Paralel/dağıtık işleyen simülasyon uygulamalarının

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (LINEER PROGRAMMING) VE
GRAFİK ÇÖZÜM
Doğrusal programlama (DP), bir karar verme aracı olarak yaygın kullanılan, oldukça
etkili bir YA Tekniğidir. 1940’ların sonlarında ortaya çıkan bu teknik, askeri, endüstri,
tarım, taşıma, ekonomik, sağlık sistemleri ve hatta davranış ve sosyal bilimler vb.
alanlarda kullanılmaktadır.
Tekniğin yaygın kullanımındaki önemli bir faktör çok büyük DP problemlerinin
çözümü için çok etkin bilgisayar yazımlarının elde bulunmasıdır.
DP deterministik bir araçtır, yani model parametreleri belirgin olarak kabul edilir. Bu
teknik, modelin parametrelerindeki kesikli ya da sürekli değişimlerin “durağan”
(statik) optimum çözümünün duyarlılığını test etmede karar vericiye imkan veren,
ileri optimal ve parametrik analizleri sağlayarak eksiklikleri giderir.
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİ DEĞİŞKENLİ MODEL VE GRAFİK
ÇÖZÜMÜ
Şimdi doğrusal programlamanın en basit olan 2 değişkenli bir modelini ele alalım ve
onun grafik olarak nasıl çözüldüğünü görelim. 2 değişkenli grafik çözüm gerçek
hayat problemlerinde çok kullanışlı olması yanında diğer DP optimizasyon (en
iyileme) süreç çalışmalarının nasıl yapılacağını anlamada önemli bir yol göstericidir.
Diğer taraftan DP makul ve anlaşılabilir bir tarzda duyarlılık analizi kavramına
başlamaya da müsaade eder.
Konunun daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örneği ele alalım. Bu örnek genel DP
problemlerinin çözümünde bilinen cebirsel simpleks yöntemini açıklamak için ileride
kullanılacaktır.
ÖRNEK : ( RMC ŞİRKETİ )
RMC Şirketi küçük bir boya fabrikasına sahiptir ve bu şirket toptan satış şeklinde bir
dağıtım için iç ve dış cephe ev boyaları üretmektedir. İki temel hammadde A ve B
boya üretiminde kullanılmaktadır.
A hammaddesinin 1 günde elde bulundurulabilecek maksimum miktarı 6 ton iken,
B’nin ki 8 ton’dur. İç ve dış boyaların ton başına gerekli günlük hammadde miktarları
aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Dış Boya (Ton/gün)
İç Boya (Ton/gün)
Maksimum Miktar
(Ton/gün)
A Hammaddesi
1
2
6
B Hammaddesi
2
1
8
Bir pazar araştırması, günlük iç boya talebinin dış boya talebini 1 ton’dan daha fazla
geçemeyeceğini ortaya çıkarmıştır.
Araştırma aynı zamanda, günlük iç boya talebinin en fazla 2 ton ile sınırlı olduğunu
da göstermiştir. Ton başına toptan satış fiyatı; dış boya için 3000 pb, iç boya için
2000 pb dır.
Brüt geliri maksimum yapmak için şirketin günlük üretmesi gereken iç ve dış boya
miktarı ne kadardır?
MATEMATİK MODELİN KURULMASI
Matematik modelin kurulmasına aşağıdaki 3 soru cevaplanarak başlanabilir:
1. Model neyi belirlemeyi amaçlamaktadır?
Diğer bir ifadeyle problemin bilinmeyenleri –değişkenleri- nelerdir?
2. Modeli kurulacak sistemin sınırlarını sağlayan değişkenlere karşı –kısıtlar- ne
olmalıdır?
3. Değişkenlerin bütün olurlu değerleri arasından optimum (en iyi) çözümün
başarılması için ihtiyaç duyulan –hedef ( amaç )- nedir?
Bu soruları cevaplamanın etkili bir yolu problemi kısaca özetlemektir.
RMC Şirketi örneğinde ifade edilen durum aşağıda tanımlanmıştır:
Şirketin Amacı:
Şirket, hammadde kullanımı ve talep kısıtları sağlanırken, toplam brüt geliri
maksimum yapacak iç ve dış boya üretim miktarlarını (ton olarak) belirlemeyi arzu
etmektedir.
Matematik modelin en önemli noktası, öncelikle değişkenleri belirlemek ve sonra da
bu değişkenlerin matematik fonksiyonu olarak hedef (amaç) ve kısıtları ifade
etmektir. Böylece RMC problemi için aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz:
Değişkenler: iç ve dış boya üretim miktarlarının belirlenmesi arzu edildiğinden,
model değişkenleri
X 1 : Günlük dış boya üretimi (ton)
X 2 : Günlük iç boya üretimi (ton)
olarak tanımlanabilir.
Amaç Fonksiyonu: Dış boyanın her bir tonunun satışı 3000 pb olduğundan, X 1 ’in
satışından elde edilen brüt gelir 3*X 1 kadar 1000 pb dır. Benzer şekilde, iç boyanın
X 2 ’nin satışından elde edilen brüt gelir 2*X 2 kadar 1000 pb dır. İç ve dış boya
satışlarının bağımsız oldukları kabulü altında, toplam brüt gelir her iki gelirin toplamı
olur.
Eğer Z’nin brüt geliri (1000 pb) temsil ettiğini kabul edersek, amaç fonksiyonu
matematik olarak;
Z = 3X 1 + 2X 2
şeklinde yazılabilir.
Şimdi problemde amaç, bu kriteri (brüt gelir) maksimize edecek X 1 ve X 2 olurlu
değerlerini belirlemektir.
Kısıtlar: RMC probleminde hammadde kullanımları ve talebe dayanan sınırlar ortaya
çıkar. Hammadde kullanım sınırlaması,
Boyalarla ilgili
hammadde
kullanımı
≤
Elde mevcut
maksimum
hammadde miktarı
Şeklinde ifade edilebilir. Bu sınırlama, önceki tabloya bakarak bizi aşağıdaki
ifadelerine götürür:
Kısıt – 1:
1 X1 + 2 X2 ≤ 6
(Hammadde A)
Kısıt – 2:
2 X1 + 1 X2 ≤ 8
(Hammadde B)
Talep sınırlamaları:
Boyalarla ilgili
hammadde
kullanımı
( iç boya talebi )
≤ 1
≤ 2
( ton/gün ) olarak ifade edilir.
Bunlar sırasıyla matematik olarak:
Kısıt – 3:
X2 - X1 ≤ 1
Kısıt – 4:
X2 ≤ 2
(iç boyanın dış boyadan fazla olması ton / gün )
(maksimum iç boya talebi) şeklinde yazılır.
İlave olarak, her bir boyanın üretilen miktarlarının negatif olamaması kesin bir
şekilde ifade edilmelidir. Böyle bir çözümü elde etmeden kaçınmak için,
Negatif Olmama Sınırlamalarını ise;
X1 ≥ 0
X 2 ≥ 0 şeklinde yazabiliriz.
Buna göre, RMC Probleminin matematik modelinin tamamı aşağıdaki gibi
özetlenebilir:
Amaç Fonk. Maks. Z = 3X 1 + 2X 2
Kısıtlar
X 1 + 2X 2 ≤ 6
(1.kısıt)
2X 1 + X 2 ≤ 8
(2.kısıt)
–X 1 + X 2 ≤ 1
(3.kısıt)
X2 ≤ 2
(4.kısıt)
X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELLERİNİN GRAFİK ÇÖZÜMÜ
Şimdi DP modellerinin çözümünde en çok kullanıma sahip olan Grafik Çözümü ele
alacağız. Bu yöntemin nasıl uygulandığını RMC DP modeli üzerinde görelim. Modelin
yalnız iki değişkeni olduğunda grafikle çözülebilir. Bununla birlikte ileriki bölümlerde
daha gelişmiş çözümleri elde edilebilecek olan probleme, şimdi kısıtları çizerek
grafik çözümü elde edebiliriz.
(Çizimde 3 ve daha fazla değişkenli modeller için grafik çözümün pratik veya
kullanışlı olmadığı görülmelidir.)
Grafik yönteminde ilk adım tüm kısıtları birlikte sağlayan mümkün (olurlu) çözüm
uzayını çizerek belirlemektir. Böyle bir çözüm uzayı aşağıdaki şekilde çizilmiştir.
X 1 ≥ 0 ve X 2 ≥ 0 negatif olmama sınırlamaları bütün olurlu değerleri ilk 4 kısıt ile
sınırlarlar. Kısıtlarla sınırlanan bu uzay her bir kısıtta ≤ yerine = yazarak belirlenir.
Böylece doğru denklemleri elde edilir. Her bir doğru (X 1 , X 2 ) düzleminde çizilir ve
aranan bölge, doğruların eşitsizlik yönlerinin oklarla işaretlenmesiyle sınırlanan alan
tam olarak ortaya çıkar.
Referans noktası olarak (0,0) başlangıç noktasının alınması okların yönlerinin
belirlenmesinde kolay bir yoldur. Eğer (0,0) eşitsizliği sağlarsa okun yönü başlangıç
noktasına doğru, sağlanmaz ise diğer yöne doğru olmalıdır. Eğer doğru başlangıç
noktasından geçerse başka bir nokta(örneğin (1,0) referans noktası olarak
alınmalıdır. Örneğimize bu işlemler uygulanarak şekilde renkli olarak görülen çözüm
uzayını elde ederiz.
Bu çözüm uzayına olurlu bölge de denmektedir. Olurlu bölge üzerindeki her bir
nokta olurlu bir çözüm olarak alınabilir. Ancak optimum çözüm köşe noktalarda
aranmalıdır.
Optimum (en iyi) çözümü bulmak için amaç fonksiyonunun olurlu alandan yukarıya
doğru kaydırılması gerekmektedir. Amaç fonksiyonunun grafiğinin olurlu alandan en
son çıktığı nokta optimum çözüm noktasıdır. İlgili yerdeki X 1 ve X 2 değerleri bulunur
ve bunlar amaç fonksiyonunda yerine konarak optimum Z değeri tespit edilir.
Aşağıdaki şekilde optimum noktanın bulunması gösterilmiştir. Kesikli çizgi ile ifade
edilen grafik amaç fonksiyonu grafiğidir. Önce Z=6 için X 1 ve X 2 değerleri bulunur ve
grafik çizilir. Daha sonra yukarıya doğru kaydırmak için amaç fonksiyonuna daha
büyük bir değer verilir. Örneğin kolaylık olsun diye 12 verdiğimizde yeni X 1 ve X 2
değerleri elde edilir ve grafiği çizilir. Bu ikinci grafik amaç fonksiyonunun olurlu
bölgeyi en son nereden terk edeceği hakkında fikir vermektedir. Amaç fonksiyonunu
biraz daha kaydırdığımızda optimum noktanın 1. ve 2. denklemin kesişim yerinde
oluşacağı görülmektedir.
Buna göre X 1 ve X 2 değerleri 1. ve 2. denklemin birlikte çözümünden elde
edilecektir.
X 1 + 2X 2 ≤ 6
(1.kısıt)
2X 1 + X 2 ≤ 8 (2.kısıt)
Buna göre;
X 1 = 10/3 ve X 2 = 4/3 bulunur. Bunlar amaç fonksiyonunda yerine konursa;
Z = 3X 1 + 2X 2
Z = 38/3 elde edilir.
MİNİMİZASYON MODELİ ÖRNEĞİ (ÖDEV)
Diyet Problemi: Bir çiftlikte günde en az 800 kg özel bir yem kullanılmaktadır. Bu
yem, mısır ve soya ununun aşağıdaki bileşime uygun olarak karışımından elde
edilmektedir.
1 Kg Yemdeki Miktarlar(kg)
Protein
Mısır
Soya unu
0.09
0.60
Lif
0.02
0.06
Maliyet( Pb / kg)
0.30
0.90
Bu özel yemin içerisinde en az %30 Protein en çok ta %5 Lif bulunması
gerekmektedir. Buna göre minimum maliyetli günlük yem karışımını belirleyiniz.
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TERMİNOLOJİSİ
DP ile ilgili kullanılan bir takım ifadeler vardır. Burada bunlar açıklanacaktır:
•
Faaliyetler, n
Yapılacak faaliyetler nelerdir? Boya örneğinde dış boya ve iç boya üretimi
faaliyetleri ifade etmektedir.
•
Kaynaklar, m
Kullanılan kaynaklar nelerdir? Kaynaklar yapılan faaliyetler ile tüketilir.
Kaynakların bir kapasitesi vardır. Boya örneğinde A ve B hammaddeleri
kaynaklara örnektir.
•
Karar Değişkenleri, X 1 , X 2 ,…
Problemin sonucunda belirlenmek istenen faaliyetleri ifade eder. Boya
örneğinde değişkenler dış boya (X 1 ) ve iç boya (X 2 ) miktarlarıdır.
•
Amaç Fonksiyonu, Z
Maksimizasyon veya minimizasyon olabilir. Boya örneğinde dış boya ve iç boya
satış fiyatlarından elde edilecek brüt karı ifade eden fonksiyondur.
•
Kısıtlar
Kaynakların bir kapasitesi dolayısıyla bir sınırı vardır. Her bir kaynağın her bir
faaliyette kullanım oranına ve kaynak kapasitesine göre bir kısıt yazılır. Bunların
dışında bir de negatif olmama kısıtı da modele ilave edilmelidir.
•
Olurlu Bölge, Olurlu Çözüm
Tüm kısıtlar tarafından sağlanan ortak çözüm alanına olurlu bölge denir. Olurlu
bölge üzerindeki her nokta olurlu bir çözümdür. Sonsuz sayıda çözüm değeri
vardır ancak optimum değer tektir.
•
Olursuz Çözüm
Olurlu bölge dışındaki her değer olursuz çözümdür.
•
Optimal Çözüm
En iyi çözüm değeridir. Maksimizasyon veya minimizasyon olabilir.
•
Ekstrem nokta (köşe nokta) olurlu çözümleri
Optimum çözüm köşe noktalarında aranır. Maksimizasyonda, amaç fonksiyonu
olurlu bölge üzerinde yukarıya doğru kaydırılır. Amaç fonksiyonunun olurlu
bölgeyi en son terk ettiği köşe noktası optimum çözümü verir. Minimizasyonda,
amaç fonksiyonu olurlu bölge üzerinde aşağıya doğru kaydırılır. Amaç
fonksiyonunun olurlu bölgeyi en son terk ettiği köşe noktası optimum çözümü
verir.
DP MODELİNİN STANDART FORMU
Doğrusal Programlama modelinin standart formu aşağıda verilmiştir. Faaliyet veya
değişken sayısı i=1,2,….n; kaynak veya kısıt sayısı j=1,2,…,m olmak üzere;
c i : amaç fonksiyonu katsayıları,
x i : faaliyetleri ifade den değişkenler,
a ij : kısıt katsayıları,
b j : kısıt sağ taraf değerleri
olarak tanımlanmıştır. Buna göre DP’nın standart formu şu şekilde yazılır:
Maks. Z =
c1x1 + c2x2 + … + cnxn
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ b 2
…
a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ b m
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, …, x n ≥ 0
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VARSAYIMLARI
Doğrusal Programlama için dört varsayımdan bahsedilir. Bunlar aşağıda
açıklanmıştır.
1. Oransallık
Her karar değişkeninin amaç fonksiyonuna katkısı karar değişkeninin değeri ile
orantılıdır. Her karar değişkeninin kısıtların sol tarafına katkısı karar değişkeninin
değeri ile orantılıdır.
2. Toplanabilirlik
Herhangi bir karar değişkeninin amaç fonksiyonuna katkısı diğer karar değişkenlerin
değerlerinden bağımsızdır. Herhangi bir karar değişkeninin kısıt sol tarafına katkısı
diğer karar değişkenlerin değerlerinden bağımsızdır.
3. Bölünebilirlik
Karar değişkenleri tam sayı olmayan değerler alabilir. Şayet tam sayılı değerler
bulmak gerekiyorsa Tamsayılı Programlama kullanılmalıdır.
4. Kesinlik
Her parametre kesin olarak bilinmektedir.