1.2 Maksimal Idealler ve z-Ultrafiltreler

6
1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero Filterler
1.2
Maksimal Idealler ve z-Ultrafiltreler
Aşağıdaki tanımla başlayabiliriz.
Tanım 1.2. X topolojik uzay, F, X’de bir z-filtre olsun. F ⊂ G özelliğinde
F’den farklı bir z=filtre G yoksa, F’ye z-ultrafiltre (ya da maximal z-filtre)
denir.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay ve F ⊂ Z(X) kümesinin sonlu arakesit
özelliği olsun. F ⊂ M özelliğinde z-ultrafiltre M vardır.
Kanıt:
M0 = {∩ni=1 Zi : n ∈ N, Zi ∈ G}
bir z-filtre ve F ⊂ M dir.
{M : M
z-filtre ve F ⊂ M}
kümesi boş kümeden farklı ve kapsama sıralamasına göre kısmi sıralı kümedir.
Bu kümeden alınan her zincirin üst sınırı vardır. Zorn’s Lemma bu kümenin
maximal elemanı olduğunu söyler. Bu maximal eleman istenilen özellikte bir
z-ultrafiltredir.
Teorem 1.3. X topolojik uzay, M , C(X)’nin maximal ideal i ve F, X’de
z − ultraf ilter olsun.
(i) Z[M ] z-ultrafiltredir.
(ii) Z −1 [F] maksimal idealdir.
Kanıt: (i): H, Z[M ] ⊂ H özelliğinde z-filter olsun. M maximal ring ideal,
Z −1 (H) bir ring ideal ve M ⊂ Z −1 [H] olmasından M = Z −1 [H] edilir.
f ∈ C(X), Z(f ) ∈ H özelliğinde olsun. f ∈ Z −1 [H] = M olacağından,
Z(f ) ∈ Z[M ] elde edilir. Böylece Z[M ] = H elde edilir. Z[M ]’nin z-ultarfiltre
olduğu gösterilmiş olur.
(ii): Z −1 [F]’nin ideal olduğunu biliyoruz. Z −1 [F] ⊂ I özelliğinde I ideali verilsin. F ⊂ Z[I] ve Z[I] bir z-filter olduğundan, F = Z[I] elde edilir. f ∈ I
verilsin. Z(f ) ∈ Z[I] olacaktır. Buradan, Z(f ) ∈ F ve dolayısı ile f ∈ Z −1 (F).
Bu kanıtı tamamlar.
Sonuç 1.4. X topolojik uzay olsun. C(X)’nin maksimal ideallerinden, X’nin
z-ultrafiltrelerine tanımlı M → Z[M ] dönüşümü birebir ve örtendir.
0
0
Kanıt: M ve M , C(X)’nin Z[M ] = Z[M ] özelliğinde maksimal idealleri
0
olsunlar. Buradan M ⊂ Z −1 [Z[M ]] elde edilir. M ’nin maksimal olmasından
0
0
0
0
M = Z −1 [Z[M ]] elde edilir. Z −1 [Z[M ]] ⊃ M olmasından da M ⊃ M
0
0
dir. Benzer biçimde, M ⊂ M ve buradanda M = M elde edilir. Birebirlik gösterilmiş olur. Şimdi F, z-ultrafiltre olsun. Z −1 [F] maksimal ideal ve
Z[Z −1 [F]] = F olduğundan, örtenlik de gösterilmiş olur.
1.2. Maksimal Idealler ve z-Ultrafiltreler
7
Teorem 1.5. X bir topolojik uzay ve M , C(X)’nin maksimal ideali ve F,
X’de z-ultrafiltre olsun.
(i) M = {f ∈ C(X) : ∀g ∈ M, Z(f ) ∩ Z(g) 6= ∅}.
(ii) F = {Z ∈ C(X) : ∀F ∈ F, F ∩ Z 6= ∅}.
Kanıt: (i). f ∈ M verilsin ve en az bir g ∈ M için,
Z(f ) ∩ Z(g) = ∅
olsun. Bu durumda her x ∈ X için, f 2 (x)+g 2 (x) 6= 0 dolayısıyla, (f 2 +g 2 )−1 ∈
C(X) dir.
f 2 (f 2 + g 2 )−1 , g 2 (f 2 + g 2 )−1 ∈ M
olmasından 1 ∈ M elde edilir ki, bu çelişkidir. f ∈ C(X), her g ∈ M için
Z(f ) ∩ Z(g) 6= ∅ özelliğinde olsun ve f 6∈ M olduğunu varsayalım.
A = {Z(f ) : f ∈ M } ∪ {Z(g)}
olarak tanımlıyalım. A’nın sonlu arakesit özelliği olduğundan, A ⊂ A∞ özelliğinde
z-ultrafiltre A∞ vardır. Buradan,
M ⊂ Z −1 (A) ⊂ Z −1 (A∞ )
elde edilir. M maksimal ideal olduğundan,
M = Z −1 [A] = Z −1 [A∞ ]
elde edilir. f ∈ Z −1 [A] olmasından da, f ∈ M çelişkisi elde edilir ve birinci
kısım kanıtlanmış olur. (ii)’nin kanıtı benzerdir.
Alıştırmalar
1.9. X bir topolojik uzay ve M , Cb (X) halkasında maksimal ideal olsun. Z[M ], X’de z-filte
ise, z-ultrafiltre olduğunu gösteriniz.
1.10. X topolojik uzay olsun. Her x ∈ X için
Ax = {Z(f ) : f (x) = 0}
ve
Mx = {f ∈ C(X) : f (x) = 0}
gözterimini yapalım. Mx ’nin maksimal ideal ve Ax ’nin z-ultrafiltre olduğunu gösteriniz.