı olabilir. Deneysel sonuçlar  çarpanının
sabit bir n değeri için ℓ kuantum sayısı arttıkça azaldığını göstermiştir. Bu deneysel
sonuçlar değişik çekirdekler için taban durum üzerindeki tek-nükleon seviyeleri için
tablo 3.2 deki gibi gözlenmiştir. Tablo 3.1 de elde edilen sihirli sayılar ayrı ayrı
tabakalarda değil bir tabaka içinde belli bir düzey dolduğu zaman elde edilmektedir.
44
Sihirli sayıları birbirinden tamamen ayrılmış tabakalarda elde etmek için  çarpanının
değerlerini bir tabakadan diğerine geçildiği zaman değiştirmek gerekir. Bu  çarpanı
değişikliğini yapmak yerine harmonikosilatör potansiyelinin tabanını düzleştirerek
başka bir deyişle harmonikosilatör ve kare kuyu arasında bir potansiyel seçersek sihirli
sayıların ayrı ayrı bir tabaka oluşturduğu görülür. Bu, şekilde görüldüğü gibi belli bir
tabaka içindeki enerji seviyeleri içinde en yüksek ℓ ve
=ℓ+
kuantum sayılarına
sahip olan seviyenin enerjisi VLSspin yörünge terimi etkisiyle alçalır ve bir alt osilatör
düzeyine yaklaşır. Böylece şekilde görülen ayrık tabaka oluşturan sihirli sayılar
bulunmuş olur. Ayrıca, enerjisi azalan bu seviyenin paritesi(−1)ℓ yaklaştığı osilatör
tabakasındaki seviyelerin paritelerinden farklıdır. Görüldüğü gibi sihirli sayıların bu
modelle açıklanabilmesi nükleer tabaka modelinin bir başarısıdır (Oğul ve Eren, 2007).
Tablo 3.2. Spin-Yörünge parametresinin deneysel değerleri
/ℓ
1
2
3
4
5
6
1
2
3
0.68
0.39
1.15
0.58
0.19
0.93
0.26
-
0.76
0.28
-
0.46
-
0.44
-
Sonuç olarak, hiçbir model tek başına çekirdekler hakkında bilinen bütün özellikleri
açıklayamaz. Bu nedenle sihirli sayıların elde edilmesinde Nükleer Kabuk Modeli
başarılı olmuştur.
45
KAYNAKLAR
Aichelin, J., Hüfner, J., ve Ibarra, R., 1984, Cold breakup of spectator residues in
nucleus-nucleus collisions at high energy. Phys. Rev. C 30:107-118.
Aichelin, J. ve Bertsch, G. F., 1985, Numerical simulation of medium energy heavy ion
reactions. Phys. Rev. C 31:1730-1738.
Aichelin, J., 1986, Three heavy fragments observed in simulations of medium heavy
ion reaction. Phys., Lett B 175:120-124.
Bauer, W. ve ark., 1986, Energetic photons from intermediate energy proton-and heavyion-induced reactions. Phys., Rev. C 34:2127-2133.
Bauer, W., Bertsch, G. F. ve Das Gupta, S., 1987, Fluctuations and clustering in heavyion collisions. Phys., Rev. Lett. 58:863-866.
Bauer, W., Gelbke, C. K. ve Pratt, S., 1992, Hadronic interferometry in heavy-ion
collisions. Ann. Rev. Nuc., Part. Sci. 42:77-98.
Bender M. ve ark., 2003, Self-consistentmean-fieldmodelsfornuclearstructure, Rev.
Mod. Phys., V75, 121-180.
Bondorf, J. P., Botvina, A. S., Iljinov, A. S., Mishustin, I. N. ve Sneppen, K., 1995,
Statistical multifragmentation of nuclei. Phys., Rep. 57:133-221.
Botvina, A. S., Iljinov, A. S., Mishustin, I. N., 1985, Multifragmentation of nuclei at
excitatiom energies ~10 MeV/nucleon. (Yad. Fiz. 42:1127-1137) Sov. J. Nucl.
Phys., 42(5):712.
Botvina, A. S. ve ark., 1995, Multifragmentation of spectators in relativistic heavy-ion
reactions. Nucl. Phys., A 584:737-756.
Botvina, A. S., Lozhkin, O. V. ve Trautmann, W., 2002, Isoscaling in Light ion induced
reactions and its statistical interpretation. Phys., Rev. C 65:044610-044624.
Botvina, A. S. ve Mishustin, I. N., 2004,Formation of hot heavy nuclei in supernova
explosions. Phys., Lett. B 584:233-240.
Cansoy, Ç., 1978, Çekirdek Teorisi, 10, İstanbul Üniversitesi Yayınları.
Chomaz Ph., 1997 Collective Excitations in Nuclei, Lecture Notes, Ganil.
Elton L.R.B., 1959, Introductory Nuclear Theory, Wiley.
Fisher, M. E., 1967, The theory of equilibrium phenomena. Rep. Progr. Phys., 30:615730.
46
Goodman, A. L., Kapusta, J. I. ve Mekjian, A. Z., 1984, Liquid-gas phase instabilities
and droplet formation in nuclear reactions. Phys., Rev. C 30:851-865.
Hinke C. B., ve ark., 2012, SuperallowedGamow-Teller decay of
thedoublymagicnucleus Sn-100, NATURE, V486, 341-354.
Jones K.L. ve ark., 2010,, Themagicnature of Sn-132 exploredthroughthesingleparticlestates of Sn-133. NATURE, V465, 454-457
Knoll, J. ve Strack, B., 1984, The dynamics of the nuclear disassembly in a fieldtheoretical model at finite entropies. Phys., Lett. B 149:45.
Lopez-Ruiz, R. andSanudo, J., 2010, Evidence of Magic Numbers in Nucleiby
Statistical Indicators, OPEN SYSTEMS & INFORMATION DYNAMICS, V17,
279-286.
Mekjian, A. Z., 1978, Explosive nucleosynthesis, equilibrium thermodynamics, and
relativistic heavy-ion collisions. Phys,. Rev. C 17:1051-1070.
Peilert, G., Stöcker, H., Greiner, W. ve Rosenhauer, A., 1989, Multifragmentation,
fragment flow, and the nuclear equation of state. Phys,. Rev. C 39:1402-1419.
Pethick, C. J. ve Ravenhall, D. G., 1987, Instabilities in hot nuclear matter and the
fragmentation process. Nucl. Phys., A 471:19c-34c.
Randrup, J. ve Koonin, S. E., 1981, The disassembly of nuclear matter. Nucl. Phys., A
356:223-234.
Ring P.,Schuck P., 2004, TheNuclearMany-Body problemSpringer-Verlag, New York,
Heidelberg, Berlin.
Sorlin O. ve ark., 2013, Evolution of the N=28 shellclosure: a test
benchfornuclearforces, Phys., Scripta, VT152, 014003.
Oğul, R., Eren, N., 2007, Nükleer ve Reaktör Fiziği, Ders Notları, Konya.
Oğul, R., Botvina, A. S., ve ark.,2011, Isospin dependent multifragmentation of
relativistic projectiles Phys., Rev. C 83, 024608.
Oğul, R.,Atav, U., Bulut, F., Buyukcizmeci, N., Erdogan, M., Imal, H., Botvina, A. S.,
andMishustin, I. N., 2009, Surface and symmetry energies in isoscaling for
multifragmentation reactions,J. Phy G: Nucl. Part. Phys. 36, 115106
Wapstra A. H. ve ark., 2003, The AME2003 atomicmassevaluation (I). Evaluation of
inputdata, adjustmentprocedures,Nucl. Phys,. A, V729, 129-336.
Wang N. ve ark., 2010, Modification of nuclearmassformulaby
consideringisospineffects, Phys., Rev.C, V81, 044322.
47
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
AdıSoyadı
Uyruğu
DoğumYeriveTarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Figen BOSTANCI
T.C.
Çumra-08.07.1988
05344175912
figen--42-88@hotmail.com
EĞİTİM
Derece
Lise
Üniversite
YüksekLisans
Doktora
:
:
:
:
Adı, İlçe, İl
CemilKeleşoğlu, Karatay, Konya
SelçukÜniversitesi, Fen Fakültesi, Selçuklu, Konya
SelçukÜniveristesi, Fen Bil. Ens., Selçuklu , Konya
-
YABANCI DİLLER: İngilizce
BitirmeYılı
2006
2011
2011- 2014