Ö L Ü M 1 - WordPress.com

BÖLÜM
1
G İR İ Ş
Bu giriş bölümünde bu metni okumak için ihtiyaç duyacağınız ön bilgiler olabildiğince yüzeysel
bir biçimde özetlenecektir. Muhtemelen bu ön bilgilerin bir kısmına aşina olacağınızdan bölüme
hızlıca göz atıp gerekli gördüğünüz durumlarda tekrar geri dönünüz. İlgili okur için yeterli sayıda
alıştırmalar verilip daha detaylı inceleme için bazı kaynaklar gösterilecektir.
1.1 Önermeler Cebiri ve İspat Yöntemleri
Önermeler
Her bilimsel araştırma alanı belirli bir mantıksal temele dayanır fakat başlarda bu temel belirsizdir. Söz konusu bilimsel alanda araştırmalar yoğunlaştıkça dayandığı bu temel de açığa çıkar ve bu
bilimin temelleri anlaşılmış olur. Örneğin Pisagor üçlüleri dediğimiz (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17)
gibi üçlüler, hatta (13500, 12709, 18541) gibi çok büyük üçlüler bile, Pisagor’dan çok önceleri, M.Ö.
1800’lü yıllarda biliniyordu. Yani o zamanlarda da insanlar dik kenarları 3 ve 4 olan dik üçgenlerin hipotenüslerinin 5 olduğunu gözlemliyorlardı. Fakat bu üçlüleri oluşturan sayılar arasında
mantıksal bir zorunluluğun var olduğu çok sonraları anlaşıldı ve bu zorunluluk ilk defa Öklid’in
Öğeler isimli eserinde verildi. Bu mantıksal çıkarım sadece gözlemlerle elde edilen bir bilgi değil,
aksi iddia edilemeyecek kadar kesin olduğu mantıksal olarak açıklanmış bir bilgiydi. Bu mantıksal zorunluluğun ifadesi gözlemle elde edilen bilginin aksiyomatikleştirilmesidir, bilginin kesinliğinin gözlemlerden bağımsız olarak, salt mantıkla açıklanması da bu zorunluluğun ispatıdır. Bu
bölümde bilgilerin nasıl ifade edildiği ve nasıl ispatlandığı açıklanacaktır.
Bir hüküm bildiren ve "doğru" ve "yanlış" niteliklerinden sadece bir tanesi ile nitelendirilebilen ifadelere önerme diyeceğiz. Yani bir ifadenin bir önerme olabilmesi için sadece doğru veya
sadece yanlış bir hüküm bildirmesi gerekir, "hem yanlış hem doğru", "biraz yanlış biraz doğru",
"bazen yanlış bazen doğru" gibi nitelendirilebilen ifadeler önerme olamaz. Örneğin
(i) Elma bir meyvedir.
(ii) 21 sayısı 12 sayısından küçüktür.
(iii) Nereye gidiyorsun?
(iv) 1 Ocak 1985.
1
2
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
ifadelerinden ilk ikisi birer önermedir fakat son ikisi doğru veya yanlış bir hüküm belirtmez. Yukarıdaki ilk iki ifadedeki gibi tek bir hüküm bildiren öenrmelere yalın önerme denir, "Otobüs zamanında kalkarsa ben de zamanında gelirim" örneğinde olduğu gibi birden fazla hüküm içeren
önermelere de bileşik önerme denir.Bundan sonra önermeleri uzun uzun yazmak yerine sembollerle kısaltarak göstereceğiz, önermeler genellikle p, q, r, . . . gibi küçük harflerle gösterilirler.
Her önermenin bir de doğruluk değeri vardır. Doğru hüküm belirten önermelerin doğruluk
değerleri 1, yanlış hüküm belirten önermelerin doğruluk değerleri 0’dır. Örneğin yukarıda verdiğimiz örnekte ilk önermenin doğruluk değeri 1, ikinci önermenin doğruluk değeri 0’dır. Aynı
doğruluk değerine sahip önermelere denk önermeler denir, önermelerin denkliğinin sadece doğruluk değerleri anlamında olduğuna dikkat edin, p ile q önermeleri denk ise bu durum p ≡ q ile
gösterilir.
Bileşik önermeler kendilerini oluşturan yalın önermelerin çeşitli bağlaçlarla birleştirilmeleriyle oluştuğundan doğruluk değerleri bu yalın önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Şimdi
bu bağlaçları açıklayalım.
"ve" bağlacı: p ile q birer önerme ise, p ∧ q olarak ifade edilen ve "p ve q" olarak okunan bileşik
önerme
0 ∧ 0 ≡ 0, 0 ∧ 1 ≡ 0, 1 ∧ 0 ≡ 0, 1 ∧ 1 ≡ 1
kurallarıyla tanımlanır. Yani p ∧ q önermesi hem p hem de q doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermedir. Örneğin "2 bir asal sayıdır ve 3 < 7" bileşik önermesinin doğruluk değeri 1, "Elma bir meyvedir ve 1 < 0" bileşik önermesinin doğruluk değeri
0’dır.
"veya" bağlacı: p ile q önermeleri için, p ∨ q olarak ifade edilen ve "p veya q" olarak okunan
bileşik önerme
0 ∨ 0 ≡ 0, 0 ∨ 1 ≡ 1, 1 ∨ 0 ≡ 1, 1 ∨ 1 ≡ 1
kurallarıyla tanımlanır. Yani p ∨ q, önermesi hem p hem de q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermedir. Örneğin "Dünya dışındaki gezegenlerde de yaşam
vardır veya Ankara Türkiye’nin başkentidir" önermesinin doğruluk değeri 1’dir.
"ise" bağlacı: p ile q önermeler olmak üzere, p ⇒ q olarak ifade edilen, koşullu önerme olarak
adlandırılan ve "p ise q" olarak okunan bileşik önerme
0 ⇒ 0 ≡ 1,
0 ⇒ 1 ≡ 1,
1 ⇒ 0 ≡ 0,
1⇒1≡1
kurallarıyla tanımlanır. Yani p ⇒ q bileşik önermesi p doğru ve q yanlış ise 0, diğer durumlarda 1 doğruluk değerine sahiptir. p ⇒ q şeklindeki bir bileşik önermede p önermesine
öncül (hipotez), q önermesine de sonuç (yargı) denir, bu önerme "p gerektirir q" diye de
okunur. Örnek olarak "Amasya bir il değil ise ben de insan değilim." önermesinin doğruluk
değeri 1, "Top yuvarlak ise Paris şehri Afrika’da bir başkenttir." önermesinin doğruluk değeri
0’dır.
"ancak ve ancak" bağlacı: p ile q önermeler olmak üzere, q ⇔ q ile gösterilen ve "p ancak ve
ancak q" olarak okunan bileşik önerme
0 ⇔ 0 ≡ 1,
0 ⇔ 1 ≡ 0,
1 ⇔ 0 ≡ 0,
1⇔1≡1
kurallarıyla tanımlanır. Yani p ⇔ q önermesi p ile q aynı doğruluk değerine sahip ise 1, diğer
durumda da 0 doğruluk değerindedir. Bu önermeye bazen iki yönlü gerektirme de denir ve
sıklıkla p ⇔ q önermesi "p olması için gerek ve yeter koşul q olmasıdır" şeklinde okunur.
Örnek olarak "2’nin bir tek tam sayı olması için gerek ve yeter koşul dünyadaki tüm atların
beyaz olmasıdır" önermesinin doğruluk değeri 1’dir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3
1.1. Önermeler Cebiri ve İspat Yöntemleri
Bileşik önermelerin doğruluk değerleri gösterilirken aşağıdaki gibi bir tablo kullanmak adet
olmuştur, bu tablolara doğruluk değeri tablosu denir.
p
q
p∧q
p
q
p∨q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Bu iki tabloyu da içeren aşağıdaki gibi daha geniş tablolar tasarlanabilir.
p
q
p∧q
q∨q
p⇒q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
p, q ve r önermeler olmak üzere, ilgili bağlaçların tanımları kullanılarak aşağıdakilerin sağlandığı gösterilebilir:
(i) p ∧ p ≡ p,
p ∨ p ≡ p,
(vi) p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ),
(ii) p ∧ 1 ≡ p,
p ∨ 1 ≡ 1,
(vii) (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ),
(iii) p ∧ 0 ≡ 0,
p ∨ 0 ≡ p,
(viii) p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ),
(iv) p ∧ q ≡ q ∧ p,
(ix) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ),
p ∨ q ≡ q ∨ p,
(x) p ⇔ q ≡ q ⇔ p,
(v) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r ),
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r ),
(xi) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
Yukarıda verilen 11 özelliğin sağlandığını görmek için bir doğruluk değeri tablsou oluşturulabilir, örneğin p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) denkliğinin sağlandığı aşağıdaki tablodan görülebilir:
p
q
r
q∨r
p∧q
p∧r
p ∧ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
Daha farklı bileşik önermelerin doğruluk değerleri veya denklikleri yukarıdaki 11 özellik yardımıyla tablo kullanmadan da elde edilebilir. Örneğin p ⇒ (q ⇒ r ) ≡ (p ∧ q) ⇒ r olduğu aşağıdaki
şekilde gösterilebilir:
p ⇒ (q ⇒ r )
≡
p 0 ∨ (q 0 ∨ r )
≡
(p 0 ∨ q 0 ) ∨ r
≡
(p ∧ q)0 ∨ r
≡
(p ∧ q) ⇒ r.
4
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Bir p önermesinin yargısının tersi olan yargıyı ifade eden önermeye p önermesinin değili yada
olumsuzu denir ve bu önerme p 0 ile gösterilir. Bir önermenin değili alındığında doğruluk değeri
değişir fakat doğruluk değeri farklı olan her önerme birbirinin değili değildir, yani önermelerin
değili kavramı sadece doğruluk değerleri değil anlamlarıyla da ilgilidir. Örneğin "Bir yıl 12 aydır"
şeklindeki p önermesinin doğruluk değeri 1 ve bunun değili olan "Bir yıl 12 ay değildir" şeklindeki
p 0 önermesinin doğruluk değeri 0’dır, fakat doğruluk değeri 0 olan "Bir yıl 11 aydır" şeklindeki
başka bir q önermesi p önermesinin değili değildir.
p ve q önermeleri için aşağıdakilerin sağlandığı gösterilebilir:
(i) (p 0 )0 ≡ p,
(ii) p ∧ p 0 ≡ 0,
(iv) p ⇒ q ≡ q 0 ⇒ p 0 ,
p ∨ p 0 ≡ 1,
(iii) (p ∧ q)0 ≡ p 0 ∨ q 0 , (p ∨ q)0 ≡ p 0 ∧ q 0 ,
(v) p ⇒ q ≡ p 0 ∨ q,
(vi) p ⇔ q ≡ p 0 ⇔ q 0 .
Birkaç kez bazı bileşik önermelerin daima doğru bazı bileşik önermelerin ise daima yanlış olduğunu gördük. Bileşenlerin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak daima 1 doğruluk değerini
alan bileşik önermelere totoloji, daima 0 doğruluk değeri alan bileşik önermelere ise çelişki denir.
Sıklıkla içinde en az bir bilinmeyen değişken bulunduran ve doğruluk değeri bu bilinmeyen değişkenin alacağı değere göre değişebilen önermelerle karşılaşırız, böyle önermelere açık
önerme veya önerme fonksiyonu denir. Bir x bilinmeyenini içeren p açık önermesi p(x) ile gösterilir. Örneğin "x bir bitkidir" olarak ifade edilen p(x) açık önermesi için p(karanfil) önermesinin
doğruluk değeri 1 ve p(fil) önermesinin doğruluk değeri 0’dır.
Bir yargıyı tam olarak sembolize etmek için önermelerin ve bağlaçların yanısıra niceleyiciler
denlien başka kavramlara da ihtiyaç duyarız. İki temel niceleyici vardır, bunlardan biri evrensel
niceleyici olarak adlandırılan ve ∀ ile gösterilen niceleyicidir, bu niceleyici "her" olarak okunur.
Diğer niceleyici ise evrensel niceleyicinin tersidir ve varlıksal niceleyici olarak adlandırılır, ∃ ile
gösterilir. Varlıksal niceleyici "vardır", "bazı" veya "en az bir" olarak okunur. Örneğin p(x) açık
önermesini x > 0 olarak tanımlarsak "Her doğal sayı 0’dan büyüktür." önermesini ∀x ∈ N, p(x)
olarak sembolize ederiz. Önermenin değili ise "0’dan küçük veya eşit olan en az bir doğal sayı
vardır." önermesidir ve bu önerme de ∃x ∈ N, p 0 (x) olarak sembolize edilir, çünkü p 0 (x) önermesi
x ≤ 0 şeklindedir.
Şimdi artık doğru veya yanlış bir yargı bildiren bir cümlenin sembolik olarak nasıl ifade edileceğini yüzeysel olarak öğrendik. Bu konu matematikte önermeler cebiri başlığı altında incelenir.
İspat yöntemleri
Matematikte doğruluk değeri 1 olan önermelere (totolojilere) teorem deriz. Teoremlerin tamamı
p ⇒ q şeklinde bileşik önermeler olarak ifade edilebilir. Yani bir ifadeye teorem diyebilmemiz için
önermenin doğruluk değerinin 1 olduğunu göstermeliyiz, bu işleme de teoremin ispatı diyoruz.
Şimdi temel ispat tekniklerini özetleyelim.
1. Doğrudan ispat: p ⇒ q önermesinin doğrudan ispatı, p önermesinin özellikleri kullanılarak q önermesinin elde edilmesi işlemidir. Örneğin
Teorem.
Ardışık iki tamsayının toplamı bir tek tamsayıdır.
ifadesinin doğrudan ispatını yapalım. p(x, y) açık önermesini y = x + 1 olarak, q(x, y) açık
önermesini de ∃k ∈ Z, x + y = 2k + 1 olarak tanımlarsak teoremin ifadesi p ⇒ q şeklinde
olduğuna dikkat edin.
İspat y = x + 1 olduğundan x + y = x + x + 1 = 2x + 1 olur. x ∈ Z olduğundan q(x, y) önermesinin sağlandığı sonucu elde edilmiş olur.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
5
1.1. Önermeler Cebiri ve İspat Yöntemleri
2. Dolaylı ispat: Daha önceden
p ⇒ q ≡ q0 ⇒ p0
denkliğini biliyoruz. Yani p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri ile q 0 ⇒ p 0 önermesinin doğruluk değeri aynıdır, dolayısıyla q 0 ⇒ p 0 önermesi ispatlanırsa p ⇒ q önermesi de ispatlanmış olur. Bu şekilde yapılan ispata dolaylı ispat denir. Yukarıdaki teoremin ispatını bu yolla
yapalım, yani "İki tamsayının toplamı bir tek tamsayı değilse bu sayılar ardışık tamsayılar
değildir." önermesini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayalım.
İspat x ve y tamsayılarının toplamı bir tek tamsayı değilse x + y = 2k + 1 eşitliğini sağlayacak bir k ∈ Z sayısı yoktur, yani x + y = k + (k + 1) eşitliği hiçbir k tamsayısı için sağlanmaz,
dolayısıyla x ve y ardışık tamsayılar olamaz.
■
3. Olmayana ergi yöntemi: p ⇒ q ≡ q 0 ⇒ p 0 olduğundan p ⇒ q ≡ 1 olması demek q 0 ⇒ p 0 ≡ 1
olması demektir. Bu durumda, koşullu önerme bağlacının tanımı gereği, eğer q 0 ≡ 1 oluyorsa q 0 ⇒ p 0 ≡ 1 olması için muhakkak p 0 ≡ 1, yani p ≡ 0 olmalıdır. Dolayısıyla q önermesinin değilini doğru kabul ederek p önermesinin doğru olamayacağı sonucu elde ediliyorsa
p ⇒ q önermesi ispatlanmış olur. Genellikle p önermesiyle çelişen bir sonuca ulaşılır. Bu
ispat yöntemine olmayana ergi yöntemi denir. Şimdi yukarıdaki teoremi bu yöntemle ispatlayalım.
İspat x ve y tamsayılarının toplamı tek olmasın, bu durumda x + y = 2k + 1 eşitliği sağlanacak şekilde bir k tamsayısı yoktur. Fakat bu durum x ve y ardışık olmasıyla yani x + y =
x + x + 1 = 2x + 1 olmasıyla çelişir.
■
Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için elbette doğruluk değerinin 0 olduğunu veya
değilinin doğruluk değerinin 1 olduğunu göstermeliyiz. Bu önerme öncülünde evrensel niceleyici bulunduruyorsa bu iş oldukça kolaydır, sonuç önermesinin değilinin doğru olduğu bir örnek
göstermek yetecektir. Yani "Her kuş yumurtlar" önermesinin yanlış olduğunu göstermek için yumurtlamayan bir kuşun örnek olarak gösterilmesi yeterlidir. Bu yönteme aksine örnek gösterme
yöntemi denir.
Bunlar dışında başka ispat yöntemleri de vardır, bunlardan en önemlileri tümevarımla ispat
yöntemidir. Bu yöntem isminin aksine tümdengelimsel (dedüktif) bir yöntemdir, zaten bir ispat
endüktif olamaz. Tümevarım yöntemi doğal sayıların özelliklerinin bir sonucudur, daha sonra
detaylı olarak inceleyeceğiz.
Alıştırmalar 1.1
1. Aşağıdaki önermeleri sembolik olarak ifade edip değillerini bulun.
a) Çalışırsam başarırım.
b) Çalışırsam para ve ün kazanırım.
c) Eve erken gelirsem yatarım fakat dinlenemem.
2. x = 5 ⇔ x 2 = 25 önermesinin doğruluk değerini bulun.
3. p, q, r ve s önermeler olmak üzere
£
¤ £
¤
(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ⇒ (p ∨ r ) ⇒ (q ⇒ s)
önermesinin doğruluk değeri tablosunu oluşturun.
4. A, B ve C olarak adlandırılan üç öğrenci için aşağıdakilerin doğru olduğu biliniyor:
(i) A sınıfı geçmişse B bütünlemeye kalmıştır.
(ii) A bütünlemeye kalmışsa B sınıfta kalmıştır.
(iii) B sınıfı geçmişse C bütünlemeye kalmıştır.
6
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Ayrıca bu üç öğrenciden birinin sınıfı geçtiğini, birinin bütünlemeye kaldığını birinin de sınıfta kaldığı biliniyor. Buna göre hangi öğrenci sınıfı geçmiş, hangisi bütünlemeye kalmış ve hangisi sınıfta
kalmıştır?
5. m, n ∈ N olmak üzere "m veya n çift ise mn çifttir." teoremini farklı ispat yöntemleri kullanarak kanıtlayın.
6. Sonsuz sayıda asal sayı vardır, kanıtlayın.
1.2 Küme, Fonksiyon, İşlem
Küme kavramı
Kümeler teorisi matematiğin tümü için en temel kavramdır, her matematiksel model eninde sonunda küme kavramına dayanır. Bu teori 1870’lerde G. Cantor ve R. dedekind’in çalışmaları ile
inşa edilmeye başlanmıştır. Bir küme ile belirli bazı nesnelerin bir topluluğunu kastedeceğiz. Aksiyomatik olarak detaylandırmayacağımız bu küme kavramını sadece sezgisel olarak ele alıp bazı
temel özelliklerini inceleyeceğiz.
Eğer bir x nesnesi bir A kümesinde ise x ∈ A yazarız ve x nesnesi A kümesinin bir elemanıdır
deriz. Tersine, bir x nesnesi bir A kümesinin bir elemanı değilse x 6∈ A yazarız. Yani bir nesne
(küme de olabilen) ve bir küme için şu durumlardan sadece bir tanesi geçerli olmalıdır: x ∈ A veya
x 6∈ A. Kümeler genellikle A, B,C gibi büyük harflerle, elemanları ise genellikle x, y, z gibi küçük
harflerle adlandırılırlar. Kümeler tüm elemanlarının açık olarak yazıldığı liste veya diyagramlarla
gösterilebildiği gibi tüm elemanları için geçerli olan bir ortak özellik belirtilerek de gösterilebilir
(bkz: şekil 1.1).
©
ª
Şekil 1.1: A = {a, b, c} kümesinin bir diyagram yardımıyla gösterimi. Bu küme A = alfabenin ilk üç harfi
şeklinde elemanlarının ortak bir özelliği belirtilerek de gösterilebilir.
Bir kümenin elemanları yine kümeler olabilir, hatta kümenin kendisi bile kendinin bir elemanı
olabilir. Fakat kendi kendinin elemanı olan kümeler pek hoşumuza gitmez. Böyle kümelerin varlığının sebep olduğu sıkıntıyı (köy berberinin dramı, veya Russel paradoksu) görmek için şu soruya
cevap aramak yeterlidir: "Kendi kendinin elemanı olmayan tüm kümelerin kümesi kendi kendinin elemanı mıdır?" Bu gibi paradokslar sonrası kümeler teorisi bu mantık hatalarından kurtarılmak üzere yeniden ele alındı ve sezgisel olmayan, tamamen aksiyomatik bir yapıya sokulmaya
çalışıldı. Günümüzde birden fazla aksiyomatik kümeler kuramı inşa edilmiştir, en çok kabul göreni kısaca ZFC olarak yazılan Zermelo-Fraenkel Choice kuramıdır.
Bu metin boyunca bazı özel kümeler için standart semboller kullanılacaktır. Bu kümeler
(i) Doğal sayılar kümesi N := {1, 2, 3, . . .},
(ii) Tamsayılar kümesi Z := {0, 1, −1, 2, −2, . . .},
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
7
1.2. Küme, Fonksiyon, İşlem
Şekil 1.2: A ∪ B , A ∩ B ve A\B kümeleri
(iii) Rasyonel sayılar kümesi Q := {m/n : m, n ∈ Z ve n 6= 0},
(iv) Reel sayılar kümesi R.
Bu kümelerden doğal sayılar kümesinin bazı özelliklerine bu bölümde değineceğiz. Reel sayılar
kümesi ise bizim için çok önemlidir ve sonraki bölümde detaylı olarak incelenecektir.
Bir A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda bir başka B kümesinin de elemanı ise A kümesi
B kümesinin bir alt kümesidir denir ve A ⊆ B veya B ⊇ A yazılır (Bu kümelerin en az bir farklı
elemanı varsa alt küme yerine öz alt küme terimi kullanılır ve ⊆ ile ⊇ yerine ⊂ ile ⊃ sembolleri
kullanılır). Aynı elemanları içeren A ve B kümeleri eşit kümeler olarak tanımlanır ve bu durum
A = B olarak ifade edilir. A = B olması için gerek ve yeter koşul A ⊆ B ve B ⊆ A olmasıdır.
Eğer A ve B iki küme ise bu iki kümenin kesişimi, hem A’nın hem de B ’nin elemanı olan nesnelerin oluşturduğu küme olarak tanımlanır ve A ∩ B ile gösterilir. A’nın veya B ’nin elemanı olan
nesnelerin oluşturduğu kümeye de bu iki kümenin birleşimi denir ve bu küme A ∪ B ile gösterilir.
A kümesinin elemanı olup B kümesinin elelmanı olmayan nesnelerin oluşturdğu kümeye de A
ile B kümelerinin farkı denir ve A\B ile gösterilir (Şekil 1.2’e bakın). Yani
A ∩ B := {x : x ∈ A ve x ∈ B } ,
©
ª
A ∪ B := x : x ∈ A veya x ∈ B ,
A\B := {x : x ∈ A ve x 6∈ B }
olarak tanımlanır (:= sembolü ile soldaki kavramın sağdaki gibi tanımlandığını belirtiyoruz).
İki kümenin kesişiminin, birleşiminin ve farkının herşeyden önce bir küme olmasını isteriz, bu
nedenle hiç elemanı olmayan bir kümenin var olması gerekir, bu küme boş küme olarak adlandırılır ve ; sembolü ile gösterilir. Hiçbir elemanı olmayan tek bir kümenin var olduğu ispatlanabilir,
yani ; kümesi biriciktir. A ve B kümelerinin hiç ortak elemanı yoksa A∩B = ; olur ve böyle kümelere ayrık kümeler denir. Bu tanımlardan yola çıkarak kümelerin bazı özelliklerini keşfedebiliriz,
örneğin herhangi A, B ve C kümeleri için aşağıdakilerin (ve daha birçok önermenin) doğruluğu
sadece bu tanımlar kullanılarak gösterilebilir:
(a) A ∩ A = A
ve
(b) A ∩ B = B ∩ A
A ∪ A = A,
ve
A ∪ B = B ∪ A,
(c) (A ∩ B ) ∩C = A ∩ (B ∩C )
ve
(d) A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩C )
(e) A\(B ∩C ) = (A\B ) ∪ (A\C )
ve
(A ∪ B ) ∪C = A ∪ (B ∪C ),
ve
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C ),
A\(B ∪C ) = (A\B ) ∩ (A\C ).
8
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Örnek olarak (e) maddesinde verilen ikinci önermeyi kanıtlayalım. Bunun için A\(B ∪ C ) kümesinin her elemanının, aynı zamanda hem A\B hem de A\C kümesinin elemanı olduğunu göstermeliyiz. x ∈ A\(B ∪C ) ise x ∈ A ve x 6∈ B ∪C dir. Yani x nesnesi A kümesinin bir elemanıdır fakat
B ve C kümeleri tarafından içerilmez, yani x hem A\B hem de A\C kümesinin elemanıdır. Diğer
önermeler de benzer şekilde kanıtlanabilir.
(c) özelliği sayesinde herhangi üç kümenin kesişimini (veya birleşimini) hesaplarken sıranın
önemli olmadığını biliyoruz, bunun için bu üç kümenin kesişimini (veya birleşimini) gösterirken parantezleri kullanmayız, yani bunları A ∩ B ∩ C (veya A ∪ B ∪ C ) olarak ifade ederiz. Ayrıca
gösterilebilir ki, eğer A 1 , A 2 , . . . , A n kümeler ise, bu kümelerin hepsi tarafından içerilen elemanlardan oluşan tek bir küme vardır. Benzer şekilde bu kümelerden en az biri tarafından içerilen
elemanların oluşturduğu da tek bir küme vardır. Yani n tane kümenin kesişimini veya birleşimini
hesaplarken de sıranın önemi yoktur. Bu kümeler sırasıyla
n
\
A j := A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n
j =1
ve
n
[
A j := A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n
j =1
olarak gösterilir. Bu durum sonsuz sayıda küme için de doğrudur, yani
∞
\
©
ª
A j := x : her n ∈ N için x ∈ A n
j =1
ve
n
[
©
ª
A j := x : bazı n ∈ N için x ∈ A n
j =1
olarak yazılabilir.
Bağıntı, fonksiyon, işlem
A ve B herhangi iki boştan farklı küme ise
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B }
olarak tanımlanan A × B kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir. Bir kartezyen
çarpım kümesinin elemanları olan (a, b) nesnelerine sıralı ikili denir. Sıralı ikililerin temel özelliği
şudur:
için gerek ve yeter koşul a 1 = a 2 ve b 1 = b 2 olmasıdır. Örneğin
ª
© (a 1 , b 1 ) = (a 2 , b 2 ) olması
A = x ∈ N : x 2 − 3x + 2 = 0 ve B = {0, 1} kümelerinin kartezyen çarpımı
A × B = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}
kümesidir.
A × B kümesinin herhangi bir alt kümesine A’dan B ’ye tanımlı bir bağıntı denir ve böyle bir
bağıntı (bağıntının ismi β olsun) β : A → B ile gösterilir. Örneğin az önce tanımladığımız A ve B
kümeleri için
β1
=
{(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}
β2
=
{(1, 0), (2, 0), (2, 1)}
β3
=
{(1, 0), (2, 1)}
β4
=
{(1, 1), (2, 0)}
β5
=
{(1, 0), (2, 0)}
alt kümeleri birer bağıntıdır.
Bazı önemli bağıntı çeşitlerine değinelim. Önce aşağıdaki tanımları yapalım, A ⊆ B olmak
üzere A’dan B ’ye tanımlı bir β bağıntısına
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
9
1.2. Küme, Fonksiyon, İşlem
1. Her x ∈ A için (x, x) ∈ β oluyorsa yansıyan bağıntı,
2. (x, y) ∈ β ise (y, x) ∈ β oluyorsa simetrik bağıntı,
3. (x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β ise x = y oluyorsa ters simetrik bağıntı,
4. (x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β ise (x, z) ∈ β oluyorsa geçişmeli bağıntı,
5. x, y ∈ A ise (x, y) ∈ β veya (y, x) ∈ β oluyorsa örgün bağıntı
denir. Yansıyan, simetrik ve geçişmeli bağıntılara denklik bağıntısı; yansıyan, ters simetrik ve geçişmeli bağıntılara kısmi sıralama bağıntısı; ve örgün kısmi sıralama bağıntılarına tam sıralama
bağıntısı denir.
©
ª
Şekil 1.3: β = (x, y) : x, y ∈ R, x < y bağıntısının grafiği. R kümesini tanıdıktan sonra bu grafiğin anlamını
daha iyi anlayabileceğiz.
A’dan B ’ye tanımlı bir bağıntı aslında A kümesinin bazı elemanlarını B kümesinin bazı elemanlarıyla eşleştiren bir kural gibi görülebilir. Bir bağıntı eğer A kümesinin her elemanını B kümesinin tek bir elemanıyla eşliyorsa bu bağıntıya A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon denir ve böyle bir fonksiyon (ismi f olsun) f : A → B ile gösterilir. Bir fonksiyon A’nın her
elamanına B ’nin yalnız bir elemanını karşılık getiren bir kuraldır, f fonksiyonunun bir a ∈ A elamanına karşılık getirdiği eleman b ∈ B ise bu durum f (a) = b ile gösterilir. Her a ∈ A için tek bir
f (a) = b ∈ B var olduğundan bir fonksiyon her a ∈ A için geçerli olan f (a) kuralı ile belirtilebilir.
Bu durumda bir f : A → B fonksiyonu a → f (a) veya yalnızca f (a) ile gösterilebilir. Bir f fonksiyonunu göstermenin başka bir yolu da sıralı ikililerini kartezyen koordinat sisteminde işaretlemektir, bu gösterime f fonksiyonunun grafiği denir (Şekil 1.4’ye bakın). Bağıntılar da grafikler
yardımıyla gösterilirler, örnek olarak Şekil 1.3’yi inceleyiniz. Bir f : A → B fonksiyonunu oluşturan
sıralı ikililerin ilk öğelerinin kümesi olan A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi denir ve bu
küme genellikle D( f ) ile gösterilir. Bu sıralı ikililerin ikinci öğelerinin oluşturduğu kümeye de f
fonksiyonunun değer kümesi denir ve bu küme genellikle R( f ) ile gösterilir (R( f ) ⊆ B olduğuna
dikkat edin).
Örnek olarak yukarıda sıralanan bağıntılardan β1 ve β2 fonksiyon değildir fakat β3 , β4 ve β5
birer fonksiyondur. Üçünün de tanım kümesi A ve değer kümesi B ’dir. Bu bağıntılar yukarıda yaptığımız gibi tüm sıralı ikilileri sıralanarak gösterilebildiği gibi, bu ikililerin tanımladığı eşleşmeleri
tarif eden herhangi bir kural belirtilerek de gösterilebilir. Örneğin β3 fonksiyonu
β3 : A → B
:
©
ª
β3 = (x, y) : x ∈ A, y = 1 + x
β3 : A → B
:
x → (1 + x)
β3 : A → B
:
β3 (x) = 1 + x
10
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Şekil 1.4: Bir f fonksiyonunun grafiği
şeklinde gösterilebilir. Benzer şekilde β4 ve β5 fonksiyonları da sıralı ikililerinin sağladığı β4 (x) =
2 − x ve β5 (x) = 0 eşitlikleri yardımıyla gösterilebilir.
f ve g iki fonksiyon ise bunların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü olarak adlandırılan ve
D( f ) ∩ D(G) kümesinde tanımlı olan f + g , f − g , f g ve f /g fonksiyonları
( f + g )(x)
:=
f (x) + g (x),
( f − g )(x)
:=
f (x) − g (x),
( f g )(x)
:=
f (x)g (x),
( f /g )(x)
:=
f (x)/g (x),
g (x) 6= 0
olarak tanımlanır. Elbette bu tanımların anlamlı olabilmesi için bu işlemlerin sıralı ikililer üzerinde tanımlı olması gerekir. İşlem kavramını ve bu işlemlerin özelliklerini daha sonra inceleyeceğiz, ama şimdilik (a 1 , b 1 ) ve (a 2 , b 2 ) sıralı ikililerinin toplamının (a 1 , b 1 )+(a 2 , b 2 ) = (a 1 +a 2 , b 1 +b 2 )
olarak, diğer işlemlerin de benzer şekilde tanımlandığını söylemekle yetinelim.
f fonksiyonu D( f ) ⊆ A kümesinden R( f ) ⊆ B kümesine, g fonksiyonu da D(g ) ⊆ B kümesinden R(g ) ⊆ C kümesine tanımlı olsun. Bu durumda aşağıdaki bağıntının bir fonksiyon olduğu
gösterilebilir:
©
g ◦ f := (a, c) ∈ A ×C : (a, b) ∈ f ve (b, c) ∈ g olacak
ª
şekilde bir b ∈ B vardır .
Bu fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşkesi denir ( f ◦ g ile g ◦ f fonksiyonlarının aynı olmadığına dikkat edin). g ◦ f fonksiyonu için
D(g ◦ f )
=
R(g ◦ f )
=
©
ª
x ∈ D( f ) : f (x) ∈ D(g ) ,
© ¡
¢
ª
g f (x) : x ∈ D(g ◦ f )
oldukları gösterilebilir (Şekil 1.5’ya bakın).
¡
¢
Ayrıca bu tanım ve değer kümesi için g ◦ f fonksiyonunun kuralının
p (g ◦ f )(x) = g f (x) olduğu
da gösterilebilir. Örneğin D( f ) = {x ∈ R : x ≥ 1} olmak üzere f (x) = x − 1 olsun. g fonksiyonu da
D(g ) = R olmak üzere g (x) = x 2 − 3 olarak tanımlansın. Bu durumda D(g ◦ f ) = {x ∈ R : x ≥ 1} ve
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
11
1.2. Küme, Fonksiyon, İşlem
Şekil 1.5: İki fonksiyonun bileşkesi
(g ◦ f )(x) = x − 4 olur. Bu formülün g ◦ f fonksiyonunun tanım kümesi dışında da anlamlı olduğuna dikkat edin. Bu örnekte daha tanımlamadığımız bazı kavramlar kullandık (R kümesinin
elemanları ve ≥ bağıntısı gibi), bunlar daha sonra tanımlanacak ve incelencek, şimdilik okurun
bu konudaki geçmiş bilgisine güveniyoruz.
Bir f fonksiyonu için (a, b) ∈ f ve (a 0 , b) ∈ f olması a = a 0 olmasını gerektiriyorsa bu f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Başka bir deyişle, bir f fonksiyonunun bire bir olması için gerek
ve yeter koşul f (a) = f (a 0 ) = b olmasının a = a 0 olmasını gerektirmesidir. Alternatif olarak, bir f
fonksiyonunun bire bir olması için gerek yeter koşul a, a 0 ∈ D( f ) için a 6= a 0 olmasının f (a) 6= f (a 0 )
olmasını gerektirmesidir. p ve q önermeler olmak üzere p ⇒ q ≡ q 0 ⇒ p 0 denkliğini hatırlayınız
(Bölüm 1.1). Ayrıca bir f : A → B fonksiyonu için R( f ) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon
denir. Başka bir deyişle bir f fonksiyonunun örten olması için gerek ve yeter koşul her b ∈ B için
f (a) = b olacak şekilde en az bir a ∈ A elemanının var olmasıdır.
Eğer f : D( f ) → R( f ) bire bir ve örten fonksiyon ise
©
ª
g = (b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f
bağıntısının da bire bir ve örten bir fonksiyon olduğu gösterilebilir. ©Bu g : R( f ) →ªD( f ) fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir ve f −1 ile gösterilir. Örneğin f = (x, x 2 ) : x ∈ R fonksiyonunu
ele alalım. Hem (−1, 1) ∈ f hem de (1, 1) ∈ f olduğundan f fonksiyonu bire bir değildir ve tersi de
yoktur. Fakat D(g ) = {x ∈ R : x ≥ 0} ile birlikte g (x) = x 2 fonksiyonunun bire bir olduğu gösterilebilir ve bu fonksiyonun tersi vardır. Bu ters fonksiyon genellikle pozitif
© kare kök fonksiyonu
ª olarak
p
adlandırılır ve g −1 (x) = x olarak gösterilir. Dikkat edilirse f ve g = (x, x 2 ) : x ∈ R, x ≥ 0 fonksiyonlarının kuralları aynı olup tanım kümeleri farklıdır, D(g ) ⊂ D( f ) dir. Bu şekilde tanımlanan g
fonksiyonuna f fonksiyonunun bir kısıtlanması denir.
Şimdi D( f ) ⊆ A ve R( f ) ⊆ B olmak üzere keyfi bir f fonksiyonunu ele alalım. Bir E ⊆ A kümesinin f fonksiyonu altındaki görüntüsü
©
f (x) : x ∈ E ∩ D( f )
ª
olarak tanımlanır ve genellikle f (E ) ile gösterilir (bkz Şekil 1.6).
Benzer şekilde eğer H ⊆ B ise
©
ª
x : f (x) ∈ H
12
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Şekil 1.6: Görüntü ve ters görüntü
kümesine H kümesinin f fonksiyonu altındaki ters görüntüsü denir ve genellikle f −1 (H ) ile gösterilir (bkz Şekil 1.6). Burada f fonksiyonunun bire bir olması gerekmediğine, dolayısıyla bir tersinin var olmasının gerekmediğine dikkat ediniz. Fakat şu ispatlanabilir: f fonksiyonu bire bir ise H
fonksiyonun f fonksiyonu altındaki ters görüntüsü ile f −1 fonksiyonu altındaki görüntüsü çakışır.
E , F ⊆ D( f ) ve G, H ⊆ R( f ) kabul ederek okuyucu aşağıdakileri ispatlayabilir
1. E ⊆ F ise f (E ) ⊆ f (F ) dir,
5. G ⊆ H ise f −1 (G) ⊆ f −1 (H ),
2. f (E ∩ F ) ⊆ f (E ) ∩ f (F ),
6. f −1 (H ∩G) = f −1 (G) ∩ f −1 (H ),
3. f (E ∪ F ) = f (E ) ∪ f (F ),
7. f −1 (H ∪G) = f −1 (G) ∪ f −1 (H ),
4. f (E \F ) ⊆ f (E ),
8. f −1 (H \G) = f −1 (G)\ f −1 (H ).
A 6= ; ve A ⊆ B olmak üzere
f : A×A →B
şeklinde tanımlanan her fonksiyona A kümesinde tanımlı bir ikili işlem denir (kısaca işlem diyeceğiz). İşlemler fonksiyonlar gibi küçük harflerle değil genelde •, 4, ⊗, ⊕, ∗, ? gibi sembollerle
gösterilir. Ayrıca bir ∗ : A × A → B işlemi için a 1 , a 2 ∈ A ve b ∈ B olmak üzere ∗(a 1 , a 2 ) = b ise bu
durum genelde
a1 ∗ a2 = b
olarak gösterilir. İşlemlere en basit örnek sayı kümelerinde kullandığımız ve +, −, ×, ÷ sembolleriyle gösterdiğimiz toplama, çıkarma, çarpma ve bölme fonksiyonlardır. Aşağıdaki tanımlar bu
işlemlerden dolayı okuyucuya oldukça tanıdık gelecektir.
Sayı kümelerinde tanımlanan işlemler genellikle bilinen başka işlemler yardımıyla verilir. Örneğin Z tamsayılar kümesinde bir ∗ işlemi her a 1 , a 2 ∈ Z için
a1 ∗ a2 = a1 + a2 − a1 a2
şeklinde tanımlanabilir. Daha genel kümelerde işlem tanımlanırken sıklıkla aşağıdaki gibi bir tablo
kullnılır:
•
a1
a2
a3
a4
a1
a1
a2
a3
a4
a2
a2
a1
a4
a3
a3
a3
a4
a2
a1
a4
a4
a3
a1
a2
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
13
1.2. Küme, Fonksiyon, İşlem
Bu tabloda A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } kümesi üzerinde tanımlanan • işlemi gösterilmektedir.
Bir A kümesinde tanımlı ∗ işleminin görüntü kümesi A ise, yani
∗: A×A → A
ise A kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır denir. Bu durumda her a 1 , a 2 ∈ A için a 1 ∗ a 2 ∈ A olur. Eğer
her a 1 , a 2 ∈ A için
a1 ∗ a2 = a2 ∗ a1
eşitliği sağlanıyorsa ∗ işlemine bir değişmeli işlem denir. Eğer her a 1 , a 2 , a 3 ∈ A için
a 1 ∗ (a 2 ∗ a 3 ) = (a 1 ∗ a 2 ) ∗ a 3
oluyorsa ∗ işlemine birleşmeli işlem denir. A kümesinde tanımlı bir ∗ işlem ise, her a ∈ A için
a ∗e = e ∗a = a
eşitlikleri sağlanacak şekilde bir e ∈ A elemanı varsa bu e elemanına ∗ işleminin birim elemanı
(kısaca birimi) denir. A kümesinde tanımlı ∗ işleminin birimi e olmak üzere, her a ∈ A için
a ∗ xa = xa ∗ a = e
eşitlikleri sağlanacak şekilde x a elemanı varsa bu x a elemanına ∗ işlemine göre a elemanının tersi
denir ve bu eleman x a = x −1 ile gösterilir. ∗ ve • işlemleri bir A kümesinde tanımlı olmak üzere
her a 1 , a 2 , a 3 ∈ A için
a 1 ∗ (a 2 • a 3 ) = (a 1 ∗ a 2 ) • (a 1 ∗ a 3 )
eşitliği sağlanıyorsa ∗ işleminin • işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır denir. Benzer şekilde eğer a 1 , a 2 , a 3 ∈ A için
(a 1 • a 2 ) ∗ a 3 = (a 1 ∗ a 3 ) • (a 2 • a 3 )
eşitliği sağlanıyorsa ∗ işleminin • işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır denir. Hem sağdan
hem soldan dağılma özelliği varsa ∗ işleminin • işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.
Üzerinde ikili işlem tanımlanmış boştan farklı kümelere cebirsel yapı deriz, eğer A kümesi üzerinde bir ∗ işlemi tanımlanmış ise bu cebirsel yapı (A, ∗) ile gösterilir. Örneğin klasik toplama ve
çarpma işlemleri için (Z, +) ve (R, +, ·) birer cebirsel yapıdır.
Alıştırmalar 1.2
1. Boş kümede her önerme hem doğrudur hem yanlıştır, açıklayın. (örneğin "sekiz basamaklı çift asalların rakamları toplamının 7 ile bölümünden kalan 3’tür" önermesinin doğru olduğu kanıtlanabilir,
yanlış olduğu da!)
2. A ⊆ B olması için gerek ve yeter koşul A ∩ B = A olmasıdır, ispatlayın.
3. A, B ve C kümeler olmak üzere aşağıdakileri ispatlayın.
a) A ∩ A = A
ve
b) A ∩ B = B ∩ A
A ∪ A = A,
ve
A ∪ B = B ∪ A,
c) (A ∩ B ) ∩C = A ∩ (B ∩C )
ve
d) A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩C )
(A ∪ B ) ∪C = A ∪ (B ∪C ),
ve
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C )
e) A\(B ∪C ) = (A\B ) ∩ (A\C ).
4. Eğer B ⊆ A ise B = A\(A\B ) olduğunu gösterin.
5. Eğer A ∩ B ve A\B ayrık kümeler ise (A ∩ B ) ∪ (A\B ) = A olduğunu gösterin.
6. Herhangi iki A ve B kümesi için A ∩ B = A\(A\B ) olduğunu gösterin.
14
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
7. A ile B kümelerinin simetrik farkı denilen D = (A\B ) ∪ (B \A) kümesinin D = (A ∪ B )\(A ∩ B ) olarak da
ifade edilebileceğini gmsterin.
8. Her n ∈ N için
A n = {(n + 1)k : k ∈ N}
olarak tanımlanan A n kümeleri için
\
An
n∈N
ve
[
An
n∈N
kümelerinin belirleyin.
9. Sıralı ikililer tamamen küme temelli olafak tanımlanabilir. Bunun bir yolu
(a, b) := {{a}, {a, b}}
olarak tanımlamaktır. Bu tanımı kullanarak
(a, b) = (c, d ) ⇔ a = c ve b = d
olduğunu kanıtlayın.
10. f : D( f ) → R( f ) bire bir ve örten fonksiyon ise
©
ª
f −1 = (b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f
bağıntısının da bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu gösterin.
11. Şu duruma bir örnek verin: "R’den R’ye tanımlı f 6= g olan f ve g fonksiyonları için f ◦g = g ◦ f olabilir".
12. Bir önceki alıştırmada verilen durum genel olarak doğru değildir. Fakat, aşağıdaki eşitliğin her iki tarafındaki fonksiyonlar tanımlı ise her zaman
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
eşitliği geçerlidir, kanıtlayın.
13. f : A → B ve g : B → C fonksiyonları bire bir ve örten ise g ◦ f : A → C fonksiyonu da bire bir ve örtendir,
kanıtlayın.
14. f : A → B ve g : B → C fonksiyonları için, eğer H ⊆ C ise
³
´
(g ◦ f )−1 (H ) = f −1 g −1 (H )
eşitliği sağlanır, kanıtlayın.
15. f bire bir ve örten ise her x ∈ D( f ) için ( f −1 ◦ f )(x) = x ve her y ∈ R( f ) için ( f ◦ f −1 )(y) = y olduğunu
gösterin.
16. f ve g fonksiyonları için E , F ⊆ D( f ) ve G, H ⊆ R( f ) olmak üzere aşağıdakilerin sağlandığını gösterin.
a) E ⊆ F ise f (E ) ⊆ f (F ) dir,
e) G ⊆ H ise f −1 (G) ⊆ f −1 (H ),
b) f (E ∩ F ) ⊆ f (E ) ∩ f (F ),
f) f −1 (H ∩G) = f −1 (G) ∩ f −1 (H ),
c) f (E ∪ F ) = f (E ) ∪ f (F ),
g) f −1 (H ∪G) = f −1 (G) ∪ f −1 (H ),
d) f (E \F ) ⊆ f (E ),
h) f −1 (H \G) = f −1 (G)\ f −1 (H ).
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
15
1.3. Doğal Sayılar ve Tümevarım
1.3 Doğal Sayılar ve Tümevarım
Doğal sayılar kümesini tanımlamanın birden fazla yolu vardır. Bir yolu kümelerin aksiyomatik yapısından yola çıkarak yani sadece kümelere ait aksiyomları kullanarak doğal sayılar kümesini elde
etmektir, Bu yolla doğal sayılar kümesi en küçük tümevarımsal küme olarak tanımlanır. Tümevarımsal küme ise yan tarafta Peano’nun 5. postulatında bahsedilen alt kümedir. Diğer bir yöntem
de doğal sayıları elemanları bilinmeyen fakat aşağıdaki özellikleri sağladığı varsayılan N kümesi
olarak tanımlamaktır:
1. N kümesi boş değildir,
2. Her n ∈ N için n elemanının ardışığı denilen tek bir n 0 ∈ N elemanı vardır,
3. Farklı elemanların ardışıkları da farklıdır,
4. Hiçbir elemanın ardışığı olmayan bir n ∈ N elemanı vardır,
5. N kümesinin, tüm kendi elemanlarının ardışıklarını ve ilaveten n elemanını da içeren tek
alt kümesi kendisidir.
Bu beş özelliğe Peano postulatları denir. Her iki yöntem de aynı kümeyi tanımlar ve bu N kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. Postulatlarda bahsedilen n doğal sayısını 1 ile (Kimileri doğal
sayıları 1 ile değil 0 ile başlatır. 0’ın bir doğal sayı olup olmadığı konusunda evrensel bir kabül yoktur, çok da önemli bir sorun değildir.), n sayısının ardışığı olan n 0 sayısını da n +1 ile gösteriyoruz.
Burada doğal sayıların elde edilme yöntemlerine derinlemesine değinmeyeceğiz. Bu oldukça
geniş bir konudur. Biz burada sadece doğal sayıların çok önemli iki özelliğine değineceğiz. Bunlardan biri iyi sıralılık özelliği denilen şu özelliktir:
İyi sıralılık özelliği: Doğal sayılar kümesinin boştan farklı her alt kümesinin bir en küçük
elemanı vardır.
Bu özellik kısaca doğal sayılar kümesi iyi sıralıdır olarak ifade edilir. Diğer önemli özellik ise tümevarım ilkesi olarak adlandırılan şu özelliktir:
Tümevarım ilkesi: Bir S ⊆ N alt kümesi
(i) 1 ∈ S,
(ii) Her k ∈ N için eğer k ∈ S ise k + 1 ∈ S’dir,
özelliklerini sağlıyorsa S = N’dir. Doğal sayıları küme aksiyomları ile tanımladıysak bu aksiyomlar
yardımıyla iyi sıralılık özelliği ispatlanabilir. Bu durumda tümevarım ilkesi de iyi sıralılık özelliği
yarımıyla ispatlanır.
Eğer doğal sayıları Peano postulatlarıyla tanımladıysak, 5. postulattan tümevarım ilkesi varsayılmıştır, bu postulat kullanılarak da iyi sıralılık ilkesinin sağlandığı gösterilebilir. Yani iyi sıralılık
özelliğinden tümevarım ilkesi, tümevarım ilkesinden de iyi sıralılık özelliği elde edilebilir.
Şimdi P (n) ile n doğal sayısına bağlı bir açık önermeyi gösterelim ve
©
ª
S = n ∈ N : P (n) doğrudur
kümesini tanımlayalım. Bu S kümesi N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesidir, tümevarım ilkesinin bu kümeye uygularsak şu önemli sonucu elde ederiz: Yukarıda tanımlanan S kümesi için
(i) P (1) doğrudur,
16
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
(ii) Her k ∈ N için P (k) önermesinin doğru olması P (k +1) önermesinin doğru olmasının gerektirir,
koşulları sağlanıyorsa her n ∈ N için P (n) önermesi doğrudur.
Bu sonuç yardımıyla doğal sayılara bağlı önermeler ispatlanabilir, bu şekilde yapılan ispatlara
tümevarımla ispat denir. Bu ispat yöntemini örneklemek için her n doğal sayısı için
1+2+···+n =
n(n + 1)
2
olarak ifade edilen P (n) önermesinin doğru olduğunu ispatlayalım. a 1 +a 2 +· · ·+a n toplamı kısaca
n
X
ak
k=1
ile gösterilir. Örneğin bu örnekteki eşitlik
1+2+···+n =
n
X
k
k=1
olarak yazılır. Bu gösterimdeki Σ sembolüne toplam sembolü denir, yunan alfabesinin S harfidir
ve latin dillerinde toplam anlamına gelen sum, somme gibi sözcüklerin baş harfidir.
Her n doğal sayısı için bu önermenin doğru olduğunu ispatlamak için yukarıdaki (i) ve (ii)
koşullarının sağlandığını göstermeliyiz.
(i) n = 1 seçersek P (1) önermesi 1 = 1 halini alır ki bu da doğrudur, dolayısıyla (i) koşulu sağlanır.
(ii) Bu adımda önce n = k seçip bu durum için elde edilen P (k) önermesinin doğru olduğunu
kabul ederiz, sonra bu kabul doğrultusunda P (k + 1) önermesinin sağlandığını göstermeliyiz. Yani doğruluğunu göstermemiz gereken önerme
P (k) ⇒ P (k + 1)
önermesidir. Bu tür önermeler için ispat yöntemleri Bölüm 1.1’de öğrenmiştik, doğrudan
ispat yöntemi kullanalım. Bu durumda doğru olduğunu göstermemiz gereken önerme
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
önermesidir.
1 + 2 + . . . + k + (k + 1)
=
=
=
k(k + 1)
+ (k + 1)
2 µ
¶
k
(k + 1)
+1
2
(k + 1)(k + 2)
2
elde edilir ki bu da (ii) koşulunun sağlandığı anlamına gelir. Burada P (k) önermesinin doğru
olduğunu kabul ettiğimize dikkat edin.
Böylece P (n) önermesinin her n doğal sayısı için doğru olduğu ispatlanmış olur.
Bazı P (n) önermeleri birkaç doğal sayı için yanlış olup, n 0 belirli bir doğal sayı olmak üzere
her n ≥ n 0 doğal sayısı için doğru olabilir. Hatta n 0 ve n negatif tamsayılar bile olabilir. Böyle
önermeleri ispatlamak için de tümevarım ilkesinin bir uyarlaması vardır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
17
1.3. Doğal Sayılar ve Tümevarım
Tümevarım ilkesi (ikinci versiyon): n 0 bir tamsayı ve P (n) de her n ≥ n 0 tamsayısı için tanımlı
olan bir önerme olmak üzere
(i) P (n 0 ) doğrudur,
(ii) Her k ≥ n 0 için eğer P (k) önermesinin doğru olması P (k + 1) önermesinin doğru olmasının
gerektirir,
koşulları sağlanıyorsa her n ≥ n 0 için P (n) önermesi doğrudur.
Bu sonuç tümevarım ilkesinin birinci versiyonundan elde edilebilir. Bu sonuca göre tümevarımı 1 yerine başka bir tamsayıdan da başlatabiliriz. Örneğin
3n + 16 > 0
olarak ifade edilen P (n) önermesini ele alalım, bu önermeyi doğru yapacak en küçük tamsayı
n 0 = −5’tir, yani P (−5) doğrudur. ikinci adım için P (k) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.
Bu durumda P (k + 1) önermesi
3(k + 1) + 16
=
3k + 3 + 16
>
0+3
>
0
olduğundan doğrudur, böylece P (n) önermesinin her n ≥ −5 için doğru olduğu ispatlanmış olur.
Yine bu yöntemle
n! − 3n > 0
önermesini ele alalım. Deneme yanılma yöntemiyle n 0 = 7 olduğunu görebiliriz. Ayrıca eğer k! −
3k > 0 ise
(k + 1)!
=
k!(k + 1)
>
3k (k + 1)
>
3k 3
=
3k+1
olduğundan her n ≥ 7 için n! − 3n > 0 önermesinin doğru olduğu ispatlanmış olur.
Bazı önermeler, burada verdiğimiz örneklerin aksine, bir çok doğal sayı için doğru olduğu
halde tüm doğal sayılar için doğru olmayabilir. Örneğin
p(n) : "n 2 − n + 41 bir asal sayıdır"
önermesi n = 1, 2, . . . , 40 için doğrudur, fakat n = 41 için yanlıştır.
Tümevarım ilkesinin başka bir versiyonu da aşağıdaki gibi ifade edilir:
Tümevarım ilkesi (üçüncü versiyon): n 0 bir tamsayı ve P (n) de her n ≥ n 0 tamsayısı için doğru
olan bir önerme olmak üzere
(i) P (n 0 ) doğrudur,
(ii) P (n 0 ), P (n 0 + 1), . . . , P (k) önermelerinin doğru olması P (k + 1) önermesinin doğru
olmasının gerektirir,
koşulları sağlanıyorsa her n ≥ n 0 için P (n) önermesi doğrudur.
18
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Alıştırmalar 1.3
1. Doğal sayıların iyi sıralılık özelliğinden tümevarım ilkesini elde edin.
2. Aşağıdakileri önermelerin her n ∈ N için doğru olduğunu tümevarım ilkesini kullanarak ispatlayınız.
a) 12 + 22 + · · · + n 2 = 61 n(n + 1)(2n + 1),
b) 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = (4n 3 − n)/3,
c) 12 − 22 + 32 + · · · + (−1)n+1 n 2 = (−1)n+1 n(n + 1)/3,
d) 13 + 23 + · · · + n 3 = (1 + 2 + · + n)2 ,
n+1
e) 1 + r + r 2 + · · · + r n = 1−r
1−r , r 6= 1,
3. Her x reel sayısı ve her n doğal sayısı için
x n+1 − 1 = (x − 1)(x n + x n−1 + · · · + x + 1)
olduğunu kanıtlayın.
4. Her n = 2, 3, . . . için
p
1
1
1
1+ p + p +···+ p > n
n
3
2
eşizliğinin sağlandığını gösterin.
5. Her n = 7, 8, . . . için
1+
1 1
1 p
+ +···+ ≤ n
2 3
n
eşizliğinin sağlandığını gösterin.
6. 1 + a > 0 ve n ∈ N için (1 + a)n ≥ 1 + na olduğunu kanıtlayın.
7. Her n doğal sayısı için 2n ≤ (n + 1)! eşitsizliğini kanıtlayın.
8. n ≥ 3 ve n ∈ N için 2n > 2n + 1 olduğunu kanıtlayın.
9. n ≥ 5 ve n ∈ N için 2n − 3 ≤ 2n−2 olduğunu kanıtlayın.
10. A 1 , A 2 , . . . , A n kümeler olmak üzere tümevarım ilkesinin kullanarak aşağıdaki önermeleri ispatlayın.
a) Bu kümelerden en az birinin elamanı olan elemanların oluşturduğu tek bir küme vardır.
b) Bu kümelerin hepsinin de elamanı olan elemanların oluşturduğu tek bir küme vardır.
1.4 Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Bu bölümde kümelerin eleman sayıları kavramını tanıtacağız. Bu kavram kulağa ne kadar açık bir
kavram gibi gelse de detaylı bir inceleme gerektirir. Bizim burada çok detaylaylandıramayacağımız bu konu aksiyomatik kümeler kuramında genellikle kardinal sayılar başlığı altında incelenir.
A ve B iki küme olmak üzere, A’dan B ’ye bire bir ve örten bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa bu
iki kümeye eşgüçlü kümeler denir ve bu durum A ∼ B ile gösterilir. Kümeler arasında eşgüçlü olma
bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu gösterilebilir, yani A, B ve C kümeler ise
1. A ∼ A,
2. A ∼ B ⇔ B ∼ A,
3. A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C ,
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
19
1.4. Sonlu ve Sonsuz Kümeler
özelliklerinin sağlandığı gösterilebilir.
Şimdi bir n doğal sayısı için Nn = {1, 2, . . . , n} kümesini tanımlayalım. Boş kümenin hiç elemanı
olmayan küme olmasından dolayı eleman sayısının 0 olduğunu da hatırladıktan sonra şimdi boştan farklı bir kümenin eleman sayısı kavramını tanımlayabiliriz. S boştan farklı bir küme olmak
üzere Nn kümesinden S kümesine bire bir ve örten bir fonksiyon varsa S kümesinin n elemanı
vardır veya eleman sayısı n’dir denir.
Bire bir ve örten fonksiyonların tersleri de bire bir ve örten olduğundan şu sonuç aşikardır:
bir S kümesinin eleman sayısının n olması için gerek ve yeter koşul S’den Nn ’e tanımlı bire bir ve
örten bir fonksiyonun var olmasıdır. Ayrıca bire bir ve örten iki dönüşümün bileşkesi de bire bir
ve örten olacağından şu sonuç da ispatlanabilir: bir S 1 kümesinin n elemanlı olması için gerek ve
yeter koşul, S 1 kümesinden n elemanlı bir S 2 kümesine tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyonun
var olmasıdır.
Bu tanıma göre bir S kümesinden farklı Nn ve Nm kümelerine tanımlanan bire bir ve örten
fonksiyonlar varsa bu kümenin eleman sayısı hem n hem de m olur. Fakat sonlu kümeler için
böyle bir olasılığın mümkün olmadığı ispatlanabilir, gerçekten sonlu bir kümenin eleman sayısı
biricik bir doğal sayıdır.
n bir doğal sayı olmak üzere bir küme boş ise veya eleman sayısı n ise bu kümeye sonlu küme
denir, sonlu olmayan bir kümeye de sonsuz küme denir. Hemen akla ilk gelen soruyu cevaplayalım, doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir, gerçekten N kümesinden bir Nn kümesine bire bir
ve örten bir fonksiyon tanımlanamayacağı ispatlanabilir.
Bu tanımlar yardımıyla aşağıdaki gibi bazı temel özellikler ispatlanabilir:
1. Bir A kümesinin eleman sayısı m, bir B kümesinin eleman sayısı n ve A ∩ B = ; ise A ∪ B
kümesinin eleman sayısı m + n’dir,
2. Bir A kümesinin eleman sayısı m ve bir B ⊆ A kümesinin eleman sayısı n ise A\B kümesinin
eleman sayısı m − n’dir,
3. A kümesi sonsuz, B kümesi sonlu bir küme ise A\B kümesi sonsuz bir kümedir,
4. A kümesi sonsuz ve A ⊆ B ise B kümesi de sonsuzdur,
5. B kümesi sonlu ve A ⊆ B ise A kümesi de sonludur.
Bir S kümesi sonlu ise veya N doğal sayılar kümesinden kendisine bire bir ve örten bir fonksiyon varsa bu kümeye bir sayılabilir küme denir. Sayılabilir olmayan kümelere de sayılamaz küme
denir. Örneğin doğal sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir, gerçekten f (n) = n olarak tanımlanan
f : N → N fonksiyonu bire bir ve örtendir. Ayrıca
E = {2n : n ∈ N}
kümesi de sayılabilirdir çünkü
f : N → E : f (n) = 2n
fonksiyonu bire bir ve örtendir. Benzer şekilde O = {2n + 1; n ∈ N} kümesi de sayılabilirdir.
Aşağıdaki fonksiyon N doğal sayılar kümesinden Z tam sayılar kümesine tanımlı bire bir ve
örten bir fonksiyondur, dolayısıyla tam sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir:
½
f (n) =
n
2
n−1
− 2
,
,
n çift ise,
n tek ise.
Daha genel olarak sayılabilir iki kümenin birleşimi de sayılabilir olduğu gösterilebilir, örneğin A =
{a 1 , a 2 , a 3 , . . .} ve B = {b 1 , b 2 , b 3 , . . .} kümeleri için A ∪ B kümesi sayılabilirdir.
20
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
Sayılabilir olan kümelerin, kelime anlamında olduğu gibi, elemanlarını sayabiliriz. Örneğin
doğal sayılar kümesinin elemanlarını
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
şeklinde sonsuza dek sayabiliriz. Benzer şekilde yan tarafta tanımladığımız E ve O kümelerinin
elemanlarını da sırasıyla
2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .
ve
1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .
şeklinde sonsuza dek sayabiliriz. Z tamsayılar kümesini de
0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .
şeklinde sayabiliriz. Yan tarafta tanımlanan A ∪ B kümesi de
a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , . . .
şeklinde sayılabilir. Bir kümenin sayılabilir olup olmadığını sezgisel olarak böyle anlamaya çalışırız fakat bazı sayılabilir kümelerin sezgisel olarak saptanması pek kolay değildir.
Örneğin N × N kümesi şöyle sayılır:
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), . . .
saymanın (m, n) sıralı ikilileri için m ve m + n’ye göre artan bir sırada yapıldığına dikkat edin, bu
düzen aşağıdaki şekilde görülebilir.
Şekilde görüldüğü üzere herhangi bir (m, n) sıralı ikilisi, k = m + n − 1’inci köşegen üzerindeki
m’inci noktaya karşılık geliyor. Her köşegende k(k + 1)/2 tane nokta bulunduğundan bu (m, n)
sıralı ikilisi, sıralamada
k(k + 1)
+m
2
numaralı sırada olur. Cantor’un eşleme fonksiyonu bu şekilde elde edilmiştir.
N×N kümesinin de sayılabilir olduğu gösterilebilir, daha da genel olarak A sayılabilir bir küme
olmak üzere k = 1, 2, . . . , n için a k ∈ A elemanlarının oluşturduğu (a 1 , a 2 , . . . , a n ) sıralı n-lilerinin
kümesinin sayılabilir olduğu ispatlanabilir.
Önemli sayılabilir kümelerden biri de Q rasyonel sayılar kümesidir. Gerçekten rasyonel sayılar
kümesinin sayılabilir bir küme olduğu gösterilebilir. Cantor’un eşleme fonksiyonu olarak bilinen
ve
1
f (m, n) = (m + n − 2)(m + n − 1) + m
2
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
21
1.4. Sonlu ve Sonsuz Kümeler
olarak tanımlanan f : N × N :→ N fonksiyonu bire bir ve örtendir. Bu fonksiyon yardımıyla N × N
ve Q kümelerinin sayılabilir olduğunu anlıyoruz.
N × N kümesine benzer şekilde rasyonel sayılar kümesi de sayılır, örneğin Q+ kümesinin elemanları
1 1 2 1 2 3 1 2 3
, , , , , , , , ,...
1 2 1 3 2 1 4 3 2
şeklinde sayılabilir, aşağıdaki şekli inceleyin.
Herhangi S ve T kümeleri için aşağıdaki önemli özelliklerin sağlandığı gösterilebilir:
1. S kümesi sayılamaz ve S ⊆ T ise T kümesi de sayılamazdır,
2. T kümesi sayılabilir ve S ⊆ T ise S kümesi de sayılabilirdir,
3. Her m ∈ N için S m kümesi sayılabilir ise
∞
[
Sm
m=1
kümesi de sayılabilirdir.
Sayılabilir kümeler ile ilgili başka bir önemli özellik de şudur: her sonsuz kümenin sayılabilir
bir alt kümesi vardır. Bu sonuç aksiyomatik kümeler kuramının bir aksiyomu olan seçme aksiyomu
yardımıyla elde edilir.
Bu bölümü şu ilginç sonuç ile bitirelim: A bir küme ise, A’dan kuvvet kümesi P (A)’ya tanımlı
örten bir fonksiyon yoktur (P (A) kuvvet kümesi ile A’nın tüm alt kümelerinin kümesi gösteriliyor).
Cantor teoremi olarak bilinen bu teoremin bize doğal sayılarının tüm alt kümelerinin oluşturduğu
kuvvet kümesinin, yani P (N)’in sayılamaz olduğunu söylüyor. Fakat doğal sayılar kümesinin tüm
sonlu alt kümelerinin ailesi olan F (N)’in sayılabilir olduğu gösterilebilir.
Alıştırmalar 1.4
1. Aşağıdakileri kanıtlayın.
a) Bir A kümesinin eleman sayısı m, bir B kümesinin eleman sayısı n ve A ∩ B = ; ise A ∪ B kümesinin eleman sayısı m + n’dir,
b) Bir A kümesinin eleman sayısı m ve bir B ⊆ A kümesinin eleman sayısı n ise A\B kümesinin
eleman sayısı m − n’dir,
c) A kümesi sonsuz, B kümesi sonlu bir küme ise A\B kümesi sonsuz bir kümedir,
d) A kümesi sonsuz ve A ⊆ B ise B kümesi de sonsuzdur,
e) B kümesi sonlu ve A ⊆ B ise A kümesi de sonludur.
2. m, n ∈ N ve m > n ise Nm ’den Nn ’ye bire bir bir fonksiyon tanımlanamaz, kanıtlayın.
22
Bölüm 1. Gı̇rı̇ş
3. n ∈ N olmak üzere N’den Nn ’ye bire bir bir fonksiyon tanımlanamaz, kanıtlayın.
4. Sonlu bir kümenin eleman sayısının tek olduğunu kanıtlatyın.
5. N × N kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlayın. (Metinde verilen fonksiyonun bire bir ve örten olduğunu gösterin.)
6. Q kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlayın.
7. Aşağıdakileri kanıtlayın.
a) S kümesi sayılamaz ve S ⊆ T ise T kümesi de sayılamazdır,
b) T kümesi sayılabilir ve S ⊆ T ise S kümesi de sayılabilirdir,
c) Her m ∈ N için S m kümesi sayılabilir ise
∞
[
Sm
m=1
kümesi de sayılabilirdir.
8. Uç noktaları rasyonel sayı olan tüm reel sayı aralıklarının kümesi sayılabilirdir, kanıtlayın.
9. Sonsuz bir kümenin sayılabilir çoklukta sonsuz alt kümesi vardır, kanıtlayın.
10. Her sonsuz küme, kendisinin bir öz alt kümesiyle eş güçlüdür, kanıtlayın.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
BÖLÜM
2
R EEL S AYILAR
Matematik analizin yakınsaklık, süreklilik, türev ve integrasyon gibi temel konularını inceleyebilmek için önce reel sayıların yapısını anlamamız gerekir. Reel sayı sistemi çeşitli yollarla aksiyomatik olarak kurulabilir, örneğin daha ilkel bir sayı kümesinden (Q gibi) yola çıkılarak reel sayılar
denilen sayılar tanımlanabilir. Kümeler kuramının en temel birkaç aksiyomundan yola çıkılarak
önce doğal sayılar ve tam sayılar, sonra rasyonel sayılar ve sonra da reel sayılar inşa edilebilir. Biz
bu bölümde reel sayıların nasıl inşa edildiğinden çok reel sayıların sağladığı özelliklerden bahsedeceğiz, ama bunu özellikleri doğrudan vererek değil adım adım keşfederek yapacağız.
Reel sayıların özellikleri üç grupta özetlenebilir: cisim özellikleri, sıralama özellikleri ve tamlık
özellikleri. Reel sayılar kümesini rasyonel sayılar kümesinden ayıran tamlık özellikleridir ve matematik analizin temelini oluşturur.
2.1 Cisimler
Reel sayıların cebirsel özelliklerini incelemek için önce cisim kavramını ve özelliklerini araştıracağız. Elde edeceğimiz özelliklerin çoğu okuyucuya tanıdık gelecektir, fakat bu bölümde tüm bu
özelliklerin bir kaç temel aksiyomdan elde edilebileceğini göstereceğiz.
Tanım 2.1.1 (Cisim) Boştan farklı bir F kümesi üzerinde, aşağıdaki özellikleri sağlayan iki işlem
(∗ ve • ile gösterilen) tanımlanmışsa bu (F, ∗, •) cebirsel yapısına bir cisim denir.
A1 Her a, b ∈ F için a ∗ b = b ∗ a eşitliği sağlanır,
A2 Her a, b, c ∈ F için (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) eşitliği sağlanır,
A3 Her a ∈ F için
a ∗ e1 = a
eşitliklerini sağlyan bir e 1 ∈ F vardır,
A4 Her bir a ∈ F için
a ∗ a = e1
olacak şekilde bir a ∈ F vardır,
23
24
Bölüm 2. Reel Sayılar
M1 Her a, b ∈ F için a • b = b • a eşitliği sağlanır,
M2 Her a, b, c ∈ F için (a • b) • c = a • (b • c) eşitliği sağlanır,
M3 Her a ∈ F için, e 1 ’den farklı olan ve
a • e2 = a
eşitliklerini sağlyan bir e 2 ∈ F vardır,
M4 e 1 ’den farklı her bir a ∈ F için
a • a0 = e2
olacak şekilde bir a 0 ∈ F vardır,
D Her a, b, c ∈ F için
a • (b ∗ c) = (a • b) ∗ (a • c) ve (b • c) ∗ a = (b • a) ∗ (c • a)
eşitlikleri sağlanır.
A 1 − A 4 özelliklerine sırasıyla birinci işlemin değişme, birleşme, birim eleman ve ters eleman
özellikleri denir. M 1 − M 4 özellikleri de benzer şekilde adlandırılır. D özelliğine is birinci işlemin
ikinci işlem üzerine dağılma özelliği denir.
F bir cisim ise yukarıdaki tanımda ifade edilen e 1 ve e 2 elemanlarına sırasıyla cismin sıfırı
ve birimi denir, a ve a 0 elemanlarına da sırasıyla a elemanının birinci ve ikinci işleme göre ters
elemanı denir.
Uyarı 2.1.2 Bir cisimde Tanım 2.1.1 A 3 ile tanımlanan e 1 elemanı tek olduğu kanıtlanabilir. Benzer şekilde M 3 ile tanımlanan e 2 elemanı da tektir. Yani cismin sıfırı ve birimi tektir. Bundan hareketle elemanların her iki işleme göre de tersleri tektir. Bunların tamamı Tanım 2.1.1 ile verilen
cisim aksiyomları kullanılarak kanıtlanabilir. Örneğin e 1 ’in tekliğini gösterelim. Varsayalım ki e 10
ve e 200 cismin iki sıfırı olsun. Bu durumda A 3 aksiyomu gereği cismin her a elemanı için
a ∗ e 10 = e 10 ∗ a = a
ve
a ∗ e 100 = e 100 ∗ a = a
eşitlikleri sağlanır. Bu eşitliklerden de
a ∗ e 10 = a ∗ e 100
eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte a = e 10 yazarsak
e 10 ∗ e 10 = e 10 ∗ e 100
eşitliği elde edilir. e 10 birim eleman olduğundan bu eşitlikten
e 10 = e 100
sonucu çıkar. Diğerlerinin tekliği de benzer şekilde gösterilebilir. Î
Şimdi cisimlere bir kaç örnek verelim.
Örnek 2.1.3 Q rasyonel sayılar kümesinin ve R reel sayılar kümesinin standart toplama ve çarpma
işlemine göre bir cisim olduğu açıktır. (Q, +, ·) cisminde e 1 = 0 ve e 2 = 1 olup, her a rasyonel sayısı
için a = −a ve a 0 = 1/a’dır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
25
2.1. Cisimler
Örnek 2.1.4 x, y reel sayılarının oluşturduğu tüm (x, y) sıralı ikililerinin kümesi
(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )
ve
(x 1 , y 1 )(x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 )
olarak tanımlanan işlemlere göre bir cisimdir. Bu cisme karmaşık sayılar cismi denir ve (C, +, ·) ile
gösterilir. Bu cisimde
e 1 = (0, 0), e 2 = (0, 1)
ve
(x, y) = (−x, −y),
(x, y)0 =
µ
x
−y
, 2
2
2
x + y x + y2
¶
şeklindedir.
Örnek 2.1.5 F 2 = {a, b} kümesi üzerinde ∗ ve • işlemleri
∗
a
b
a
a
b
b
b
a
ve
•
a
b
a
a
a
b
a
b
tablolarıyla tanımlansın. (F 2 , ∗, •) yapısının Tanım 2.1.1 ile verilen cisim özelliklerini sağladığı gösterilebilir. Ayrıca e 1 = a, e 2 = b, a = a, b = b ve b 0 = b olduğu da açıktır. a 0 hakkınde ne söyleyebiliriz?
Örnek 2.1.6 F 3 = {a, b, c} kümesi üzerinde
∗
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
ve
•
a
b
c
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
b
tablolarıyla tanımlanan ∗ ve • işlemlerini ele alalım. (F 3 , ∗, •) yapısı Tanım 2.1.1 ile verilen cisim
özelliklerini sağlar. Ayrıca e 1 = a, e 2 = b, a = a, b = c, c = b, b 0 = b ve c 0 = c oldukları tablodan
görülür.
Tanım 2.1.1 ile verilen cisim aksiyomları bize bir (F ; ∗, •) cisminde a, b ∈ F olmak üzere her
x ∈ F için sağlanan
a ∗ x = b ve a • x = b
denklemlerinin çözümlerinin tekliğini garanti eder. Örneğin a∗x = b denkleminin tek bir çözümü
vardır ve bu çözüm
x = a ∗b
dir. Bunu görmek için a ∗ x = b eşitliğinin her iki tarafını a ile ∗ işlemine sokarsak, sırasıyla A 2 , A 4
ve A 3 aksiyomlarını kullanarak
a∗x =b
⇒
a ∗ (a ∗ x) = a ∗ b
⇒
(a ∗ a) ∗ x = a ∗ b
⇒
e1 ∗ x = a ∗ b
⇒
x = a ∗b
26
Bölüm 2. Reel Sayılar
olduğunu elde ederiz. Bu çözümün tekliğini görelim. Varsayalım ki x 1 ve x 2 farklı iki çözüm olsun.
Bu durumda a ∗ x 1 = b ve a ∗ x 2 = b olur, buradan da
a ∗ x1 = a ∗ x2
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafı a ile işleme sokulursa, sırasıyla A 2 , A 4 ve A 3 aksiyomlarından
a ∗ x1 = a ∗ x2
⇒
a ∗ (a ∗ x 1 ) = a ∗ (a ∗ x 2 )
⇒
(a ∗ a) ∗ x 1 = (a ∗ a) ∗ x 2
⇒
e 1 ∗ x1 = e 1 ∗ x2
⇒
x1 = x2
olduğu görülür. Benzer yöntemle a 6= e 1 olmak üzere
a•x =b
denkleminin tek çözümünün x = a 0 • b olduğu da gösterilebilir. Bu iki sonuç birleştirilirse
(a • x) ∗ b = c
denkleminin tek çözümünün
x = a 0 • (b ∗ c)
olduğu sonucuna varılır. Böylece reel sayılarda ax + b = c denkleminin tek çözümünün x = (c −
b)/a olduğunun nasıl elde edildiğini anlamış olduk.
Şimdi cisimlerin bazı cebirsel özelliklerini elde edelim. Aşağıda vereceğimiz özelliklere çok
aşinayız fakat şimdi bunların Tanım 2.1.1 de verilen cisim aksiyomlarının bir sonucu olduğunu
keşfedeceğiz.
Teorem 2.1.7 (F, ∗, •) bir cisim ve e 1 ile e 2 Tanım 2.1.1’deki gibi tanımlanmışsa her a, b ∈ F için
(a) a • e 1 = e 1 ,
(b) a = a • e 2 ve a ∗ b = a ∗ b,
(c) (a) = a ve e 2 • e 2 = e 2 ,
(d) a 6= e 1 ise (a 0 )0 = a,
(e) a • b = e 1 ise ya a = e 1 ya da b = e 1 ’dir,
(f ) a • b = a • b.
özellikleri sağlanır.
İspat
(a) A 3 , M 3 ve D cisim aksiyomları kullanılırsa
a ∗ (a • e 1 )
=
(a • e 2 ) ∗ (a • e 1 )
=
a • (e 1 ∗ e 2 )
=
a • e2
=
a
olduğu görülür. Bu eşitliğin de her iki tarafı a ile ∗ işlemine sokulursa A 2 , A 4 ve A 3 aksiyomlarından a • e 1 = e 1 sonucu elde edilir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
27
2.1. Cisimler
(b) İlgili cisim aksiyomları ve (a) sonucu kullanılırsa
a ∗ (a • e 2 )
=
(a • e 2 ) ∗ (a • e 2 )
=
a • (e 2 ∗ e 2 )
=
a • e1
=
e1
elde edilir, bu eşitliğin her iki tarafı a ile ∗ işlemine sokulursa
£
¤
a ∗ (a • e 2 ) = e 1 ⇒ a ∗ a ∗ (a • e 2 ) = a ∗ e 1
⇒
(a ∗ a) ∗ (a • e 2 ) = a
⇒
e 1 ∗ (a • e 2 ) = a
⇒
a • e2 = a
sonucuna varılır. Ayrıca bunun sonucu olarak
a ∗b
=
(a ∗ b) • e 2
=
(a • e 2 ) ∗ (b • e 2 )
=
a ∗b
sonucu elde edilir.
(c) İlgili cisim aksiyomları ve (b) sonucu kullanılırsa
a ∗ a = e1
⇒
(a) ∗ a = e 1
i
h
(a) ∗ a ∗ a = e 1 ∗ a
⇒
⇒
(a) ∗ (a ∗ a) = a
⇒
(a) ∗ e 1 = a
⇒
(a) = a
sonucu elde edilir. Böylece bu sonuç gereği (e 2 ) = e 2 olduğundan, ayrıca a = e 2 seçerek (b)
sonucu gereği (e 2 ) = e 2 • e 2 olacağından
e 2 = (e 2 ) = e 2 • e 2
sonucuna varılmış olur.
(d) a 6= e 1 olsun, önce a 0 6= e 1 olduğunu gösterelim. Varsayalım ki a 0 = e 1 oldun, bu durumda
(a) sonucu ve ilgili cisim aksiyomları kullanılıarak
e2 = a • a0 = a • e1 = e1
sonucuna varılır, fakat bu M 3 ile çelişir, o halde a 0 6= e 1 olmalıdır.Bu durumda ilgili cisim
aksiyomları kullanılarak
a0 • a = e2
olduğu görülür.
⇒
(a 0 )0 • (a 0 • a) = (a 0 )0 • e 2
¡ 0 0 0¢
(a ) • a • a = (a 0 )0
⇒
e 2 • a = (a 0 )0
⇒
a = (a 0 )0
⇒
28
Bölüm 2. Reel Sayılar
(e) a 6= e 1 olsun, bu durumda (a) sonucu ve ilgili cisim aksiyomları kullanılarak
a • b = e1
⇒
a 0 • (a • b) = a 0 • e 1
⇒
(a 0 • a) • b = e 1
⇒
e2 • b = e1
⇒
b = e1
olduğu elde edilir. Benzer yöntemle b 6= e 1 ise a = e 1 olduğu da elde edilebilir.
(f) (b) ve (c) sonuçları ve ilgili cisim aksiyomları kullanılırsa
a •b
=
(a • e 2 ) • (b • e 2 )
=
(a • e 2 ) • (e 2 • b)
=
a • (e 2 • e 2 ) • b
=
a • e2 • b
=
a •b
sonucu elde edilir.
■
Bu teoremde (F, ∗, •) = (Q, +, ·) seçersek (veya R) rasyonel sayıların günlük olarak kullandığımız
en temel özelliklerinin cisim aksiyomlarının birer sonucu olduğunu fark ederiz.
Örnek 2.1.5 ile verilen cisme tekrar dönersek
b ∗b = a
olduğunu, örnek 2.1.6’te verilen cisimde ise
b ∗ (b ∗ b) = a
olduğunu görürüz. Yani bu cisimlerde birinci işlem ve cismin birimi kullanılarak cismin sıfırı elde
edilebilir. Bazı cisimlerde ise birimin kendisiyle ardışık olarak işleme alınmasıyla (birinci işlem)
hiç bir zaman sıfıra ulaşılmaz, böyle cisimlerin karakteristik sıfırı vardır denir.
Üzerinde standart toplama ve çarpma işlemleri tanımlanmış, karakteristik sıfırı 0 ve birimi 1
olan bir cisim ele alalım, bu durumda bu cisimdeki her a sayısı için a = −a ve a 6= 0 olmak üzere
a 0 = 1/a olur. Bu cisimde 1’i kendisiyle n defa toplayarak her n doğal sayısı elde edileceğinden N
doğal sayılar kümesi bu cismin bir alt kümesidir. Bu sayıları e 20 = 10 = −1 ile çarparak ve sıfırı da
ekleyerek tüm tamsayılar kümesi oluşturulacağından Z de bu cismin bir alt kümesi olur. Ayrıca m
ve n doğal sayılar olmak üzere
(m · e 2 )(n · e 2 )0
ve (m · e 2 )(n · e 2 )0
işlemleriyle m/n ve (-m/n) rasyonel sayıları elde edileceğinden Q rasyonel sayılar kümesi de bu
cismin bir alt kümesi olur. Bu yöntemle karakteristik sıfırı olan her cismin bir alt kümesinin Q ile
bire bir eşlenebileceği gösterilebilir, aynı sonuç N ve Z kümeleri için de geçerlidir.
Fakat bir sayı cisminin içinde bulunmasını istediğimiz, rasyonel sayılarla ifade edilemeyen
büyüklükler de vardır, M.Ö. 6. yüzyılda antik Yunanlılar kenarları bir birim uzunlukta olan karenin köşegen uzunluğunun iki tamsayının oranı olarak ifade edilemeyeceğini gördüler. Pisagor
teoremi olarak p
bilinen sonuca göre bunun anlamı şuydu: "karesi 2 olan rasyonel sayı yoktur".
Bu büyüklüğü 2 ile gösteriyoruz (bkz: Şekil 2.1), benzer şekilde karesi bir doğal sayı olmayan
p
hiçbir n sayısı için n büyüklüğü rasyonel olarak ifade edilemez. Bunu ispatlayabilmek için şu
bilgiye ihtiyacımız var: 1’den büyük her tamsayı asalların çarpımı şeklinde, asalların sırası hariç,
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
29
2.1. Cisimler
Şekil 2.1: Bir irrasyonel büyüklük
tek türlü olarak ifade edilir. Günümüzde e ve π olarak gösterdiğiz büyüklükler, hatta e π büyüklüğü de rasyonel olarak ifade edilemez. Böyle sayılara, yani rasyonel olmayan sayılara irrasyonel
sayılar diyoruz. Ne var ki varlığından uzun zamandan beri haberdar olduğumuz bu sayıların irrasyonel olduklarını göstermek genelde kolay değildir, yine de bazı büyülüklerin irrasyonel olduğu
gösterilebilir.
Teorem 2.1.8 p 2 = 2 eşitliğini sağlayan bir p rasyonel sayısı yoktur.
2
İspat Varsayalım ki ( m
n ) = 2 olacak şekilde m, n ∈ Z sayıları var olsun. m ve n tamsayılarının
1’den başka ortak böleni olmadıklarını varsayabiliriz (ortak bölenleri varsa sadeleşirler zaten). Bu
durumda m 2 = 2n 2 olacağından m 2 sayısının çift olduğu elde edilir. Bu durumda m sayısı da çift
olmalıdır, çünkü eğer öyle olmasaydı, yani m = 2k − 1 olacak şekilde bir k tamsayısı var olsaydı
m 2 = (2k − 1)2 = 4k 2 − 4k + 1 = 2(2k 2 − 2k + 1) − 1 olurdu, bu da m 2 ’nin çift olmasıyla çelişirdi.
m sayısı çift olduğundan m = 2r olacak şekilde bir r tamsayısı vardır, bu durumda ise m 2 = 4r 2
olur. Fakat bu durumda 4r 2 = 2n 2 olacağından 2r 2 = n 2 olur, yani n 2 sayısı, dolayısıyla n sayısı bir
çift sayı olur. Bu ise m ile n’nin 1’den başka ortak böleni olmamasıyla çelişir, o halde (m/n)2 = 2
olacak şekilde m ve n tamsayıları var olamaz.
■
Alıştırmalar 2.1
1. Bir cismin en az iki elemanı vardır, neden?
2. F 4 = {0, 1, a, b} kümesinin aşağıdaki tablolarla tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile birlikte bir
cisim oluşturduğunu gösterin. Ayrıca herhangi bir x ∈ F 4 için x 4 = x ve 2x = 0 olduğunu gösterin.
+
0
1
a
b
0
0
1
a
b
1
1
0
b
a
a
a
b
0
1
b
b
a
1
0
·
0
1
a
b
0
0
0
0
0
1
0
1
a
b
a
0
a
b
1
b
0
b
1
a
3. Herhangi bir (A, ∗, •) cisminin sıfırdan (e 1 ’den) farklı a, b elemanları için
(a • b)0 = a 0 • b 0
olduğunu kanıtlayın.
4. Rasyonel sayılar cisminde aşağıdaki denklemleri çözün. Her adımda cisim aksiyomlarına veya bilinen
sonuçlara başvurun.
a) x + 3 = 5,
b) (x − 1)(x − 2) = 0,
c) x 2 − 3x + 2 = 0.
30
Bölüm 2. Reel Sayılar
5. Karesi 3, 5 veya 6 olan rasyonel sayı yoktur, kanıtlayın.
6. r bir rasyonel ve x bir irrasyonel sayı ise r + x sayısı irrasyoneldir. Ayrıca eğer r 6= 0 ise r x sayısı da
irrasyoneldir, kanıtlayın.
7. Her n ∈ N için
p
p
n +1+ n −1
sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlayın.
2.2 Sıralı Cisimler
Bu bölümde reel sayıların sıralama özelliklerini keşfedeceğiz. Bundan sonra bahsedeceğimiz F
cismi bir önceki bölümde tanımladığımız gibi, üzerinde standart toplama ve çarpma işlemleri
tanımlı, karakteristik sıfırı 0 ve birimi 1 olan cisim olacak. Ayrıca bundan sonra bu cisim için e 1 ,
e 2 , a, a 0 , a · a, a · (a · a), a + b, a · b 0 gibi semboller yerine doğrudan 0, 1, −a, 1/a, (veya a −1 ), a 2 ,
a 3 , a − b, a/b sembollerini kullanacağız, fakat okuyucu elde edilecek olan sonuçların sadece bu
(F, +, ·) cismi için değil, her cisim için geçerli olduğunu unutmamalıdır.
Sıralama
Tanım 2.2.1 F cisminin boştan farklı bir P alt kümesine aşağıdaki özellikleri sağlarsa F cisminin
pozitif sınıfı denir.
(i) Eğer a, b ∈ P ise a + b ∈ P ,
(ii) Eğer a, b ∈ P ise ab ∈ P ,
(iii) Bir a ∈ F için şunlardan tam olarak bir tanesi sağlanır:
a ∈ P,
a = 0,
−a ∈ P.
Bu tanımda (iii) ile verilen özelliğe trikotomi özelliği denir, bu özellik ile cisim üç ayrık alt
kümeye ayrılır.
Tanım 2.2.2 (Sıralı Cisim) Eğer P kümesi F cisminde bir pozitif sınıf ise F cismine P tarafından
sıralanan bir sıralı cisim denir. Eğer a ∈ P ise a elemanına F ’nin bir pozitif elemanı denir ve bu
durum a > 0 ile gösterilir. Eğer a ∈ P ∪ {0} ise bu durum a ≥ 0 ile gösterilir. Eğer a − b ∈ P ise bu
durum a > b ile ve eğer a − b ∈ P ∪ {0} ise de bu durum da a − b ≥ 0 ile gösterilir.
Benzer şekilde eğer −a ∈ P ise a elemanına F ’nin bir negatif elemanı denir ve bu durum a < 0
ile gösterilir. Ayrıca bu gösterimler yerine bazen 0 < a, 0 ≤ a, b < a, b ≤ a gösterimlerini kullanırız.
Ayrıca eğer a < b ve b < c ise bu durumu kısaca a < b < c olarak ifade ederiz. a ≤ b < c ve benzeri
diğer ifadeler de benzer anlamda kullanılır.
Örnek 2.2.3 Q rasyonel sayılar cismini ele alalım, en sade halinde payı ve paydası doğal sayılar
olan rasyonel sayılardan oluşan P ⊂ Q kümesi rasyonel sayılarda pozitif sınıftır. Her a ∈ P için bu
durumu a > 0 ile gösteriyoruz. Gerçekten P kümesi Tanım 2.2.1 ile verilen özellikleri sağlar. Daha
tanımlamadık ama (geçmiş bilgilerimize göre) pozitif reel sayıların kümesinin de R’de bir pozitif
sınıf olduğu açıktır.
Şimdi sıralı cisimlerin bazı özelliklerini keşfedeceğiz. Aşağıdaki sonuç bize bir küme üzerinde
tanımlanan ≤ bağıntısının bir tam sıralama bağıntısı olduğunu, yani yansıyan, ters simetrik ve
örgün bir bağıntı olduğunu söyler.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
31
2.2. Sıralı Cisimler
Teorem 2.2.4
(a) Eğer a > b ve b > c ise a > c ’dir,
(b) Eğer a, b ∈ F ise aşağıdakilerden tam olarak bir tanesi doğrudur
a > b,
a = b,
a < b,
(c) Eğer a ≥ b ve b ≥ a ise a = b ’dir.
İspat
(a) a − b ∈ P ve b − c ∈ P ise Tanım 2.2.1 (i)’den
a − c = (a − b) + (b − c) ∈ P
elde edilir.
(b) Tanım 2.2.1’de (iii) maddesinin açık sonucudur.
(c) (b) sonucuna göre a 6= b ise ya a −b ∈ P ya da b −a ∈ P olmalıdır. Her iki durum da hipotezle
çelişir, bu nedenle a = b olmalıdır.
■
Aşağıdaki sonuç da bize doğal sayıların pozitif olduğunu söyler. Ayrıca (c) maddesinden şu
önemli sonuç elde edilir: "sıralı cisimlerin karakteristik sıfırı vardır". Bu sonuç sayesinde her sıralı
cismin rasyonel sayılar kümesini içerdiğini söyleyebiliriz.
Teorem 2.2.5 F sıralı bir cisim ise aşağıdakiler sağlanır
(a) Eğer a 6= 0 ise a 2 > 0 ’dır,
(b) 1 > 0,
(c) Eğer n ∈ N ise n > 0’dır.
Uyarı 2.2.6 (b) maddesindeki iddia bu şekilde yazılınca aşikar gibi görünüyor ama bölümün başında da denildiği gibi buradaki özellikler tüm sıralı cisimler için sağlanır. Bu önermede de her
sıralı cismin biriminin sıfırından büyük olduğu (cisim üzerindeki sıralamaya göre) ifade ediliyor.
Î
İspat
(a) a ∈ P veya −a ∈ P durumlarından sadece biri sağlanabilir. Eğer a ∈ P is Tanım 2.2.1 (ii)
gereği a 2 = a · a ∈ P olur. Eğer −a ∈ P ise bu durumda Teorem 2.1.7 (f) gereği a 2 = (−a) ·
(−a) = a · a ∈ P elde edilir.
(b) Cisim aksiyomları gereği 1 = 1 · 1 = (1)2 olduğundan (b) sonucundan 1 > 0 elde edilir.
(c) Tümevarım ile ispatlayalım. n = 1 için doğru olduğu (b) ile gösterildi. Şimdi k ∈ P olsun, bu
durumda 1 ∈ P olduğundan Tanım 2.2.1 (1) gereği k + 1 ∈ P olur. Böylece ispat tamamlanır.
■
Aşağıda vereceğimiz sonuç bize eşitsizlikler üzerinde işlem yapmamız için gerekli olan temel
özellikleri verir. Kısmen ispatlayacağımız bu sonucun ispatını okuyucu tamamlayabilir.
Teorem 2.2.7 F bir sıralı cisim olmak üzere a, b, c, d ∈ F olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır
(a) Eğer a > b ise a + c > b + c ’dir,
(b) Eğer a > b ve c > d ise a + c > b + d ’dir,
32
Bölüm 2. Reel Sayılar
(c) Eğer a > b ve c > 0 ise ac > bc ’dir,
(d) Eğer a > b ve c < 0 ise ac < bc ’dir,
(e) Eğer a > 0 ise a −1 > 0 ’dır,
(f ) Eğer a < 0 ise a −1 < 0 ’dır,
İspat
(b) a − b ∈ P ve c − d ∈ P ise Tanım 2.2.1 (i) gereği (a + c) − (b + d ) = (a − b) + (c − d ) ∈ P olur.
(c) a − b ∈ P ve c ∈ P ise Tanım 2.2.1 (ii) gereği ac − bc = (a − b)c ∈ P olur.
(e) a ∈ P , yani a > 0 olsun. Eğer a −1 < 0 olursa (d) sonucundan dolayı 1 = aa −1 < 0 olurdu, fakat
bu da Teorem 2.2.5 (b) ile çelişir. a −1 = 0 olursa 1 = aa −1 = 0 olurdu, bu da cisim tanımıyla
çelişir. O halde a −1 > 0 olmalıdır.
■
Teorem 2.2.7 (c) sonucunda b = 0 seçersek a > 0 ve c > 0 ise ac > 0 olacağını elde ederiz,
benzer bir sonucu (d) maddesinde a = 0 alarak da elde edebiliriz. Bunların tersi de doğrudur.
Teorem 2.2.8 Eğer ab > 0 ise ya a > 0 ve b > 0, ya da a < 0 ve b < 0 ’dır.
İspat Trikotomi özelliği gereği ab > 0 ise ne a ne de b sayısı 0 olamaz. Eğer a > 0 ise Teorem 2.2.7
(e) gereği a −1 > 0 olacağından Teorem 2.2.7 (c) kullanılarak
b = (a −1 a)b = a −1 (ab) > 0
olduğu görülür. Diğer eşitsizlik de benzer şekilde kanıtlanır.
■
Bu teoremlerin bir uygulaması olarak iki elemanın aritmetik ortalaması denilen elemanın, bu
iki elaman arasında yer aldığı sonucuna varabiliriz.
Teorem 2.2.9 Eğer a > b ise
a>
a +b
>b
2
eşitsizliği sağlanır.
İspat a > b olduğundan Teorem 2.2.7 (a) gereği 2a = a + a > a + b ve Teorem 2.2.7 (c) gereği
a + b > b + b = 2b olur. Teorem 2.2.5 (c) gereği 2 > 0 olup Teorem 2.2.7 (e) ’den 2−1 > 0 elde edilir.
Böylece Teorem 2.2.7 (c) sonucunu bu eşitsizliklerle kullanarak
a > (a + b)2−1
ve (a + b)2−1 > b
eşitsizlikleri elde edilir.
■
Bu sonuçta b = 0 seçersek önemli bir şey farkederiz, her pozitif a sayısı için a’dan daha küçük
pozitif bir a/2 sayısı vardır. Yani sıralı bir cisimde en küçük pozitif eleman yoktur! Bu bilgi ile
aşağıdaki önemli sonuç elde edilir.
Teorem 2.2.10 a ∈ F olsun. Her ² > 0 sayısı için 0 ≤ a < ² oluyorsa a = 0’dır.
İspat a > 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda eğer ²0 = a/2 seçersek Teorem 2.2.9 gereği 0 ≤
²0 < a elde ederiz. Fakat bu da her ² > 0 için 0 ≤ a < ² olmasıyla çelişir. O halde a = 0 olmalıdır. ■
Şimdi bir sıralı cisim üzerinde aralık kavramını tanımlayalım.
Tanım 2.2.11 F sıralı cisminin a < b koşulunu sağlayan herhangi iki a ve b elemanı için {x ∈ F : a < x < b}
kümesine F ’de bir açık aralık denir ve bu küme (a, b) ile gösterilir. {x ∈ F : a ≤ x ≤ b} kümesine de
F ’de bir kapalı aralık denir ve [a, b] ile gösterilir. Benzer şekilde {x ∈ F : a ≤ x < b} ve {x ∈ F : a < x ≤ b}
kümelerine de F ’de birer yarı açık aralık denir, bu kümeler de sırasıyla [a, b) ve (a, b] ile gösterilirler. Ayrıca {x ∈ F : x ≥ a} kümesi [a, ∞) ile gösterilir, (a, ∞), (−∞, a] ve (−∞, a) aralıkları da benzer
şekilde tanımlanır. Böyle aralıklara sonsuz aralıklar denir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
33
2.2. Sıralı Cisimler
Mutlak Değer
Trikotomi özelliği sıfırdan farklı bir a sayısı için a veya −a sayılarından sadece bir tanesinin pozitif
olacağını söyler. Bunlardan pozitif olanına a sayısının mutlak değeri diyoruz. 0 sayısının mutlak
değeri 0 olarak tanımlanır.
Tanım 2.2.12 F sıralı cisminde bir a sayısının mutlak değeri |a| ile gösterilir ve aşağıdaki gibi
tanımlanır

a > 0 ise,
 a,
0,
a = 0 ise,
|a| :=

−a,
a < 0 ise.
F cisminin pozitif sınıfı P ise mutlak değer fonksiyonu |·| : F → P ∪{0} şeklinde tanımlıdır. Bazı
temel özelliklerini aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.
Teorem 2.2.13
(a) Her a ∈ F için | − a| = |a|,
(b) Her a, b ∈ F için |ab| = |a||b|,
(c) Her a ∈ F için |a|2 = a 2 ,
(d) Eğer c ≥ 0 ise, |a| ≤ c olması için gerek ve yeter koşul −c ≤ a ≤ c olmasıdır,
(e) Her a ∈ F için −|a| ≤ a ≤ |a|.
İspat
(a) Eğer a > 0 ise |a| = a = | − a|, eğer a < 0 ise |a| = −a = | − a| ve eğer a = 0 ise |0| = 0 = | − 0|
olduğu görülür.
(b) İki sayıdan biri 0 ise sonuç açıktır, 0’dan farklı sayılar için ispatlayalım. Eğer a > 0 ve b > 0
ise ab > 0 olacağından |ab| = ab = |a||b| olur. Eğer a > 0 ve b < 0 ise ab < 0 olacağından
|ab| = −ab = a(−b) = |a||b| olur. Diğer durumlar da benzer şekilde sağlanır.
(c) a = 0 ise sonuç açıktır, a 6= 0 olsun. a 2 > 0 olduğundan a 2 = |a 2 | = |aa| = |a||a| = |a|2 olduğu
görülür.
(d) Eğer |a| ≤ c ise hem a ≤ c hem de −a ≤ c eşitsizlikleri sağlanır. Teorem 2.2.7 (d) kullanılırsa
−c ≤ a olduğu elde edilir, böylece −c ≤ a ≤ c sonucuna varılmış olur. Eğer −c ≤ a ≤ c ise
hem a ≤ c hem de −a ≤ c eşitsizlikleri sağlanır. Bu da |a| ≤ c demektir.
(e) (d) sonucunda c = |a| seçilirse istenen sonuç elde edilir.
■
Şimdi matematikteki en önemli eşitsizlik olan ve üçgen eşitsizliği olarak adlandırılan sonucu
verelim.
Teorem 2.2.14 Sıralı bir F cisminin herhangi iki a, b elemanı için
|a ± b| ≤ |a| + |b|
eşitsizliği sağlanır.
İspat Teorem 2.2.13 (e) gereği −|a| ≤ a ≤ |a| eşitsizliği sağlanır. Ayrıca aynı teoremin (a) sonucuna göre |b| = | − b| olduğundan −|b| ≤ ±b ≤ |b| eşitsizliği de sağlanır. Bu eşitsizlikler Teorem
2.2.7 (b) kullanılarak toplanırsa
−(|a| + |b|) ≤ a ± b ≤ |a| + |b|
eşitsizliği elde edilir ki bundan da Teorem 2.2.13 (d) sonucu gereği
|a ± b| ≤ |a| + |b|
eşitsizliğinin sağlandığı sonucu elde edilir.
■
34
Bölüm 2. Reel Sayılar
Arşimed Özelliği
Daha önce Teorem 2.2.5 (c) ile, F bir sıralı cisim ve n ∈ N olmak üzere n = n · 1 > 0 olduğunu
gördük. Sayılar üzerindeki gözlemlerimize dayanarak bir sıralı cismin her elemanının bazı doğal
sayılar tarafından aşılabileceğini bekleyebiliriz, başka bir deyişle her pozitif elemanın bir [n, n +
1] aralığına düşecek şekilde bir n doğal sayısının var olabileceğini düşünebiliriz. Fakat bu doğru
değildir, bazı elemanları hiç bir doğal sayı tarafından aşılamayan sıralı cisimler vardır, bir örnek
verelim.
Örnek 2.2.15 q(t ) 6= 0 ve p(t ) ile q(t ) rasyonel katsayılı polinomlar olmak üzere
f (t ) =
p(t )
q(t )
şeklindeki tüm rasyonel fonksiyonların oluşturduğu Q(t ) kümesini ele alalım. Bu kümenin standart toplama ve çarpma işlemine göre bir cisim oluşturduğu kolayca gösterilebilir. Ayrıca p(t )q(t )
çarpımlarındaki en yüksek dereceli terimin katsayısı pozitif olan f (t ) rasyonel fonksiyonlarının
kümesini P ile gösterirsek P ’nin Q(t ) üzerinde bir pozitif sınıf olduğu da gösterilebilir. Dolayısıyla
bu cisim sıralıdır. Fakat derecesi en az 1 olan pozitif baş katsayılı bir p ∈ Q polinomunun her n
doğal sayısı için n < p eşitsizliğini sağladığı açıktır.
Tanım 2.2.16 (Arşimed Özelliği) F bir sıralı cisim olmak üzere her x ∈ F için x < n olacak şekilde
bir n doğal sayısı varsa bu cisme bir Arşimed cismi denir. Ya da F cisminin Arşimed özelliği vardır
denir.
Başka bir deyişle P kümesi ile sıralanan bir F sıralı cisminde her x ∈ F elemanı için n − x ∈ P
olacak şekilde bir n doğal sayısı varsa bu cisim bir Arşimed cismidir. Rasyonel sayılar cisminin bu
özelliği sağladığı açıktır.
Teorem 2.2.17 F bir Arşimed cismi olsun, bu durumda aşağıdakiler sağlanır
(a) Eğer y > 0 ve z > 0 ise n y > z olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır,
(b) Eğer z > 0 ise 0 < 1/n < z olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır,
(c) Eğer y > 0 ise n − 1 ≤ y < n olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır.
İspat
(a) Eğer y > 0 ve z > 0 ise x = z/y pozitiftir. Arşimed özelliği gereği n > x = z/y olacak şekilde
bir n doğal sayısı vardır, yani n y > z eşitsizliği sağlanır.
(b) Eğer z > 0 ise 1/z > 0 olur. Arşimed özelliğinden n > 1/z olacak şekilde bir n doğal sayısı
vardır, yani 0 < 1/n < z eşitsizliği sağlanır.
(c) Eğer y > 0 ise Arşimed özelliği gereği y < m olacak şekilde bazı m doğal sayıları vardır. Doğal
sayılar iyi sıralı olduğundan bu m doğal sayılarının bir en küçüğü vardır, bu sayı n olsun. Bu
durumda n ≥ 1 olduğundan n − 1 ≤ y < n eşitliği sağlanır.
■
Bu teoremin (b) maddesi bize bir Arşimed cisminde keyfi çoklukta küçük pozitif elemanın
var olduğunu söyler. Fakat bunların en küçüğünün var olmadığını daha önce Teorem 2.2.9 ile
görmüştük. Sıradaki sonuç ise bize en az bir irrasyonel elemanı olan bir Arşimed cisminde keyfi
küçüklükte irrasyonel elemanların var olduğunu söyler.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
35
2.2. Sıralı Cisimler
Teorem 2.2.18 F Arşimed cisminin pozitif bir ξ irrasyonel elemanı var olsun. Eğer z pozitif bir
eleman ise, ξ/m irrasyonel sayısı 0 < ξ/m < z eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir m doğal sayısı
vardır.
İspat ξ ve z pozitif olduklarından ξ/z > 0 olur. Arşimed özelliğinden dolayı 0 < ξ/z < m olacak
şekilde bir m doğal sayısı vardır, buradan da 0 < ξ/m < z elde edilir.
■
Aşağıda vereceğimiz çok önemli sonuçla herhangi bir Arşimed cisminde rasyonel elemanların
yoğun olduğunu, yani herhangi iki eleman arasında bir rasyonel eleman olduğunu kanıtlayacağız.
Teorem 2.2.19 Eğer y ile z, F Arşimed cisminin y < z eşitsizliğini sağlayan herhangi iki elemanı
ise bu durumda F ’nin y < r < z eşitsizliğini sağlayan bir r rasyonel elemanı vardır.
İspat 0 < y < z için kanıtlamak yeterlidir. z − y > 0 olduğundan Teorem 2.2.17 (b) gereği 0 <
1/m < y ve 0 < 1/m < z − y olacak şekilde m doğal sayısı vardır. Ayrıca Teorem 2.2.17 (a) gereği
k/m = k(1/m) > y olacak şekilde k doğal sayıları vardır ve bu şekildeki doğal sayıların en küçüğüne n diyelim. Bu durumda
n
n −1
≤y<
m
m
eşitsizliği sağlanır. Bu durumda n/m < z olduğunu gösterirsek ispat tamamlanır. Varsayalım ki
z ≤ n/m olsun, bu durumda
n −1
n
≤y <z≤
m
m
eşitliği sağlanır. Bu durumda ise
0<z−y ≤
n
−y
m
ve
z−y ≤
1
m
n −1
≤y
m
eşitsizlikleri göz önüne alınırsa
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. Bu ise 0 < 1/m < z −y olmasıyla çelişir, o halde n/m < z olmalıdır.
■
Eğer F Arşimed cisminde en az bir irrasyonel eleman varsa bu durumda irrasyonel elemanlar
da F ’de yoğundur. Aşağıda vereceğimiz bu sonucun ispatı da benzer yolla yapılabilir.
Teorem 2.2.20 Eğer F Arşimed cisminin bir ξ irrasyonel elemanı varsa ve y < z ise bu durumda r ξ
irrasyonel elemanı y < r ξ < z eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir r rasyonel eleman vardır.
Alıştırmalar 2.2
1. Hic bir sıralı cisim sonlu elemanlı olamaz, kanıtlayın.
2. Sıralı bir (F, ∗, •) cisminde a • a = a ise a = e 1 veya a = e 2 olmalıdır, kanıtlayın.
3. Sıralı bir (F, ∗, •) cisminde a 2 + b 2 = e 1 ise a = b = e 1 olmalıdır, kanıtlayın.
4. Örnek 2.1.4 ile verilen kompleks sayılar cisminde bir sıralama tanımlanamayacağını gösterin.
İpucu: i 2 = −1 olduğunu (yani e 12 = e 1 ) olduğunu hatırlayın.
5. (F +, ·) cisminde aşağıdakileri kanıtlayın
a) 0 < a < 1 ise a 2 < a ’dır,
b) a > 1 ve n ∈ N ise a n > a’dır,
c) a > 1 m, n ∈ N ve m > n ise a m > a n ’dir,
d) 0 ≤ a < b ise a 2 < b 2 ’dir.
36
Bölüm 2. Reel Sayılar
e) 0 ≤ a < b ve 0 ≤ c < d ise ac < bd ’dir,
6. (F, +, ·) cisminde 0 < a < b olmak üzere aşağıdakileri kanıtlayın
p
a) a < ab < b,
b) 1/b < 1/a.
7. (F, +, ·) sıralı cisminde 3x + 2 ≤ 1 eşitsizliğinin sağlayan sayıların kümesini belirtleyin.
8. (F, +, ·) sıralı cisminde
x +2
<1
2x + 3
eşitsizliğinin sağlayan sayıların kümesini belirtleyin.
9. (F, +, ·) cisminde 1 + a > 0 ve n ∈ N için (1 + a)n ≥ 1 + na olduğunu kanıtlayın. Bu eşitsizliğe Bernoulli
eşitsizliği denir.
10. c > 1 ve n ∈ N ise c n ≥ c olduğunu kanıtlayın.
11. (F, +, ·) cisminde aşağıdakileri kanıtlayın
a) ||a| − |b|| ≤ |a − b|,
b) |a| − |b| ≤ |a − b|,
c) |a − b| ≤ |a| + |b|.
12. a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ F için aşağıdakini kanıtlayın
|a 1 + a 2 + · · · + a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + · · · + |a n |.
13. Rasyonel sayılar cisminin Arşimed özelliğini sağladığını gösterin.
14. Örnek 2.2.15 ile tanımlanan Q(t ) cisminin Arşimed özelliğini sağlamadığını gösterin.
15. Teorem 2.2.20’yi ispatlayın.
2.3 Tamlık Aksiyomu
Daha önce üzerinde standart toplama ve çarpma işlemi tanımlanmış, sıfırı 0 ve birimi 1 olan bir
(F, +, ·) cismi tanımalmıştık. Sonra Bölüm 2.2 ’de bu cisme yeni bir özellik daha ekleyerek sıralı
cisim elde ettik. Bu bölümde bu sıralı F cismine son bir özellik daha ekleyip, sonra artık bu cisme
bir isim vereceğiz.
Tamlık
Teorem 2.3.1 F bir Arşimed cismi ve x ∈ F olsun. Bu durumda a n ’ler rasyonel elemanlar ve
I n+1 ⊆ I n ,
n = 0, 1, 2, . . .
olmak üzere her n = 0, 1, 2, . . . için x noktasını içeren bir
·
¸
1
I n = an , an + n
2
aralığı vardır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
37
2.3. Tamlık Aksiyomu
Şekil 2.2: Teorem 2.3.1’de belirtilen yapıdaki sayılabilir sonsuz sayıda I n aralıklarına iç içe geçmiş aralıklar
deriz.
İspat x ≥ 0 için kanıtlamak yeterlidir. Bu durumda n 0 bir doğal sayı olmak üzere, Arşimed özelliği gereği, x elemanını içeren bir
I 0 = [n 0 , n 0 + 1]
aralığı vardır. a 0 = n 0 seçersek x elemanı I 0 = [a 0 , a 0 + 1] aralığında olur. Şimdi I 0 aralığını iki eşit
·
a0 , a0 +
¸
1
,
2
·
1
a0 + , a0 + 1
2
¸
aralıklarına bölelim. Eğer x elemanı bu
ilkinde ise a 1 = a 0 , diğer durumda ise a 1 =
£ aralıklarından
¤
a 0 + 21 seçeriz. Böylece x elemanı I 1 = a 1 , a 1 + 21 aralığında olur. Şimdi bu I 1 aralığını da
·
¸
1
a1 , a1 + 2 ,
2
·
1
1
a1 + 2 , a1 +
2
2
¸
olarak iki eşit aralığa bölelim. Yine eğer x elemanı bu aralıklarından
h
i ilkinde ise a 2 = a 1 , diğer
1
1
durumda ise a 2 = a 1 + 22 seçeriz. Böylece x elemanı I 2 = a 2 , a 2 + 22 aralığında olur. Bu şekilde
devam edilirse her n = 0, 1, 2, . . . için x elemanını içeren ve istenen özelliklerde bir aralığın var
olduğu görülür.
■
Uyarı 2.3.2 Örneğin n ∈ N olmak üzere I n := [0, 1/n] aralıkları iç içe geçmiştir, ve 0 elemanı her
aralıkta bulunur. Arşimed özelliği kullanılarak bu aralıkların tek ortak noktasının 0 olduğu gösterilebilir (her x > 0 için 0 < 1/n < x olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır, dolayısıyla x 6∈ I n olur.).
Fakat J n := (0, 1/n) iç içe geçmiş aralıklarının hiç bir ortak noktası yoktur, yani aralıkların kapalı
olması önemlidir. Az sonra göreceğimiz gibi aralıkların kapalı olması da ortak noktanın varlığını
garanti etmez. Î
Uyarı 2.3.3 Teoremin ifadesinde aralıkların kesişiminin tek noktadan oluştuğu açıkça yer almasa
da bunu görmek kolay. Varsayalım ki x 6= y noktaları her I n = [a n , b n ] aralığında içerilsin. Bu durumda |x − y| > 0 olup
1
< |x − y|
2m
olacak şekilde bir m ∈ N vardır. Diğer yandan a m ≤ x ≤ b m ve a m ≤ y ≤ b m olduğundan
1
= b m − a m ≥ |x − y|
2m
olacaktır, bu ise bir çelişkidir. Î
38
Bölüm 2. Reel Sayılar
Teorem 2.3.1 bize bir F Arşimed cisminin her elemanının bir iç içe geçmiş aralıklar sisteminin ortak noktası olduğunu, eğer aralıklar küçülüyorsa da tek ortak noktası olduğunu söyler. Yani
aslında bir Arşimed cisminin her elemanı bir doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık getirilebilir.
Doğru üzerinde bir başlangıç noktası ve bir uzunluk birimi seçersek yukarıdaki ispatta olduğu gibi
aralıkları sürekli bölerek tek noktaya kadar indirgeyebiliriz. Fakat teorem bize doğru üzerindeki
her noktaya karşılık arşimed cisminde bir eleman karşılık getirilebileceğini söylemiyor, nitekim
de getirilemez. Bir Arşimed cisminin tüm elemanlarına bu şekilde karşılık getirilen noktalar işaretlenirse hepsi bir doğru üzerinde olmasına karşılık doğruyu tamamen kaplamaz, arada boşluklar kalır. Örneğin (Q, +, ·) cismi bir Arşimed cismidir, tüm elemanlarını, yani tüm rasyonel sayıları
bir doğru üzerinde noktalarla işaretlersek (buna sayı doğrusu dedik hep) asla bir doğru oluşmaz,
arada boşluklar kalır, bunlar irrasyonel sayılardır.
Genel olarak Teorem 2.3.1’e göre bir Arşimed cisminin her elemanını ortak eleman olarak kabul eden bir iç içe geçmiş aralıklar seti var, fakat teorem bize her iç içe geçmiş aralıklar setinin
bu cisimde bir ortak noktasının var olduğunu söylemiyor. Yani F Arşimed cisminde irrasyonel bir
eleman seçersek bile teoremdeki yöntemle bu elemanı ortak nokta kabul eden bir iç içe geçmiş
aralıklar seti bulabiliriz. Ama örneğin ortak noktası bir irrasyonel sayı olan içi içe geçmiş aralıkların rasyonel sayılar cisminde bir ortak noktası yoktur.
Tanım 2.3.4 (Tamlık Aksiyomu) Bir Arşimed cisminde kapalı ve sınırlı aralıklardan oluşan her iç
içe geçmiş aralıklar setinin bir ortak elemanı varsa bu cisime tam cisim denir.
Akla gelen soru bu özelliğe sahip bir cismin var olup olmadığıdır? Böyle bir cisim, rasyonel
sayılar cisminin tamlık özelliğini sağlayacak şekilde genişletilmesiyle elde edilebilir. Bunun iyi bilinen iki yolu vardır, birisi R. Dedekind tarafından geliştirilen Dedekind kesitleri yöntemi, diğeri
de G. Cantor tarafından geliştirilen Cauchy dizileri yöntemidir. Bu yöntemler detaylı incelemeler
gerektirdiğinden burada bu cismin varlığını kanıtlamayacağız.
Teorem 2.3.5 Tamlık aksiyomunu sağlayan bir sıralı cisim vardır.
Tanım 2.3.6 (Reel Sayılar) Tam ve sıralı cisme reel sayılar cismi denir. Bu cisim R ile gösterilir,
elemanlarına da reel sayılar denir.
Bu tanım ile reel sayılar kümesinin aksiyomatik bir tanımını verdik aslında. Reel sayılar kümesi
Tanım 2.1.1 ile verilen A 1 − A 4 , M 1 − M 4 ve D cisim aksiyomlarını, Tanım 2.2.1 ile verilen (i )−(i i i )
sıralama aksiyomlarını ve Tanım 2.3.4 ile verilen tamlık aksiyomunu sağlayan kümeye denir.
Uyarı 2.3.7 Tam sıralı bir cisim birden fazla yöntemle elde edilebildiğine göre faklı tam sıralı cisimler var olabilir. Fakat farklı tam sıralı cisimler birbirine o kadar benzer ki, elemanlarının ve
işlemlerinin sembollerindan başka farklılıkları yoktur. Burda ispatlayamayacağız ama gerçekten
gösterilebilir ki, (R1 , +, ·) ve (R2 , ∗, •) farklı tam sıralı cisimler ise bunlar arasında işlemi ve sıralamayı koruyan bire bir bir fonksiyon tanımlanabilir. Yani öyle f : R1 → R2 bire bir fonksiyonu
tanımlanabilir ki, P 1 ve P 2 sırasıyla R1 ve R2 cisimlerinin pozitif sınıfları olmak üzere,
(i) f (a + b) = f (a) ∗ f (b),
(ii) f (a · b) = f (a) • f (b),
(iii) a ∈ P 1 ise f (a) ∈ P 2
özellikleri sağlanır. Böyle cisimlere izomorf cisimler deriz.
Kısacası bir reel sayılar kümesi vardır, başka tam sıralı cisimler de buna izomorftur, yani gösterim dışında bir farklılığı yoktur. Dolayısıyla evrenin başka bir köşesinde medeni başka topluluklar
varsa, onlarla aynı sayı sistemini kullanıyoruz! Î
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
39
2.3. Tamlık Aksiyomu
Supremum ve İnfimum
Şimdi reel sayıların tamlık özelliğinin getirdiği bazı nimetlerini tanıyalım. Aşağıdaki tanımları sıklıkla kullancağız.
Tanım 2.3.8 S ile reel sayılar kümesinin boştan farklı bir alt kümesi gösterilsin
(i) Her s ∈ S için s ≤ u olacak şekilde u ∈ R sayıları varsa S kümesine üstten sınırlı bir küme
denir, bu şekildeki u sayılarına S kümesinin birer üst sınırı denir,
(ii) Her s ∈ S için s ≥ w olacak şekilde w ∈ R sayıları varsa S kümesine alttan sınırlı bir küme
denir, bu şekildeki w sayılarına S kümesinin birer alt sınırı denir,
(iii) Hem alttan hem üstten sınırlı olan kümelere sınırlı küme denir, sınırlı olmayan kümelere
ise sınırsız küme denir.
Uyarı 2.3.9 Tanımda da belirtildiği gibi bir kümenin bir üst sınırı olmak zorunda değildir, fakat
eğer bir üst sınırı varsa sonsuz çoklukta üst sınırı vardır, çünkü üst sınırından büyük olan tüm
reel sayılar da bir üst sınır olacaktır. Benzer şekilde alttan sınırlı bir kümenin de sonsuz sayıda alt
sınırı vardır. Örneğin S 1 = {x ∈ R : x ≥ 0} kümesinin bir üst sınırı yoktur fakat S 2 = {x ∈ R : 0 < x < 1}
kümesi her u ≥ 1 reel sayısıyla üstten sınırlıdır. S 3 = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1} kümesi de aynı üst sınırlara
sahiptir, üst sınırlardan bir tanesini içerir. Şunu da ekleyelim, her reel sayı boş küme için bir üst
sınırdır, aynı zamanda alt sınır. Î
Tanım 2.3.10 (Supremum, İnfimum) Reel sayıların üstten sınırlı bir alt kümesinin üst sınırlarının en küçüğüne bu kümenin supremumu denir. Benzer şekilde reel sayıların alttan sınırlı bir alt
kümesinin alt sınırlarının en büyüğüne bu kümenin infimumu denir.
Teorem 2.3.11 Bir kümenin supremumu varsa tektir.
İspat Varsayalım ki u 1 ve u 2 sayıları S kümesinin farklı iki supremumu olsun, böylece bunların
her ikisi de birer üst sınır olur. Supremum tanımı gereği u 1 supremum olduğundan diğer tüm üst
sınırlardan daha küçük olmalı, yani u 1 ≤ u 2 olmalıdır. Benzer şekilde u 2 ’de supremum olduğundan u 2 ≤ u 1 olmalıdır. Bu da u 1 = u 2 olması anlamına gelir.
■
Benzer şekilde alttan sınırlı bir kümenin infimumun da tek olacağı gösterilebilir. Supremum
va infimum sayıları varsa tek olacaklarından bunlar için bir gösterim kullanılabilir. Bir S kümesinin supremumu ve infimumu genellikle
sup S
ve
inf S
ile gösterilir. Bir kümenin supremumu farklı şekillerde karakterize edilebilir, aşağıda iki önemli
örnek var.
Teorem 2.3.12 Bir u sayısının reel sayıların boştan farklı bir S alt kümesinin supremumu olması
için gerek ve yeter koşul aşağıdakileri sağlamasıdır
(i) Her s ∈ S için u ≥ s,
(ii) Eğer v < u ise v < s olacak şekilde bir s ∈ S vardır.
İspat (i) ve (ii) koşulları sağlansın. (i) koşuluna göre u sayısı S kümesinin bir üst sınırıdır. Eğer
u supremum değilse v < u olacak şekilde başka bir üst sınır vardır. Fakat bu durumda (ii) koşulu
v’nin bir üst sınır olmasıyla çelişir.
Aksine, S kümesinin supremumu u olsun. Bu durumda u bir üst sınır olacağından (i) sağlanır.
Ayrıca eğer v < u ise v sayısı bir üst sınır olamaz, dolayısıyla bazı s ∈ S sayıları v sayısını aşmalıdır.
Yani (ii) koşulu da sağlanmalıdır.
■
40
Bölüm 2. Reel Sayılar
Teorem 2.3.13 Reel sayıların boştan farklı bir S alt kümesinin bir u üst sınırının bu kümenin supremumu olması için gerek ve yeter koşul her ² > 0 sayısı için u − ² < s ² olacak şekilde bir s ² ∈ S
sayısının var olmasıdır.
İspat Eğer u reel sayısı belirtilen koşulu sağlayan bir üst sınır ve v < u ise ² := u −v olarak tanımlarsak ² > 0 olur. Dolayısıyla v = u − ² < s ² olacak şekilde bir s ² ∈ S var olduğundan v sayısı S’nin
bir üst sınırı olamaz. Sonuç olarak u = sup S elde edilmiş olur.
Aksine u = sup S ve ² > 0 kabul edelim. Bu durumda u − ² < u olacağından u − ² sayısı bir üst
sınır olamaz. Dolayısıyla bazı s ² sayıları u − ² sayısını aşmalıdır.
■
Aşağıdaki teoremle bir kümenin supremumu ve infimumunun bazı cebirsel özelliklerini veriyoruz. Bu teorem elbette inf S ve sup S sayıları varsa geçerlidir.
Teorem 2.3.14 S, reel sayıların boştan farklı herhangi bir kümesi olsun.
(a) Herhangi bir a reel sayısı için a + S := {a + s : s ∈ S} olmak üzere
sup(a + S) = a + sup S
ve
inf(a + S) = a + inf S
ve
inf(b · S) = b · inf S
eşitlikleri sağlanır,
(b) b > 0 için b · S := {b · s : s ∈ S} olmak üzere
sup(b · S) = b · sup S
eşitlikleri sağlanır,
(c) b < 0 için b · S := {b · s : s ∈ S} olmak üzere
sup(b · S) = b · inf S
ve
inf(b · S) = b · sup S
eşitlikleri sağlanır.
İspat Sadece ilk sonucun kanıtını vereceğiz, okuyucu diğerlerini de benzer şekilde kanıtlamalıdır.
u := sup S olsun, bu durumda her x ∈ S için x ≤ u olacağından a + x ≤ a + u eşitsizliği sağlanır.
Yani a + u sayısı a + S kümesinin bir üst sınırıdır. Bundan dolayı da sup(a + S) ≤ a + u eşitsizliği
sağlanır.
Diğer yandan v ile a + S kümesinin herhangi bir üst sınırını gösterirsek her x ∈ S için a +
x ≤ v olacağından x ≤ v − a eşitsizliği sağlanır. Yani v − a sayısı S kümesi için bir üst sınırdır.
Bundan dolayı u = sup S ≤ v − a, yani a + u ≤ v eşitsizliği sağlanır. Ayrıca v herhangi bir üst sınır
olduğundan a + u ≤ sup(a + S) elde edilmiş olur.
■
Bazen boştan farklı bir S ⊆ R kümesinin bif f fonksiyonu altındaki görüntü kümesinin supremumunu, yani sup f (S) sayısını
sup f (x)
x∈S
şeklinde gösteririz. İnfimum da benzer şekilde gösterilir. Bu gösterimle birlikte Teorem 2.3.14 benzeri cebirsel özellikler iki fonksiyonun toplamı ve çarpımı için kanıtlanabilir.
Tanım 2.3.10’e göre sadece üstten sınırlı reel sayı kümelerinin supremumu var olabilir, veya
sadece alttan sınırlı reel sayı kümelerinin infimumu olabilir. Fakat sıralı bir cisimde her sınırlı
kümenin supremumu ve infimumu var mıdır? Cevabın olumsuz olduğunu biliyoruz, en azından
rasyonel sayılar kümesinin bir en küçük pozitif elemanının olmadığını Teorem 2.2.9 ile gördük.
Yani henüz şu çok önemli bir soruya cevap vermedik, acaba sınırlı her kümenin supremumu ve
infimumu var mıdır? Cevap olumsuz, aşağıdaki örneği inceleyin.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
41
2.3. Tamlık Aksiyomu
Örnek 2.3.15 Rasyonel sayılar cisminin
©
ª
A := p ∈ Q : p > 0 ve p 2 < 2
ile
©
ª
B := p ∈ Q : p > 0 ve p 2 > 2
alt kümelerini ele alalım. Şimdi her p > 0 rasyonel sayısı için
q := p −
p 2 − 2 2p + 2
=
p +2
p +2
(2.3.1)
2(p 2 − 2)
(p + 2)2
(2.3.2)
sayısını tanımlayalım. Bu durumda
q2 − 2 =
eşitliği sağlanacaktır.
Şimdi eğer p ∈ A ise p 2 − 2 < 0 olacaktır, Ayrıca (2.3.1) gereği q > p ve (2.3.2) gereği q 2 < 2 olacaktır. Yani A kümesinin her elemanı için ondan daha büyük başka bir elemanını bulabiliyoruz,
bu kümenin en büyük elemanı yok.
Benzer şekilde eğer p ∈ B ise p 2 −2 > 0 olacaktır. (2.3.1) gereği 0 < q < p ve (2.3.2) gereği q 2 > 2
olacacağından bu kümenin en küçük elemanı yoktur.
Şimdi rasyonel sayılar cisminde olduğumuzu hatırlayın. A kümesinin tüm üst sınırları B kümesinde olduğundan ve B kümesinin de en küçük elemanı olmadığından A kümesinin Q’da supremumu yoktur. Benzer şekilde B kümesinin de infimumu yoktur.
Örnek 2.3.15 ile verilen durum tam sıralı cisimde (yani R’de) görülmez. Reel sayıların boştan
farklı ve üstten sınırlı her kümesinin bir üst sınırı vardır. Supremum prensibi dediğimiz bu özellik
reel sayıların çok temel bir özelliğidir.
Teorem 2.3.16 (Supremum Prensibi) Reel sayıların boştan farklı ve üstten sınırlı her kümesinin
supremumu vardır.
İspat b ile boştan farklı bir S reel sayı kümesinin herhangi bir üst sınırını, a ile de bu S kümesinin
bir üst sınırı olmayan herhangi bir reel sayıyı gösterelim. Bu durumda a < b olur, [a, b] aralığını I 1
ile gösterelim. Şimdi eğer (a + b)/2 sayısı S’nin bir üst sınırı ise I 2 = [a, (a + b)/2] olarak, diğer durumda ise I 2 = [(a + b)/2, b] olarak tanımlayalım. Her iki durumda da I 2 aralığının uç noktalarını
sırasıyla a 2 ve b 2 olarak yeniden adlandıralım. Benzer şekilde şimdi eğer (a 2 + b 2 )/2 ∈ I 2 sayısı S
kümesinin bir üst sınırı ise I 3 = [a 2 , (a 2 + b 2 )/2] olarak, diğer durumda ise I 3 = [(a 2 + b 2 )/2, b 2 ] olarak tanımlayalım ve uç nokttaları sırasıyla a 3 ve b 3 olarak yeniden adlandıralım. Bu şekilde devam
edersek reel sayıların boştan farklı kapalı ve iç içe geçmiş I n aralıklarını elde ederiz. Bu aralıkların
uzunlukları
b−a
L n = b n − a n = n−1
2
şeklindedir. Ayrıca bu aralıkların hepsinin sol uç noktaları olan a n noktaları S kümesinin bir üst
sınırı değildir fakat sağ uç noktaları olan b n noktaları S kümesinin birer üst sınırıdır. Reel sayıların
tamlık özelliği gereği (Tanım 2.3.4 ve 2.3.6) bu aralıkların bir x ∈ R ortak noktası vardır. Şimdi bu
ortak noktanın S kümesinin supremumu olduğunu gösterelim.
Varsayalım ki x < s olacak şekilde bir s ∈ S sayısı var olsun. Bu durumda s − x > 0 ve
L n = bn − an =
b−a
< s−x
2n−1
olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. Ayrıca x ∈ I n olduğundan a n ≤ x ≤ b n < s elde edilir fakat
bu da b n ’in S kümesinin bir üst sınırı olmasıyla çelişir, o halde x, S’nin bir üst sınırı olmalıdır.
42
Bölüm 2. Reel Sayılar
Şimdi v < x kabul edelim, x − v > 0 olduğundan
L m = bm − am =
b−a
< x −v
2m−1
olacak şekjilde bir m doğal sayısı bulabiliriz. Ayrıca x ∈ I m olduğundan v < a m ≤ x ≤ b m olur, yani
a m sayısı S kümesi için bir üst sınır değildir, dolayısıyla v < a m < s 0 olacak şekilde s 0 ∈ S sayıları
vardır. Bu da Teorem 2.3.12 gereği x = sup S anlamına gelir.
■
Uyarı 2.3.17 Teorem 2.3.16 kullanılarak boştan farklı ve alttan sınırlı her reel sayı kümesinin bir
infimumunun var olduğu kanıtlanabilir, Bkz: Alıştırma 4. Î
Teorem 2.3.16 ile verdiğimiz supremum prensibini sadece iç içe geçmiş aralıklar teoremini
(Teorem 2.3.1) kullanarak ispatladık. Diğer yandan supremum prensibinin sağlayan bir sıralı cismin Arşimed özelliğini ve tamlık özelliğini sağladığı gösterilebilir. Yani tamlık özelliği ile supremum prensibi özelliği birbirine denktir. Hatta birçok kaynakta supremum prensibi tamlık özelliği olarak verilir. Yani reel sayılar supremum prensibini sağlayan sıralı cisimler olarak tanımlanır.
Bunlar tamlık aksiyomunun aslında iki farklı ifadesidir.
Uyarı 2.3.18 Tamlık aksiyomunun daha farklı ifadeleri de vardır ve hepsi birbirine denktir:
1. Supremum prensibi,
2. İç içe geçmiş aralıklar teoremi,
3. Cauchy tamlık özelliği,
4. Monoton yakınsaklık teoremi,
5. Bolzano-Weierstrass teoremi.
Î
Şimdi supremum prensibinin (yani aslında tamlık özelliğinin) sağladığı bir kaç kolaylığı örnekleyelim.
Örnek 2.3.19 S := {1/n : n ∈ N} ise inf S = 0 olduğunu gösterelim. S kümesi boştan farklı ve alttan
0 ile sınırlı olduğundan supremum prensibi gereği infimumu vardır, w := inf S olsun. w > 0 olduğu
açıktır, ayrıca Arşimed özelliği gereği her ² > 0 sayısı için 1/² < n olacak şekilde bir n doğal sayısı
vardır, yani 1/n < ² olur. Dolayısıyla her ² > 0 için
0 ≤ w ≤ 1/n < ²
eşitsizliği sağlanır. Böylece Teorem 2.2.10 gereği w = 0 olduğu sonucu elde edilir.
p
Daha önce Teorem 2.1.8 ve Örnek 2.3.15 ile 2 sayısının rasyonel sayılar kümesinde yer almadığını gördük. Aşağıdaki örnekte bu sayının reel sayılar cisminde yer aldığını göreceğiz.
Örnek 2.3.20
x 2 = 2 eşitliğini
©
ª sağlayan pozitif tek bir x reel sayısının var olduğunu gösterelim.
S := s ∈ R : s ≥ 0, s 2 < 2 olarak tanımlayalım. 1 ∈ S olduğundan S 6= ; olduğu açıktır. Ayrıca 2
sayısı S kümesi için bir üst sınırdır. Böylece supremum prensibi gereği S kümesinin supremumu
vardır, x := sup S olsun (x > 1 olduğu açıktır). x 2 6< 2 ve x 2 6> 2 olduğunu göstereceğiz.
Şimdi varsayalım ki x 2 < 2 olsun. n ∈ N olmak üzere
µ
x+
1
n
¶2
= x2 +
2x
1
1
+ 2 ≤ x 2 + (2x + 1)
n
n
n
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
43
2.3. Tamlık Aksiyomu
eşitsizliğini dikkate alarak
1
(2x + 1) < 2 − x 2
n
eşitsizliğini sağlayan bir n doğal sayısı seçilirse
¶
µ
1 2
x+
< x 2 + (2 − x 2 ) = 2
n
eşitsizliğinin sağlanacağı görülür. Buna göre, 2 − x 2 > 0 kabul ettiğimizden (2 − x 2 )/(2x + 1) > 0
olduğundan Arşimed özelliği gereği Teorem 2.2.17 (b) kullanılırsa
1 2 − x2
<
n 2x + 1
eşitliğini sağlayan n doğal sayısının varlığı elde edilir. Bu da x + 1/n ∈ S anlamına gelir (geriye
doğru giderek bunu görün) ve x = sup S olmasıyla çelişir, dolayısıyla x 2 < 2 olamaz.
Şimdi x 2 > 2 varsayalım. Benzer şekilde x − 1/m 6∈ S olacak şekilde bir m doğal sayısının varlığını gösterirsek gereken çelişki elde edilmiş olacaktır. Bunun için
µ
¶
2x
1 2
1
2x
= x2 −
x−
+
> x2 −
m
m m2
m
eşitsizliğinden hareketle
2x
< x2 − 2
m
eşitsizliğini sağlayan bir m doğal sayısı seçmeliyiz. Bu durumda (x − 1/m)2 > x 2 − (x 2 − 2) = 2
eşitsizliği sağlanacaktır. Şimdi (x 2 − 2)/2x > 0 olduğundan Teorem 2.2.17 (b) gereği
1
x2 − 2
<
m
2x
eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir m doğal sayısı vardır. Bu sayede buradan geriye doğru giderek
x − 1/m 6∈ S olduğunu görebiliriz, bu da x = sup S olmasıyla çelişir. Yani x 2 > 2 olamaz.
Sonuç olarak x = 2 olmalıdır.
Yukarıdaki örnekte kullanılan yöntem üstünde küçük değişiklikler yapılarak a > 0 olmak üzere
b 2 = a eşitliğini sağlayan tek bir pozitif reel sayının var olduğu gösterilebilir, bu sayı b = a 1/2 veya
p
b = a ile gösterilir. Hatta bu yöntemi temel alan başka bir yöntem geliştirerek a > 0 olmak üzere
her n doğal sayısı için b n = a olacak şekilde tek bir pozitif b sayısın var olduğu göterilebilir, bu
p
sayıyı da b = a 1/n veya n a ile gösteririz.
Aşağıdaki teoremle reel sayıların önemli bir özelliğini yine supremum prensibinden hareketle
elde ediyoruz.
Teorem 2.3.21 Reel sayılar kümesi sayılamaz bir kümedir.
İspat I := [0, 1] reel aralığının sayılamaz olduğunu göstermek yeterlidir, çünkü sayılamaz bir alt
kümesi var olan küme sayılamazdır (Bölüm 1.4).
Varsayalım ki I sayılabilir olsun, bu durumda I = {x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .} şeklinde elemanları numaralandırabiliriz. Önce I ’nın x 1 elemanını içermeyen kapalı bir I 1 alt aralığını, daha sonra da I 1 ’in
x 2 elemanını içermeyen kapalı bir I 2 alt aralığını seçelim. Bu şekilde devam edilirse her n doğal
sayısı için x n 6∈ I n ve I n ⊆ I özelliğine sahip
I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · ·
iç içe geçmiş aralıklar setini elde ederiz. Reel sayıların tamlığından dolayı (Tanım 2.3.4 ve 2.3.6)
her n doğal sayısı için ξ ∈ I n olacak şekilde bir ξ ∈ I reel sayısı vardır, yani her n için ξ 6= x n olur.
Dolayısıyla doğal sayılar kümesinden I kümesine örten bir fonksiyon tanımlanamaz.
■
44
Bölüm 2. Reel Sayılar
Uyarı 2.3.22 Bu sonuçla beraber irrasyonel sayılar kümesinin sayılamaz olduğunu göstermiş olduk. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu hatırlayın. Î
İkilik ve Ondalık Gösterim
Reel sayıların hepsinin rasyonel olarak, yani iki tam sayısının oranı olarak gösterilemediğini biliyoruz. Reel sayılar için en yaygın gösterim ondalık gösterimidir, bu bölümde ikilik gösterimden
yola çıkarak ondalık gösterimi tanımlayacağız. Bu tanımlamaların temel dayanağı reel sayıların
tamlığıdır.
Şimdi x ∈ [0, 1] bir reel sayı olsun. [0, 1] aralığını tam ortasından iki kapalı alt aralığa bölelim,
bu durumda x ∈ [0, 21 ] veya x ∈ [ 12 , 1] olur. Eğer ilk durum geçerli ise a 1 := 0, ikinci durum geçerli
ise de a 1 := 1 seçelim (x = 1/2 ise her iki tanımlama da yapılabilir). Her iki durumda da
·
¸
a1 a1 + 1
x ∈ I 1 :=
,
2
2
olur ve
a1
a1 + 1
≤x≤
2
2
eşitsizliği sağlanır. Şimdi de I 1 aralığını ortadan ikiye bölelim. Yine x reel sayısı eğer ilk parçada
kalıyorsa a 2 := 0, ikinci parçada kalıyorsa a 2 := 1 olarak tanımlayalım. x = 14 veya x = 34 ise (bu
durumda x sayısı I 1 aralığının tam orta noktasıdır) her iki tanımlama da yapılabilir. Bu durumda
·
¸
a1 a2 a1 a2 + 1
x ∈ I 2 :=
+ 2,
+
2
2
2
22
olur ve
a1 a2
a1 a2 + 1
+ 2 ≤x≤
+
2
2
2
22
eşitsizliği sağlanır. Bu şekilde devam edilirse her n ∈ N için iç içe azalan I n kapalı aralıkları ve 0
veya 1 olan a n sayıları elde edilir. Ayrıca her n ∈ N için
a1 a2
an
a1 a2
an + 1
+ 2 +···+ n ≤ x ≤
+ 2 +···+
2
2
2
2
2
2n
eşitsizliği geçerlidir.
Bir n ∈ N için, m tek bir doğal sayı olmak üzere x = m/2n biçiminde ise bu durumda n’inci
adımda x reel sayısı tam orta noktaya denk gelir. Bundan dolayı n’inci adımda a n := 0 veya a n := 1
seçilebilir. Eğer a n := 0 seçilirse bundan sonraki tüm adımlarda x sayısı I k (k > n) aralıklarının sağ
uç noktası olacağından a k = 1 (k > n) olacaktır. Benzer şekilde a n := 1 seçilirse de a k = 0 (k > n)
olacaktır.
Reel sayıların tamlığı gereği yukarıdaki gibi tanımlanan I n aralıklarının kesişimi boş değildir,
hepsinin de elemanı olan tek bir reel sayı vardır. Sonuç olarak yukarıdaki yöntemle her x ∈ [0, 1]
sayısına karşılık, 0 ve 1’lerden oluşan bir (a n ) sayıları dizisi vardır. Tersine, bu şekildeki her diziye
de bir x reel sayısı karşılık gelir. Bu durumda
x = (0.a 1 a 2 · · · a n · · · )2
ifadesine de x sayısının ikilik gösterimi (veya açılımı) denir. Bu açılım m tek bir sayı olmak üzere
m/2n biçimindeki x reel sayıları hariç tek türlüdür. Bu biçime sahip reel sayıların ise
x = (0.a 1 a 2 · · · a n−1 1000 · · · )2
ve x = (0.a 1 a 2 · · · a n−1 0111 · · · )2
olmak üzere iki farklı açılımı vardır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
45
2.3. Tamlık Aksiyomu
Yukarıdaki yöntem üzerinde çok küçük bir değişiklik yaparak reel sayıların ondalık açılımlarını elde edeceğiz. Şimdi [0, 1] aralığını iki yerine on eşit alt aralığa bölelim ve x ∈ [0, 1] reel sayısının bu alt aralıklardan ilkinde, ikincisinde, üçüncüsünde veya diğerlerinde içerilmesi durumlarında b 1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} sayılarını sırasıyla b 1 := 0, b 1 := 1, b 1 := 2,. . . olarak tanımlayalım. İkilik
açılımda olduğu gibi iç içe azalan kapalı aralıklar elde edilirse her x ∈ [0, 1] reel sayısına karşılık
bn
b1
bn + 1
b2
b2
b1
+ 2 +···+ n ≤ x ≤
+ 2 +···+
10 10
10
10 10
10n
eşitsizliği sağlanacak şekilde b 1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} rakamlarının bir dizisi vardır. Bu durumda
x = 0.b 1 b 2 · · · b n · · ·
ifadesine x reel sayısının ondalık gösterimi denir. Bu gösterim m, n ∈ N olmak üzere x = m/10n
biçimine sahip sayılar hariç tek türlüdür. Bu biçimdeki reel sayıların
x = 0.b 1 b 2 · · · a n−1 1000 · · ·
ve x = 0.b 1 b 2 · · · b n−1 0999 · · ·
şeklinde iki farklı ondalık gösterime sahip olacakları açıktır.
[0, 1] aralığı dışındaki pozitif reel sayılar x = B.b 1 b 2 · · · b n · · · olarak gösterilir, buradaki B doğal sayısı B ≤ x < B + 1 eşitsizliğini sağlayan doğal sayıdır ve (b n ) rakamları da x − B ∈ [0, 1] reel
sayısının ondalık gösteriminin rakamlarıdır. Benzer yöntem negatif reel sayılar için de kullanılır.
Bazı reel sayıların ondalık açılımında belirli bir yerden sonra bir rakam veya birkaç rakamdan oluşan bir blok kendini sürekli tekrar eder. Örneğin, yukarıda bahsettiğimiz gibi iki ondalık
açılıma sahip reel sayılarda belirli bir yerden sonra 0’lar veya 9’lar kendini tekrarlar. Mesela
1
= 0.4999 · · · = 0.5000 · · ·
2
şeklindedir, bu gibi durumlarda tekrar eden rakam 0 ise bunu açılımda yazmayız, eğer 9 tekrarlanıyorsa bu rakamı da bir kez yazıp üzerine bir çizgi çizeriz. Yani
1
= 0.49 = 0.5
2
olarak gösteririz. İki ondalık gösterime sahip olmayan reel sayılarda da tekrarlayan bloklar görülebilir, bu durumda da benzer bir gösterim kullanırız. Örneğin
7
= 0.58333 · · · = 0.583,
12
14
= 2545454 · · · = 254,
55
4
= 0.05479452054794520 · · · = 0.054794520
73
veya
17
= 0.1931818 · · · = 0.19318
88
gibi. Bu gibi reel sayıların ondalık açılımları periyodiktir denir. Tekrarlayan en küçük bloktaki rakam sayısına bu gösterimin periyodu denir, mesela yukarıda örnek olarak verdiğimiz 7/12, 14/55, 17/88
ve 4/73 sayıları periyodik ondalık gösterime sahiptir ve periyotları da sırasıyla 1, 2, 8 ve 2’dir.
Rastgele seçeceğiniz bir rasyonel sayının ondalık gösterimini araştırırsanız çok büyük bir periyotla bile olsa periyodik olduğunu görebilirsiniz. Bu bir raslantı değildir, aşağıdaki sonucu ispatsız
olarak veriyoruz.
Teorem 2.3.23 Pozitif bir reel sayının rasyonel olması için gerek ve yeter koşul ondaluk gözteriminin periyodik olmasıdır.
46
Bölüm 2. Reel Sayılar
Bir reel sayının ondalık açılımı kullanılarak reel sayılar kümesinin sayılamaz olduğu da gösterilebilir. Teorem 2.3.21’ye alternatif olan bu önemli sonuç Cantor’un meşhur ikinci kanıtı olarak
bilinir.
Teorem 2.3.24 Reel sayılar kümesi sayılamazdır.
İspat [0, 1] aralığının sayılamaz olduğunu göstereceğiz. Varsayalım ki [0, 1] aralığındaki reel sayılar sayılabilir olsun, bu durumda
x1
=
0.b 1,1 b 1,2 b 1,3 · · · b 1,n · · ·
x2
=
0.b 2,1 b 2,2 b 2,3 · · · b 2,n · · ·
x3
=
..
.
0.b 3,1 b 3,2 b 3,3 · · · b 3,n · · ·
xn
=
0.b n,1 b n,2 b n,3 · · · b n,n · · ·
şeklinde bir numaralandırma yapılabilir. Şimdi
½
c n :=
1,
2,
b n,n 6= 1 ise,
b n,n = 1 ise.
olmak üzere
y := 0.c 1 c 2 c 3 · · · c n · · ·
reel sayısını ele alalım. Öncelikle y sayısının tek bir ondalıklı gösterimi olduğu ve y ∈ [0, 1] olduğu açıktır. x 1 sayısı y sayısına eşit olamaz, çünkü ondalıklı gösteriminde ilk rakamları farklıdır.
İkinci rakamları farklı olduğundan x 2 sayısı da y sayısına eşit olamaz. Benzer şekilde her n ∈ N
için x n 6= y olduğunu görürüz. Böylece [0, 1] aralığındaki sayıların numaralandırılması ile çelişki
elde edilmiş olur.
■
Alıştırmalar 2.3
T
1. n ∈ N için I n := [0, 1/n] olmak üzere ∞
n=1 I n = {0} olduğunu gösterin.
T∞
2. n ∈ N için J n := (0, 1/n) olmak üzere n=1 J n = ; olduğunu gösterin.
T
3. n ∈ N için K n := (n, ∞) olmak üzere ∞
n=1 K n = ; olduğunu gösterin.
4. F sıralı cisminde supremum prensibi sağlansın. Ayrıca S ⊂ F boştan farklı ve alttan sınırlı bir alt küme
olsun. Eğer S kümesinin tüm alt sınırlarının kümesini L ile gösterirsek a = sup L sayısı mevcuttur ve
a = inf B ’dir, kanıtlayın.
5. S boştan farklı ve alttan sınırlı bir reel sayı klümesi olmak üzere
inf S = − sup {−s : s ∈ S}
olduğunu gösterin. Daha genel olarak Teorem 2.3.14-(c) sonucunu kanıtlayın.
6. Bir S ⊆ R kümesi üst sınırlarından birini içeriyorsa bu üst sınır onun supremumudur, kanıtlayın.
7. A boştan farklı ve sınırlı bir küme ise inf A = sup A olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin tek
elemanlı bir küme olmasıdır, kanıtlayın.
8. S 1 ve S 2 sınırlı reel sayı kümeleri ise S 1 ∪ S 2 kümesi de sınırlıdır ve
©
ª
sup(S 1 ∪ S 2 ) = sup sup S 1 , sup S 2
eşitliği sağlanır, kanıtlayın.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
47
2.3. Tamlık Aksiyomu
9. S sınırlı bir reel sayı kümesi ve S 0 ’da S’nin boştan farklı bir alt kümesi ise
inf S ≤ inf S 0 ≤ sup S 0 ≤ sup S
olduğunu gösterin.
10. S ⊆ R ve s ∗ := sup S elemanı da S kümesinde olsun. Bu durumda u 6∈ S olmak üzere
©
ª
sup(S ∪ {u}) = sup s ∗ , u
olduğunu gösterin. Ayrıca bu sonucu kullanarak boştan farklı ve sonlu bir reel sayı kümesinin supremumunu içerdiğini kanıtlayın.
11. A ile B pozitif reel sayıların üstten sınırlı birer kümesi olsun, ayrıca a := sup A ve b := sup B olarak
tanımlayalım. Bu durumda
C := {x y : x ∈ A, y ∈ B }
olmak üzere supC = ab eşitliği sağlanır, kanıtlayın.
12. F cismi supremum prensibinin sağlandığı sıralı bir cisim ise Arşimed özelliğini sağlar, kanıtlayın.
13. n ∈ N için I n := [a n , b n ] iç içe geçmiş aralıklarının kesişiminin
a := sup {a n }
ve b := sup {b n }
olmak üzere [a, b] aralığı olduğunu gösterin. Bu sonuç ile supremum prensibini sağlayan sıralı cisimlerin Tanım 2.3.4 ile verilen tanıma göre tamlık aksiyomunu sağladıklarını elde ederiz.
14. sup {1 − 1/n : n ∈ N} = 1 olduğunu gösterin.
15. {1/n − 1/m : n, m ∈ N} kümesinin supremumunu ve infimumunu bulun.
16.
a) y 2 = 3 eşitliğini sağlayan tek bir pozitif y reel sayısı vardır, kanıtlayın.
b) a > 0 olmak üzere z 2 = a eşitliğini sağlayan tek bir pozitif z reel sayısı vardır, kanıtlayın.
c) u 3 = 2 eşitliğini sağlayan tek bir pozitif u reel sayısı vardır, kanıtlayın.
d) n ∈ N ve a > 0 olmak üzere x n = a eşitliğini sağlayan tek bir pozitif x reel sayısı vardır, kanıtlayın.
17. b > 1 sabit bir sayı olmak üzere bir sayının reel kuvvetlerini tanımlamak için aşağıdaki adımları izleyin.
a) m, n, p, q ∈ Z ve n, q > 0 olmak üzere eğer
r :=
ise
m p
=
n
q
1
1
(b m ) n = (b p ) q
1
olduğunu gösterin ve b r = (b m ) n olarak tanımlayın,
b) r, s ∈ Q olmak üzere
b r +s = b r b s
olduğunu gösterin,
c) x ∈ R ve r ∈ Q olmak üzere
B r (x) := {b z : z ∈ Q, z < x}
olarak tanımlanan kümenin boştan farklı ve üstten sınırlı olduğunu gösterin ve
b x := sup B r (x)
olarak tanımlayın,
d) x, y ∈ R olmak üzere
olduğunu gösterin.
b x+y = b x b y
48
Bölüm 2. Reel Sayılar
2.4 Standart Topoloji
Önceki bölümlerde reel sayılar kümesini tanımladık ve bazı temel özelliklerini inceledik. Bu bölümün amacı ise bir reel sayının komşuluğu kavramını ve bu kavramın özelliklerini incelemek,
sonra da Heine-Borel Teoremi ve Bolzano-Weierstrass Teoremi olarak bilinen sonuçları elde etmektir. Bu bölümde inceleyeceğimiz özelliklere reel sayıların topolojik özellikleri denir.
Bu bölümde ele alacağımız tüm aralıklar reel sayı aralıkları olacaktır, ayrıca bir S reel sayı kümesinin tümleyeni denilen S c kümesini S c := R\S olarak tanımlıyoruz.
Tanım 2.4.1 x 0 ∈ R ve ² > 0 olsun. Bu durumda V² (x 0 ) := (x 0 − ², x 0 + ²) açık aralığına x 0 noktasının ²-komşuluğu, V² (x 0 )\ {x 0 } kümesine de x 0 noktasının delinmiş ²-komşuluğu denir. x 0 noktasının bir ²-komşuluğunu kapsayan bir S kümesine x 0 noktasının bir komşuluğu, x 0 noktasına
da S kümesinin bir iç noktası denir. Bir S kümesinin tüm iç noktalarının oluşturduğu kümeye S
kümesinin içi denir ve S ◦ ile gösterilir. S ◦ = S ise, yani S kümesinin her noktası bir iç noktası ise, S
kümesine bir açık küme denir, S c kümesi açık ise S kümesine bir kapalı küme denir.
Uyarı 2.4.2 ²-komşuluğun noktaya göre "simetrik" bir aralık olması gerekirken komşuluğun böyle
olması gerekmediğine dikkat edin. Î
Örnek 2.4.3 Her (a, b) açık aralığı bir açık kümedir, gerçekten her x 0 ∈ (a, b) için 0 < ² ≤ min {x 0 − a, b − x 0 }
seçilirse (x 0 −², x 0 +²) ⊂ (a, b) olur. R = (−∞, ∞) kümesi de açıktır, dolayısıyla Rc = ; kapalı bir kümedir. Diğer yandan boş kümenin açık bir küme olduğu da kanıtlanabilir (Aksini kanıtlayamazsınız. Hatırlayın, boş kümede her önerme hem doğrudur hem de yanlış)., dolayısıyla bu durumda
;c = R kapalı bir küme olur. Sonuç olarak R ve ; kümeleri hem açık hem de kapalı kümelerdir.
[a, b] kapalı aralığı ise açık değildir, çünkü a ve b noktaları birer iç nokta değildir, bu noktaların
hiç bir ²-komşuluğu [a, b] aralığı tarafından kapsanmaz.
Uyarı 2.4.4 R ve ; dışında hem açık hem de kapalı olan küme yoktur. Î
Teorem 2.4.5
(a) Açık kümelerin birleşimleri de bir açık kümedir,
(b) Kapalı kümelerin kesişimleri de bir kapalı kümedir.
İspat
(a) G ile açık G kümelerinden oluşan bir aileyi (Elemanları kümeler olan kümelere genellikle
aile denir) gösterelim ve
[
S := {G : G ∈ G }
olsun. Her x 0 ∈ S için x 0 ∈ G 0 olacak şekilde bir G 0 ∈ G var olacağından ve G 0 açık küme
olduğundan x 0 ’ın bir ²-komşuluğunu içerir. Dolayısıyla G 0 ⊆ S olduğundan S kümesi de
x 0 ’ın bir komşuluğudur.
(b) F ile kapalı F kümelerinden oluşan bir aileyi gösterelim ve
T :=
\
{F : F ∈ F }
olsun. Bu durumda
Tc =
[©
Fc : F ∈ F
ª
olacağından ve F c kümeleri açık olacağından (a) sonucundan T c açık olur, yani T kapalıdır.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
49
2.4. Standart Topoloji
Uyarı 2.4.6 Açık kümelerin kesişimleri açık olmayabilir, örneğin I n := (0, 1 + 1/n) kümeleri her n
doğal sayısı için açıktır, fakat kesişimleri olan
∞
\
I n = (0, 1]
n=1
kümesi açık bir küme değildir. Fakat şu kanıtlanabilir: sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açık
bir kümedir. Benzer şekilde sonlu sayıda kapalı kümenin birleşiminin kapalı bir küme olduğu
gösterilebilir. Fakat keyfi sayıdaki kapalı kümenin birleşimi kapalı olmayabilir. Örneğin n doğal
sayı olmak üzere J n := [1/n, 1] kapalı kümelerinin birleşimi olan
∞
[
J n = (0, 1]
n=1
kümesi kapalı değildir. Î
Örnek 2.4.7 [a, b] kapalı aralığının açık olmadığını Örnek 2.4.3 ile görmüştük. Bu aralığın tümleyeni (−∞, a)∪(b, ∞) olduğundan ve Teorem 2.4.5 (a) gereği bu birleşim bir açık küme olduğundan
[a, b] aralığı kapalı bir kümedir. Benzer şekilde [a, ∞) ve (−∞, a] aralıkları da kapalıdır. Fakat [a, b)
ve (a, b] aralıkları ne açık ne de kapalıdır.
Uyarı 2.4.8 Örnek 2.4.3 ile bir kümenin hem açık hem de kapalı olabileceğini, Örnek 2.4.7 ile
de ne açık ne de kapalı olamayabileceğini gördük. Yani açıklık ve kapalılık kavramları birbirinin
karşıtı olan kavramlar değildir. Î
Tanım 2.4.9 S ⊆ R olsun. Eğer x 0 noktasının her delinmiş komşuluğu S kümesinin bir elemanını
içeriyorsa x 0 noktasına S’nin bir limit noktası denir. Eğer x 0 ’ın her komşuluğu hem S’nin hem
de S’nin olmayan en az birer eleman içeriyorsa x 0 a S’nin bir sınır noktası denir. S’nin bütün
sınır noktalarının oluşturduğu kümeye S’nin sınırı denir ve ∂S ile gösterilir. S := S ∪ ∂S olarak
tanımlanan kümeye de S’nin kapanışı denir. Eğer x 0 noktasının S’nin başka hiç bir elemanını
içermeyen bir komşuluğu varsa x 0 ’a S’nin bir izole noktası denir. S c kümesinin bir iç noktası olan
x 0 noktasına S’nin bir dış noktası, tüm dış noktaların kümesine de S’nin dışı denir (Bu tanımlarda
x 0 sayısı S kümesinin bir elemanı olak zorunda değildir).
Örnek 2.4.10 S := (−∞, −2] ∪ (1, 2) ∪ {3} kümesi için limit noktaları kümesi (−∞, −2] ∪ [1, 2], sınırı
∂S = {−2, 1, 2, 3}, kapanışı S = (−∞, −2] ∪ [1, 2] ∪ {3}, tek izole noktası 3 ve dışı (−2, 1) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞)
şeklindedir.
¤
£ 1
S
1
Örnek 2.4.11 n ≥ 1 doğal sayıları için I n := 2n+1
, 2n
olmak üzere S := ∞
n=1 I n kümesini ele alalım. Limit noktaları kümesinin S ∪{0}, sınırının ∂S = {1/n : n = 2, 3, . . .}∪{0}, kapanışının S = S ∪{0}
ve dışının
·∞ µ
¶¸ µ
¶
[
1
1
1
,
∪ ,∞
(−∞, 0) ∪
2
n=1 2n + 2 2n + 1
olduğu gösterilebilir. Ayrıca S’nin izole noktası yoktur.
Örnek 2.4.12 S := Q olsun. Her aralıkta irrasyonel sayılar da var olduğundan (Teorem 2.2.19) her
reel sayı rasyonel sayıların bir limit noktasıdır. Ayrıca her aralıkta irrasyonel sayılar da var olduğundan (Teorem 2.2.20) her reel sayı rasyonel sayılar kümesinin bir sınır noktasıdır, yani ∂Q = R
ve Q = R olur. Rasyonel sayılar kümesinin hem içi hem de dışı boşkümedir, yani rasyonel sayılar
kümesi ne açık ne de kapalı bir kümedir.
Teorem 2.4.13 Bir S kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul, S c kümesinin hiçbir noktasının S’nin bir limit noktası olmamasıdır.
50
Bölüm 2. Reel Sayılar
İspat S kapalı ve x 0 ∈ S c olsun. S c açık olduğundan x 0 ’ın S’nin hiç bir elemanını içermeyen bir
komşuluğu tamamen S c nin içinde kalır. Böylece x 0 noktası S’nin bir limit noktası olamaz.
Tersine, S c ’nin hiç bir noktası S’nin bir limit noktası değilse S c ’nin elemanlarının her komşuluğu tamamen S c içinde kalır, bu da S c ’nin açık, S’nin kapalı olması demektir.
■
Uyarı 2.4.14 Bu sonuç bazen şöyle ifade edilir: "Bir kümenin kapalı olması için gerek ve yeter koşul, (varsa!) tüm limit noktalarını içermesidir." Dikkat edin, kapalı bir kümenin limit noktalarının
bulunması gerekmez, örneğin her sonlu küme kapalıdır fakat limit noktası yoktur. Î
Teorem 2.4.15
(a) Bir kümenin bir limit noktası onun ya bir iç noktasıdır, ya da bir sınır noktasıdır,
(b) Bir kümenin bir sınır noktası onun ya bir limit noktasıdır, ya da bir izole noktasıdır.
Uyarı 2.4.16 Bu sonuç ve Teorem 2.4.13 ile şu önemli bilgiyi elde etmiş olduk: eğer S kapalı ise
∂S ⊂ S olur. Î
İspat
(a) x 0 noktası S kümesinin bir limit noktasıysa x 0 ’ın her komşuluğunda S’nin başka elemanları da vardır. Eğer x 0 ’ın her komşuluğunda aynı zamanda S c ’nin elemanları da varsa bu
durumda x 0 ∈ ∂S olur. Eğer x 0 ’ın, S c ’nin hiç bir elemanını içermeyen bir komşuluğu varsa
x 0 ∈ S ◦ olur.
(b) x 0 ∈ ∂S ve V² (x 0 ) de x 0 ’ın bir komşuluğu ise V² (x 0 )∩S 6= ; olur. Eğer x 0 S’nin bir limit noktası
değil ise bazı ² > 0 sayıları için V² (x 0 ) ∩ (S\ {x 0 }) = ; olacaktır. Bu da x 0 ’ın bir izole nokta
olması demektir.
■
Teorem 2.4.17 Bir S kümesi üstten sınırlı ise sup S ∈ ∂S’dir.
İspat Supremum prensibi (Teorem 2.3.16) gereği kümenin supremumu vardır, a := sup S olsun.
Eğer ² > 0 ise S ∩ (a − ², a) 6= ; olur. Ayrıca S c ∩ (a, a + ²) 6= ; olduğundan (a − ², a + ²) komşuluğu
hem S’nin hem de S c ’nin elemanlarını içerir.
■
Uyarı 2.4.18 Benzer şekilde küme alttan sınırlıysa inf S ∈ ∂S olduğu da gösterilebilir. Î
Buraya kadar öğrendiklerimizle aşağıdaki çok önemli iki sonucu ispatlayabiliriz.
Teorem 2.4.19 Bir S kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul S = S olmasıdır.
İspat Eğer S kapalıysa Teorem 2.4.13 ve Teorem 2.4.15 (b) gereği ∂S ⊂ S olur. Böylece S = S ∪∂S =
S elde edilir.
Tersine, S = S ise bu durumda ∂S ⊂ S olur. Ayrıca S ◦ ⊂ S olduğundan Teorem 2.4.13 ve Teorem
2.4.15 (a) gereği S kapalıdır.
■
Teorem 2.4.20 Kapalı ve sınırlı bir küme hem infimumunu hem de supremumunu içerir.
İspat S kapalı bir küme ise Teorem 2.4.13 ve Teorem 2.4.15 (b) gereği ∂S ⊂ S olduğunu biliyoruz.
Ayrıca Teorem 2.4.17 gereği inf S ∈ ∂S ve sup S ∈ ∂S olduğundan infimum ve supremum S’nin
içindedir.
■
İspatını okuyucuya bıraktığımız aşağıdaki sonuç ile, Teorem 2.4.19 ile kapalı kümeler için yaptığımız gibi, açık reel sayı kümeleri için bir kriter veriyoruz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
51
2.4. Standart Topoloji
Teorem 2.4.21 Bir reel sayı kümesinin açık küme olması için gerek ve yeter koşul onun sayılabilir
çoklukta ayrık açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilmesidir.
Şimdi matematik analizin çok önemli bir konusu olan kompaktlık (tıkızlık) kavramını vereceğiz. Reel sayı aralıkları için ifadesi basit gibi gelsede bu kavram daha genel kümeler üzerinde
analiz yapabilmemizi sağlayan oldukça önemli bir kavramdır.
Tanım 2.4.22 S ⊂ R olsun ve G ile G n açık kümelerinin oluşturduğu bir aileyi gösterelim. Eğer S
kümesinin her elemanı G içindeki bir küme tarafından içeriliyorsa yani G := {G n } olmak üzere
[
S ⊆ Gn
n
oluyorsa G ailesine S kümesinin bir açık örtüsü denir. Eğer bir G 0 ⊂ G alt ailesi de S kümesinin bir
açık örtüsü oluyorsa G 0 ailesine G ’nin bir alt örtüsü denir. Ayrıca bu G 0 açık alt örtüsü G ailesinin
sonlu sayıda açık kümesinden oluşmuşsa bu örtüye G örtüsünün bir sonlu alt örtüsü denir.
Örnek 2.4.23 Elbette bir kümenin çok sayıda farklı açık örtüsü vardır. Örneğin
G1
:=
G2
:=
{(0, ∞)} ,
©
ª
(r − 1, r + 1) : r ∈ Q, r > 0 ,
G3
:=
{(n − 1, n + 1) : n ∈ N} ,
G4
:=
{(0, n) : n ∈ N} ,
G5
:=
{(0, n) : n ∈ N, n ≥ 47}
ailelerinin hepsi de
S := [1, ∞)
kümesinin birer açık örtüsüdür. Ayrıca G3 ’ün G2 ’nin bir alt örtüsü olduğu ve G5 ’in de G4 ’ün bir alt
örtüsü olduğu açıktır.
Örnek 2.4.24 Kolaylıkla gösterilebilir ki
¶
¾
½µ
1
1
: 0<x <1 ,
G1 :=
x − ,x +
N
N
½µ
¶
¾
1
1
G2 :=
n − ,n +
: n∈N ,
4
4
(Ã
!
)
1
1
G3 :=
,
: n∈N ,
n + 12 n − 12
G4
:=
N bir doğal sayı,
{(0, ξ) : 0 < ξ < 1}
ile verilen aileler sırasıyla
kümelerinin birer açık örtüsüdür.
S1
:=
[0, 1],
S2
:=
S3
:=
S4
:=
N,
½
¾
1
1
1, , . . . , , . . . ,
2
n
(0, 1)
Tanım 2.4.25 (Kompaktlık) Bir S ⊂ R kümesinin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa S
kümesine bir kompakt (tıkız) küme denir.
52
Bölüm 2. Reel Sayılar
Uyarı 2.4.26 Tanımda dikkat edilmesi gereken husus şudur: kümenin tüm açık örtülerinin sonlu
bir alt örtüsü olmalıdır. Tek bir tane açık örtüsünün sonlu sayıdaki kümesiyle örtülemiyorsa bile
o küme kompakt değildir. Î
Daha açık bir ifadeyle kompakt bir küme G ailesinin kümelerinin birleşimi tarafından kapsanıyorsa, bu ailenin sonlu sayıdaki bazı kümelerinin birleşimi tarafından da kapsanmalıdır.
Örnek 2.4.27 Reel sayıların sonlu bir
S := {x 1 , x 2 , . . . , x n }
alt kümesini ele alalım ve G := {G n } ailesi de S’nin herhangi bir açık örtüsü olsun. Bu durumda
S’nin her bir x n elemanı en az bir G n açık kümesi tarafından içerilir. Böylece S’nin n tane elemanını içeren G ailesinde n tane açık küme vardır. Bu kümelerin oluşturduğu
©
ª
G0 := G k1 ,G k2 , . . . ,G kn
ailesi G ’nin sonlu bir alt örtüsüdür. Böylece S kümesi kompakttır.
Örnek 2.4.28 S := (0, 1) kümesini ele alalım. Her n ∈ N − {1} için G n := (1/n, 1) olarak tanımlarsak
∞
[
S=
(1/n, 1)
n=2
olduğundan G := {G n : n ∈ N − {1}} ailesi S’nin
© bir açık örtüsü
ª olur. Bu açık örtüden seçilen sonlu
sayıda kümeden oluşan herhangi bir Gk := G n1 ,G n2 , . . .G nk sonlu alt örtüsünü ele alırsak, m :=
sup {n 1 , n 2 , . . . , n k } olmak üzere
G n1 ∪G n2 ∪ · · · ∪G nk = G m = (1/m, 1)
olacağından bu G açık örtüsünün hiç bir sonlu alt örtüsü S kümesini örtemez, bundan dolayı S
kompakt değildir.
Uyarı 2.4.29 S := (0, 1) kümesinin bazı açık örtülerinin sonlu alt örtüleri vardır. Örneğin Örnek
2.4.23 ile tanımlanan
G4 := {(0, n) : n ∈ N}
ailesi bu kümenin bir açık örtüsüdür ve
G4∗ := {(0, n) : n ∈ N, n ≤ 10}
ailesi de G ’nin sonlu bir alt örtüsüdür. Fakat bu kümenin kompakt olabilmesi için her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsünün var olması gerekir, Örnek 2.4.28 ile bu özelliğe sahip olmayan bir
tane açık örtü örneği gösterdik. Î
Teorem 2.4.30 (Heine-Borel Teoremi) Reel sayıların bir alt kümesinin kompakt olması için gerek
ve yeter koşul kapalı ve sınırlı olmasıdır.
S
İspat S kompakt olsun. Her n ∈ N için G n := (−n, n) olarak tanımlanırsa S ⊆ ∞
n=1 G n = R olduğundan G := {G n : n ∈ N} ailesi S kümesinin bir açık örtüsüdür. S kompakt olduğundan her açık
örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır, yani
S⊆
N
[
G n = (−N , N )
n=1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
53
2.4. Standart Topoloji
olacak şekilde bir N doğal sayısı vardır. Böylece, sınırlı bir aralık tarafından kapsandığından, S
kümesi sınırlıdır. Şimdi herhangi bir x ∈ S c elemanını alalım ve her n ∈ N için
¶
µ
¶ µ
1
1
∪ x + ,∞
Hm := −∞, x −
n
n
S
olarak tanımlayalım. Bu durumda Hm kümeleri açıktır ve ∞
n=1 Hn = R\ {x} olduğu gösterilebilir.
Ayrıca x 6∈ S olduğundan
∞
[
S⊆
Hn
n=1
olduğu elde edilir, yani H := {Hn : n ∈ N} ailesi S kümesinin bir açık örtüsüdür. S kompakt olduğundan bu örtünün sonlu bir alt örtüsü vardır, yani
S⊆
M
[
¶ µ
¶
µ
1
1
∪ x + ,∞
Hn = H M = −∞, x −
M
M
n=1
olacak şekilde bir M doğal sayısı vardır. Buradan da S ∩ (x − 1/M , x + 1/M ) = ; olduğu, dolayısıyla
V1/M (x) = (x −1/M , x +1/M ) ∈ S c olduğu elde edilir. S c kümesinin her elemanı için bu sonucu elde
edebileceğimizde (x elemanını keyfi olarak seçmiştik) S c kümesinin her elemanının bir komşuluğu olduğunu elde etmiş olduk. Yani S c açık, S kapalı bir kümedir. Böylece S kompakt ise kapalı
ve sınırlı olması gerektiğini gösterdik, şimdi önermenin diğer yönünün kanıtlayalım.
S kapalı ve sınırlı bir küme olsun, ayrıca K := {K n } de S’nin bir açık örtüsü olsun. Farzedelim ki
S kümesi K ’nın hiç bir sonlu alt örtüsü tarafından kapsanmasın. S sınırlı olduğundan S ⊆ [−r, r ]
olacak şekilde bir r > 0 reel sayısı vardır. Şimdi I 1 := [−r, r ] kabul edelim ve I 1 aralığını tam ortasından I 10 := [−r, 0] ve I 100 := [0, r ] alt aralıklarına bölelim. Bu durumda S ∩I 10 ve S ∩I 100 kümelerinden
en az bir tanesi boştan farklıdır ve K açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü tarafınfan kapsanamaz
(çünkü eğer her ikisi de sonlu bir alt örtüyle örtülebilseydi S = (S ∩ I 10 ) ∪ (S ∩ I 100 ) olduğundan S
de sonlu bir açık örtüyle örtülebilirdi, bu ise varsayımızıla çelişir). Eğer S ∩ I 10 kümesi K örtüsünün sonlu bir alt örtüsüyle örtülemiyorsa I 2 := I 10 , diğer durumda ise I 2 := I 100 olarak tanımlayalım.
Benzer şekilde şimdi I 2 aralığını tam ortasından I 20 ve I 200 alt aralıklarına bölelim ve yine eğer S ∩ I 20
kümesi K örtüsünün sonlu bir alt örtüsüyle örtülemiyorsa I 3 := I 20 , diğer durumda ise I 3 := I 200
olarak tanımlayalım. Bu şekilde devam edersek boştan farklı ve kapalı iç içe geçmiş I n aralıklarını
elde ederiz. Reel sayıların tamlığı gereği (Tanım 2.3.4 ve Tanım 2.3.6) bu I n aralıklarının hepsinin
de içerdiği bir y reel sayısı vardır. Bu aralıkların her biri S’nin sonsuz sayıda elemanını içerdiklerinden (çünkü sonlu bir alt örtüyle örtülemiyorlar) y elemanı S’nin bir limit noktasıdır, dolayısıyla
Teorem 2.4.13 gereği y ∈ S olduğu elde edilir. K ailesi S’nin bir açık örtüsü olduğundan y ∈ K λ olacak şekilde bir K λ ∈ K açık kümesi vardır. Ayrıca K λ açık olduğundan V² (y) = (y − ², y + ²) ⊆ K λ
olacak şekilde bir ² > 0 sayısı da vardır. Diğer yandan, I n aralıkları [−r, r ] aralığının ortadan ikiye
bölerek elde edildiğinden her n doğal sayısı için bir I n aralığının boyu r /2n−2 olur. Bundan dolayı
yeterince büyük n doğal sayıları için I n aralıklarının boyu r /2n−2 < ² olacaktır, bu da yeterince
büyün n doğal sayıları için I n ⊆ (y −², y +²) ⊆ K λ olacaktır. Bu ise I n kümesinin K ailesinin tek bir
K λ kümesiyle örtülebilmesi anlamına gelir ki I n aralıklarının tanımıyla çelişir. I n alt aralıklarını
K ’nın sonlu bir alt örtüsüyle örtülemeyen kümeler olarak tanımlamıştık. O halde S kümesi K
ailesinin hiç bir sonlu alt örtüsüyle örtülemez varsayımımız yanlıştır, S kompakt olmalıdır.
■
Örnek 2.4.31 Teorem 2.4.30 sayesinde Örnek 2.4.24 ile verilen S 1 := [0, 1] kümesinin kompakt
olduğunu artık biliyoruz. Bu örnekte verilen S 2 kümesi sınırlı olmadığından, S 3 ve S 4 kümeleri de
kapalı olmadıklarından kompakt değildir.
Heine-Borel teoreminin en önemli uygulamalarından birisi aşağıda vereceğimiz Bolzano-Weierstrass
Teoremidir.
54
Bölüm 2. Reel Sayılar
Teorem 2.4.32 (Bolzano-Weierstrass Teoremi) Reel sayıların her sınırlı ve sonsuz alt kümesinin
en az bir limit noktası vardır.
İspat S sınırlı ve sonsuz bir reel sayı kümesi olsun. Eğer S’nin bir limit noktası yoksa Teorem
2.4.13 gereği kapalıdır. Ayrıca S’nin limit noktası olmadığından her x ∈ S elemanının x’ten başka
S’nin elemanını içermeyen birer V²x (x) komşuluğu vardır. Her x ∈ S için x ∈ V²x (x) olduğundan
©
ª
G := V²x (x) : x ∈ S
ailesi S kümesinin bir açık örtüsüdür. S kapalı ve sınırlı olduğundan Heine-Borel teoremi gereği
bu açık örtünün, her n doğal sayısı için V²x1 (x) ∈ G olmak üzere
n
o
G1 := V²x1 (x 1 ),V²x2 (x 2 ), . . . ,V²xn (x n )
şeklinde sonlu bir alt örtüsü vardır. Bu V²xn (x n ) kümeleri S kümesinin x n ’den başka elemanını
içermediğinden
S := {x 1 , x 2 , . . . , x n }
elde edilmiş olur. Yani kapalı ve sınırlı bir S reel sayı kümesinin limit noktası yoksa sonlu sayıda
elemanı vardır.
■
Uyarı 2.4.33 Burada verdiğimiz ispattan açıkça görülemese de Bolzano-Weierstrass teoremi aslında tamlık aksiyomuna (Tanım 2.3.4) eşdeğer bir sonuçtur. Yani tamlık aksiyomu sağlanırsa bu
teorem de sağlanır, bu teorem sağlanırsa tamlık aksiyomu da sağlanır. Daha açık bir ifadeyle bu
teoremin kendisi tamlık aksiyomu olarak verilebilir. Daha sonra bunu görebilecek şekilde ispat
vereceğiz. Î
Uyarı 2.4.34 Bu teoreme bazen kümeler için Bolzano-Weierstrass teoremi de denir, çünkü bir de
sınırlı diziler için de böyle bir sonuç vardır. Î
Alıştırmalar 2.4
1. V1 ,V2 , . . . ,Vn kümeleri bir x reel sayısının komşulukarı ise
komşuluğudur, kanıtlayın.
Sn
V ile
k=1 k
Tn
V kümeleri de x’in bir
k=1 k
2. x 0 ∈ R olmak üzere, her ² > 0 sayısı için x ∈ V² (x 0 ) oluyorsa x = x 0 olur, kanıtlayın.
3. Aşağıdakileri kanıtlayın
a) Sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açıktır,
b) Sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalıdır.
4. A açık, B kapalı bir küme olsun. Bu durumda A\B kümesinin açık ve B \A kümesinin kapalı olduğunu
gösterin.
5. Bir reel sayı kümesinin sınırı kapalı bir kümedir, kanıtlayın.
İpucu: Her S ⊆ R için ∂S = S ∩ R\S olduğunu gösterin.
6. A := {1/n : n ∈ N} kümesinin kapalı olmadığını, fakat A ∪ {0} kümesinin kapalı olduğunu gösterin.
7. Bir reel sayı kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul hiç bir sınır noktasını içermemesidir,
kanıtlayın.
8. Eğer x 0 sayısı S ⊆ R kümesinin bir limit noktası ise, x 0 ’ın her V² (x 0 ) komşuluğu ile S’nin kesişimi
sonsuz bir kümedir, kanıtlayın.
9. Bir reel sayı kümesinin izole noktalarının kümesi sayılabilirdir, kanıtlayın.
10. S ⊆ R olsun. Bir x 0 reel sayısının her komşuluğunda S kümesinin sayılamaz çoklukta elemanı varsa,
x 0 sayısı S kümesinin bir yoğunlaşma noktasıdır denir. Sayılamaz bir reel sayı kümesi en az bir yoğunlaşma noktasını içerir, kanıtlayın.
11. S ⊆ R olmak üzere S ◦ kümesinin S’nin tüm açık alt kümelerinin birleşimi olduğunu ve bundan hareketle açık bir küme olduğunu, ve hatta S’nin en geniş açık alt kümesi olduğunu gösterin. Ayrıca
S, T ⊆ R kümeleri için aşağıdakilerin sağlandığını kanıtlayın
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
55
2.4. Standart Topoloji
a) S ◦ ⊆ S,
c) (S ∩ T )◦ = S ◦ ∩ T ◦ ,
b) (S ◦ )◦ = S ◦ ,
d) (S ∪ T )◦ ⊆ S ◦ ∪ T ◦ .
12. K ⊆ R olmak üzere K kümesinin K ’yı kapsayan tüm kapalı kümelerin kesişimi olduğunu, burdan hareketle K ’nın kapalı olduğunu, ve hatta K kümesini kapsayan en küçük kapalı küme olduğunu gösterin.
Ayrıca K , M ⊆ R kümeleri için aşağıdakilerin sağlandığını kanıtlayın
a) K ⊆ K ,
c) (K ∩ M ) ⊆ K ∩ M ,
b) (K ) = K ,
d) (K ∪ M ) = K ∪ M .
13. Reel sayıların hem açık hem kapalı olan tek alt kümeleri R ve ;’dir, kanıtlayın.
14. Aşağıdaki reel sayı kümelerinin hiç bir sonlu alt örtüsü bulunmayan birer açık örtüsünü bulun
a) (1, 2],
c) {1/n : n ∈ N},
b) [0, ∞),
d) N.
15. Bir reel sayı kümesinin her açık örtsünün sayılabilir bir alt örtüsü vardır, kanıtlayın. Bu sonuç Lindelöf
örtme teoremi olarak bilinir.
16. Kompakt kümenin her kapalı alt kümesi de kompakttır, kanıtlayın.
17. Kompakt kümelerin kesişimleri de kompakttır, kanıtlayın.
18. Kompakt iki kümenin birleşimi de kompakttır, kanıtlayın. Fakat sonsuz sayıda kompakt kümenin birleşimi kompakt olmayabilir, örnek gösterin.
19. Reel sayıların tamlık aksiyomunun boştan farklı kapalı aralıklar yerine kompakt kümeler için de sağlandığını kanıtlayın. Yani her n doğal sayısı için K n kümeleri kompakt reel sayı kümeleri olsun. Ayrıca
K1 ⊇ K2 ⊇ . . . ⊇ Kn ⊇ . . .
olsun. Bu durumda her K n aralığında içerilen bir x ∈ R sayısının var olduğunu, yani
∞
\
Kn
n=1
kümesinin boş olmadığını kanıtlayın.
20. Bir önceki alıştırma ile verilen sonuçtan Teorem 2.4.20 elde edilebilir mi? Açıklayın.
BÖLÜM
3
D İZ İLER VE S ER İLER
Matematik analizin en temel kavramlarından biri de yakınsaklık kavramıdır. Süreklilik, türev ve
integral gibi çok önemli konular bu kavrama dayanır. Bu bölümde önce reel sayı dizilerinin yakınsaklığı kavramını inceleyeceğiz. Bunu yapabilmek için bir önceki bölümde keşfettiğimiz reel
sayıların özelliklerini kullanacağız. Daha sonra da diziler için elde edilen sonuçlardan hareketle
reel sayı serileri hakkında araştırmalar yapacağız.
3.1 Diziler ve Limitleri
Bir S kümesinde tanımlanmış dizi ile doğal sayılardan S kümesine tanımlanmış bir fonksiyonu
kastederiz. Bu bölümde ele alacağımız diziler için S = R olacaktır.
Tanım 3.1.1 (Dizi) N = {1, 2, . . .} kümesinde tanımlanmış olan ve değer kümesi reel sayıların bir
alt kümesi olan bir fonksiyona bir reel sayı dizisi denir, kısaca bir dizi diyeceğiz.
Bir x : N → R dizisinin n doğal sayısında aldığı değeri x(n) yerine genellikle x n ile gösteririz.
Bu x n değerlerine dizinin terimleri veya elemanları deriz. Böyle bir dizi sadece fonksiyonun ismi
belirtilerek ya da aldığı değerler (yani terimleri) belirtilerek
x,
(x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .),
(x n ),
(x n : n ∈ N)
gibi biçimlerde gösterilebilir.
Uyarı 3.1.2 Aslında diziler doğal sayılardan daha genel
{n : n ∈ Z, n ≥ k}
tamsayı kümelerinde de tanımlanabilirler. Böyle tanımlanmış bir dizi genellikle
(x n )∞
n=k
veya
(x n : n ∈ Z, n ≥ k)
57
58
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
şeklinde gösterilir. Biz bu bölümde bu kümenin k = 1 durumuna karşılık gelen özel bir halinde,
yani N kümesinde tanımlı dizileri inceleyeceğiz. Her dizi bu şekilde yeniden tanımlanabilir. Örneğin terimleri
1
n(n − 3)
biçimine sayılar olan bir dizi n = 0 ve n = 3 için tanımlı değildir, dolayısıyla n = 4 ile başlamalıdır,
yani
µ
¶
1
x :=
: n ∈ Z, n ≥ 4
n(n − 3)
olarak tanımlanmalıdır. Diğer yandan bu dizi
¶
µ
1
: n∈N
x :=
n(n + 3)
şeklinde yazılabilir. (bu iki ifadenin aynı diziyi belirttiğini görün.) Î
Bazen diziler {x n } veya {x n : n ∈ N} şeklinde de gösterilirler fakat böyle bir gösterim biraz karışıklığa sebep olabilir, çünkü dizilerin terimleri bir sıralamaya tabidir, küme parantezi içinde gösterildiklerinde sıralama göz ardı ediliyor olabilir. Örneğin x(n) := 1 dizisinin aldığı değerleri sıralı
n-li şeklinde yazrasak (1, 1, 1, . . .) şeklinde olur ve bunu (1 : n ∈ N) şeklinde de gösterebiliriz, fakat
küme parantezi içinde gösterilirse {1, 1, 1, . . .} = {1 : n ∈ N} = {1} olarak algılanabileceğine dikkat
ediniz, bu küme dizinin sadece değer kümesini belirtir.
Uyarı 3.1.3 Bir a ∈ R sayısı için x := (a, a, a, . . .) olarak tanımlanan diziye bir sabit dizi deriz, özel
olarak x := (0, 0, 0, . . .) şeklinde ise bu diziye sıfır dizisi deriz. Î
Dizileri daha açık şekilde belirtmenin çeşitli yolları vardır. Örneğin bir dizi, tüm terimlerini
elde edecek bilgiyi sağlacak sayıda terimleri parantez içerisinde sırasıyla belirtilerek gösterilebilir. En sık kullanılan gösterim ise dizinin n-inci terimini veren bir formül ile gösterimdir. Dizinin
n-inci terimi x n ’dir ve buna dizinin genel terimi denir. Başka sık kullanılan bir gösterim yöntemi
de dizinin baştan birkaç terimini açık olarak, geri kalan terimleri de bu terimlerden tümevarımsal olarak (bazen rekürsif olarak denir) elde edebileceğimiz formüller ile vermektir. Örneğin 1/2
sayısının doğal sayı kuvvetlerinin oluşturduğu dizi
µ
¶
1 1 1 1
x := , , , , . . .
2 4 8 16
dizisi
µ
x :=
¶
1
:
n
∈
N
2n
µ
veya kısaca x :=
1
2n
¶
olarak veya
1
x 1 := ,
2
x n+1 :=
xn
2
olarak gösterilebilir.
Uyarı 3.1.4 Dikkat edin, her dizi buradaki yöntemlerin her biri ile gösterilemeyebilir. Örneğin π
sayısındaki rakamların oluşturduğu
x = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, . . .)
dizisin genel terimini veren doğrudan veya tümevarımsal bir formül yoktur. Bu gösterimde bile
aslında bu rakamların π sayısın başlangıç rakamları olduğu ve böyle devam edeceği varsayımı
gizlidir. Diğer yandan, bir dizinin genel terimini veren birden fazla doğrudan veya tümevarımsal
formül var olabilir. Î
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
59
3.1. Diziler ve Limitleri
Örnek 3.1.5 x := ((−1)n : n ∈ N) dizisinin terimleri açıkça yazılarak gösterimi
x := (−1, 1, −1, 1, . . .)
şeklindedir. Bu dizi doğal sayılarda tanımlı
n
x(n) := (−1) =
½
−1,
1,
n tek ise,
n çift ise.
olarak tanımlanan fonksiyonla belirlidir.
Şekil 3.1: Genel terimi x n = 1 + 21n olan dizinin grafiği
Örnek 3.1.6
¶
µ
1
x := 1 + n : n ∈ N
2
dizisinin terimleri
µ
¶
3 5 9 17 33 65 129
, , , , , ,
,...
2 4 8 16 32 64 128
şeklindedir. Diziler de birer fonksiyon olduklarından terimlerini grafik olarak yukarıdaki gibi (Şekil 3.1) gösterebiliriz. Genellikle dizilerin tanım kümeleri değişmediğinden grafiklerde doğal sayı
eksenini göstermeyiz ve Şekil 3.2 gibi bir grafik kullanırız.
Şekil 3.2: Genel terimi s n = 1 + 21n olan dizinin grafiği kısaca böyle gösterilebilir.
60
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
n
Şekil 3.3: Genel terimi s n = n+1
olan dizinin grafiği
Örnek 3.1.7 Genel terimi x n =
n
n+1
ile verilen
x :=
dizisinin terimleri de
µ
´
³ n
:n∈N
n +1
1 2 3 4 5 6 7
, , , , , , ,...
2 3 4 5 6 7 8
¶
şeklindedir, grafik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 3.3).
Örnek 3.1.8 Terimleri tümevarımsal olarak
x 1 := 1,
x 2 := 1,
x n+2 := x n+1 + x n
olarak tanımlanan x dizisinin ilk on terimi
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .)
şeklindedir. Bu diziye Fibonacci dizisi denir.
Örnek 3.1.9 Terimleri tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x 2 = 3,
x n+2 = 3x n+1 − 2x n
biçiminde verilen (x n ) dizisini ele alalım. Bu diziler hakkında daha fazla bilgi edinmek için genel
terimini araştırabiliriz. Bunun için çok kısıtlı bir yöntem var, teorik olarak detaylandırmayacağız
ama uygulaması şöyle. Önce dizinin terimlerinin her n ∈ N için
x n+2 − 3x n+1 + 2x n = 0
(3.1.1)
eşitliğini sağladığını gözlemleyelim. Bazı durumlarda bu denklemin çözümleri r 6= 0 olmak üzere
x n = r n biçimindedir, mesela ax 2 + bx + c = 0 denklemini düşünün. Bu denklemin de çözümünün bu biçimde olduğunu varsayıp denklemde x n = r n yazalım. Bu durumda, adına karakteristik
denklem denilen
r n+2 − 3r n+1 + 2r n = 0
(3.1.2)
denklemi elde edilir. r n 6= 0 olduğundan reel sayıların cisim özellikleri kullanılırsa
r 2 − 3r + 2 = 0
eşitliğinin sağlandığı görülür. Bu denklemin çözümleri de r = 1 ve r = 2 olduğundan x 1n = 1n = 1
ve x 2n = 2n terimleri (3.1.2) eşitliğini, dolayısıyla (3.1.1) eşitliğini sağlar. Ayrıca, c 1 , c 2 ∈ R olmak
üzere, bu iki çözümün lineer kombinasyonu olan
x n = c 1 x 1n + c 2 x 2n = c 1 + c 2 2n
(3.1.3)
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
61
3.1. Diziler ve Limitleri
terimi de (3.1.1) eşitliğini sağlar (bunu doğrudan denklemde yerine koyarak gösterebilirsiniz).
Şimdi c 1 ve c 2 sayılarını bulalım. Bunun için başlangıç koşulları olan x 1 = 1 ve x 2 = 3 verilerini kullanacağız. Bunları (3.1.3) ifadesinde kullanalım. Eğer bu denklemde x 1 = 1 yazarsak c 1 + 2c 2 = 1,
x 2 = 3 yazarsak da c 1 + 4c 2 = 3 denklemleri elde edilir. Bunları da ortak çözersek c 1 = −1 ve c 2 = 1
çözümlerini elde ederiz. Böylece aradığımız çözümü, yani başta verilen dizinin genel terimini
x n = −1 + 2n
olarak elde etmiş oluruz.
Uyarı 3.1.10 Bu yöntem her zaman kullanılamayabilir. Örneğin karakteristik denklemin çakışık
kökleri varsa veya reel kökleri yoksa bu yöntemi kullanamayız. Ayrıca (3.1.1) denkleminde eşitliğin
sağ tarafı sıfır değilse yine bu yöntemi kullanamayız. Bu durumlarda daha detaylı bir analiz ile
alternatif bir yöntem üretmemiz gerekebilir, bu gibi tartışmalar genellikle diferansiyel denklemer
dersi konularında karşımıza çıkar. Î
Yakınsak Diziler
Dizilerde ilgileneceğimiz problem çok büyük n doğal sayıları için x n terimlerinin davranışıdır. Örnek 3.1.6 ve 3.1.7 ile verilen dizileri dikkatlice incelersek baştan birkaç terim için n sayıları büyüdükçe x n terimlerinin 1 sayısına yaklaştıklarını fakat asla 1 olmadıklarını gözlemleyebiliriz. Sorun
şudur, acaba n sürekli büyürse x n de sürekli 1’e yaklaşırmı, yoksa örneğin n = 9018633933976
gibi büyük bir sayıdan sonraki n’ler için x n sayıları 1’e yaklaşmaktan vazgeçer mi? Diğer yandan
Örnek 3.1.5 ile verilen diziye bakarsak sonsuz sayıda 1 terimini içerdiğini görürüz, fakat sonsuz
sayıda da −1 terimini içerir. Şu soruyu düşünün, acabu bu örneklerdeki dizilerden hangileri 1 sayısına yakın bir davranıştadır? Bu soru şu aşamada açık bir soru değil, çünkü bir dizinin bir sayıya
yakın olması ile ne kastedildiğini açıklamadık. Şimdi bu ve benzeri soruları araştırabilmek için
yakınsama olarak isimlendirdiğimiz bu kavramı tanımlayalım.
Tanım 3.1.11 (Yakınsak Dizi) (x n ) bir reel sayı dizisi ve a ∈ R olsun. Eğer verilen her ² > 0 sayısına
karşılık, x n terimleri
her n ≥ K ² için |x n − a| < ²
koşulunu sağlayacak şekilde bir K ² doğal sayısı bulunabiliyorsa (x n ) dizisine bir yakınsak dizi denir. Buradaki a sayısına da (x n ) dizisinin limiti denir. Bu durumu kısaca "(x n ) dizisi a sayısına
yakınsıyor" olarak ifade ederiz ve
lim (x n ) = a,
n→∞
lim(x n ) = a
veya x n → a
şeklinde gösteririz. Yakınsak olmayan bir diziye de ıraksak dizi denir.
Uyarı 3.1.12 Buradaki K ² doğal sayısı ² sayısına bağlı bir sayıdır, verilecek olan her ² > 0 sayısı için
farklı K ² doğal sayıları bulunabilir. Bu sayıların farklı olması dizinin yakınsak olmadığı anlamına
gelmez, önemli olan verilecek olan her ² için bir K ² sayısının bulunabiliyor olmasıdır. Î
Şimdi diziler için birkaç temel özelliği ispatlayalım, daha sonra yakınsaklık ile ilgili bazı örnekler vereceğiz.
Teorem 3.1.13 Bir dizinin limiti varsa tektir.
İspat Varsayalım ki hem a hem de b sayıları (x n ) dizisinin limitleri olsun. Bu durumda Tanım
3.1.11 gereği her ² > 0 sayısına karşılık her n ≥ K ²0 için |x n − a| < ²/2 ve her n ≥ K ²00 için |x n −
62
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
b| < ²/2 olacak şekilde K ²0 ve K ²00 doğal sayıları vardır. K ² := max{K ²0 , K ²00 } olarak tanımlarsak üçgen
eşitsizliğini kullanarak
|a − b|
=
|a − x n + x n − b|
≤
|a − x n | + |x n − b|
<
²/2 + ²/2
=
²
olduğunu elde ederiz. Her ² > 0 sayısı için bu eşitsizlik geçerli olduğundan a − b = 0 sonucu elde
edilmiş olur (Bakınız: Teorem 2.2.10).
■
Uyarı 3.1.14 Reel sayıların kapalı ve sınırlı bir A alt kümesi için max A ile bu kümenin en büyük
elemanını gösteririz, Teorem 2.4.20 gereği böyle bir eleman vardır. Buradaki {K ²0 , K ²00 } kümesi kapalı ve sınırlıdır. Bakınız: Tanım 2.4.1. Î
Bir dizinin yakınsaklığı kavramı farklı şekillerde tanımlanabilir, aşağıdaki teorem ile bunları
veriyoruz. Aşağıdaki teoremle vereceğimiz (a)-(d) denkliğine yakınsaklığın topolojik tanımı denir.
Teorem 3.1.15 (x n ) bir reel sayı dizisi ve a ∈ R olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler birbirine
denktir
(a) (x n ) dizisi a sayısına yakınsar,
(b) Verilen her ² > 0 sayısına karşılık, x n terimleri her n ≥ K ² için |x n − a| < ² koşulunu sağlayacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır,
(c) Verilen her ² > 0 sayısına karşılık, x n terimleri her n ≥ K ² için a − ² < x n < a + ² koşulunu
sağlayacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır,
(d) a sayısının her V² (a) komşuluğu için, her n ≥ K ² için x n ∈ V² (a) olacak şekilde bir K ² doğal
sayısı vardır.
Uyarı 3.1.16 (a) ile (b)’nin denkliği Tanım 3.1.1’den açıktır. Diğer önermelerin denkliği de
|x n − a| < ²
⇔
−² < x n − a < ²
⇔
a − ² < xn < a + ²
⇔
x n ∈ V² (a)
olduğu kullanılarak görülür. Î
Teorem 3.1.15 (a)-(d) ile verilen yakınsaklığın topolojik tanımı şu şekilde de ifade edilebilir, bir
dizinin bir a sayısına yakınsak olması demek, her ² > 0 sayısı için dizinin sonlu sayıdaki terimleri
hariç tüm terimlerinin V² (a) komşuluğunun elemanı olması demektir (Bakınız Şekil 3.4).
Teorem 3.1.17 (x n : n ∈ N) bir reel sayı dizisi ve m ∈ N olsun. Bu durumda
(y n ) := (x m+n : n ∈ N) = (x m+1 , x m+2 , . . . , x m+n , . . .)
dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul (x n ) dizisinin yakınsak olmasıdır ve bu durumda
lim(y n ) = lim(x n ) eşitliği sağlanır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
63
3.1. Diziler ve Limitleri
Şekil 3.4: Yakınsak bir dizinin terimleri
İspat lim(x n ) = a olsun. Bu durumda Tanım 3.1.11 gereği verilen her ² > 0 sayısı için n ≥ K ²
iken |x n − a| < ² eşitsizliği sağlanacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır, dolayısıyla n + m ≥ K ² iken
|x n+m − a| < ² eşitsizliği sağlanır. Buradan da her n ≥ K ²0 := K ² − m için |y n − a| < ² olduğu, yani
lim(y n ) = a olduğu sonucu elde edilir.
Tersine, lim(y n ) = a olsun. Bu durumda her n ≥ K ² için |y n − a| < ² olacak şekilde K ²0 doğal
sayısı vardır. Bu durumda n − m ≥ K ²0 için |y n−m − a| < ² olur. Bu da her n ≥ K ² := K ²0 + m için
|x n − a| < ² eşitsizliğinin sağlanacağı anlamına gelir.
■
Şimdi Tanım 3.1.1’i kullanarak dizilerin yakınsak olup olmadıklarını ve yakınsak iseler limitlerini nasıl belirleyeceğimizi gösteren bazı örnekler vereceğiz. Vereceğimiz örneklerde kullanılan
yöntem çok iyi kavranmalıdır, okuyucu bu yöntemi her dizi için uygulayabilecek olgunluğa erişinceye kadar örnekler ve alıştırmalar üzerinde çalışmalıdır. Çünkü bu yöntem matematik analizin
bir çok konusunda sıklıkla kullanılır ve matematik analiz yöntemlerinin önemli bir kısmına temel
oluşturur.
Örnek 3.1.18 (x n ) := (1/n) dizisini ele alalım, lim (x n ) = 0 olduğu sır sayılmaz. Şimdi bunu daha
yakından gözlemleyeceğiz. Yakınsaklık tanımına göre bir ² > 0 sayısı verildiğinde, öyle bir K ² doğal
sayısı bulabilmeliyiz ki dizinin K ² -inci teriminden sonraki tüm terimleri için
|x n − 0| < ²
olmalı. Yani öyle bir K ² doğal sayısı bulmalıyız ki
her n ≥ K ²
için
¯
¯
¯
¯1
¯ − 0¯ = 1 < ²
¯ n
¯n
olmalı. Mesela ² = 10 verilmiş ise, her n doğal sayısı için
1
< 10
n
olduğundan K ² sayısını herhangi bir doğal sayı olarak seçebiliriz. Benzer şekilde ² sayısı 1’den
büyük herhangi bir sayı olarak verilmiş ise herhangi bir doğal sayıyı K ² olarak seçebiliriz, fakat
² < 1 ise biraz daha düşünmemiz gerekiyor.
Örneğin ² = 1/10 verilmiş olsun, bu durumda
1
1
<
n 10
(3.1.4)
eşitsizliği acaba hangi n doğal sayıları için sağlanır, bunu araştıralım. Öncelikle 1/10 sayısı pozitif olduğundan reel sayıların Arşimed özelliği gereği Teorem 2.2.17 (b) sonucu (3.1.4) eşitsizliğini
sağlayacak n doğal sayıları vardır. Reel sayıların sıralama özelliklerinden n ≥ 11 için (3.1.4) eşitsizliğinin sağlandığı açıktır (bkz: Alıştırmalar 2.2-6 (b)). O halde ² = 1/10 verilirse K ² = 11 veya daha
büyük bir doğal sayı olarak seçilebilir. Eğer ² = 1/100 verilseydi de benzer şekilde hangi n doğal
sayıları için
1
1
<
n 100
64
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
²
K²
1
2
5
10
100
1/2
1/5
2/5
3/19
1/10
1/100
1/500
1/5000
1/10000
..
.
²
2
1
1
1
1
3
6
3
7
11
101
501
5001
10001
..
.
K ² > 1/²
Tablo 3.1: x = (1/n) dizi için ²-K sayıları.
eşitsizliği sağlanır sorusunu araştıracaktık. Bu durumda da K ² = 101 olarak bulacaktık. Daha fazla
gözlem için Tablo 3.1’i inceleyin.
Benzer gözlemleri yakınsaklığın topolojik tanımı için de yapabiliriz. Yani eğer ² = 1/10 verilmişse her n ≥ K ² için
x n ∈ V 1 (0)
10
yani
µ
¶
1
1 1
∈ − ,
n
10 10
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı bulmak istiyoruz. Açıktır ki K ² = 11 için bu koşul sağlanır. Benzer
şekilde eğer ² = 1/100 verilmiş olsaydı her n ≥ K ² için
µ
¶
1
1
1
∈ −
,
n
100 100
olacak şekilde bir K doğal sayısı bulmalıyız. K ² = 101 ve daha büyük bir doğal sayı bunu sağlatır.
Böyle devam ederek verilecek olan her ² > 0 sayısına cevap olarak bir K ² sayısı bulmamız gerekir. Birkaç farklı ² için K ² doğal sayılarını bulduk ama acaba bu ²-K oyunu hep böyle devam eder
mi? Gerçekten bize verilecek olan her ² sayısına cevap olarak bir K ² sayısı bulabilir miyiz? Bunun
cevabının olumlu olduğu açık, ama sadece gözlemlere dayanarak açıklayamayız, formal bir kanıtını vermeliyiz. Bunu genellikle K ² sayısının nasıl seçilebileceğini söyleyen ² sayısına bağlı bir
kural belirterek yaparız. Bu örnekteki dizi için ² verildiğinde K ² sayısını
K² >
1
²
koşulunu sağlayan bir doğal sayı olarak seçebiliriz. Bunu formal olarak şu şekilde ifade ederiz:
² > 0 sayısı verilsin, bu durumda 1/² > 0 olur. Ayrıca Arşimed özelliği gereği 1/K ² < ² olacak
şekilde bir K ² doğal sayısı vardır (bkz:Teorem 2.2.17 (b)). Böylece eğer n ≥ K ² ise
1
1
≤
<²
n K²
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
65
3.1. Diziler ve Limitleri
olur. Bundan ise n ≥ K ² için
¯
¯
¯1
¯
¯ − 0¯ = 1 < ²
¯n
¯ n
olduğu elde edilir. Böylece Tanım 3.1.11 gereği lim(1/n) = 0 elde edilmiş olur. Dizinin grafiği Şekil
3.5 ile verilmiştir.
Şekil 3.5: Genel terimi x n = 1/n olan dizinin grafiği
¡ p ¢
Örnek 3.1.19 (x n ) := 1/ n dizisinin limitinin 0 olduğunu gösterelim. Yine biraz gözlem yaparak, yani biraz ²-K oyunu oynayarak başlayalım. Örneğin ² = 1/10 sayısı verilmiş olsun, her n ≥ K ²
için
|x n − 0| < ²
yani
1
1
p <
10
n
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı bulmalıyız. Açıktır ki K ² = 101 veya daha büyük bir doğal sayı
için bu koşul sağlanır. Benzer şekilde ² = 1/50 verilseydi
1
1
p <
n 50
koşulu K ² = 2501 veya daha büyük bir doğal sayı için sağlanır. Bu şekilde verilecek olan her ² > 0
sayısı için
1
K² > 2
²
koşulunu sağlayan bir K ² doğal sayısı seçebiliriz. Bunu aşağıdaki şekilde ifade ederiz:
Keyfi ² > 0 sayısı verilsin. Bu durumda reel sayıların sıralama özellikleri gereği 1/²2 > 0 olur.
Bundan dolayı Arşimed özelliği gereği
1
< K²
²2
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır. Bu durumda her n ≥ K ² >
1
p <²
n
1
²2
için
66
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
olacağından
1
|x n − 0| = p < ²
n
olur. Dizinin grafiği Şekil 3.6 ile verilmiştir.
p
Şekil 3.6: Genel terimi x n = 1/ n olan dizinin grafiği
Örnek 3.1.20
¶
n +1
lim
=1
n
µ
olduğunu gösterelim. Önceki örneklerde yaptığımız için artık ² − K oyunu oynamayalım, doğrudan formal kanıtı araştırmaya geçelim. Şimdi, herhangi bir ² > 0 sayısı verildiğinde her n ≥ K ²
için
¯
¯
¯n +1
¯ 1
|x n − 1| = ¯¯
− 1¯¯ = < ²
n
n
koşulu sağlanacak şekilde K ² doğal sayısı bulmalıyız. Örnek 3.1.18 ile verildiği gibi bu eşitsizliğin
sağlanması
1
K² >
²
durumunda mümkündür. Bunu aşağıdaki gibi ifade ederiz:
Keyfi ² > 0 sayısı verilsin. K ² > 1/² olacak şekilde K ² ∈ N seçelim. Bu durumda her n ≥ K ² için
1/n < ² olacağından
¯
¯
¯n +1
¯ 1
¯
¯= <²
−
1
¯ n
¯ n
olur.
Uyarı 3.1.21 Bundan sonraki örneklerde Örnek 3.1.18 ve 3.1.19 örneklerindeki gibi detaylı ön inceleme yapmayacağız. Ayrıca Arşimed özelliği ve reel sayıların sıralama özellikleri gibi temel özellikleri isimlerini belirtmeden kullanacağız. Okuyucu bunların Bölüm 2 ile verilen özellikler olduğunu unutmamalıdır. Î
Örnek 3.1.22
µ
lim
¶
3n + 2
=3
n +1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
67
3.1. Diziler ve Limitleri
olduğunu gösterelim. Verilen her ² > 0 sayısın karşılık n ≥ K ² için
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯ 3n + 2
¯ ¯ 3n + 2 − 3n − 3 ¯ ¯ −1 ¯
¯=¯
¯= 1 <²
¯
¯=¯
−
3
¯
¯ n +1
¯ ¯
¯
n +1
n +1¯ n +1
olacak şeiklde bir K ² doğal sayısı bulmalıyız.
1
1
< ² ⇔ n > −1
n +1
²
olduğundan K ² > 1² − 1 olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçersek n ≥ K ² için
¯
¯
¯
¯ 3n + 2
1
¯
¯
¯ n + 1 − 3¯ = n + 1 < ²
1
n+1
< ² olur ve
eşitsizliğinin sağlandığı görülür.
Şekil 3.7: Genel terimi x n = 3n+2
n+1 olan dizinin grafiği
Uyarı 3.1.23 Bu dizinin yakınsaklığını kanıtlamanın ikinci bir yöntemi şöyledir. Verilen her ² > 0
sayısın karşılık n ≥ K ² için
¯
¯
¯ 3n + 2
¯
¯
¯
¯ n + 1 − 3¯ < ²
olacak şeiklde bir K ² doğal sayısı bulmalıyız. Bu ifadeyi düzenlersek
¯
¯
¯
¯
¯ 3n + 2 − 3n − 3 ¯
¯ 3n + 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ n + 1 − 3¯ = ¯
n +1
¯
¯
¯ −1 ¯
¯
= ¯¯
n +1¯
1
=
n +1
1
<
n
olduğunu görürüz. Bu durumda, K ² > 1² olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçersek n ≥ K ² için
1
n < ² olur ve
¯
¯
¯ 3n + 2
¯ 1
¯
¯
¯ n + 1 − 3¯ < n < ²
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. Î
68
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.1.24
µ
lim
¶
1
=0
n2 + 1
olduğunu gösterelim. ² > 0 verilsin. n ≥ K ² için
¯
¯
¯ 1
¯
¯
¯= 1 <²
−
0
¯ n2 + 1
¯ n2 + 1
olmasını sağlayan K ² doğal sayısını bulmalıyız. ² > 1 ise bu eşitsizliğin her n doğal sayısı için sağlandığı açıktır. Eğer ² < 1 ise
r
1
1
<²⇔n>
−1
2
n +1
²
q
olduğundan K ² > 1² − 1 olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçersek n ≥ K ² için n 21+1 < ² olacağından
¯
¯
¯
¯ 1
¯= 1 <²
¯
−
0
¯ n2 + 1
¯ n2 + 1
elde edilmiş olur.
Uyarı 3.1.25 Bu dizinin yakınsaklığı şöyle de kanıtlanabilir. ² > 0 verilsin. n ∈ N için
1
n2 + 1
eşitsizliği sağlanır. K ² >
1
²
<
1
1
≤
2
n
n
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçersek n ≥ K ² için
¯
¯
¯ 1
¯
¯
¯= 1 < 1 ≤ 1 <²
−
0
¯ n2 + 1
¯ n2 + 1 n2 n
1
n
< ² olacağından
elde edilmiş olur. Î
Örnek 3.1.26 Örnek 3.1.6 ile verilen dizi için
µ
¶
1
lim 1 + n = 1
2
olduğunu gösterelim. ² > 0 verilmiş olsun, her n ≥ K ² için
¯
¯
¯
¯
¯1 + 1 − 1 ¯ = 1 < ²
¯
¯ 2n
n
2
eşitsizliği sağlanacak şekilde bir K ² doğal sayısı bulmalıyız. Logaritma fonksiyonun temel özelliklerini kullanarak
1
<²
2n
1
²
⇔
2n >
⇔
ln 2n > ln
⇔
⇔
1
²
n ln 2 > − ln ²
ln ²
n>−
ln 2
ln ²
olduğunu görebiliriz. Bu durumda K ² > − ln
2 özelliğinde bir K ² doğal sayısı seçilirse n ≥ K ² için
1
2n < ² olacağından, her n ≥ K ² için
¯
¯
¯
¯
¯1 + 1 − 1 ¯ = 1 < ²
¯
¯ 2n
n
2
eşitsizliği sağlanır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
69
3.1. Diziler ve Limitleri
Uyarı 3.1.27 Burada logaritma fonksiyonunun şu önemli özelliğini kullandık: a, b ∈ R için
a < b ⇔ ln(a) < ln(b)
eşitsizliği sağlanır.Bu özellik daha sonraki bölümlerde kanıtlanacak, ama o zamana kadar bir kaç
kez daha bunu kullanacağız. Î
Uyarı 3.1.28 Bu dizinin yakınsaklığı şu şekilde de kanıtlanabilir. Öncelikle her n ∈ N için
1
1
<
2n n
olduğuna dikkat edelim (tümevarım kullanarak bunu kanıtlayın). Bu durumda K ² >
bir K ² doğal sayısı seçilirse n ≥ K ² için n1 < ² olacağından, her n ≥ K ² için
¯
¯
¯
¯
¯1 + 1 − 1 ¯ = 1 < 1 < ²
¯ 2n n
¯
n
2
1
²
özelliğinde
eşitsizliği sağlanır. Î
Örnek 3.1.29 Bir önceki örnekten verilen sonucun daha genel bir hali olarak, 0 < r < 1 ise
¡ ¢
lim r n = 0
olduğunu gösterelim. Yine logaritma fonksiyonunun temel özelliklerini kullanacağız. Keyfi ² > 0
sayısı verilsin. K ² > ln ²/ ln r özelliğinde bir K ² doğal sayısı seçilirse, her n ≥ K ² için
n>
olacağından her n ≥ K ² için
ln ²
⇔ n ln r < ln ² ⇔ r n < ²
ln r
¯ n
¯
¯r − 0 ¯ = r n < ²
eşitsizliği sağlanır. Bu sonucun −1 < r < 0 için de sağlanacağı gösterilebilir.
Örnek 3.1.30 n ≥ 2 olmak üzere
¶
n 2 + 2n
lim
=0
n3 − 5
µ
olduğunu gösterelim. Verilen her ² > 0 sayısına karşılık n ≥ K ² için
¯
¯ 2
¯ n 2 + 2n
¯ n + 2n
¯=
¯
−
0
<²
¯
¯ n3 − 5
n3 − 5
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı bulmamız gerekiyor. Önceki örneklerde yaptığımız gibi bu eşitsizlikten n terimini çekerek K ² sayısını belirlemek biraz zahmetli olacaktır. Örnek 3.1.22, 3.1.24 ve
3.1.26 örneklerinde alternatif olarak gösterdiğimiz ikinci yöntem bu gibi dizilerde çok kullanışlıdır.
n 2 + 2n
n3 − 5
ifadesinin büyümesi için payın büyümesi veya paydanın küçülmesi gerekir. Bundan dolayı bu
kesrin payı için bir üst sınır ve paydası için bir alt sınır araştıralım. n 2 + 2n ifadesi çok büyük n
doğal sayıları için n 2 gibi davranır, bundan dolayı kesrin payı için an 2 biçimine sahip bir üst sınır
arayacağız. Benzer düşünüşle payda için de bn 3 biçiminde bir alt sınır arayacağız. Bu durumda
n 2 + 2n an 2 ³ a ´ 1
≤
=
n3 − 5
bn 3
b n
70
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
eşitsizliği elde edilmiş olacak. Bundan sonrası da kolay. Şimdi, n ≥ 3 doğal sayıları için 2n < n 2 ve
n 3 − 5 > n 3 /2 olduğundan
n 2 + 2n n 2 + n 2 2n 2
4
≤ 1
≤ 1
=
3
3
n3 − 5
n
2n
2n
eşitsizliği sağlanır. O halde her n ≥ K ² için
4
<²
n
olması gerekir, bunun için ise K ² >
iki şartın sağlanması için
4
²
olmalıdır. Ayrıca n doğal sayısı 3’ten de büyük olmalıydı. Bu
¾
½
4
K ² > max 3,
²
seçilmelidir. Böylece her n ≥ K ² için
¯ 2
¯
¯ n + 2n
¯ n 2 + 2n 4
¯
¯
¯ n 3 − 5 − 0¯ = n 3 − 5 ≤ n < ²
eşitsizliği sağlanır.
2
Şekil 3.8: Genel terimi x n = n 3+2n olan dizinin grafiği
n −5
Uyarı 3.1.31 Bu örnekte© uzun
ª uzun ifade ettiğimiz kanıtı formal olarak şöyle yazarız. ² > 0 keyfi
sayısı verilsin. K ² > max 3, 4² doğal sayısı seçilirse her n ≥ K ² için n 2 ≥ 2n, n 3 −5 ≥ n 3 /2 ve 4/n < ²
olacağından
n 2 + 2n n 2 + n 2 2n 2
4
≤ 1
≤ 1
= <²
3
3
n3 − 5
n
2n
2n
olur. Böylece Tanım 3.1.11 gereği dizinin limiti 0 sayısıdır. Î
Örnek 3.1.32 Örnek 3.1.18 ve 3.1.19’den daha genel olarak, c ∈ R ve p > 0 olmak üzere
lim
³ c ´
=0
np
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
71
3.1. Diziler ve Limitleri
olduğunu gösterelim. ² > 0 verilmiş olsun.
¯
¯ c
¯
¯
¯ p − 0¯ < ²
n
⇔
⇔
⇔
olduğundan K ² >
³
´
|c| 1/p
²
|c|
<²
np
|c|
< np
²
µ ¶1/p
|c|
n>
²
olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçersek her n ≥ K ² için
¯
¯ c
¯
¯
¯ p − 0¯ < ²
n
eşitsizliği sağlanır. Böylece Tanım 3.1.11 gereği lim (c/n p ) = 0 elde edilmiş olur.
Örnek 3.1.33 ((−1)n : n ∈ N) dizisinin yakınsak olmadığını gösterelim. Varsayalım ki lim ((−1)n ) =
a olsun. Bu durumda Tanım 3.1.11 gereği herhangi bir ² > 0 sayısı verildiğinde her n ≥ K ² için
| (−1)n − a| < ² olacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır. Fakat ² = 1/2 verilirse her n ≥ K ² için
|(−1)n − a| < 1/2 olacağından
2 = |1 + a − a + 1| ≤ |1 + a| + |1 − a| = | − 1 − a| + |1 − a| <
1 1
+ =1
2 2
çelişkisi elde edilir. O halde ² = 1/2 verilirse Tanım 3.1.11 ile verilen koşulları sağlayacak bir K ²
doğal sayısı bulamayız.
¡p ¢
p
Örnek 3.1.34 Genel terimi x n = n olan dizinin ıraksak olduğunu gösterelim. Varsayalım ki lim n =
a olsun. Bu durumda Tanım 3.1.11 gereği herhangi bir ² > 0 sayısı verildiğinde her n ≥ K ² için
p
p
| n − a| < ² olacak şekilde bir K ² doğal sayısı vardır. Eğer ² = 1 verilirse a − ² < n < a + ² olduğundan n < (a + 1)2 eşitsizliğinin sağlandığı sonucu çıkar. Bu ise reel sayıların Arşimed özelliğiyle
çelişir. Sonuç olarak bu dizinin limiti yoktur.
Örnek 3.1.22, 3.1.24 ve 3.1.26 örneklerinde alternatif olarak kullandığımız, Örnek 3.1.30’de ise
doğrudan kullandığımız yöntem |x n − a| ifadesinin düzenlenerek daha basit bir şekilde yazılmasına ve bir üst sınırının bulunmasına dayanır. Bir çok karmaşık limit hesabı bu yöntemle daha
basit bir hale getirilebilir. Bu yöntemi aşağıda vereceğimiz sonuç ile formal olarak ifade edelim,
daha sonra bazı örnekler üzerinde bu yöntemi kullanacağız.
Teorem 3.1.35 (x n ) bir reel sayı dizisi ve x ∈ R olsun. Ayrıca (a n ) de pozitif reel sayıların lim(a n ) = 0
olan bir dizisi olsun. Eğer her n ≥ N için
|x n − x| ≤ C a n
olacak şekilde bir N doğal sayısı ve bir C > 0 sabiti bulunabiliyorsa bu durumda lim(x n ) = x’dir.
İspat ² > 0 verilmiş olsun. lim(a n ) = 0 olduğundan Tanım 3.1.11 gereği her n ≥ K 1 için
|a n − 0| = a n <
²
C
olacak şekilde bir K ²/C doğal sayısı vardır. Eğer K ² := max{N , K 1 } seçilirse her n ≥ K ² için
³²´
|x n − x| ≤ C a n < C
=²
C
elde edilir, bu da Tanım 3.1.11 gereği lim(x n ) = x demektir.
■
72
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.1.36 a > 0 olmak üzere
µ
lim
¶
1
=0
1 + na
olduğunu gösterelim. Her n ∈ N için
¯
¯
µ ¶
¯ 1
¯
1 1
1
¯
¯
¯ 1 + na − 0¯ = 1 + na ≤ a n
eşitsizliği sağlanır. Örnek 3.1.18’ten lim(1/n) = 0 olduğunu biliyoruz, bu nedenle Teorem 3.1.35
gereği verilen dizinin limiti 0 olarak elde edilmiş olur.
Örnek 3.1.37
µ
lim
¶
1
n +1
=
3n + 2
3
olduğunu gösterelim. Her n doğal sayısı için
¯
¯ ¯
¯
µ ¶
¯ n +1
1 ¯¯ ¯¯ 3n + 3 − 3n − 2 ¯¯
1
1 1
1
¯
−
≤
=
=
=
¯ 3n + 2 3 ¯ ¯ 3(3n + 2) ¯ 3(3n + 2) 3(3n)
9 n
eşitsizliği sağlanır. Böylece Örnek 3.1.18 ve Teorem 3.1.35 gereği istenen elde edilmiş olur.
Örnek 3.1.38
µ
lim
¶
1 + (−1)n
=0
n
olduğunu gösterelim. Her n ∈ N için
¯
¯
¯ 1 + (−1)n
¯ |1 + (−1)n | |1| + |(−1)n | 1 + 1
1
¯
¯=
−
0
≤
=
=2
¯
¯
n
n
n
n
n
eşitsizliği sağlandığından Örnek 3.1.18 ve Teorem 3.1.35 gereği istenen elde edilmiş olur.
n
Şekil 3.9: Genel terimi 1+(−1)
olan dizinin grafiği
n
Örnek 3.1.39
µ
lim
¶
n +1
=0
p
n3 + n
olduğunu gösterelim. Her n ∈ N için
¯
¯
¯ n +1
¯
n +1
n +1 n +n
2
¯
¯
¯ n 3 + pn − 0¯ = n 3 + pn ≤ n 3 ≤ n 3 = n 2
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
73
3.1. Diziler ve Limitleri
eşitsizliği sağlanır. Ayrıca Örnek 3.1.32’ten lim(2/n 2 ) = 0 olduğunu biliyoruz, böylece Teorem 3.1.35
gereği istenen elde edilmiş olur.
Örnek 3.1.40
¶
n3 + 3
1
lim
=
2n 3 − n
2
µ
olduğunu gösterelim. n ≥ 6 için n + 6 ≤ n + n = 2n ve n < n 3 olacağından
¯ 3
¯ ¯
¯
¯ n +3
1 ¯¯ ¯¯ 2n 3 + 6 − 2n 3 + n ¯¯
n +6
n +n
1
¯
−
=
¯ 2n 3 − n 2 ¯ ¯
¯ = 2(2n 3 − n) ≤ 2(2n 3 − n 3 ) = n 2
2(2n 3 − n)
eşitsizliği sağlandığından Örnek 3.1.32 ve Teorem 3.1.35 gereği istenen elde edilmiş olur.
Örnek 3.1.41 a > 0 olmak üzere
¡
¢
lim a 1/n = 1
olduğunu gösterelim. a = 1 için sonuç açıktır, a 6= 1 kabul edelim.
Eğer a > 1 ise a 1/n = 1 + c n olacak şekilde c n > 0 sayıları vardır. Bernoulli eşitsizliği gereği her
n ∈ N için
a = (1 + c n )n ≥ 1 + nc n
olur. Buradan da c n ≤ (a − 1)/n elde edilir. Böylece her n doğal sayısı için
¯ 1/n
¯
1
¯a
− 1¯ = c n ≤ (a − 1)
n
eşitsizliği sağlanır. Sonuç olarak Örnek 3.1.18 ve Teorem 3.1.35 gereği a > 1 için istenen elde edilmiş olur.
Eğer 0 < a < 1 ise a 1/n = 1/(1 + d n ) olacak şekilde d n > 0 sayısı vardır. Böylece Bernoulli eşitsizliğini kullanarak her n ∈ N için
a=
1
1
1
≤
<
(1 + d n )n 1 + nd n nd n
eşitsizliği elde edilir. Buradan da 0 < d n < 1/na olduğu elde edilir. Bundan dolayı her n ∈ N için
0 < 1 − a 1/n =
dn
1
< dn <
1 + dn
na
eşitsizliği sağlanır. Böylece her n ∈ N için
¯ 1/n
¯
1
¯a
− 1¯ = 1 − a 1/n <
na
elde edilir. Bu da Örnek 3.1.18 ve Teorem 3.1.35 gereği lim(a 1/n ) = 1 demektir.
Uyarı 3.1.42 Bernoulli eşitsizliği: 1 + a > 0 ve n ∈ N için
(1 + a)n ≥ 1 + na
eşitsizliği sağlanır. Bunu tümevarım ile (Alıştırma 1.3-6) veya doğrudan reel sayıların sıralama
özellikleri (Alıştırma 2.2-9) yardımıyla kanıtlayabilirsiniz. Î
74
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.1.43
¡
¢
lim n 1/n = 1
olduğunu gösterelim. n > 1 için n 1/n > 1 olacağından n 1/n = 1 + k n olacak şekilde bir k n > 0 sayısı
vardır, yani n = (1 + k n )n yazabiliriz. Binom teoreminden n > 1 için
1
1
n = 1 + nk n + n(n − 1)k n2 + · · · ≥ 1 + n(n − 1)k n2
2
2
eşitsizliğini, yani
1
n − 1 ≥ n(n − 1)k n2
2
olduğunu elde ederiz. Bu da n > 1 için k n2 ≤ 2/n demektir. Buradan da
0 < n 1/n − 1 = k n ≤ (2/n)1/2 =
p 1
2p
n
eşitsizliği elde edilir. Böylece Örnek 3.1.19 ve Teorem 3.1.35 gereği istenen elde edilmiş olur.
1
Şekil 3.10: Genel terimi x n = n n olan dizinin grafiği
Uyarı 3.1.44 Binom teoremi: Binom katsayısı denilen sayılar
à !
n
n!
:=
k!(n − k)!
k
olarak tanımlanmak üzere
à !
n n
X
(a + b) =
a n−k b k
k
k=0
n
eşitliği sağlanır. (Bkz: Alıştırma ??) Î
Yakınsak Dizilerin Temel Özellikleri
Buraya kadar Tanım 3.1.11’yi yeterince örnek üzerinde kullandık. Bu tanımı anlamak matematik
analiz için çok önemlidir ama bir dizinin limitini bulmak için daha pratik yöntemler de vardır. Bu
yöntemler o kadar pratiktir ki kalkülüsçüler bu yöntemleri Tanım 3.1.11’nin verilmesinden aşağı
yukarı 150 yıl önce kullanmaya başlamışlardır. Şimdi yakınsak dizilerin bazı özelliklerini ve bu
pratik yöntemleri vereceğiz, elbette hepsini Tanım 3.1.11’yi baz alarak kanıtlayacağız.
Önce bir dizinin sınırlı olması kavramını tanıtalım, değer kümesi sınırlı bir küme olan dizilere
sınırlı dizi deriz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
75
3.1. Diziler ve Limitleri
Tanım 3.1.45 (Sınırlı Dizi) Her n ∈ N için |x n | ≤ M olacak şekilde bir M > 0 reel sayısı varsa (x n )
dizisine bir sınırlı dizi denir.
Teorem 3.1.46 Her yakınsak dizi sınırlıdır.
İspat lim(x n ) = a olsun, bu durumda Tanım 3.1.11 gereği, ² = 1 seçilirse, her n ≥ K için |x n − a| <
1 olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Bununla beraber, üçgen eşitsizliği kullanılırsa
|x n | = |x n − a + a| ≤ |x n − a| + |a| < 1 + |a|
eşitsizliği elde edilir. Böylece eğer
M = max{|x 1 |, |x 2 |, . . . , |x K −1 |, 1 + |a|}
seçilirse Her n ∈ N için |x n | ≤ M eşitsizliği sağlanır.
■
Uyarı 3.1.47 Elbette bundan "sınırlı olmayan dizi ıraksaktır" anlamı çıkar ama bunun tersi doğru
değildir, örneğin ((−1)n ) dizisi sınırlıdır fakat yakınsak değildir (Örnek 3.1.33).
Bu sonuç bazı dizilerin ıraksak olduğunu göstermek için bize yardımcı olabilir. Mesela (n)
dizisinin ıraksak olduğu Tanım 3.1.11 yardımıyla kolayca gösterilebilir ama şimdi bu sonuç yardımıyla gösterelim. Varsayalım ki (n) dizisi yakınsak olsun, bu durumda Teorem 3.1.46 gereği sınırlı
olmalıdır, yani her n doğal sayısı için n = |n| < M olacak şekilde bir M > 0 doğal sayısı vardır. Fakat
bu durum reel sayıların Arşimed özelliği (Tanım 2.2.16) ile çelişir. Î
Şimdi yakınsak dizlilerin limitlerinin cebirsel işlemler altındaki davranışını inceleyeceğiz, aşağıda vereceğimiz sonuç dizilerin limitlerinin hesaplanmasında büyük kolaylık sağlar.
Teorem 3.1.48 (Cebirsel Özellikler) lim(x n ) = a, lim(y n ) = b ve k ∈ R olsun. Bu durumda
(a) (x n + y n ), (x n − y n ), (x n y n ) ve (kx n ) dizileri de yakınsaktır ve
(i) lim(x n ± y n ) = a ± b,
(ii) lim(x n y n ) = ab,
(iii) lim(kx n ) = ka
eşitlikleri sağlanır.
(b) Her n ∈ N için z n 6= 0 ve lim(z n ) = c 6= 0 ise (1/z n ) ile (x n /z n ) dizileri de yakınsaktır ve
(i) lim(1/z n ) = 1/c,
(ii) lim(x n /z n ) = a/c
eşitlikleri sağlanır.
İspat
(a)
(i) lim(x n ) = a olduğundan verilen her ² > 0 sayısına karşılık, her n ≥ K 1 için |x n −a| < ²/2
olacak şekilde bir K 1 doğal sayısı vardır. Benzer şekilde lim(y n ) = b olduğundan verilen
her ² > 0 sayısına karşılık, her n ≥ K 2 için |y n −b| < ²/2 olacak şekilde bir K 2 doğal sayısı
vardır. Bu durumda K ² := max{K 1 , K 2 } olarak tanımlanırsa her n ≥ K ² için
¯
¯
¯
¯
¯(x n + y n ) − (a + b)¯ = ¯(x n − a) + (y n − b)¯
≤
<
=
|x n − a| + |y n − b|
² ²
+
2 2
²
elde edilir ki bu da lim(x n + y n ) = a + b demektir. Benzer şekilde lim(x n − y n ) = a − b
olduğu da gösterilebilir.
76
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
(ii) (x n ) dizisi Teorem 3.1.46 gereği sınırlıdır, yani her n ∈ N için |x n | ≤ M 1 olacak şekilde
bir M 1 > 0 sayısı vardır. Şimdi M := max{M 1 , |b|} olarak tanımlayalım. Ayrıca lim(x n ) =
a olduğundan verilen her ² > 0 sayısına karşılık, her n ≥ K 1 için |x n − a| < ²/2M olacak
şekilde bir K 1 doğal sayısı vardır. Aynı şekilde lim(y n ) = b olduğundan verilen her ² > 0
sayısına karşılık, her n ≥ K 2 için |y n −b| < ²/2M olacak şekilde bir K 2 doğal sayısı vardır.
Bu durumda
¯
¯
¯
¯
¯x n y n − ab ¯ = ¯(x n y n − x n b) + (x n b − ab)¯
¯
¯
≤ ¯x n y n − x n b ¯ + |x n b − ab|
¯
¯
= |x n | ¯ y n − b ¯ + |b| |x n − a|
²
²
+M
< M
2M
2M
= ²
elde edilir ki istenendir.
(iii) (ii) sonucunun özel bir halidir, (y n ) = (c) almak yeterlidir.
(b)
(i) Önce δ := 21 |c| olarak tanımlayalım. lim(z n ) = c olduğundan her n ≥ K 1 için |z n −c| < δ
olacak şekilde bir K 1 doğal sayısı vardır. Ayrıca üçgen eşitsizliği kullanılarak her n ≥ K 1
için
− δ ≤ −|z n − c| ≤ |z n | − |c|
(3.1.5)
olduğu gösterilebilir (sıradaki uyarıyı inceleyin). Buradan da her n ≥ K 1 için |c|/2 =
c − δ ≤ |z n | eşitsizliğinin, dolayısıyla 1/|z n | ≤ 2/|c| eşitsizliğinin (c 6= 0 olduğunu hatırlayın) sağlandığı sonucuna varılır. Diğer yandan lim(z n ) = c olduğundan, herhangi bir
² > 0 sayısı verildiğinde, her n ≥ K 2 için |z n −c| < 21 ²|c|2 olacak şekilde bir K 2 ∈ N vardır.
Şimdi K ² := max{K 1 , K 2 } olarak tanımlanırsa, her n ≥ K ² için
¯ ¯
¯
¯
µ
¶
¯ 1
¯ ¯
¯
¯ − 1 ¯ = ¯ c − z n ¯ = 1 |z n − c| < 2 1 ²|c|2 = ²
¯z
c ¯ ¯ z n c ¯ |z n c|
|c|2 2
n
elde edilir ki istenendir.
(ii) (a)-(ii) ve (b)-(i) maddelerinin direkt sonucudur.
■
Uyarı 3.1.49 (3.1.5) eşitsizliğini kanıtlayalım. Alıştırma 2.2-11 (a) gereği
||z n | − |c|| ≤ |z n | + |c|
olduğunu biliyoruz. Buradan da Teorem 2.2.13 (d) gereği
− (|z n | + |c|) ≤ |z n | − |c| ≤ |z n | + |c|
eşitsizliğini elde edebiliriz. Bu eşitsizlikte, Alıştırma 2.2-11 (c) gereği |z n − c| ≤ |z n | + |c| olduğunu
ve Teorem 2.2.7 (d) gereği −|z n − c| ≤ − (|z n | − |c|) olduğunu kullanırsak,
−|z n − c| ≤ ||z n | − |c|| ≤ |z n | + |c|
eşitsizliğini elde ederiz. Son olarak her n ≥ K 1 için |z n − c| < δ olduğunu ve yine Teorem 2.2.7 (d)
sonucu kullanılırsa istenilen elde edilmiş olur. Î
Örnek 3.1.50 Tanım 3.1.11’yi kullanmadan
µ
lim
¶
3n + 1
=3
n
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
77
3.1. Diziler ve Limitleri
olduğunu gösterelim. (x n ) := (3) ve (y n := 1/n) dizilerini tanımlarsak lim(x n ) = 3 (Bkz: Alıştırma 7)
ve lim(y n ) = 0 olduklarından Teorem 3.1.48 (a) gereği
µ
¶
µ
¶
3n + 1
1
lim
= lim 3 +
= lim(x n + y n ) = lim(x n ) + lim(y n ) = 3
n
n
olduğu sonucu elde edilir.
Uyarı 3.1.51 Eğer (x n ) := (3n + 1) ve (y n ) := (n) seçseydik Teorem 3.1.48 (b) sonucunu kullanamazdık, çünkü teoremi kullanabilmemiz için bu dizilerin yakınsak olması gerekir. Dolayısıyla bu
teoremi kullanırken ilgili (x n ) ve (y n ) dizilerini yakınsak olacak şekilde aramamız gerekir. Î
Örnek 3.1.52 Yukarıdaki örnekte olduğu gibi
¶
µ
1
n +1
=
lim
2n + 5
2
olduğunu gösterelim. Bunun için (x n ) := (1+1/n) ve (y n := 2+5/n) dizilerini tanımlarsak lim(x n ) =
1 ve lim(y n ) = 2 olduklarından Teorem 3.1.48 (b) gereği
µ
¶
µ
¶
µ ¶
n +1
1 + 1/n
xn
lim(x n ) 1
lim
= lim
= lim
=
=
2n + 5
2 + 5/n
yn
lim(y n ) 2
olduğu görülür.
Uyarı 3.1.53 Yukarıdaki örnekte kullandığımız limitleri doğrudan Tanım 3.1.11’yi kullanarak kolayca gösterebiliriz. Ya da Teorem 3.1.48 kullanılırsa
lim(1 + 1/n)
=
lim(1) + lim(1/n)
=
1+0
=
1
ve
lim(2 + 5/n)
=
lim(2) + lim(5/n)
=
lim(2) + lim(5) lim(1/n)
=
2+5·0
=
2
olduğu kolayca görülür. Î
Örnek 3.1.54
³
3n
n 2 +1
´
dizisinin limitini bulalım.
3n
3/n
=
n 2 + 1 1 + 1/n 2
olduğundan
µ
lim
olduğu görülür.
¶
µ
¶
3n
3/n
lim(3/n)
0
=
= =0
=
lim
2
2
2
n +1
1 + 1/n
lim(1 + 1/n ) 1
Şimdi de yakınsak dizilerin bazı sıralama özelliklerini inceleyeceğiz. Vereceğimiz ilk iki sonucun ispatı okuyucuya bırakılmıştır (Alıştırma 19 ve 20).
78
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Teorem 3.1.55 (x n ) yakınsak bir dizi ve her n ∈ N için x n ≥ 0 ise lim(x n ) ≥ 0 olur.
p
Teorem 3.1.56 Terimleri negatif olmayan (x n ) dizisinin limiti a sayısı ise terimleri x n olan dizip
nin limiti a sayısıdır.
³p 2 ´
2n +1
Örnek 3.1.57 Teorem 3.1.48 ve Teorem 3.1.56 yardımıyla 3n−1
dizisinin limitini aşağıdaki gibi
bulabiliriz
r ³
´

 q
!
Ãp
2 2+ 1
1
n

2 
2
+
n
2
n
2
2n + 1
n 



= lim 
lim
¢
 = lim  ¡


3n − 1
3n − 1
n 3 − n1
=
=
r
´
³
lim 2 + n12
=
¡
¢
lim 3 − n1
r
³ ´
p
lim (2) + lim n12
2
.
¡1¢ =
3
lim (3) − lim n
³q
lim
2 + n12
¡
¢
lim 3 − n1
´
Örnek 3.1.58 (x n ) dizisi tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x n+1 =
p
xn + 1
olarak verilen dizi olsun. Bu dizinin yakınsak olduğu gerçeğini kabul edelim. Öncelikle Teorem
3.1.17 gereği (x n ) ile (x n+1 ) dizilerinin limitleri aynı sayıdır. Ayrıca Teorem 3.1.48 ve Teorem 3.1.56
gereği (x n ) → a ise
p
a = a +1
2
eşitliği
p sağlanmalıdır. Bu da a − a − 1 = 0 eşitliğinin sağlanması anlamına gelir. Buradan da a =
(1 ± 5)/2 elde edilir, Teorem 3.1.55 gereği
p
1+ 5
lim(x n ) =
2
elde edilir.
Teorem 3.1.59 (x n ) ile (y n ) yakınsak diziler ve her n ∈ N için x n ≤ y n ise bu durumda lim(x n ) ≤
lim(y n ) olur.
İspat z n := y n − x n olarak tanımlarsak her n ∈ N için z n ≥ 0 olur. Ayrıca Teorem 3.1.48 gereği (z n )
dizisi yakınsak bir dizidir. Böylece Teorem 3.1.48 ve Teorem 3.1.55 gereği
0 ≤ lim(z n ) = lim(y n − x n ) = lim(y n ) − lim(x n )
elde edilir ki istenendir.
■
Teorem 3.1.60 (x n ) yakınsak bir dizi ve her n ∈ N için a ≤ x n ≤ b ise bu durumda a ≤ lim(x n ) ≤ b
olur.
İspat Teorem 3.1.59 sonucunda (y n ) := (b) seçersek lim(x n ) ≤ b elde edilir. Benzer şekilde (x n )
yerine (a) ve (y n ) yerine de (x n ) yazılırsa lim(x n ) ≥ a olduğu elde edilir.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
79
3.1. Diziler ve Limitleri
Şekil 3.11: Örnek 3.1.58 ile verilen dizinin grafiği
Teorem 3.1.61 (Sandviç Teoremi) (x n ) ile (z n ) yakınsak diziler ve lim(x n ) = lim(z n ) olsun. Bu durumda eğer her n ∈ N için x n ≤ y n ≤ z n oluyorsa (y n ) dizisi de yakınsaktır ve
lim(x n ) = lim(y n ) = lim(z n )
eşitliği sağlanır.
İspat lim(x n ) = lim(z n ) = a olsun. Bu durumda Tanım 3.1.11 gereği verilen her ² > 0 sayısına
karşılık, her n ≥ K 1 için |x n − a| < ² ve her n ≥ K 2 için |z n − a| < ² olacak şekilde K 1 ve K 2 doğal
sayıları vardır. Bundan dolayı eğer K ² := max{K 1 , K 2 } olarak tanımlanırsa her n ≥ K ² için
a − ² < x n < a + ² ve a − ² < z n < a + ²
eşitsizlikleri sağlanır. Ayrıca her n ∈ N için x n ≤ y n ≤ z n olduğundan
a − ² < xn ≤ y n ≤ zn < a + ²
eşitsizliği elde edilir. Buradan da −² < y n − a < ², yani |y n − a| < ² elde edilir ki istenendir.
■
Uyarı 3.1.62 Teorem 3.1.55, 3.1.59, 3.1.60 ve 3.1.61 sonuçlarında, "her n ∈ N için" ifadesi yerine
"sonlu sayıda n doğal sayısı hariç her n ∈ N için" ifadesi yazılırsa yine doğru olur. (Bkz: Teorem
3.1.17.) Î
¡
¢
Örnek 3.1.63 sinn n dizisinin yakınsak olduğu ve limit değeri doğrudan Tanım 3.1.11 veya Teorem
3.1.35 kullanılarak gözterilebilir (Alıştırma 13). −1 ≤ sin n ≤ 1 olduğundan her n ∈ N için
−
1 sin n 1
≤
≤
n
n
n
olduğundan sandviç teoremi (Teorem 3.1.61) gereği
µ
¶
sin n
lim
=0
n
elde edilir.
80
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
n
Şekil 3.12: Genel terimi x n = sin
n olan dizinin grafiği
Uyarı 3.1.64 Benzer şekilde lim (cos n/n) = 0 olduğu da açıktır. Î
Bazı dizilerin yakınsaklığını aşağıda vereceğimiz sonuç ile kolay bir şekilde test edebiliriz, bu
sonuca diziler için oran testi denir.
Teorem 3.1.65 (Oran Testi) (x n ) pozitif terimli bir reel sayı dizisi olsun, ayrıca
µ
¶
x n+1
L := lim
xn
limiti var olsun. Bu durumda eğer L < 1 ise (x n ) dizisi yakınsaktır ve lim(x n ) = 0’dır.
İspat Teorem 3.1.55 gereği L ≥ 0’dır, kabul edelim ki L < 1 olsun. Ayrıca L < r < 1 özelliğindeki bir
r sayısı için ² := r − L olarak tanımlayalım, ² > 0 olduğu açıktır. (x n+1 /x n ) → L olduğundan Tanım
3.1.11 gereği
¯
¯
¯ x n+1
¯
n ≥ K ⇒ ¯¯
− L ¯¯ < ²
xn
olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Buradan da her n ≥ K için
x n+1
< L + ² = L + (r − L) = r
xn
eşitsizliğine varılır. Böylece her n ≥ K için
0 < x n+1 < x n r < x n−1 r 2 < · · · < x K r n−K +1
eşitsizlikleri sağlanır. Şimdi eğer C := x K /r K seçersek her n ≥ K için
0 < x n+1 < C r n+1
eşitsizliğini elde ederiz. Bu da her n ≥ K + 1 için
0 < xn < C r n
olduğu anlamına gelir. Böylece, 0 < r < 1 için r n → 0 olduğundan (Örnek 3.1.29), Teorem 3.1.35
gereği lim(x n ) = 0 olduğu sonucu elde edilir.
■
Uyarı 3.1.66 L > 1 ise dizinin ıraksak olduğu da kanıtlanabilir (daha sonra kanıtlayacağız), fakat
L = 1 ise dizi yakınsak da olabilir ıraksak da. (Bkz: Alıştırma 51 ve 52.) Î
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
81
3.1. Diziler ve Limitleri
Uyarı 3.1.67 Bunun dışında diğer bir önemli yakınsakık testi de kök testi olarak adlandırılan testtir. (Bkz: Alıştırma 53, 54 ve 55.) Î
Örnek 3.1.68 Genel terimi x n := n/2n olan diziyi ele alalım.
µ
¶
µ
¶
´
³x
n + 1 2n
1 n +1
1
n+1
= lim n+1
= lim
= <1
lim
n
2
n
2
n
2
olduğundan Teorem 3.1.65 gereği lim(x n ) = 0 olarak elde edilir.
Sonsuza Iraksayan Diziler
Bu bölümde ıraksak dizilerin özel bir çeşidini inceleyeceğiz. Bazı dizilerin şöyle bir özelliği vardır:
dizi, vereceğimiz her sayıyı belirli bir zaman sonra aşar. Başka bir deyişle, dizinin sonlu sayıda
terimi hariç tüm terimlerinin o sayıdan daha büyük olur. Mesela (x n ) = (n) dizisini ele alalım, bu
dizinin terimleri 5 sayısını aşar. Gerçekten dizinin ilk beş teriminden sonraki tüm terimleri için
x n = n > 5 koşulu sağlanır. Benzer şekilde bu dizi 10 sayısını da aşar, 1000 sayısını da. Aslında bu
dizinin seçeceğimiz her sayıyı aşacağı gösterilebilir. Yani vereceğimiz her M sayısı için n ≥ K ise
x n > M olacak şekilde bir K sayısı bulabiliriz. Araştırırsak K = M olarak buluruz.
Yakınsak dizilerin böyle bir özelliğinin olamayacağı Tanım 3.1.11’den açık, her ıraksak dizi de
bu özelliğe sahip değildir, örneğin ((−1)n ) dizisi hiç bir zaman 1 sayısını aşamaz. Aslında sınırlı
dizilerin bu özelliğe sahip olamayacağı Tanım 3.1.45’den açık. Fakat sınırlı olmayan diziler de
bu özelliğe sahip olmak zorunda değil, örneğin (n(−1)n ) dizisi sınırlıdır fakat 0 sayısını aşamaz,
çünkü dizinin her teriminden sonra negatif terimleri var. Başka bir örnek olarak Alıştırma 8 veya
36 (b) ile verilen dizileri inceleyiniz.
Çok önemli olan bir başka örnek verelim. Genel terimi
xn = 1 +
n 1
1 1
1 X
+ +···+ =
2 3
n k=1 k
olan diziyi ele alalım. Bir hesap makinesi veya bilgisayar yazılımı kullanarak dizinin baştan bir
kaç terimini hesaplanırsa dizinin terimlerinin çok yavaş olarak arttığı, bu dizinin verilen her sayıyı aşamayabileceği düşünülebilir (Bkz: Tablo 3.2). Bu yöntemle dizinin 1 sayısını ilk teriminde,
2 sayısını dördüncü teriminde, 3 sayısını onbirinci teriminde, 4 sayısını 31’inci teriminde, 5 sayısını 83’üncü teriminde, 6 sayısını 227’inci teriminde, 8 sayısını 1674’üncü teriminde, 9 sayısını 4550’inci teriminde ve 10 sayısını 12367’inci teriminde aştığını gözlemlersiniz. Dikkat edilirse seçilen M sayısı büyüdükçe dizinin bu sayıyı aşması için geride bırakması gereken terim sayısı yüksek bir hızla artmaktadır, örneğin M = 50 sayısı 5.2 × 1021 ’inci terimde, M = 100 sayısı
1, 5 × 1043 ’üncü terimde aşılabilmektedir.
Uyarı 3.1.69 Yukarıdaki terim sayıları o kadar büyüktür ki bilgisayarla bile hesaplanamaz. Bir bilgisayarın bu dizi ile 50 sayısını aşması için 5.2×1021 defa toplama işlemi gerçekleştimesi gerekir ki
saniyede 1 tirilyondan fazla toplama yapabilen güçlü bir bilgisayarın bile bunu hesaplaması 164
yıl sürer. Bu değerlerin analiz yoluyla nasıl hesaplandığını az sonra göreceğiz. Î
Sorun şudur, acaba dizi verilen her M sayısını aşar mı? Örneğin M = 891827129922721001 gibi
bir sayıyı dizi aşabilir mi? Cevap olumlu, Gerçekten
1/2
≤ 1/2
= 1/2
1/3 + 1/4
≤ 1/4 + 1/4
= 1/2
1/5 + · · · + 1/8
≤ 1/8 + · · · + 1/8
= 1/2
1/9 + · · · + 1/16
≤ 1/16 + · · · + 1/16 = 1/2
1/17 + · · · + 1/32 ≤ 1/32 + · · · + 1/32 = 1/2
1/33 + · · · + 1/64 ≤ 1/64 + · · · + 1/64 = 1/2
..
.
82
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
x1 = 1
x 2 = 1, 5
x 3 = 1, 83333 . . .
x 4 = 2, 08333 . . .
x 5 = 2, 28333 . . .
x 6 = 2, 45
x 7 = 2, 59285 . . .
x 8 = 2, 71785 . . .
x 9 = 2, 82896 . . .
x 10 = 2, 92896 . . .
Tablo 3.2: Genel terimi (x n ) =
x 11 = 3, 01987 . . .
x 12 = 3, 10321 . . .
x 13 = 3, 18013 . . .
x 14 = 3, 25156 . . .
x 15 = 3, 31822 . . .
x 16 = 3, 38072 . . .
x 17 = 3, 43955 . . .
x 18 = 3, 49510 . . .
x 19 = 3, 54774 . . .
x 20 = 3, 59774 . . .
1
olan dizinin ilk 20 terimi.
k=1 k
Pn
gözlemini yaparsak her n ∈ N için
x 2n ≥ 1 + n/2
olduğu sonucuna varılır. Yani bu dizinin terimleri verilecek her sayıyı aşabilir.
Fakat görünüşte bu diziye çok benzeyen, genel terimi
yn = 1 +
n 1
X
1
1
1
+
+
·
·
·
+
=
22 32
n 2 k=1 k 2
olan dizi bu özelliğe sahip değildir. Gerçekten bu dizi yakınsak bir dizidir, aşağıdakini tümevarımla kanıtlayabilirsiniz
1
her n ∈ N için y n ≤ 2 − .
n
Dolayısıyla Teorem 3.1.61 gereği bu dizi 2’den küçük bir limite yakınsar.
Şimdi böyle dizilerin ayrımını yapan tanımı verip bazı özelliklerini araştıralım. Şunu baştan
söyleyelim, aşağıdaki tanımda sonsuza gitmek deyimi kullanılacak, bu sadece bir deyiştir. Sonsuz diye bir sayı olmadığından o sayıya gidilmez, yaklaşılmaz veya yakınsanmaz. Sonsuza ancak
ıraksanır.
Tanım 3.1.70 (Sonsuza Iraksayan Dizi) Verilen her M reel sayısına karşılık, her n ≥ K için x n > M
olacak şekilde bir K ∈ N bulunabiliyorsa (x n ) dizisi +∞’a gidiyor denir ve bu durum
lim(x n ) = +∞
olarak gösterilir. Benzer şekilde verilen her M reel sayısına karşılık, her n ≥ K için x n < M olacak
şekilde bir K ∈ N bulunabiliyorsa (x n ) dizisi −∞’a gidiyor denir ve bu durum
lim(x n ) = −∞
olarak gösterilir. +∞’a veya −∞’a giden dizilere sonsuza ıraksayan diziler denir.
¡p
¢
Örnek 3.1.71 lim n + 5 = +∞ olduğunu gösterelim. Herhangi bir M > 0 sayısı verilmiş olsun.
K > (M − 5)2 olacak şekilde bir K doğal sayısı seçersek n ≥ K olduğu zaman n > (M − 5)2 olacap
ğından x n = n + 5 > M eşitsizliği sağlanır.
³ 3 ´
+2
Örnek 3.1.72 lim nn+1
= +∞ olduğunu gösterelim. Keyfi bir M ∈ R sayısı verilmiş olsun. Eğer
K > 2M şeklinde bir K doğal sayısı seçersek n ≥ K olduğunda n/2 > M olacağından her n ≥ K için
n3 + 2 n2 n
>
= >M
n +1
2n 2
eşitsizliği sağlanır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
83
3.1. Diziler ve Limitleri
Örnek 3.1.73 r > 1 ise lim (r n ) = +∞ olduğunu gösterelim. r = 1 + a olacak şekilde bir a > 0 sayısı vardır. Keyfi bir M ∈ R sayısı verilmiş olsun, K > M /a olacak şekilde bir K ∈ N seçelim. Bu
durumda n ≥ K ise na > M olur. Buradan, Bernoulli eşitsizliği kullanılarak, her n ≥ K için
r n = (1 + a)n ≥ 1 + na > 1 + M > M
eşitsizliğinin sağlandığı görülür.
Teorem 3.1.74 (x n ) ve (y n ) reel sayı dizileri ve
her n ∈ N için x n ≤ y n
olsun. Bu durumda
(a) Eğer lim(x n ) = +∞ ise lim(y n ) = +∞ olur,
(b) Eğer lim(y n ) = −∞ ise lim(x n ) = −∞ olur.
İspat (a) sonucunu kanıtlayalım, diğeri de benzer yolla kanıtlanabilir. Verilen her M sayısı için
n ≥ K ise x n > M olacak şekilde bir K doğal sayısı vardır. Bu durumda y n ≥ x n olduğundan y n ≥ M
eşitsizliği sağlanır.
■
Yukarıdaki teoremin "her n ∈ N için" yerine, "sonlu sayıdaki n doğal sayıları hariç tüm n ∈
N için" de geçerli olduğu açıktır. Sıradaki vereceğimiz teoremin ispatı okuyucuya bırakılmıştır,
Alıştırma 74.
Teorem 3.1.75 lim(x n ) = +∞ ve (y n ) sınırlı bir dizi olsun. Bu durumda
(a) lim(x n + y n ) = +∞ olur,
(b) c > 0 ise lim(c x n ) = +∞ olur,
(c) c < 0 ise lim(c x n ) = −∞ olur.
Teorem 3.1.76 (x n ) pozitif terimli bir reel sayı dizisi olsun. lim(x n ) = +∞ olması için gerek ve yeter
koşul lim(1/x n ) = 0 olmasıdır.
İspat Keyfi bir ² > 0 sayısı verilsin. M := 1/² olarak tanımlanırsa, lim(x n ) = +∞ olduğundan, her
n ≥ K için x n > M = 1/² olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Buradan da, x n > 0 olduğundan, her n ≥ K
için 1/x n < ² eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla her n ≥ K için
¯
¯
¯ 1
¯
1
¯
¯
¯ x − 0¯ = x < ²
n
n
olduğu sonucuna varılır ki bu da lim(1/x n ) = 0 demektir. Teoremin diğer yönlüsü de benzer şekilde kanıtlanır, okuyucuya bırakılmıştır.
■
Teorem 3.1.77 Pozitif reel sayıların bir (x n ) dizisi için
µ
¶
x n+1
=L>1
lim
xn
ise lim(x n ) = +∞ olur.
İspat lim(x n+1 /x n ) = L > 1 olsun. (y n ) = (1/x n ) dizisini tanımlarsak Teorem 3.1.48 gereği lim(y n+1 /y n ) =
1/L < 1 olduğu elde edilir. Buradan da Teorem 3.1.65 ve Teorem 3.1.76 gereği lim(x n ) = +∞ olduğu
sonucu elde edilir.
■
Alıştırmalar 3.1
1. Genel terimleri verilen aşağıdaki dizilerin her birinin baştan bir kaç terimini yazın.
84
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
a) x n = 12 ,
n
1
,
f) x n = n!
1
,
b) x n = n(n+1)
g) x n = 1−3n
,
n2
c) x n =
(−1)n
n
,
j) x n = 3 + (−1)n ,
³
´n
k) x n = 1 + n1 ,
n+1
h) x n = (−1)
2n+1 ,
d) x n = n 1/n ,
e) x n = 12 ,
¡ ¢
l) x n = cos nπ
3 ,
¡ nπ ¢
m) x n = sin 4 .
n
i) x n = 2 2−1
n ,
n
2. Aşağıda baştan bir kaç terimi verilen dizilerin genel terimlerini yazın.
a) 7, 9, 11, 13, . . .,
b) 21 , 23 , 34 , 54 , . . .,
c) 1, −1, 1, −1, 1, −1 . . .,
e) 1, −4, 9, −16, 25, −36 . . .,
d) −1, 1, −1, 1, −1, 1 . . .,
g) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .,
14 17 20
f) 51 , 82 , 11
6 , 24 , 120 , 720 , . . .,
3. Tümevarımsal olarak verilen aşağıdaki dizilerin baştan bir kaç terimini yazın.
a) x 1 = 1, x n+1 = x n + 1,
e) x 3 = 2, x 2 = 5, x n+2 = x n + x n+1 ,
b) x 1 = 1, x n+1 = nx n ,
c) x 1 = 2, x n+1 = 21 (x n + x2 ),
n
d) x 1 = 2, x 2 = −1, x n+2 = x n /x n+1 ,
f) x 1 = 1 ve diğer terimleri kendinden önceki
tüm terimlerin toplamına eşit.
4. Aşağıdaki önermelerin doğru mu yoksa yanlış mı olduklarını belirleyin
a) Bir (x n ) dizisi için x i = x j ise i = j olur,
b) (x n ) ve (y n ) dizilerinde her i ∈ N için x i = y i oluyorsa bu diziler aynı dizilerdir,
c) x n → a ve y n → a ise her n ∈ N için x n = y n olur,
d) Her ² > 0 sayısı için
n ≥ N ⇒ xn < ²
önermesini doğru yapan bir N ∈ N bulunabiliyorsa x n → 0 olur.
e) İki yakınsak dizinin ortak hiç bir terimi yoksa (sırası farklı olsa bile) bu iki dizi aynı limite yakınsayamaz.
5. Aşağıdaki durumlara birer örnek bulun
a) Tüm terimleri birer rasyonel sayı olup limiti bir irrasyonel sayı olan dizi,
b) Tüm terimleri birer irrasyonel sayı olup limiti bir rasyonel sayı olan dizi.
6. Bir önceki alıştırmaya ek olarak, aşağıdakileri kanıtlayın
a) Her irrasyonel sayıya yakınsayan bir rasyonel sayı dizisi vardır,
b) Her rasyonel sayıya yakınsayan bir irrasyonel sayı dizisi vardır.
İpucu: Teorem 2.2.19 ve Teorem 2.2.20 sonuçlarını kullanın.
7. a ∈ R olmak üzere (a) = (a, a, a, . . .) sabit dizisi için lim(a) = a olduğunu Tanım 3.1.11’yi kullanarak
gösterin.
8. Terimleri şağıdaki gibi olan dizi sıfıra yakınsak değildir:
1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, (5 tane sıfır) , 1, . . .
Bu durumu Tanım 3.1.11’ye göre tartışın, hangi ² değerleri için K ² bulunamaz?
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
85
3.1. Diziler ve Limitleri
9. Tanım 3.1.11’de bulunan niceleyicileri değiştirerek aşağıdaki tanım yapılsın
Tuhaf dizi: Verilen her K doğal sayısına karşılık
n ≥ K ⇒ |x n − a| < ²
olacak şekilde bir ² > 0 sayısı bulunabiliyorsa (x n ) dizisine bir tuhaf dizi denir.
Yakınsak dizi ile tuhaf dizi arasındaki bağlantıları araştırın, örneğin
tuhaf ⇒ yakınsak
veya
ıraksak ⇒ tuhaf
benzeri özellikleri keşfedin.
10. Yakınsak bir dizi için Tanım 3.1.11 ile belirtilen özellikleri sağlayan bir ² ve K ² sayısı bulduğunuzu farzedin. Bu sayılar hakkında aşağıdaki önermelerin doğru olması için boşuklara "küçük" veya "büyük"
sözcüklerinden birini yerleştirin
a) Aynı ² sayısı için K ² ’dan
olan her doğal sayı da tanımdaki özelliği sağlar,
b) Aynı K ² sayısı için ²’dan
olan her reel sayı da tanımdaki özelliği sağlar.
11. Verilen her K doğal sayısına karşılık
n ≥ K ⇒ |x n − a| ≥ ²
olacak şekilde bir ²¡> 0 sayısı
(x n ) dizisi a sayısına yakınsamaz, kanıtlayın. Ayrıca bu
¢ bulunabiliyorsa
¡p ¢
sonucu kullanarak (−1)n ve n dizilerinin ıraksak olduğunu gösterin.
12. (x n ) dizisi sıfırdan farklı bir a reel sayısına yakınsıyorsa her n ≥ K ∗ için x n 6= 0 olacak şekilde bir K ∗
doğal sayısı bulunabilir. Aslında her n ≥ K ∗ için
|x n | ≥
|a|
2
olur. Kanıtlayın.
13. Sadece Tanım 3.1.11’yi kullanarak (K ² sayılarını bularak) aşağıdakileri elde edin
³ ´
a) lim nk = 0,
³ ´
b) lim 12 = 0,
n
³
´
1
c) lim 1/3
= 0,
n
´
³
d) lim 4n+1
n+3 = 4,
³
´
3
e) lim 3n+1
2n+5 = 2 ,
³
´
3
f) lim 3n+1
7n−4 = 7 ,
³
´
g) lim n+3
= 0,
n 2 −13
³ 2 ´
h) lim n 2−1 = 12 ,
2n +3
´
³ 3
i) lim 4n 3+3n = 4,
n −6
³
´
n
j) lim sin
= 0,
n
k) lim(n 1/n ) = 1,
³
´
1
l) lim ln(n+1)
= 0.
14. Aşağıdakileri elde edin
³
´
1
a) lim 3n+2
= 0,
³
´
2n
b) lim n+2 = 2,
³p ´
n
c) lim n+1 = 0,
³ ´
d) lim 31n = 0,
³ 2
´
e) lim 4n2 −3 = 54 ,
5n −2n
³ 2
´
f) lim 6n 2+3n = 3,
2n −5
³ 2
´
g) lim 5n3 −6 = 0,
2n −7n
³
nn ´
h) lim (−1)
= 0,
2
³
´
= 0,
i) lim p 1
n+5
p
p
j) lim( n + 1 − n) = 0.
n +1
15. Genel terimleri aşağıda verilen dizilerin ıraksak olduklarını gösterin
a) x n = 1 + (−1)n ,
c) x n = 2n,
b) n(−1)n ,
d) x n = (−n)2 ,
¡ ¢
e) x n = cos nπ
3 ,
¡ nπ ¢
f) x n = sin 3 .
86
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
16. lim(x n ) = a olması için gerek ve yeter koşul lim(x n − a) = 0 olmasıdır, kanıtlayın.
17. lim(x n ) = a olması için gerek ve yeter koşul lim(−x n ) = −a olmasıdır, kanıtlayın.
18. Her n ∈ N için x n 6= 0 ve lim(x n ) = a 6= 0 ise inf{|x n |, n ∈ N} > 0 olur, kanıtlayın.
19. (x n ) yakınsak bir dizi olmak üzere aşağıdakileri kanıtlayın
a) Sonlu sayıda n doğal sayısı hariç her n ∈ N için x n ≥ a ise lim(x n ) ≥ a olur,
b) Sonlu sayıda n doğal sayısı hariç her n ∈ N için x n ≤ b ise lim(x n ) ≤ b olur,
c) lim(x n ) > c ise her n ≥ K için x n > c olacak şekilde bir K doğal sayısı vardır.
p
p
20. Terimleri negatif olmayan (x n ) dizisinin limiti a sayısı ise terimleri x n olan dizinin limiti a sayısı
olur, kanıtlayın.
21. lim(x n ) = a ise lim(|x n |) = |a| olur, kanıtlayın. Ters yönlüsünün genellikle geçerli olmadığına dair örnek verin.
22. lim(x n ) = 0 olması için gerek ve yeter koşul lim(|x n |) = 0 olmasıdır, kanıtlayın, bunu bir önceki alıştırma ile karşılaştırın.
23. Aşağıdakileri elde edin
³ n´
c) lim 2n! = 0,
³ ´
d) lim nn!n = 0,
³
´
a) lim (2n)1/n = 1,
³ 2´
b) lim nn! = 0,
³ 2´
e) lim n
2n = 0.
24. 0 < b < 1 olmak üzere lim(nb n ) = 0 olduğunu gösterin.
³
´
25. a, b > 0 olmak üzere lim (a n + b n )1/n = max{a, b} olduğunu gösterin.
26. Genel terimi
xn =
1+2+...+n
n2
=
n k
X
k=1 n
2
olan dizi için
lim(x n ) =
1
2
olduğunu gösterin.
27. a ∈ R ve 0 < r < 1 olmak üzere genel terimi
x n = a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
n
X
ar k
k=0
olan dizi için
a
1−r
olduğunu gösterin. Bu sonucu kullanarak 1.999 . . . = 2 olduğunu doğrulayın.
lim(x n ) =
28. Genel terimi
µ
1−
2
2·3
¶µ
1−
¶ µ
¶
¶
n µ
Y
2
2
2
··· 1−
=
1−
3·4
n(n + 1)
n(n + 1)
k=2
olan dizinin limitini bulun.
³
´
x −a
29. lim xn +a = 0 ise lim(x n ) = a olur, kanıtlayın.
n
30. x n → a ve y n → a ise fermuar dizisi denilen (z n ) = (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . . , x n , y n , . . .) dizisi de a sayısına
yakınsar, kanıtlayın.
31. lim(x n ) = a ise
³ x + x +···+ x ´
n
1
2
=a
n
eşitliği sağlanır, kanıtlayın. (Buna (x n ) dizisinin Cesaro ortalaması denir. Iraksak serilerin de Cesaro
ortalaması yakınsak olabilir, bir örnek verin.)
lim
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
87
3.1. Diziler ve Limitleri
32. Yakınsak bir dizi için Tanım 3.1.11’de verilen K ² sayısı ² sayısından bağımsız olarak bulunabiliyorsa,
dizinin sonlu sayıda terimi hariç tüm terimleri limit noktasına eşittir, kanıtlayın.
33. Reel sayıların sonlu bir alt kümesinde bir dizinin yakınsak olması için belirli bir terimden sonraki tüm
terimlerinin aynı olması gerekir, kanıtlayın.
34. Her n ∈ N için x n ∈ Z ise (x n ) dizisinin yakınsak olması için belirli bir terimden sonraki tüm terimlerinin aynı olması gerekir, kanıtlayın.
©
ª
35. (x n ) ve (y n ) dizileri farklı sayılara yakınsıyorlar ise {x n : n ∈ N} ∩ y n : n ∈ N kümesi sonludur, kanıtlayın.
36. (x n ) bir dizi olsun. Eğer lim(x 2n ) = a ve lim(x 2n−1 ) = a ise lim(x n ) = a olur, ayrıca bunun tersi de doğrudur, kanıtlayın. Fakat bu dizilerin farklı limitlere yakınsaması durumunda bu ifade doğru değildir,
aşağıdakileri inceleyin
½
a) x n =
½
n tek ise,
n çift ise.
0,
1
n,
b) x n =
1,
1
n,
n tek ise,
n çift ise.
37. Bir dizinin terimlerinden oluşturulan (sıraları gözetilerek) farklı iki dizinin limitleri farklıysa dizi ıraksaktır, kanıtlayın.
38. (x n ) yakınsak bir dizi ise her ² > 0 sayısına karşılık
m ≥ K ve n ≥ K ⇒ |x m − x n | < ²
olacak şekilde bir K doğal sayısı vardır, kanıtlayın.
39. Boyu büyümeyen, yani her n ∈ N için I n ⊇ I n+1 olan kapalı reel sayı aralıklarının oluşturduğu (I n ) diT
zisi için (bu bölümde gördüğümüz tüm diziler reel sayı dizileriydi, fakat bu bir küme dizisidir) ∞
n=1 I n
kümesi boştan farklıdır. Bu sonuç reel sayılar yerine başka bir sıralı cisim alınırsa doğru değildir, ayrıca reel sayılarda olsa dahi aralıkların kapalı olması zorunludur. Bu sonuçları daha önce ispatladık,
açıklama yapın.
40. Bir a sayısının bir S kümesinin bir limit noktası (Tanım 2.4.9 anlamında) olması için gerek ve yeter
koşul S\{a} kümesinde a sayısına yakınsayan bir dizinin var olmasıdır, kanıtlayın. Bunun sonucu olarak, her reel sayının hem rasyonel sayılar hem de irrasyonel sayılar kümeleri için bir limit noktası
olduğunu söyleyebiliriz, nasıl?
41. Bir reel sayı kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul kendi üzerindeki tüm yakınsak dizilerin limitlerini içermesidir, kanıtlayın. (Aslında bunu bir önceki alıştırmanın sonucu olarak doğrudan
söyleyebiliriz, açıklayın.)
42. Sınırlı olan fakat yakınsak olmayan farklı dizi örnekleri verin.
43. Her n ∈ N için x n 6= 0 ve (x n ) → a 6= 0 ise (1/n) dizisi sınırlıdır, kanıtlayın.
44. (2n ) dizisinin ıraksak olduğunu Teorem 3.1.46 sonucunu kullanarak gösterin.
45. lim(x n ) = 0 ve (y n ) de sınırlı bir dizi ise lim(x n y n ) = 0 olur, kanıtlayın.
46. (x n ) sınırlı bir dizi ise lim(x n /n) = 0’dır, kanıtlayın.
47. lim(x n ) = a 6= 0 ise lim(x n /x n+1 ) = 1 olur, kanıtlayın.
48. Limitlerin cebirsel özelliklerini (Teorem 3.1.48) ve sandviç teoremini (Teorem 3.1.61) kullanarak aşağıdaki limitleri bulun
³
´
3n+7
a) lim 6n−5
³
´
b) lim n−5
2
n +7
³ 2 ´
c) lim 3n2 −2
n +n
d) lim
³
2n 4 +7
n 5 −3
´
³ 3
´
2 +7
e) lim n +6n
4n 3 +3n−4
³
´
5
4 −18n 2 +4
f) lim 17n +73n
23n 5 +13n 3
´
³
n3
g) lim n(n+2)
n+1 − n+1
¡p
p ¢
h) lim n + 1 − n
¡p p
p ¢
i) lim n( n + 1 − n)
j) lim
³p
´
n2 + 1 − n
k) lim
³p
´
n2 + n − n
´
³p
n−1
l) lim p
n+1
³
p
m) lim n+1
n n
´
88
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
³ p
´
n) lim (3 n)1/2n
³p
p ´
n
n+ n
o) lim
³p
´
n n+1
p) lim
2
³p
´
n
q) lim
n2 + n + 1
³
´
r) lim (n + 1)1/ ln(n+1)
³
´
2
s) lim n 1/n
³
´
2
t) lim (n!)1/n
³
´
u) lim (1/n)1/n
³
´
v) lim n 1/n
¡
¢
w) lim 2n /n!
³
´
1
x) lim n sin 2n
49. Öyle ıraksak (x n ) ve (y n ) dizileri bulun ki (x n + y n ) dizisi yakınsak olsun. Benzer bir örnek de (x n y n )
dizisi yakınsak olacak şekilde bulun.
50. (x n ) ve (y n ) dizileri için aşağıdakileri kanıtlayın
a) (x n ) ve (x n + y n ) dizileri yakınsak ise (y n ) dizisi de yakınsaktır,
b) (x n ) ve (x n y n ) dizileri yakınsak ve lim(x n ) 6= 0 ise (y n ) dizisi de yakınsaktır.
51. (x n ) pozitif reel sayıların bir dizisi ve lim(x n+1 /x n ) > 1 olsun. Bu durumda (x n ) dizisinin sınırlı olmadığını, dolayısıyla ıraksak olduğunu kanıtlayın. (Torem 3.1.77’yı kullanmadan kanıtlayın.)
52. Pozitif reel sayıların bir (x n ) dizisi için lim(x n+1 /x n ) = 1 ise dizi ıraksak da olabilir yakınsak da. Her iki
duruma da birer örnek verin.
³
´
53. Pozitif reel sayıların bir (x n ) dizisi için lim (x n )1/n = L < 1 ise lim(x n ) = 0 olduğunu kanıtlayın.
İpucu: 0 < r < 1 olmak üzere yeterince büyük n doğal sayıları için 0 < x n < r n olduğunu gösterin.
³
´
54. Pozitif reel sayıların bir (x n ) dizisi için lim (x n )1/n = 1 ise dizi ıraksak da olabilir yakınsak da. Her iki
duruma da birer örnek verin.
´
³
55. Pozitif reel sayıların bir (x n ) dizisi için lim(x n+1 /x n ) = L ise lim (x n )1/n = L olur, kanıtlayın.
56. Genel terimi
xn =
n
X
1 1
1
+ +·+
=
k(k + 1)
2 6
n(n + 1) k=1
olan dizinin limitini bulun.
57. Genel terimi
xn = 1 +
n
X
1 1
1
1
+ + · + n−1 =
k−1
2 4
2
k=1 2
olan dizinin limitini bulun.
58. Aşağıdakini kanıtlayın
Ã
!
n 1
1 X
lim
= 0.
n k=1 k
İpucu: Yeterince büyük n doğal sayıları için
59. Genel terimi
p
1
≤ n olduğunu gösterin.
k=1 k
Pn
1
1
n
X
+ 1 + · · · + 2n
1
x n = n n+1
=
n
n(n
+ k)
k=0
olan dizinin limitini bulun.
60. Genel terimi
n
X
2
n
k
+
+
·
·
·
=
n2 + 1 n2 + 2
n 2 + n k=1 n 2 + k
1
olan dizinin limitini bulun.
61. Genel terimi n > 2 için
xn =
n−1
X
1
k(n
− k)
k=1
olan dizinin limitini bulun.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
89
3.1. Diziler ve Limitleri
62. Aşağıdakini kanıtlayın
Ã
!
n k 2 + 3k + 1
X
3
lim
= .
(k
+
2)!
2
k=1
63. Aşağıdakini kanıtlayın
Ã
lim
64. |r | < 1 ise
!!
Ã
n
i
X
X
j
i =1 j =1 n
3
=
1
.
6
¡
¢
lim (r + 1/n)n = 0
olur, |r | > 1 ise dizi yakınsak değildir, kanıtlayın.
65. r > 0 ve lim(x n ) = 0 ise
¡
¢
lim r xn = 1
olduğunu kanıtlayın.
66. bac ile a sayısının alt tam değerini, yani a sayısından küçük olan en büyük tam sayıyı gösterelim.
Örneğin bπc = b3c = 3, b 21 c = 0. Bu durumda r ∈ R olmak üzere genel terimi
xn =
br c + b2r c + · · · + bnr c
n2
olan dizi için
lim(x n ) =
=
n bkr c
X
2
k=1 n
r
2
olduğunu kanıtlayın.
67. Aşağıdakini kanıtlayın
v

u n
X
u
n
lim  t
k 2  = 1.
k=1
68. p ve q rasyonel sayıları için 0 < q < p ise
µ
lim
¶
np − nq
=1
(n + 1)p − (n + 1)q
olduğunu kanıtlayın.
69. Terimleri tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x2 + 2
x n+1 = n
2x n
olarak verilen dizinin yakınsak olduğunu kabul ederek limitini bulun.
70. Terimleri tümevarımsal olarak
3
x 1 = − , 3x n+1 = 2 + x n3
2
olarak verilen dizinin yakınsak olduğunu kabul edip limitini bulun.
71. Tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x n+1 = 3x n2
bağıntıları ile tanımlanan diziyi ele alın.
a) lim(x n ) = a ise a = 0 veya a = 1/3 olmalıdır, kanıtlayın.
b) Bu dizi yakınsak değildir, kanıtlayın. Bu iki sonuç birbiriyle çelişir mi? Açıklayın.
72. Sadece Tanım 3.1.70’ü kullanarak lim(n 2 ) = +∞ olduğunu gösterin.
73. Genel terimi
xn =
n
X
1
p
p
k
+
1
+ k
k=0
olan dizi için lim(x n ) = +∞ olduğunu gösterin.
90
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
74. Aşağıdakileri kanıtlayın
a) lim(x n ) = +∞ ve k > 0 ise lim(kx n ) = +∞ olur,
b) lim(x n ) = +∞ ve k < 0 ise lim(kx n ) = −∞ olur,
c) lim(x n ) = +∞ olması için gerek ve yeter koşul lim(−x n ) = −∞ olmasıdır,
d) lim(x n ) > 0 ve lim(y n ) = +∞ ise lim(x n y n ) = +∞ olur,
e) lim(x n ) = +∞ ve lim(y n ) 6= −∞ ise lim(x n + y n ) = +∞ olur,
f) lim(x n ) = +∞ ve lim(x n yn) = L ise lim(y n ) = 0 olur.
75. Pozitif terimli (x n ) ve (y n ) dizileri için
¶
xn
=L>0
yn
ise lim(x n ) = +∞ olması için gerek ve yeter koşul lim(y n ) = +∞ olmasıdır, kanıtlayın. (Bu önerme
L = 0 veya L = +∞ için doğru değildir.)
µ
lim
76. Pozitif terimli (x n ) ve (y n ) dizileri için
µ
lim
¶
xn
=0
yn
olsun, bu durumda aşağıdakileri kanıtlayın
a) lim(x n ) = +∞ ise lim(y n ) = +∞ olur,
b) (b n ) sınırlı bir dizi ise lim(x n ) = 0 olur.
77. Aşağıdaki durumlara birer örnek verin
a) Terimleri sıfırdan farklı (x n ) ve (y n ) dizileri için lim(x n /y n ) = 0 fakat lim(y n ) 6= ±∞,
b) lim(x n ) = +∞ ve lim(x n /y n ) = 0, fakat lim(y n ) 6= ±∞.
78. Eğer lim(x n ) = +∞ ise
lim
³ x + x +···+ x ´
n
1
2
= +∞
n
olur, kanıtlayın.
79. lim(x n ) = a olsun. Ayrıca pozitif terimli bir (c n ) dizisi için
lim(c 1 + c 2 + · · · + c n ) = +∞
olsun. Bu durumda
µ
lim
¶
c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
=a
c1 + c2 + · · · + cn
olur, kanıtlayın.
80. p > 0 olmak üzere Teorem 3.1.77’yı kullanarak aşağıdakini gösterin

µ n ¶  0,
|a| < 1 ise,
a
+∞,
a > 1 ise,
lim p =

n
yakınsak değil, a < −1 ise.
81. p, q ∈ N olmak üzere 0 ≤ i ≤ p ve 0 ≤ j ≤ q için a i ve b j reel sayıları a p b q 6= 0 koşulunu sağlasın. Bu
durumda genel terimi
p
P
i =0
xn = q
P
j =0
ai n i
=
bj nj
a p n p + a p−1 n p−1 + · · · + a 1 n + a 0
b q n q + b q−1 n q−1 + · · · + b 1 n + b 0
olan dizi için

 0,
a /b ,
lim (x n ) =
 p q
+∞,
p < q ise,
p = q ise,
p > q ise.
olduğunu gösterin.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
91
3.2. Limitin Varlığı
82. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, bir karenin ortasındaki 1/9’luk parçası, sonra kalan karelerin de
1/9’luk parçaları kesilip atılıyor. (Yani şekildeki beyaz kareler kesilip atılan parçalar). Bu işlem sürekli
tekrarlanırsa (sonsuza dek) kalan alanın sıfır olduğunu gösterin. Bu şekle literatürde Sierpinski halısı
denir.
83. Bir önceki alıştırmaya benzer şekilde, aşağıda görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin kenarlarına kendisinin 1/3’ü boyutlarında eşkenar üçgenler yapıştırılarak kar tanesi benzeri şekiller elde ediliyor. Bu
işlem sonsuza dek sürerse şeklin çevresi sonsuz fakat alanı sonlu bir değer olur, kanıtlayın. Sonsuz
çevre ile sonlu bir alan nasıl çevrelenebilir, açıklamaya çalışın. Bu şekil Koch kar tanesi olarak adlandırılır.
3.2 Limitin Varlığı
Buraya kadar bir dizinin yakınsak olduğunu anlamanın birden fazla yöntemini gördük. Fakat bu
yöntemlerin çoğunda verilen dizinin yakınsadığı değeri tahmin etmemiz gerekir. Mesela Teorem
3.1.48 ve Teorem 3.1.56 gibi sonuçları kullanarak bir dizinin yakınsak olduğunu gösterip limit değerini bulabiliriz fakat Tanım 3.1.11, Teorem 3.1.15, Teorem 3.1.35 veya Teorem 3.1.61 ile verilen
sonuçları kullanarak dizinin yakınsak olduğunu göstermek için dizinin limit değerini tahmin etmemiz gerekir.
Bu bölümde bir dizinin yakınsak olması için gerekli koşulları daha detaylı araştıracağız. Bunun
için çok önemli iki dizi çeşidini ayrı alt başlıklar altında inceleyeceğiz.
Monoton Diziler
Bu bölümde monoton yakınsaklık teoremi olarak adlandıracağımız çok önemli bir sonuç elde
edeceğiz. Bu sonuç bize dizilerin yakınsaklığını test etmek için çok pratik bir yöntem sunmasının
yanında, dizinin yakınsak olması durumunda limitini bulmak için de bize bir yöntem gösterir.
Ayrıca bu teorem reel sayıların tamlık aksiyomuna denk olan sonuçlardan biridir.
Tanım 3.2.1 (Monoton Dizi) (x n ) bir reel sayı dizisi olsun. Eğer
x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n ≤ x n+1 ≤ · · ·
eşitsizlikleri sağlanıyorsa bu diziye bir artan dizi denir. Benzer şekilde eğer
x 1 ≥ x 2 ≥ · · · ≥ x n ≥ x n+1 ≥ · · ·
eşitsizlikleri sağlanıyorsa da bu diziye bir azalan dizi denir. Bu tanımlarda eşitlik durumu yoksa
bu dizilere sırasıyla kesin artan ve kesin azalan diziler de denir. Artan veya azalan olan bir diziye
monoton dizi denir.
Uyarı 3.2.2 Bazı kaynaklarda bu dizilere sırasıyla azalmayan ve artmayan diziler, eşitlik durumlarının sağlanmadığı durumda ise bunlara sırasıyla artan ve azalan diziler denir. Î
92
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.2.3 (a n ) = (n), (b n ) = (2n ), (c n ) = (1 − 1/n) ve (d n ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) dizileri artan, (s n ) =
(−5n) ve (t n ) = (3/n) dizileri azalandır. Bu diziler monoton dizilerdir. (x n ) = ((−1)n n) ve (y n ) =
(cos(nπ/3)) dizileri ise monoton değildir. Ayrıca
(u n ) = (3, −1, 2, −7, 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
dizisi monoton olmasa da sonlu sayıda terim haricinde monoton karaktere sahip olur, bu gibi
dizilere zamanla artan dizi deriz.
Teorem 3.2.4 (Monoton Yakınsaklık Teoremi) Monoton bir reel sayı dizisinin yakınsak olması için
gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır. Bu durumda
(a) (x n ) dizisi sınırlı ve artan ise
lim(x n ) = sup{x n : n ∈ N},
(b) (y n ) dizisi sınırlı ve azalan ise
lim(y n ) = inf{y n : n ∈ N}
eşitlikleri sağlanır.
İspat Teorem 3.1.46 gereği yakınsak diziler sınırlıdır, dolayısıyla sadece (a) ile (b) ispatlanmalıdır.
(a) (x n ) dizisi sınırlı ve artan olsun. Bu durumda her n ∈ N için x n ≤ M olacak şekilde bir M
reel sayısı vardır. Reel sayıların tamlığınun sonucu olan supremum prensibi (Teorem 2.3.16)
gereği x ∗ := sup{x n : n ∈ N} sayısı vardır, x ∗ = lim(x n ) olduğunu gösterelim.
Keyfi bir ² > 0 sayısı verilmiş olsun. x ∗ − ² sayısı {x n : n ∈ N} kümesinin bir üst sınırı olmadığından x ∗ −² < x K olcak şekilde bu kümede bir x K sayısı vardır (Aslında bunu Teorem 2.3.13
gereği doğrudan söyleyebilirdik). Diğer yandan, dizi artan olduğundan n ≥ K için x K ≤ x n
olur, böylece her n ≥ K için
x ∗ − ² < xK ≤ xn ≤ x ∗ < x ∗ + ²
eşitsizliği sağlanır. Buradan da her n ≥ K için için
|x n − x ∗ | < ²
eşitsizliğinin sağlandığı, dolayısıyla lim(x n ) = x ∗ olduğu elde edilir.
(b) (y n ) sınırlı ve azalan bir dizi ise (−y n ) dizisi sınırlı ve artan bir dizi olur ve (a) sonucu gereği
lim(−y n ) = sup{−y n : n ∈ N}
olur. Ayrıca
sup{−y n : n ∈ N} = − inf{y n : n ∈ N}
olduğundan (Bkz: Alıştırma 2.3-5) ve Teorem 3.1.48 (a)-(iii) sonucu gereği
lim(y n ) = − lim(−y n )
olduğundan
lim(y n ) = inf{y n : n ∈ N}
olduğu elde edilmiş olur.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
93
3.2. Limitin Varlığı
Uyarı 3.2.5 Monoton yakınsaklık teoreminin ispatının, reel sayıların supremum prensibine dolayısıyla tamlık aksiyomuna dayandığına dikkat edin. Buradan hareketle tamlık aksiyomunun bu
teoreme eşdeğer olduğu gösterilebilir. Î
¡ p ¢
Örnek 3.2.6 Daha önce Örnek 3.1.19 ile lim 1/ n = 0 olduğunu Tanım 3.1.11’yi kullanarak kanıtlamıştık. Şimdi bunu monoton yakınsaklık
© p teoremiªyardımıyla gösterelim. Öncelikle dizinin sınırlı ve azalan olduğu açıktır. 0 sayısının 1/ n : n ∈ N kümesi için bir alt sınır olduğu ve hatta küp
menin infimumu olduğu gösterilebilir. Böylece monoton yakınsaklık teoremi gereği lim(1/ n) =
0 elde edilmiş olur. Burada yapılan işin en önemli kısmı yakınsaklığın tespitidir. Dizinin yakınsak
olduğu elde edilince limitin bulunması için başka yöntemler de kullanılabilir. Örneğin Teorem
p
3.1.48 (a)-(ii) ve Teorem 3.1.56 ¡sonuçları
kullanılırsa, lim(1/ n) = a ise lim(1/n) = a 2 olur. Böyp ¢
lece de Örnek 3.1.18 gereği lim 1/ n = 0 olarak elde edilir.
Örnek 3.2.7 Terimleri
x 1 = 1,
x n+1 =
p
xn + 1
olarak verilen (x n ) dizisini ele alalım. Önce bu dizinin artan olduğunu gösterelim. x 1 < x 2 olduğu
açıktır, şimdi x k ≤ x k+1 olduğunu kabul edelim. Bu durumda
p
p
x k+1 = 1 + x k ≤ 1 + x n+1 = x k+2
olduğundan tümevarım prensibi gereği her n ∈ N için x n ≤ x n+1 olur, yani dizi artandır. Şimdi de
dizinin sınırlı olduğunu gösterelim, dizinin bir kaç terimini incelersek
p
x2 = 2
≈ 1, 414
p
p
x3 = 1 + 2
≈ 1, 554
q
p
p
x 4 = 1 + 1 + 2 ≈ 1, 598
olduğu görülür (bu eşitliklerdeki ≈ sembolünü "yaklaşık olarak" anlamında kullanıyoruz). Aslında
her n ∈ N için x n < 2 eşitsizliği sağlanır, bunu da tümevarımla kanıtlayalım. n = 1 için x 1 = 1 < 2
olup önerme doğrudur. n = k için önermenin doğru olduğunu kabul edelim, yani x k < 2 olsun.
Bu durumda
p
p
p
x k+1 = 1 + x k < 1 + 2 < 3 < 2
olur, yani her n ∈ N için x n < 2 olduğu elde edilmiş olur. Böylece dizi monoton yakınsaklık teoremi
(Teorem 3.2.4) gereği yakınsak olur. sup{x n : n ∈ N} değerini doğrudan hesaplamak çok kolay
değildir fakat Teorem 3.1.17, Teorem 3.1.48, Teorem 3.1.55 ve Teorem 3.1.56 sonuçları kullanılarak
dizinin limiti kolayca hesaplanabilir, bunu Örnek 3.1.58 ile yapmıştık.
Örnek 3.2.8 Bir önceki bölümde, sonsuza ıraksayan diziler başlığı altında genel terimi
xn =
n 1
X
1 1
1
= 1+ + +···+
2 3
n
k=1 k
olan dizinin sınırlı olmadığını göstermiştik. Ayrıca her n ∈ N içi x n+1 = x n + 1/(n + 1) > x n olduğundan dizinin artan olduğu açıktır. Böylece monoton yakınsaklık teoremi gereği dizinin ıraksak
olduğu sonucuna varırız. Diğer yandan genel terimi
yn =
n 1
X
1
1
1
= 1+ 2 + 2 +···+ 2
2
k
2
3
n
k=1
olan dizinin de sınırlı olduğunu göstermiştik. Bu dizi de artan bir dizi olduğundan monoton yakınsaklık teoremi gereği yakınsaktır. Burada kanıtlayamayacağız ama bu dizinin limiti π2 /6 sayısıdır. Benzer şekilde her n ∈ N için 1/n 2 ≤ 1/n 3 olduğundan Teorem 3.1.59 gereği genel terimi
n 1
X
3
k=1 k
94
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
olan dizinin de yakınsak olduğunu biliyoruz, limitinin de π2 /6 sayısından küçük olduğu açık. Bunun dışında bu limitin irrasyonel bir sayı olduğunu ancak 1990’ların başında keşfedebildik, bu
sayı hakkında başka da bir şey bilmiyoruz. Hatta p > 3 bir tek doğal sayı olmak üzere genel terimi
n 1
X
p
k=1 k
olan yakınsak dizinin limiti hakkında hiç bir bilgimiz yok. Fakat buradaki p sayısı çift sayı ise
dizinin limiti hakkında az da olsa bir şeyler biliyoruz.
Örnek 3.2.9 (Euler Sayısı) Genel terimi
µ
¶
1 n
xn = 1 +
n
olan diziyi ele alalım. Bu dizinin sınırlı ve artan, dolayısıyla monoton yakınsaklık teoremi gereği
yakınsak bir dizi olduğunu gösterelim. Binom teoremi gereği
¶
µ
n 1 n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
1 n
= 1+ · +
· 2+
· 3
xn = 1 +
n
1 n
2!
n
3!
n
n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 1
+···+
· n
n!
n
olur, bu eşitliği biraz düzenlersek
xn
=
µ
¶
µ
¶µ
¶
1
1
1
1
2
1−
+
1−
1−
2!
n
3!
n
n
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
2
n −1
+···+
1−
1−
··· 1−
n!
n
n
n
1+1+
eşitliğini elde ederiz. Benzer şekilde
x n+1
=
µ
¶
µ
¶µ
¶
1
1
1
1
2
1−
+
1−
1−
2!
n +1
3!
n +1
n +1
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
2
n −1
+···+
1−
1−
··· 1−
n!
n +1
n +1
n +1
µ
¶µ
¶ ³
1
1
2
n ´
+
1−
1−
··· 1−
(n + 1)!
n +1
n +1
n +1
1+1+
eşitliğini de elde edebiliriz. Bu eşitliklerden kolayca görülebilir ki her n doğal sayısı için x n < x n+1
olur, hatta
2 ≤ x 1 < x 2 < · · · < x n < x n+1 < · · ·
olur, yani dizi artandır.
Şimdi de dizinin sınırlı olduğunu gösterelim. Bunun için p ≤ n doğal sayısı için (1 − p/n) < 1
olduğunu ve 2p−1 ≤ p!, dolayısıyla 1/p! ≤ 1/2p−1 olduğunu (Bkz: Alıştırma 1.3-7) yukarıdaki x n
açılımında kullanırsak n > 1 için
2 < xn < 1 + 1 +
1
1 1
+ 2 + · · · + n−1
2 2
2
eşitsizliğinin sağlandığını elde ederiz. Ayrıca
1 1
1
1
+
+ · · · + n−1 = 1 − n−1 < 1
2 22
2
2
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
95
3.2. Limitin Varlığı
olduğu da gösterilebilir (Bkz: Alıştırma 1.3-2 (e)). Böylece her n ∈ N için
2 < xn < 3
olduğu sonucuna varırız.
Sonuç olarak monoton yakınsaklık teoremi gereği bu dizi yakınsaktır ve limiti 2 ile 3 sayıları
arasındadır. Bu dizinin limiti olan irrasyonel sayı Euler sayısı olarak adlandırılır ve kısaca e ile gösterilir. Bu sayının irrasyonel olduğunu şimdi gösteremiyoruz ama çok yakında kanıtlayabileceğiz.
Yaklaşık değeri 2, 718281 . . . olan e sayısı matematikte π sayısından sonra en önemli sayıdır ve doğal logaritma fonksiyonunun tabanıdır.
³
´n
Şekil 3.13: Genel terimi x n = 1 + n1
olan dizinin grafiği
Örnek 3.2.10 Genel terimi
¶
µ
1 n
x n := 1 −
n
olan dizinin yakınsak olduğunu gösterip limitini bulalım. Bunun için önce
³
´n
µ
¶
1 − n12
1 n
= ¡
1−
¢n
n
1 + n1
(3.2.1)
eşitliğini gözlemleyelim. Ayrıca Bernoulli eşitsizliği kullanılırsa
µ
¶
1
n
1 n
1 − = 1 − 2 ≤ 1 − 2 ≤ 1n
n
n
n
olduğundan sandviç teoremi (Teorem 3.1.61) gereği
¶
µ
1 n
lim 1 − 2 = 1
n
olur. Bu sonucu (3.2.1) eşitliğinde kullanırsak Teorem 3.1.48 ve Örnek 3.2.9 gereği
µ
¶
1 n
1
1−
→
n
e
olarak olduğu sonucu elde edilir.
Uyarı 3.2.11 Klasik Bernoulli eşitsizliği a > −1 ise (1 + a)n ≥ 1 + na olduğunu söyler. Bu örnekte
kullanırken a = −1/n alın, nasıl olsa −1/n > −1 eşitsizliği her n ∈ N için sağlanır. Î
96
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Teorem 3.2.12 Monoton bir reel sayı dizisinin sonsuza ıraksaması için gerek ve yeter koşul sınırsız
olmasıdır. Ayrıca bu durumda
(a) (x n ) dizisi sınırsız ve artan ise lim(x n ) = +∞ olur,
(a) (x n ) dizisi sınırsız ve azalan ise lim(x n ) = −∞ olur.
İspat Bir dizi sonsuza ıraksak ise sınırsız olacağı açıktır, dolayısıyla sadece (a) ve (b) sonuçlarının
kanıtlanması yeterlidir. Sadece (a) sonucunu ispatlaycağız, (b) sonucunun ispatını okuyucuya bırakıyoruz. (x n ) artan ve sınırsız bir dizi olsun. Sınırsız olduğundan dolayı verilen her M reel sayısı
için x N > M olacak şekilde bir M doğal sayısı vardır. Ayrıca dizi artan olduğundan her n ≥ N için
x n ≥ x N > M olur ki bu da Tanım 3.1.70 gereği lim(x n ) = +∞ anlamına gelir.
■
Cauchy Dizileri
Monoton yakınsaklık teoremi (Teorem 3.2.4) ne kadar kullanışlı olsa da monoton olmayan dizilerin yakınsaklığı için bize yardımcı olmaz. Bu bölümde elde edeceğimiz Cauchy kriteri, monoton
olmayan dizilerin de yakınsak olup olmadıklarını test edebilmemizi sağlar. Şimdi önce bu kavramı
tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz, sonra da bu kriteri elde edeceğiz.
Tanım 3.2.13 (Cauchy Dizisi) (x n ) bir reel sayı dizi olsun. Eğer verilen her ² > 0 sayısına karşılık
her n, m ≥ K ² için |x n − x m | < ²
eşitsizliği sağlanacak şekilde bir K ² doğal sayısı varsa (x n ) dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Örnek 3.2.14 (1/n) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösterelim. ² > 0 sayısı verilmiş olsun,
buna karşılık K ² doğal sayısını K ² > 2/² olacak şekilde tanımlayalım. Bu durumda eğer n, m ≥ K ²
ise 1/n ≤ 1/K ² < ²/2 ve 1/m ≤ 1/K ² < ²/2 eşitsizlikleri sağlanır. Böylece
¯
¯
¯
¯1
¯ − 1 ¯≤ 1 + 1 < ² + ² =²
¯n m ¯ n m 2 2
elde edilir ki bu da Tanım 3.2.13 (1/n) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.
Örnek 3.2.15 Genel terimi
xn = 1 +
1
1
+···+
2
n
olan dizinin ıraksak olduğunu daha önce görmüştük (Örnek 3.2.8), şimdi de Cauchy dizisi olup
olmadığını araştıralım. m > n durumunu inceleyelim. Bu durumda
|x m − x n | =
1
1
1
1
n
+
+···+
> (m − n) = 1 −
n +1 n +2
m
m
m
eşitsizliği sağlanır. Eğer özel olarak m = 2n seçersek
|x 2n − x n | >
1
2
eşitsizliği sağlanır, yani ² = 1/2 verilirse Tanım 3.2.13 ile verilen koşullar sağlanmayacak şekilde
m, n doğal sayıları her zaman bulunabiliyor. Böylece bu dizini Cauchy dizisi olmadığı sonucuna
varmış olduk.
Uyarı 3.2.16 Genelde bir dizinin Cauchy dizisi olmadığını göstermek için yukarıdaki örnekteki
yöntemi uygularız. Yani Tanım 3.2.13 ile verilen koşul sağlanmayacak şekilde m ve n sayılarının
nasıl seçileceğini araştırırız. Î
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
97
3.2. Limitin Varlığı
Lemma 3.2.17 Her Cauchy dizisi sınırlıdır.
İspat (x n ) bir Cauchy dizisi ve ² = 1 olsun. Bu durumda Tanım 3.2.13 gereği her n ≥ K için |x n −
x K | < 1 eşitsizliği sağlanır. Üçgen eşitsizliği kullanılarak (Alıştırma 2.2-11 (b)) buradan da |x n | ≤
|x K | + 1 eşitsizliği elde edilir. Gerçekten |x n − x K | < 1 ise
||x n | − |x K || < |x n − x K | < 1
olur. Bu durumda ise
−1 < |x n | − |x K | < 1
olacağından |x n | < |x K | + 1 eşitsizliği sağlanır. Şimdi eğer
M := max{|x 1 |, |x 2 |, . . . , |x K −1 |, |x K | + 1}
olarak tanımlarsak her n ∈ N için |x n | ≤ M eşitsizliği sağlanır.
■
Teorem 3.2.18 (Cauchy Yakınsaklık Kriteri) Bir reel sayı dizisinin yakınsak olması için gerek ve
yeter koşul onun bir Cauchy dizisi olmasıdır.
İspat lim(x n ) = a olsun, bu durumda Tanım 3.1.11 gereği verilen her ² > 0 sayısına karşılık n ≥ K
için |x n − a| < ²/2 olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Böylece her n, m ≥ K için
|x n − x m | ≤ |x n − a| + |x m − a| <
² ²
+ =²
2 2
eşitsizliği sağlanır, yanı bu dizi Tanım 3.2.13 gereği bir Cauchy dizisidir.
Diğer yönlüsünü kanıtlayalım. (x n ) bir Cauchy dizisi olsun, yakınsak olduğunu göstermeliyiz. X := {x n : n ∈ N} kümesini tanımlayalım, X kümesinin sonlu veya sonsuz olmasına bağlı iki
olasılık var. Bu olasılıkları ayrı ayrı ele alalım.
X sonlu olsun. Bu kümedeki farklı sayıların arasındaki uzaklıkların minimum değeri ² olsun.
(x n ) dizisi bir Cauchy dizisi olduğundan Tanım 3.2.13 gereği her n, m ≥ K için |x n − x m | < ² olacak
şekilde bir K ∈ N vardır. Böylece bir m ≥ K verildiğinde x m ve x K sayılarının farkı ² sayısından küçük olmalıdır. Fakat bu da X kümesindeki farklı sayıların farkı ² sayısından küçük olduğu gerçeği
ile çelişir, o halde bunlar farklı elemanlar değildir, yani her m ≥ K için x m = x K olur. Buradan ta
Tanım 3.1.11 gereği lim(x n ) = x K elde edilmiş olur.
Şimdi kabul edelim ki X sonsuz bir küme olsun. Lemma 3.2.17 gereği X sınırlı bir kümedir.
Kümeler için verdiğimiz Bolzano-Weirstrass teoremi (Teorem 2.4.32) gereği X kümesinin bir limit
noktası vardır, bu nokta a ∈ X noktası olsun. lim(x n ) = a olduğunu göstereceğiz. ² > 0 sayısı verilmiş olsun, (x n ) Cauchy dizisi olduğundan m, n ≥ K 1 ise |x n − x m | < ²/2 olacak şekilde K 1 ∈ N
vardır. Diğer yandan a bir limit noktası olduğundan V²/2 (a) = (a − ²/2, a + ²/2) komşuluğunda X
kümesinin sonsuz sayıda elemanı bulunur, yani bu komşuluk dışında sadece sonlu sayıda eleman
bulunabilir. Bu durumda her m ≥ K 2 için x m ∈ V²/2 (a) olacak şekilde bir K 2 doğal sayısı bulunabilir. Böylece K := max{K 1 , K 2 } olarak tanımlanırsa her n ≥ K için
|x n − a| ≤ |x n − x m | + |x m − a| <
eşitsizliği elde edilir ki bu da lim(x n ) = a demektir.
² ²
+ =²
2 2
■
Uyarı 3.2.19 Cauchy Yakınsaklık kriterinin de monoton yakınsaklık teoremi gibi reel sayıların
tamlığına dayanarak ispatlandığına dikkat edin (Çünkü Bolzano-Weierstrass teoremi de reel sayıların tamlığına dayanır.). Yani Cauchy kriteri reel sayıların tamlık aksiyomuna denktir. Herhangi
bir sıralı cisimde Cauchy dizisi sınırlı olur fakat yakındak olmak zorunda değildir, fakat eğer o cisimde herhangi bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul Cauchy dizisi olmasıysa o
cisim tamdır. Î
98
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.2.20 Genel terimi
xn = 1 +
1 1
1
+ +···+
2! 3!
n!
olan diziyi ele alalım. Bu dizinin yakınsak olduğu çeşitli yollarla gösterilebilir (Bkz: Alıştırma 3.27 (g)). Şimdi bunu Cauchy yakınsaklık kriterini kullanarak görelim. Bunun için 2n−1 ≤ n! (Bkz:
P
n+1
Alıştırma 1.3-7) ve nk=0 r k = 1−r
1−r (Bkz: Alıştırma 1.3-2 (e)) bilgilerini kullanacağız. Şimdi ² > 0
verilmiş olsun ve n ≥ m kabul edelim. Diğer yandan
|x n − x m |
=
=
≤
=
=
=
≤
=
ln ²
olduğundan m > 1− ln
2 olursa
¯µ
¶ µ
¶¯
¯
¯
¯ 1+ 1 + 1 +···+ 1 − 1+ 1 + 1 +···+ 1 ¯
¯
2! 3!
n!
2! 3!
m! ¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1¯
¯
¯ (m + 1)! + (m + 2)! + · · · + n! ¯
1
1
1
+
+ · · · + n−1
2m µ 2m+1
2
¶
1
1
1
1 + + · · · + n−m−1
2m
2
2
¡ 1 ¢n−m
1 1− 2
·
2m
1 − 12
2n−m − 1
2n−1
n−m
2
2n−1
1
2m−1
1
2m−1
1
< ² olacağından (Ayrıca ² > 1 ise her m doğal sayısı için 2m−1
<
n ³
´o
ln ²
² eşitsizliğinin sağlanacağından), K ² > max 1, 1 − ln 2 olacak şekilde bir K ² doğal sayısı seçilirse
her n ≥ m ≥ K ² için
|x n − x m | < ²
(3.2.2)
eşitsizliği sağlanır. Bu da (x n ) dizisinin bir Cauchy dizisi, dolayısıyla yakınsak bir dizi olduğu anlamına gelir.
Şimdi bu dizinin limitini bulalım. Örnek 3.2.9 ile yaptığımız gibi eğer
¶
µ
1 n
y n := 1 +
n
olarak tanımlarsak
yn
=
=
µ
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
1
2
1
1
2
n −1
1
1−
+
1−
1−
+···+
1−
1−
··· 1−
1+1+
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
"
#
³
´
n
k−1
X 1 Y
m
1−
k!
n
m=0
k=0
olduğundan ve limn→∞ (1 − m/n) = 1 olduğundan limitin cebirsel özelliklerini (Teorem 3.1.48)
kullanarak
µ
¶
µ
¶
1 n
1 1
1
lim 1 +
= lim 1 + + + · · · +
=e
n
2! 3!
n!
eşitliğini elde ederiz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
99
3.2. Limitin Varlığı
Uyarı 3.2.21 (3.2.2) ifadesini yazarken biraz kestirmeden gittik, aslında ² < 1 olmak üzere
1
2m−1
<²
eğiştisizliğini sağlayacak m doğal sayılarını arıyoruz. Bu sayıyı logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak aşağıdaki işlemler sonucunda bulduk
1
<²
2m−1
1
²
⇒
2m−1 >
⇒
ln 2m−1 > ln
⇒
⇒
⇒
1
²
(m − 1) ln 2 > − ln ²
ln ²
m −1 > −
ln 2
ln ²
.
m > 1−
ln 2
Î
Uyarı 3.2.22 Bu sonucu kullanarak e sayısının yaklaşık değeri istenilen hata payı ile hesaplanaP
1
bilir. Gerçekten her n ∈ N için x n := nk=1 k!
olmak üzere
e − xn
=
<
=
1
1
1
+
+
+···
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!
½
¾
1
1
1
1+
+
+
·
·
·
(n + 1)!
n + 1 (n + 1)2
1
n!n
eşitsizliği sağlandığından herhangi bir n ∈ N için
0 < e − xn <
1
n!n
(3.2.3)
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlik yardımıyla e sayısıne istenildiği kadar yaklaşılabilir, ne kadar yaklaşmak istenilirse n sayısı ona göre seçilmelidir. Î
Uyarı 3.2.23 Ayrıca bu sonucu kullanarak e sayısının irrasyonel olduğunu da kanıtlayabiliriz. Farzedelim ki e sayısı rasyonel olsun. Bu durumda e = p/q olacak şekilde p ve q pozitif tamsayıları
vardır. Bu durumda bir önceki notta gösterilen (3.2.3) eşitsizliği gereği
0 < e − xq <
1
q!q
eşitsizliği, dolayısıyla
0 < q!(e − x q ) <
1
q
(3.2.4)
eşitsizliği sağlanır. Varsayımımız gereği q!e bir tamsayı olduğundan ve
µ
¶
1
1
q x q = q! 1 + 1 + + · · ·
2!
q!
olduğundan q!(e − x q ) sayısının bir tamsayı olduğu elde edilmiş olur. Bu ise bir çelişkidir, çünkü
(3.2.4) eşitsizliği gereği 0 ile 1 arasında bir tamsayı elde edilmiş oldu. Î
100
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.2.24 Terimleri tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x 2 = 2,
1
x n+2 = (x n + x n+1 )
2
ifadeleriyle verilen (x n ) dizisini ele alalım. Bu dizi sınırlıdır, gerçekten tümevarımla her x ∈ N için
1 ≤ x n ≤ 2 olduğunu gösterebilirsiniz. Fakat bu dizi monoton değildir, dolayısıyla monoton yakınsaklık teoremini kullanamayız. Şimdi bu dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu, dolayısıyla yakınsak
olduğunu gösterelim. Öncelikle her n ∈ N için |x n − x n+1 | = 1/2n−1 olduğu tümevarımla kanıtlanabilir. Bunu ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak, m > n olmak üzere
|x n − x m |
≤
=
=
<
|x n − x n+1 | + |x n+1 − x n+2 | + · · · + |x m−1 − x m |
1
1
1
+
+ · · · + m−2
2n−1 µ 2n
2
¶
1
1
1
1 + + · · · + m−n−1
2n−1
2
2
1
2n−2
olduğu görülür. Bir önceki örnekte olduğu gibi buradan da bu dizinin bir Cauchy dizisi olduğu
sonucu elde edilir.
Şekil 3.14: Örnek 3.2.24 ile verilen dizinin grafiği
Uyarı 3.2.25 Yukarıdaki dizinin yakınsak olduğunu tespit ettiğimize göre limitini hesaplayabiliriz. Örnek 3.1.18 ile verilen yöntemi kullanarak dizinin genel terimini veren bir formül bulup,
buradan hareketle
5
lim(x n ) =
3
olduğunu gösterebilirsiniz. Î
Tanım 3.2.26 (Daralan Dizi) (x n ) bir reel sayı dizisi olmak üzere her n ∈ N için
|x n+2 − x n+1 | ≤ C |x n+1 − x n |
olacak şekilde bir 0 < C < 1 sabiti varsa (x n ) dizisine bir daralan dizi denir. Buradaki C sabitine de
dizinin daralma sabiti denir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
101
3.2. Limitin Varlığı
Teorem 3.2.27 Her daralan dizi bir Cauchy dizisidir, dolayısıyla yakınsaktır.
İspat (x n ) bir daralan dizi olsun, bu durumda
|x n+2 − x n+1 | ≤ C |x n+1 − x n | ≤ C 2 |x n − x n−1 | ≤ · · · ≤ C n |x 2 − x 1 |
eşitsizliği sağlanır. Diğer yandan m > n kabul edip üçgen eşitsizliği ve geometrik toplam formülü
(Bkz: Alıştırma 1.3-2 (e)) kullanılarak
|x m − x n |
≤
|x m − x m−1 | + |x m−1 − x m−2 | · · · |x n+1 − x n |
≤
(C m−2 +C m−3 + · · · +C n−1 )|x 2 − x 1 |
µ
m−n ¶
n−1 1 −C
|x 2 − x 1 |
C
1 −C
µ
¶
1
C n−1
|x 2 − x 1 |
1 −C
=
≤
olduğu elde edilir. 0 < C < 1 için lim(C n ) = 0 olduğundan ve
bir ² > 0 sayısı verildiğinde n ≥ K ² için
C n−1
µ
¡
1
1−C
¢
|x 2 − x 1 | bir sabit olduğundan
¶
1
|x 2 − x 1 | < ²
1 −C
olacak şekilde bir K ² ∈ N bulunabilir (bunu gösterin, K ² doğal sayısı için bir alt sınır bulun). Böylece daralan (x n ) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermiş olduk.
■
Örnek 3.2.28 Terimleri tümevarımsal olarak
x 1 = 1,
x n+1 = 1 +
1
xn
biçiminde verilen(x n ) dizisini ele alalım. Bu dizinin monoton olmadığı açıktır. Bu yüzden bu dizinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğunu monoton yakınsaklık teoremi bize söylemez. Fakat
n ≥ 2 için
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ x n+1 − x n ¯ ¯ x n+1 − x n ¯ |x n+1 − x n | |x n+1 − x n |
¯
¯
¯
h
i¯ ≤
=
<
|x n+2 − x n+1 | = ¯
x n x n+1 ¯ ¯¯ x 1 + 1 ¯¯
|x n + 1|
2
n
xn
p
olduğundan bu dizi daralan bir dizidir dolayısıyla yakınsaktır. Limitinin de (1 + 5)/2 olduğunu
göstermek kolay.
Örnek 3.2.29 Örnek 3.2.24 ile verdiğimiz ve
x 1 = 1,
x 2 = 2,
1
x n+2 = (x n + x n+1 )
2
olarak tanımladığımız (x n ) dizisini tekrar ele alalım.
¯
¯ ¯
¯
¯1
¯ ¯1
¯ 1
1
|x n+2 − x n+1 | = ¯¯ (x n + x n+1 − x n+1 )¯¯ = ¯¯ x n − x n+1 ¯¯ = |x n+1 − x n |
2
2
2
2
olduğundan bu dizinin daralan bir dizi olduğu görülür.
102
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Alt Diziler
Bu bölümde bir reel sayı dizisinin alt dizisi kavramını tanımlayıp bazı temel özelliklerini araştıracağız. Kabaca söylemek gerekirse, bir dizinin terimlerinden bazıları çıkartılıp atılırsa, kalan terimler o dizinin bir alt dizisini oluşturur, elbette bu kalan terimlerin sayısı sonlu değilse. Temel olarak
ilgileneceğimiz soru, bir dizinin limiti ile alt dizilerinin limitleri arasında bir ilişki bulunup bulunmadığı sorusudur. Bu sorunun cevabı bize dizilerin yakınsaklığını veya ıraksaklığını test emtek
için ve ayrıca bazı yakınsak dizilerin limitlerini bulmak için pratik bir yöntem sunacaktır.
Tanım 3.2.30 (Alt Dizi) (x n ) bir reel sayı dizisi ve
n1 < n2 < · · · < nk < · · ·
da doğal sayıların kesin artan bir dizisi olsun. Bu durumda
¡
¢ ¡
¢
x nk := x n1 , x n2 , . . . , x nk , . . .
dizisine (x n ) dizisinin bir alt dizisi denir.
Örnek 3.2.31 (x n ) = (1/n) dizisini ele alalım. Örnek olarak
¶
1
1 1
,... ,
(x 2n ) = , , . . . ,
2 4
2n
µ
¶
1 1
1
(x 2n−1 ) = 1, , , . . . ,
,...
3 5
2n − 1
µ
µ
1 1
1
ve (x nk ) =
, ,...,
,...
2! 4!
(2n)!
¶
dizileri (x n ) dizisinin birer alt dizisidir. Fakat
µ
1 1 1 1 1
, , , , ,...
3 7 5 9 11
¶
ve
µ
¶
1 1 1 1
0, , , , , . . .
2 4 6 8
dizileri (x n ) dizisinin birer alt dizisi değildir.
Teorem 3.2.32 Bir reel sayı dizisinin bir a sayısına yakınsaması için gerek ve yeter koşul her alt
dizisinin de aynı sayıya yakınsamasıdır.
İspat Bir dizinin tüm alt dizileri aynı sayıya yakınsak ise, mesela dizinin ilk terimi atılınca elde
edilen alt dizi de bu sayıya yakınsak olacağından Teorem 3.1.17 gereği verilen dizi de aynı sayıya
yakınsak olacaktır. Yani teoremin bu yönü açık.
Şimdi diğer yönünü kanıtlayalım. ² > 0 verilmiş olsun ve her n ≥ K ² için |x n −a| < ² olsun. n 1 <
n 2 < · · · < n k < · · · doğal sayıları artan bir dizi oluşturduğundan n k ≥ k eşitsizliği sağlanır, bunu
tümevarımla da kolayca görebilirsiniz. Bundan dolayı
¡ eğer
¢ k ≥ K ² ise n k ≥ k ≥ K ² olacağından her
n k ≥ K ² için |x nk − a| < ² eşitsizliği sağlanır. Yani lim x nk = a olur.
■
Örnek 3.2.33 0 < r < 1 için (r n ) dizisinin yakınsaklığını daha önceden biliyoruz. En azından dizinin azalan ve alttan 0, üstten ise 1 sayılarıyla sınırlı olduğu açık. Şimdi alt dizileri yardımıyla
limit değerini bulalım. lim(r n ) = a olsun, bu durumda Teorem 3.2.32 gereği lim(r 2n ) = a eşitliği
sağlanır. Buradan da Teorem 3.1.48 gereği
³¡ ¢ ´ £
¡
¢
¡ ¢¤2
2
a = lim r 2n = lim r n
= lim r n
= a2
eşitliği elde edilir. Yani a = 0 veya a = 1 olduğu sonucuna varılır. Dizi azalan ve üstten 1 ile sınırlı
olduğundan a 6= 1’dir, dolayısıyla lim(r n ) = 0 olur.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
103
3.2. Limitin Varlığı
Örnek 3.2.34 Terimleri
x 1 = 1,
x 2 = 2,
1
x n+2 = (x n + x n+1 )
2
olarak verilen dizinin yakınsak olduğunu daha önce Örnek 3.2.24 ve Örnek 3.2.29 ile gördük, şimdi
limitini bulalım. Teorem 3.2.32 gereği (x 2n+1 ) dizisi de (x n ) ile aynı limite yakınsar. Diğer yandan
µ ¶
1
5
2 1
1 1
(3.2.5)
x 2n+1 = 1 + + 3 + · · · + 2n−1 = −
2 2
2
3
3 4n
olduğundan
lim(x n ) = lim (x 2n+1 ) =
5
3
elde edilir.
Uyarı 3.2.35 (3.2.5) eşitliğini elde etmek için öncelikle
x 2n+1 = 1 +
1
1 1
+
+ · · · + 2n−1
2 23
2
olduğunu tümevarımla kanıtlayın. Daha sonra da
¡
¢
1 + r + r 3 + · · · + r 2n−1 = 1 + r + r 2 + · · · + r 2n − (a 2 ) + (a 2 )2 + (a 2 )3 + · · · + (a 2 )n
eşitliğini göz önüne alarak
n
X
rk =
k=0
1 − r n+1
1−r
formülünü kullanın. Î
Örnek 3.2.36 (x n ) = ((−1)n ) dizisini ele alalım. Bu dizinin iki farklı alt dizisi
(x 2n ) = ((−1)2n ) = (1, 1, 1, . . .) → 1 ve
(x 2n−1 ) = ((−1)2n−1 ) = (−1, −1, −1, . . .) → −1
olduğundan Teorem 3.2.32 gereği bu dizi ıraksaktır.
Teorem 3.2.32 ile yakınsak bir dizinin tüm alt dizilerinin de yakınsak olması gerektiğini öğrendik. Fakat dizi ıraksak ise durum biraz daha karışık. Mesela ((−1n )) ıraksak dizisinin bazı alt dizilerinin yakınsak olduğunu Örnek 3.2.36 ile gördük, fakat aynı dizinin (−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .)
gibi ıraksak alt dizileri de var. Dolayısıyla ıraksak serilerin alt dizileri üzerinde biraz daha araştırma
yapmamız gerekiyor. Yapacağımız bu araştırma bizi çok önemli bazı sonuçlara götürecek.
Teorem 3.2.37 Her reel sayı dizisinin monoton bir alt dizisi vardır.
İspat Sadece bu ispatta kullanmak için şöyle bir tanım yapalım: her n ≥ m için x m ≥ x n oluyorsa
x m terimine bir tepe noktası diyelim.
Şimdi iki farklı durumu ayrı ayrı inceleyelim. İlk durum bir (x n ) dizisinin sonsuz çoklukta tepe
noktası bulunması durumu. Bu durumda bütün tepe noktalarını artan sırayla x m1 , x m2 , . . . , x mk , . . .
şeklinde sıralarsak, bu x mk noktalarının her biri birer tepe noktası olduğundan
x m1 ≥ x m2 ≥ · · · ≥ x mk ≥ · · ·
¡
¢
olur. Yani tepe noktalarının oluşturduğu bu x mk dizisi azalan bir dizi olur
İkinci durum olarak, eğer dizinin sonlu sayıda tepe noktası varsa, bu tepe noktalarını artan
sırayla x m1 , x m2 , . . . , x mr şeklinde sıralayalım ve s 1 sayısını sonuncu tepe noktasından sonra gelen
104
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
ilk sayı olarak, yani s 1 := m r + 1 olarak tanımlayalım. Bu durumda, x s1 sayısı bir tepe noktası olmadığından, x s1 < x s2 olacak şekilde bir s 2 > s 1 noktası vardır. Aynı şekilde, x s2 bir tepe noktası
olmadığından, x s2 < x s3 olacak şekilde bir s 2 > s 3 noktası vardır. Bu şekilde devam ederek
x s1 < x s2 < · · · < x sk < · · ·
¡ ¢
sayılarını elde ederiz. Yani artan bir x sk dizisi elde etmiş oluruz.
■
Uyarı 3.2.38 Monoton dizilerin her alt dizisinin de monoton olacağı açıktır. Ama bu teorem bize
dizi monoton olmasa da en az bir monoton alt dizisinin var olduğunu söylüyor. Î
Teorem 3.2.39 (Bolzano-Weierstrass Teoremi) Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
İspat {x n : n ∈ N} kümesi sınırlı olduğundan bir I 1 := [a, b] aralığı tarafından içerilir. Şimdi n 1 :=
1 olsun.
I 1 aralığını tam ortasından I 10 ve I 100 aralıklarına bölelim ve {n ∈ N : n > 1} indisler kümesini de
A 1 := {n ∈ N : n > n 1 , x n ∈ I 10 } ve B 1 := {n ∈ N : n > n 1 , x n ∈ I 100 }
olarak ikiye bölelim. Eğer A 1 kümesi sonsuz ise (yani dizinin sonsuz sayıda terimi I 1 ’de ise) I 2 := I 10
olarak ve n 2 sayısını da A 1 ’in en küçük elemanı olarak tanımlayalım. Eğer A 1 sonlu ise bu durumda B 1 sonsuz olmak zorundadır ve I 2 := I 100 ve n 2 := min B 1 olarak tanımlayalım.
Şimdi de aynı yöntemle I 2 aralığını tam ortasından I 20 ve I 200 aralıklarına, {n ∈ N : n > 2} kümesini de
A 2 := {n ∈ N : n > n 2 , x n ∈ I 20 } ve B 2 := {n ∈ N : n > n 2 , x n ∈ I 200 }
olarak ikiye bölelim. Yine eğer A 2 kümesi sonsuz ise I 3 := I 20 olarak ve n 3 := min A 2 olarak, eğer A 2
sonlu ise de I 3 := I 200 ve n 3 := min B 2 olarak tanımlayalım.
Bu şekilde devam ederek iç içe geçmiş bir
I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ Ik ⊇ · · ·
¡
¢
kapalı aralıklar dizisini ve (x n )’in, her k ∈ N için x nk ∈ I k olan bir x nk alt dizisini elde ederiz. Reel
sayıların tamlığı gereği (Tanım 2.3.4) her k ∈ N için ξ ∈ I k olacak şekilde tek bir ξ sayısı vardır.
Ayrıca her bir I k aralığının uzunluğu (b − a)/2k−1 olduğundan ve hem ξ, hem de x nk sayıları I k
aralığında olduğundan
¯
¯
¯ x n − ξ¯ < b − a
k
2k−1
¡
¢
eşitsizliği sağlanır ki bu da x nk alt dizisinin ξ sayısına yakınsadığı anlamına gelir.
■
Uyarı 3.2.40 Bu teoreme bazen diziler için Bolzano-Weierstrass teoremi de denir. Çünkü benzer
bir sonuç da kümeler için vardır (Teorem 2.4.32). Bu iki sonuç birbirine denktir aslında. (Bkz:
Alıştırma 43) Î
Uyarı 3.2.41 Önemli bir teorem olduğu için temelden ispatladık ama yukarıdaki teorem teorem
şöyle de ispatlanabilirdi.
¡
¢
Eğer (x n ) dizisi sınırlı is Teorem 3.2.37 gereği monoton bir x nk alt dizisi¡ vardır
¢ ve bu alt dizi
de sınırlıdır. Dolayısıyla monoton yakınsaklık teoremi (Teorem 3.2.4) gereği x nk alt dizisi yakınsaktır. Î
Teorem 3.2.42 Sınırlı bir reel sayı dizisinin bir sayıya yakınsak olması için gerek ve yeter koşul tüm
yakınsak alt dizilerinin de aynı sayıya yakınsak olmasıdır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
105
3.2. Limitin Varlığı
İspat Eğer dizi yakınsak ise Teorem 3.2.32 gereği tüm alt dizileri de aynı sayıya yakınsaktır. Diğer
yönünü kanıtlayalım.
Varsayalım ki (x n ) dizisi a sayısına yakınsamasın. Bu durumda verilen her K ∈ N için n K ≥ K
ise |x nK −a| ≥ ² olacak şekilde bir ² > 0 sayısı vardır. Örneğin K := 1 seçersek n 1 ≥ 1 için |x n1 −a| ≥ ²
olacak şekilde bir ² > 0 sayısı vardır. Benzer şekilde K := n 1 seçersek n 2 ≥ n 1 için |x n2 − a| ≥ ² olduğunu elde ederiz. Bu yolla devam edersek her i ∈ N için |x ni − a| ≥ ² olacak şekilde bir (x ni ) dizisi
elde ederiz. Bu (x ni ) dizisi yakınsak olmasa da sınırlıdır, çünkü (x n ) sınırlı bir diziydi. Bu durumda
Bolzano-Weierstrass teoremi (Teorem 3.2.39) gereği yakınsak bir (x ni ) alt dizisi vardır ve Fakat bu
j
¯
¯
¯
¯
yakınsak dizinin limiti a sayısı olamaz, çünkü terimleri ¯x ni − a ¯ ≥ ² eşitsizliğini sağlar. Diğer yanj
dan (x ni ) dizisi aynı zamanda (x n ) dizisinin de bir alt dizisidir. Yani aslında (x n ) dizisinin a’dan
j
farklı bir sayıya yakınsayan yakınsak bir alt dizisini bulmuş olduk.
■
Uyarı 3.2.43 Yukarıdaki sonuç ile Teorem 3.2.32 arasındaki farka dikkat edin. Î
Teorem 3.2.44 Her sınırsız reel sayı dizisinin sonsuza ıraksayan monoton bir alt dizisi vardır.
İspat (x n ) üstten sınırsız bir dizi olsun. Bu durumda bir M ∈ R verildiği zaman dizinin M sayısından büyük olan sonsuz sayıda terimi olması gerekir, çünkü eğer böyle sonlu sayıda terimi olsa
bunların en büyüğü bir üst sınır olurdu. Özel olarak x n1 > 1 olacak şekilde bir n 1 ∈ N vardır. Benzer
şekilde x n2 > max{2, x n1 } olacak şekilde bir n 2 > n 1 doğal sayısı da vardır. Bu şekilde devam edersek x nk > max{k, x nk−1 } olacak şekilde n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · doğal sayılarını elde ederiz. Böylece
(x nk ) dizisi artan ve sınırsızdır, dolayısıyla Teorem 3.2.12 gereği lim(x nk ) = +∞ olduğu sonucu
elde edilir. Benzer şekilde dizi alttan sınırsız ise de azalarak −∞’a ıraksayan bir alt dizisinin varlığı
gösterilebilir.
■
Alt ve Üst Limit
Bu alt bölümde bir (x n ) dizisini alt dizilerinin limitleri hakkında biraz daha araştırma yapacağız.
Önce sınırlı bir dizinin alt limiti ve üst limiti kavramlarını tanımlayıp bazı temel özelliklerini elde
edeceğiz. Daha sonra bu tanımları sınırsız diziler için genelleştireceğiz.
Tanım 3.2.45 (Alt ve Üst Limit) (x n ) sınırlı bir dizi ve bunun tüm yakınsak alt dizilerinin limitlerinin kümesi de X olsun. Bu durumda (x n ) dizisinin, lim inf(x n ) ve lim sup(x n ) ile gösterilen alt ve
üst limitleri
lim inf(x n ) := inf X ve lim sup(x n ) := sup X
olarak tanımlanır. Alt ve üst limitler bazen
lim(x n ) ve lim(x n )
ile de gösterilirler.
Uyarı 3.2.46 Bu tanımda (x n ) sınırlı olduğundan Bolzano-Weierstrass teoremi (Teorem 3.2.39)
gereği en az bir yakınsak alt dizisi vardır, yani X 6= ;. Diğer yandan (x n ) sınırlı bir dizi olduğundan
X de sınırlı bir küme olacaktır. Dolayısıyla supremum prensibi (Teorem 2.3.16) gereği lim inf(x n )
ve lim sup(x n ) reel sayıları vardır. Ayrıca
lim inf(x n ) ≤ lim sup(x n )
olduğu da açıktır. Î
106
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.2.47 Genel terimi
x n = (−1)n +
1
n
olan diziyi ele alalım. Her n ∈ N için
¯ ¯
¯
¯ ¯1¯
|x n | ≤ ¯(−1)n ¯ + ¯¯ ¯¯ < 2
n
olduğundan (x n ) dizisi sınırlıdır. Dizinin ıraksak olduğu açık, baştan bir kaç terimini incelenirse
3 2 5 4 7 6
0, , − , , − , , − , . . .
2 3 4 5 6 7
olduğu görülür. Hatta bu dizinin (x 2n ) alt dizisinin 1 sayısına, (x 2n−1 ) dizisinin de −1 sayısına
yakınsadığı doğrudur. Dizinin 1 ve −1’den başka sayıya yakınsayan alt dizisi olmadığından X =
{−1, 1} olur. Dolayısıyla
lim inf(x n ) = −1 ve lim sup(x n ) = 1
olduğu görülür.
Şekil 3.15: Örnek 3.2.47 ile verilen dizinin grafiği
Teorem 3.2.48 Sınırlı bir reel sayı dizisinin bir a sayısına yakınsak olması için gerek ve yeter koşul
lim inf(x n ) = lim sup(x n ) = a
olmasıdır.
İspat lim(x n ) = a ise lim inf(x n ) = lim sup(x n ) = a olduğu Teorem 3.2.32 gereği açıktır. Diğer yandan, lim inf(x n ) = lim sup(x n ) = a ise X = {a} olacağından (Bkz: Alıştırma 2.3-7), Teorem 3.2.42
gereği lim(x n ) = a olur.
■
Teorem 3.2.49 (x n ) sınırlı bir reel sayı dizisi olsun. Bu durumda lim sup(x n ) = a olması için gerek
ve yeter koşul aşağıdakilerin sağlanmasıdır
(a) Her ² > 0 sayısına karşılık n ≥ K 1 için x n < a + ² olacak şekilde bir K 1 ∈ N vardır,
(b) Her ² > 0 sayısına karşılık m ≥ K 2 için x m > a − ² olacak şekilde bir K 2 ∈ N vardır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
107
3.2. Limitin Varlığı
İspat (x n ) sınırlı bir dizi ve lim sup(x n ) = a ise (x n )’in hiç bir alt dizisi a’dan büyük bir sayıya
yakınsamaz. Bu yüzden keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde, dizinin sadece sonlu sayıda terimi a + ²
sayısından büyük olabilir. Çünkü eğer a+²’dan büyük sonsuz sayıda terim varsa a’dan daha büyük
bir sayıya yakınsayan bir alt dizi var olurdu. Diğer yandan, (x n ) dizisinin a − ²’dan büyük olan
sonsuz sayıda terimi vardır. Çünkü eğer a − ²’dan büyük sonlu sayıda terim var olsaydı hiçbir alt
dizinin limiti a − ²’dan büyük olamazdı.
Şimdi diğer yönü kanıtlayalım. Eğer (a) koşulu sağlanırsa (x n ) dizisi üstten sınırlıdır dolayısıyla
a sayısından büyük bir sayıya yakınsayan bir alt dizi var olamaz. Eğer (b) sağlanırsa da hiç bir alt
dizi a sayısından daha küçük bir sayıya yakınsayamaz. Dolayısıyla a = lim sup(x n ) elde edilmiş
olur.
■
Teorem 3.2.50 (x n ) sınırlı bir reel sayı dizisi, alt dizilerin limitlerinin kümesi X ve lim sup(x n ) = a
olsun. Bu durumda a ∈ X olur, yani a sayısına yakınsayan bir alt dizi vardır.
İspat Teorem 3.2.49 gereği (² := 1/k seçimiyle)
a−
1
1
< x nk < a +
k
k
olacak şekilde bir (x nk ) alt dizisi vardır. Bu da (x nk ) → a demektir.
■
Uyarı 3.2.51 Bu sonuca göre alt dizilerin limitlerinin kümesi supremumunu içerir, yani
lim sup(x n ) = sup X = max X
eşitliği vardır. Benzer şekilde kümenin minimumunu da içerdiği ve bunun da lim inf(x n ) sayısı
olduğu gösterilebilir. Î
Teorem 3.2.52 lim(x n ) = a > 0 ve (y n ) de sınırlı bir dizi olsun. Bu durumda
lim sup(x n y n ) = a · lim sup(y n )
eşitliği sağlanır.
İspat ξ := lim sup(y n ) ve η := lim sup(x n y n ) olsun. Teorem 3.2.50 gereği lim(y nk ) = ξ olacak şekilde bir (y nk ) alt dizisi vardır. Ayrıca Teorem 3.2.32 gereği lim(x nk ) = a olur, dolayısıyla Teorem
3.1.48 kullanılarak lim(x nk y nk ) = aξ eşitliği elde edilir. Böylece
lim(x nk y nk ) = aξ ≤ lim sup(x nk y nk ) = η
(3.2.6)
eşitsizliğinin sağlandığı görülür.
Diğer yandan eğer (x n y n ) dizisinin (x nk y nk ) alt dizisi η sayısına yakınsıyorsa (yakınsadığını
nasıl söyleyebiliyoruz?) a > 0 olduğundan
xn y n
η
= lim k k = lim(y nk ) ≤ lim sup(y n ) = ξ
a
x nk
eşitliği sağlanır, dolayısıyla η/a ≤ ξ olur. Yani
η ≤ aξ
elde edilmiş olur. Sonuç olarak (3.2.6) ve (3.2.7) eşitsizlikleri ile istenen elde edilmiş olur.
(3.2.7)
■
108
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Tanım 3.2.53 Eğer (x n ) üstten sınırsız bir dizi ise, ki bu durumda Teorem 3.2.44 gereği +∞’a ıraksayan bir alt dizisi vardır (ispatını inceleyin), bu durumda
lim sup(x n ) = +∞
olarak tanımlanır. Eğer (x n ) üstten sınırlı fakat alttan sınırsız bir dizi ise iki durum söz konusudur. Birinci durum olarak, sonlu değerlere yakınsayan bazı alt diziler varsa bu durumda Tanım
3.2.45 tanımı geçerlidir, yani bu değerlerin en büyüğü dizinin üst limitidir. İkinci durum olarak
dizinin hiç bir alt limiti sonlu bir değere yakınsak değilse (ki bu durumda lim(x n ) = −∞ olmak
zorundadır)
lim sup(x n ) = −∞
olarak tanımlanır. Benzer tanımlar lim inf(x n ) için de yapılabilir.
Örnek 3.2.54 Terimleri
0, 1, 2, 0, 1, 3, 0, 1, 4, 0, 1, 5, 0, 1, 6, . . .
olan üstten sınırsız (x n ) dizisini ele alalım. Alt dizilerin limitlerinin kümesi X = {0, 1, +∞} olduğu
açıktır. Bu durumda Tanım 3.2.53 gereği
lim inf(x n ) = 0 ve
lim sup(x n ) = +∞
olur.
Uyarı 3.2.55 Aslında yakınsak alt dizilerinin limitlerinin kümesi {0, 1} dir ve bir de +∞ ye ıraksayan alt dizileri vardır. Bunu kısaca {0, 1, +∞} ile gösterdik. Adı üstünde bu sadece bir gösterim, +∞
diye bir reel sayının olmadığını biliyorsunuz. Î
Alıştırmalar 3.2
1. Aşağıdakilere birer örnek verin
a) Zamanla artan olmayan fakat +∞’a ıraksayan bir dizi,
b) Pozitif terimli, zamanla azalan olmayan fakat sıfıra yakınsayan bir dizi.
p
2. x 1 = k ve x n+1 = 4x n − 1 olarak tanımlayın. (x n ) dizisi hangi k değerleri için artan, hangi k değerleri
için azalan olur?
3. Aşağıdakilerin doğru mu yoksa yanlış mı olduklarını belirleyin
a) (x n ) monoton dizi ise k ∈ R olmak üzere (kx n ) dizisi de monotondur,
b) (x n ) ve (y n ) monoton diziler ise (x n + y n ) dizisi de monotondur,
c) (x n ) ve (y n ) monoton diziler ise (x n y n ) dizisi de monotondur,
d) (x n ) ve (y n ) monoton diziler ise (x n /y n ) dizisi de monotondur,
4. Aşağıdakilerin doğru mu yoksa yanlış mı olduklarını belirleyin
a) Monoton bir dizi sınırlı ise yakınsaktır,
c) Yakınsak bir dizi sınırlı ise monotondur,
b) Yakınsak bir dizi monoton ise sınırlıdır,
d) Sınırsız ve artan bir dizi +∞’a ıraksar.
5. (x n ) artan bir dizi ise genel terimi
yn =
x1 + x2 + · · · + xn
n
olan dizinin de artan olduğunu kanıtlayın.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
109
3.2. Limitin Varlığı
6. (x n ) ve (y n ) diziler olsun. Her n ∈ N için y n > 0 oluyorsa ve (x n /y n ) artan bir dizi ise bu durumda
genel terimi
x1 + x2 + · · · + xn
zn =
y1 + y2 + · · · + yn
olan (z n ) dizisi de artandır, kanıtlayın.
7. Monoton yakınsaklık teoremini (Teorem 3.2.4) kullanarak aşağıdaki dizilerin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğunu belirleyin
n+1
a) x n = (−1)n ,
f) x n =
b) x n = 2nn ,
2
c) x n = n
2n ,
g) x n =
n
d) x n = 3 2n ,
1+3
n
e) x n = 2n! ,
n
P
1
k,
x n+1 = x n + x1 ,
n
k=0 2
j) x 1 = 1,
´
³
x n+1 = x n 1 − 1 2 ,
n
P
1
,
k=0
k!
4n
n!
h) x n = 1·3·5···(2n−1)
,
i) x 1 > 0,
k) x 1 = 1,
³
x n+1 = x n 1 −
´
1
.
(n+1)2
8. Genel terimleri tümevarımsal olarak verilen aşağıdaki dizilerin yakınsak olduklarını gösterip limitlerini bulun
p
2,
p
k) x 1 = 6,
a) x 1 = 1,
x n+1 = 13 x n ,
b) x 1 = 1,
x n+1 = 1 + 21 x n ,
c) x 1 = 1,
x n+1 = 14 (x n + 1),
d) x 1 = 1,
x n+1 = 14 (2x n + 3),
e) x 1 = 2,
x n+1 = 14 (2x n + 7),
f) x 1 = 1,
x n+1 = 51 (x n + 7),
g) x 1 = 2,
x n+1 = 15 (x n + 7),
h
i
x n+1 = 1 − 1 2 x n ,
h) x 1 = 1,
i) x 1 > 1,
p
2 + xn ,
p
x n+1 = 6 + x n ,
p
x 1 = 1, x n+1 = 2x n ,
p
p
x 1 = 2, x n+1 = 2x n ,
p
x 1 = 1, x n+1 = 2x n + 2,
p
x 1 = 5, x n+1 = 4x n + 1,
p
x 1 ≥ 2, x n+1 = 1 + x n − 1,
p
p
x 1 = 1, x n+1 = 1 + x n ,
j) x 1 =
l)
m)
n)
o)
p)
q)
(n+1)
x n+1 = 2 − x1 ,
n
x n+1 =
r) x 1 = 1,
x 2 = 13 ,
x n+2 = 65 x n+1 − 16 x n ,
s) x 1 = 1,
x 2 = 13 ,
x n+2 = 35 x n+1 − 49 x n .
9. Terimleri tümevarımsal olarak
n
x2
n +1 n
ile verilen dizinin yakınsak olduğunu gösterip limitini hesaplayın.
x 1 = 1,
x n+1 =
10. 0 < r < 1 olmak üzere (r n ) dizisinin yakınsaklığını, terimlerini tümevarımsal olarak veren bir formül
bulup bunu kullanarak gösterip limitini hesaplayın. Aynı yolla dizinin r > 1 için ıraksak olduğunu da
gösterin.
11. Herhangi bir a > 0 reel sayısı için (x n ) dizisini
x 1 > 0,
x n+1 =
µ
¶
1
a
xn +
2
xn
olarak tanımlayın. Monoton yakınsaklık teoremini (Teorem 3.2.4) kullanarak bu dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayıp
p
lim(x n ) = a
olduğunu gösterin. (Bu yöntemle bir sayının karekökünün yaklaşık olarak hesaplanması M.Ö. 1500’lü
yıllardan beri bilinmektedir, günümüzde bu yönteme Newton-Raphson yöntemi diyoruz.)
12. a > 0 olmak üzere
x 1 = 1,
ile tanımlanan (x n ) dizisi için lim(x n ) =
p
x n+1 = x n
3a + x n2
3x n2 + a
a olduğunu gösterin.
110
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
13. (x n ) ve (y n ) dizileri
xn + y n
p
, y n+1 = x n y n
2
olarak tanımlansın. Bu iki dizinin aynı limite yakınsadığını gösterin.
0 < y 1 < x1 ,
x n+1 =
0 < y1 < ax ,
x n+1 =
14. (x n ) ve (y n ) dizileri
xn + y n
,
2
olarak tanımlanan diziler ise
lim(x n ) = lim(y n ) =
y n+1 =
p
2x n y n
xn + y n
x1 y 1
eşitliği sağlanır, kanıtlayın.
15. Terimleri
x 2n + x 2n−1
,
2
olarak verilen dizinin 4 sayısına yakınsadığını gösterin.
x 1 = 2,
x 2 = 8,
x 2n+1 =
x 2n+2 =
x 2n x 2n−1
x 2n−1
16. Genel terimi
1
1
1
+
+···+
n n +1
n +n
olan dizinin 1 ile 2 arasında bir sayıya yakınsadığını gösterin.
xn =
17. (y n ) kesin artan ve sonsuza ıraksayan bir dizi olmak üzere eğer
µ
¶
x n+1 − x n
lim
=a
y n+1 − y n
ise bu durumda
µ
lim
¶
xn
=a
yn
olur, kanıtlayın.Bu sonuç literatürde Stolz lemması olarak bilinir.
18. Genel terimleri aşağıdaki gibi verilen dizilerin yakınsak olduklarını gösterip limitlerini hesaplayın
a)
´n+1
³
1 + n1
,
´n
c)
³
1
1 + n+1
d)
³
´
1 n
1 + 2n
,
,
e)
f)
³
´2n
b) 1 + n1
,
g)
³
3
1 + 5n
¡ n ¢n
³
´n
,
n+1 ,
´
n−1 n
n+1
h)
³
´
3n−5 n
3n+7
i)
³
´
3n−5 n
4n+7
19. Aşağıdakileri elde edin
´n
³
a) lim 1 + 12 = 1,
³
´n 2
= +∞
b) lim 1 + n1
n
20. (1+1/n)n dizisinin kesin artan, (1+1/n)n+1 dizisinin kesin azalan ve her iki dizinin de sınırlı olduğunu
gösterin. Buradan hareketle her iki dizi de yakınsaktır, limitlerinin aynı (e sayısı) olduğunu kanıtlayın.
İpucu: Bernoulli eşitsizliğinden yararlanarak
(1 + 1/n)n
µ
¶
1 + 1/n n+1
=
(1
+
1/n)
>1
1/1(n + 1)
(1 + 1/n)n+1
olduğunu gösterirseniz (1 + 1/n)n dizisinin kesin artan olduğunu göstermiş olursunuz.
21. a > 0 olmak üzere genel terimi (1 + a/n)n olan dizi artan ve üstten sınırlıdır, dolayısıyla yakınsaktır,
kanıtlayın.
22. Monoton yakısaklık teoremi (Teorem 3.2.4) rasyonel sayılar kümesinde geçerli değildir, açıklayın.
23. Reel sayıların üstten sınırlı ve sonsuz bir A alt kümesi için a := sup A olsun. Bu durumda her n ∈ N için
x n ∈ A olan ve a sayısına yakınsayan artan bir (x n ) dizisi vardır, kanıtlayın.
24. (a n ) artan, (b n ) azalan dizi ve her n ∈ N için a n ≤ b n olsun. Bu durumda lim(a n ) ≤ lim(b n ) olduğunu
gösterin. Bu sonuç ile monoton yakınsaklık teoreminin (Teorem 3.2.4) reel sayıların tamlık aksiyomuna (Tanım 2.3.4) denkliğini elde etmiş olduk, açıklayın.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
111
3.2. Limitin Varlığı
25. Bir önceki alıştırmada tarif edilen yöntemi kullanarak monoton yakınsaklık teoremi ile kümeler için
verilen Bolzano-Weierstrass teoreminin (Teorem 2.4.32) denk olduğunu kanıtlayın.
26. Önceki iki alıştırmaya ek olarak, monoton yakınsaklık teoreminin supremum prensibine (Teorem
2.3.16) de denk olduğunu kanıtlayın.
27. Aşağıdaki dizilerin Cauchy dizisi olup olmadığını sadece Tanım 3.2.13’yi kullanarak gösterin
³
´
¡p ¢
¡
¢
1
a)
n ,
d) (−1)n ,
g) 21 + 16 + · · · + n(n+1)
,
³
´
¡ n ¢
¡
¢
b) n+1 ,
e) 1 + (−1)n ,
h) 1 + 12 + 12 + · · · + 12 ,
2
3
n
³
´
³
³
n´
n´
1
1
1
c) n+1
f) n + (−1)
,
i) 1!
− 2!
+ 3!
+ · · · + (−1)
n ,
n
n! .
28. (x n ) ve (y n ) Cauhzy dizileri olsun. Aşağıdakiler sadece Tanım 3.2.13’yi kullanarak kanıtlayın
a) (x n ± y n ) de bir Cauchy dizisidir,
b) (x n y n ) de bir Cauchy dizisidir,
c) Her n ∈ N için y n 6= 0 ve lim(y n ) 6= 0 ise (x n /y n ) de bir Cauchy dizisidir.
29. Monoton ve sınırlı bir dizi Cauchy dizisidir, sadece Tanım 3.2.13’yi kullanarak kanıtlayın.
30. (a n ) herhangi bir dizi olmak üzere (x n ) dizisi
xn = a1 + a2 + · · · + an
olarak tanımlansın. Bu durumda eğer (x n ) dizisi yakınsak ise lim(a n ) = 0 olur, kanıtlayın. Ayrıca tersinin doğru olmadığını gösteren bir örnek verin.
31. 0 < r < 1 olmak üzere her n ∈ N için |x n+1 − x n | < r n oluyorsa (x n ) bir Cauchy dizisidir, kanıtlayın.
32. (x n ) bir Cauchy dizisiyse (|x n |) de bir Cauchy dizisidir, sadece Tanım 3.2.13’yi kullanarak kanıtlayın.
Bunun tersi sadece sıfıra yakınsayan diziler için doğrudur, bunu da kanıtlayın.
33. (x n ) bir Cauchy dizisi ve a ∈ R olsun. Bu durumda eğer
{n ∈ N : x n < a} ve {n ∈ N : x n > a}
kümeleri sosuz ise lim(x n ) = a olur, kanıtlayın.
34. (x n ) bir Cauchy dizisi ve lim(x n ) 6= 0 ise bu durumda her n ≥ K için |x n | > δ olacak şekilde bir δ > 0
sayısı ve K doğal sayısı vardır, kanıtlayın.
35. Her n ∈ N için a n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olmak üzere genel terimi
xn = a1 +
a2
102
+·+
an
10n
olan (x n ) dizisi bir Cauchy dizisidir, kanıtlayın.
36. Aşağıda verilen dizilerin daralan olduğunu gösterip limit değerlerini bulun
a) x 1 = 1,
x n+1 = 1 + 12 x n ,
b) x 1 = 2,
x n+1 = 2 + x1 ,
c) x 1 > 0,
1
x n+1 = 2+x
.
n
d) x 1 = 1,
1
x n+1 = 1 + 1+x
,
n
n
e) 0 < x 1 < 1/3,
x n+1 = x n2 .
37. ( f n ) ile Örnek 3.1.8’te tanımlanan Fibonacci dizisini gösterelim. Bu durumda
µ
¶
f n+1
(x n ) :=
fn
olarak tanımlanan (x n ) dizisi için
lim(x n ) =
olduğunu gösterin.
p
1+ 5
2
112
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
38. x 1 , x 2 ∈ R ve
x n+2 =
x n+1 − x n
2
olarak tanımlanan dizinin yakınsak olduğunu ve
lim(x n ) =
x 1 + 2x 2
3
olduğunu gösterin.
39. (x n ) daralan bir dizi, C daralma sabiti ve a := lim(x n ) ise aşağıdakiler sağlanır, kanıtlayın.
n−1
a) |x n − a| ≤ C1−C |x 2 − x 1 |,
n−1
b) |x n − a| ≤ C1−C |x n − x n−1 |.
40. x 3 − 7x + 2 = 0 denkleminin 0 ile 1 arasında bir kökünün var olduğunu bildiğinizi varsayın. Bu kökü
yaklaşık olarak hesaplamak için aşağıdaki adımları uygulayın
a) Verilen denklemi
x=
1 3
(x + 2)
7
olarak yazın. Daha sonra bundan hareketle
0 < x 1 < 1,
x n+1 =
1 3
(x + 2)
7 n
dizisini tanımlayın,
b) Her n ∈ N için 0 < x n < 1 olduğunu gösterin,
c) Dizinin daralan, dolayısıyla yakınsak bir dizi olduğunu gösterin,
d) Dizinin limitinin x 3 − 7x + 2 = 0 denklemini sağladığını gösterin,
e) Bir önceki alıştırmanın (a) maddesinden faydalanarak denklemin bu kökünü 10−3 hata payı ile
yaklaşık olarak hesaplayın.
f) Benzer yöntemle x 3 − 5x + 1 = 0 denkleminin (0, 1) aralığındaki kökünü yaklaşık olarak hesaplayın.
41. r > 0 olmak üzere lim(r 1/n ) = 1 olduğunu Teorem 3.2.32 sonucunu kullanarak kanıtlayın. (0 < r < 1 ve
r > 1 durumlarını ayrı ayrı inceleyin.)
42. Teorem 3.2.42 sınırlı olmayan diziler için sağlanmaz, bir örnek verin.
43. Kümeler için verilen Bolzano-Weierstrass teoremini (Teorem 2.4.32) kullanarak diziler için verilen
Bolzano-Weierstrass teoremini (Teorem 3.2.39) kanıtlayın.
44. Diziler için verilen Bolzano-Weierstrass teoremi (Teorem 3.2.39) ile monoton yakınsaklık teoreminin
(Teorem 3.2.4) birbirine denk olduğunu kanıtlayın.
45. Diziler için verilen Bolzano-Weierstrass teoremini (Teorem 3.2.39) kullanarak tamlık aksiyomunu (Tanım 2.3.4) elde edin.
46. Cauchy yakınsaklık kriterini (Teorem 3.2.18), Bolzano-Weierstrass teoremini (Teorem 3.2.39 veya Teorem 2.4.32) kullanarak kanıtlayın.
47. Bir Cauchy dizisinin her alt dizisi de Cauchy dizisidir, kanıtlayın. (Teorem 3.2.4 sonucunu kullanmayın).
48. Sınırlı her dizinin bir Cauchy alt dizisi vardır, kanıtlayın. (Teorem 3.2.4 sonucunu kullanmayın).
¢
¡
49. Her n ∈ N için x n ≥ 0 ve (−1)n x n dizisi yakınsak ise (x n ) dizisi de yakınsaktır, kanıtlayın.
¡
¢
¡
¢
50. (x n ) dizisi sınırlı değilse lim 1/x nk = 0 olacak şekilde bir x nk dizisi vardır, kanıtlayın.
51. (x n ) bir dizi ve a sayısı da {x n : n ∈ N} kümesinin bir limit noktası olsun. Bu durumda (x n ) dizisinin a
sayısına yakınsayan bir alt dizisi vardır, kanıtlayın.
52. lim(x n ) = a olsun ve b de {x n : n ∈ N} kümesinin bir limit noktası olsun. Bu durumda a = b olur,
kanıtlayın.
53. Aşağıda verilen dizilerin alt ve üst limitlerini belirleyin
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
113
3.3. Sonsuz Seriler
´´
³
,
(−1)n n−1
n
¡
¢
d) (−n)n ,
¡
¢
a) 1 + (−1)n ,
³
n´
b) (−1)
,
n
c)
³
¡
¢
e) sin( nπ
2 ) ,
³
´
f) 0, 12 , 32 , 14 , 45 , 16 , 76 .
54. (x n ) ve (y n ) sınırlı diziler olmak üzere aşağıdakileri kanıtlayın
a) lim inf(x n ) + lim inf(y n ) ≤ lim inf(x n + y n ),
b) lim sup(x n + y n ) ≤ lim sup(x n ) + lim sup(y n ).
55. (x n ) sınırlı bir dizi ve her n ∈ N için
a n := inf{x k : k ≥ n} ve b n := sup{x k : k ≥ n}
olarak tanımlansın. Aşağıdakileri kanıtlayın
a) (a n ) ve (b n ) dizileri monoton ve yakınsaktır,
b) lim inf(x n ) = lim(a n ),
c) lim sup(x n ) = lim(b n ).
3.3 Sonsuz Seriler
Bu bölümde reel sayı serilerini inceleyeceğiz. Bu konu bize sonsuz çoklukta reel sayının toplamı
hakkında bize bazı bilgiler sağlar. İlk başta kulağa anlamsız gibi gelse de, okuyucu önceki bölümlerde sonsuz sayıda reel sayının toplamının sonlu bir sayı olabileceğini gösteren bazı örnekler
gördü. Gerçekten çoğu durumda böyle bir toplamın değerini hesaplayamayacağız ama toplamın
sonlu bir sayı olup olmadığını belirleyebileceğiz.
Kabaca tarif etmek gerekirse, (x n ) herhangi bir dizi olmak üzere, genel terimi
s n := x 1 + x 2 + · · · + x n =
n
X
xk
k=1
olan (s n ) dizisine bir sonsuz seri (ya da kısaca bir seri) deriz. Yani aslında önceki alt bölümlerde
ve bazı alıştırmalarda bir çok seri ile karşılaştık ama farkında değildik.
Uyarı 3.3.1 Yukarıdaki serinin genel terimlerinin
s 1 := x 1 ,
ve s n+1 := s n + x n+1
ile de tanımlanabileceğine dikkat edin. Î
Yakınsak Seriler ve Toplamları
Tanım 3.3.2 (Seri) (x n ) bir reel sayı dizisi olsun. Bu durumda terimleri
s1
:=
1
X
xk
=
x1
xk
=
x1 + x2
xk
=
x1 + x2 + · · · + xn
k=1
s2
:=
2
X
k=1
..
.
sn
:=
n
X
k=1
..
.
114
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
olan (s n ) dizisine (x n ) tarafından üretilen sonsuz seri (kısaca seri) denir. Buradaki x n sayılarına
serinin terimleri, s n sayılarına da serinin kısmi toplamları denir. Kısmi toplamlar dizisi, yani (s n ),
yakınsak ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı (veya değeri) bu dizinin limitidir. (s n ) ıraksak ise
de seri ıraksaktır denir. Eğer seri yakınsak ise toplamı
∞
X
xn
X
veya
xn
n=1
ile gösterilir, fakat serinin kendisinin de bu sembollerle gösterilmesi adet olmuştur.
Uyarı 3.3.3 Yani bir yerlerde
∞
X
xn
n=1
sembolü gördüğümüzde, yakınsak olduğu söylenmemişse, yakınsaklığı araştırılması gereken bir
seri olarak algılamamız gerekir. Eğer seri yakınsaksa bu sembolü onun toplamı için de kullanabiliriz. Î
Uyarı 3.3.4 Dizilerde olduğu gibi serilerde de bazen ilk terimin indisi n = 1 yerine başka bir tam
sayı olabilir. Böyle bir durumde bu seri örneğin
∞
X
xn
n=7
gibi gösterilebilir. Î
Tanımdan da anlaşılacağı gibi seri kavramı tamamen dizi kavramından üretilen bir kavramdır
ve bu yüzden araştırma yaparken dizilerin özelliklerini kullanacağız. Fakat seri kavramı, her ne
kadar tanımdan görülemeyebilse de, dizi kavramından biraz daha karmaşık bir kavramdır, daha
vereceğimiz ilk örneklerde göreceğimiz gibi birbirine çok benzeyen iki seri çok farklı özelliklere
sahip olabilir. Bunun için seriler biraz daha dikkkatli araştırılmalıdır.
Örnek 3.3.5 Örnek 3.2.8 gereği, harmonik seri olarak adlandırılan
∞ 1
X
n=1 n
serisi ıraksak bir seridir. Yine aynı örnekten
Ayrıca Örnek 3.2.20 gereği
P∞
n=1 (1/n
2
) serisinin ise yakınsak olduğu sonucu çıkar.
∞ 1
X
=e
n=1 n!
olduğunu da biliyoruz.
Örnek 3.3.6 ((−1)n ) dizisi tarafından üretilen
∞
X
(−1)n
(3.3.1)
n=0
serisini ele alalım. Kısmi toplamlar dizisinin terimleri
s0
=
1
s1
=
1−1 = 0
s2
=
..
.
1−1+1 = 1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
115
3.3. Sonsuz Seriler
biçiminde olup kısmi toplamlar dizisi
(s n ) = (1, 0, 1, 0, . . .)
olur. Bu dizi ıraksak olduğundan (3.3.1) serisi ıraksaktır. Bu gibi terimleri ardışık olarak işaret değiştiren serilere alterne seri denir.
Örnek 3.3.7
∞
X
1
n=1 n(n + 1)
(3.3.2)
serisini ele alalım. Bu serinin yakınsaklığını araştırmak için genel terimi
sn =
1
1
1
1
+
+
+···+
1 2·3 3·4
n(n + 1)
(3.3.3)
olan kısmi toplamlar dizisinin yakınsaklığını araştırmalıyız. Dizi bu haliyle bize ip ucu vermiyor
ama genel terimine daha yakından bakarsak
1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
eşitliğini farkederiz. Bu durumda (3.3.3) eşitliğinden
µ
¶ µ
¶
µ
¶
1 1
1 1
1
1
1
sn =
−
+
−
+···+
−
= 1−
1 2
2 3
n n +1
n +1
olduğu görülür. Böylece kısmi toplamlar dizisi yakınsak ve lim(s n ) = 1 olduğundan (3.3.2) dizisi
yakınsaktır ve toplamı 1’dir, yani
∞
X
1
=1
n=1 n(n + 1)
olur.
Örnek 3.3.8 r ∈ R − {1} olmak üzere (r n ) dizisi tarafından üretilen
∞
X
rn
(3.3.4)
n=0
geometrik seriyi ele alalım. Kısmi toplamlar dizisinin genel terimi
sn = 1 + r + r 2 + · · · + r n =
1 − r n+1
1−r
(3.3.5)
olarak görülüyor. Dolayısıyla Örnek 3.1.29 gereği |r | < 1 için
µ
lim(s n ) = lim
¶
1 − r n+1
1
=
1−r
1−r
olduğundan |r | < 1 için (3.3.4) serisi yakınsaktır ve
∞
X
n=1
rn =
1
1−r
eşitliği sağlanır. Eğer |r | > 1 ise (s n ) dizisi ıraksak olacağından (Bkz: Örnek 3.1.73) bu durumda
(3.3.4) serisi ıraksaktır.
116
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Uyarı 3.3.9 (3.3.5) eşitliğini tümevarımla gösterebileceğinizi biliyorsunuz (Bkz: Alıştırma 1.3-2
(e)). Ayrıca şu şekilde de gösterilebilir:
s n − r · s n = 1 − r n+1
eşitliğinden hareketle r 6= 1 için
sn =
1 − r n+1
1−r
elde edilir. Î
Örnek 3.3.7 ile verilen serilere, yani açıkça yazıldığında toplamdaki terimlerin bir çoğunun
birbirini götürdüğü (sedeleştiği!) dizilere literatürde teleskopik seri adı verilir. Aşağıda vereceğimiz
sonuç bize, örnekte uyguladığımız yöntemi genelleyen ve teleskopik seriler için sıklıkla kullanılan
pratik bir yöntem sunar.
P
Teorem 3.3.10 (x n − x n+1 ) serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul (x n ) dizisinin yakınsak olmasıdır. Ayrıca bu durumda
∞
X
(x n − x n+1 ) = x 1 − lim(x n )
n=1
eşitliği sağlanır.
İspat Serinin kısmi toplamlar dizisinin (s n ) = (x 1 − x n+1 ) olduğunu görmek yeterlidir.
■
Uyarı 3.3.11 Yukarıdaki teoremde x n := 1/n alırsak Örnek 3.3.7 ile verilen sonuç elde edilir. Î
Örnek 3.3.12
x n :=
(n + 1)2
n(n + 2)
olarak tanımlanmışsa
x n − x n+1 =
2n + 3
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(3.3.6)
olduğu görülür. Bu nedenle Teorem 3.3.10 gereği
∞
X
4
1
2n + 3
= x 1 − lim(x n ) = − 1 =
3
3
n=1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
olduğu elde edilir.
Uyarı 3.3.13 (3.3.6) gibi eşitlikleri en baştan görmek zor. Şimdi detaya girmeyeceğiz ama çok
sonra kısmi kesirlere ayırma adında bir yöntem ile bu eşitlikleri elde edebileceğiz. Î
Aşağıdaki sonucun ispatı okuyucuya bırakılmıştır. (Bkz: Alıştırma 1)
P
P
P
Teorem 3.3.14
x n = a ve y n = b olsun. Bu durumda (x n + y n ) = a + b ve her k ∈ R için
P
(kx n ) = ka eşitlikleri sağlanır.
Diziler için verdiğimiz bazı yakınsaklık kriterlerinin doğrudan sonuçları olan aşağıda vereceğimiz teoremler, bazen serilerin yakınsak veya ıraksak olduklarını göstermek için kullanılabilir.
Vereceğimiz ilk teorem hariç diğerlerinde kısmi toplamlar dizisinin limitini bilmeye ihtiyaç yoktur.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
117
3.3. Sonsuz Seriler
Teorem 3.3.15
P
x n serisi yakınsaksa lim(x n ) = 0 eşitliği sağlanır.
İspat Tanım 3.3.2 gereği eğer seri yakınsak ise (s n ) kısmi toplamlar dizisi yakınsaktır. Bu durumda x n = s n − s n−1 olduğundan Teorem 3.1.17 ve Teorem 3.1.48 gereği
lim(x n ) = lim(s n − s n−1 ) = lim(s n ) − lim(s n−1 ) = 0
eşitliği sağlanır.
■
P
Teorem 3.3.16 (Seriler İçin Cauchy Kriteri)
x n serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, verilen her ² > 0 sayısına karşılık m > n ≥ K ² için
|s m − s n | = |x n+1 + x n+2 + · · · + x m | < ²
eşitsizliği sağlanacak şekilde bir K ² doğal sayısının var olmasıdır.
İspat Diziler için Cauchy yakınsaklık kriterinin (Teorem 3.2.18) doğrudan sonucudur.
■
P
Teorem 3.3.17 (x n ) negatif olmayan reel sayınların bir dizisi ise x n serisinin yakınsak olması
için gerek ve yeter koşul (s n ) kısmi toplamlar dizisinin sınırlı olmasıdır. Bu durumda
∞
X
x n = lim(s n ) = sup{s n : n ∈ N}
n=1
eşitliği sağlanır.
İspat Her n ∈ N için x n ≥ 0 olduğundan (s n ) artan bir dizi olur. Dolayısıyla monoton yakınsaklık
teoremi (Teorem 3.2.4) gereği yakınsak olması için gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır ve budurumda limiti de sup{s n : n ∈ N} sayısıdır.
■
Örnek 3.3.18 p ∈ R olmak üzere p-serisi olarak adlandırılan
∞ 1
X
p
n=1 n
(3.3.7)
serisini ele alalım. Önce p > 1 kabul edip aşağıdaki şekilde (s n ) kısmi toplamlar dizisinin bir (s nk )
alt dizisini oluşturalım.
n 1 := 21 − 1 = 1 olarak tanımlayalım, bu durumda s n1 = 1 olur. Daha sonra n 2 := 22 − 1 = 3
olarak tanımlanırsa
µ
¶
1
1
1
2
1
s n2 = p + p + p < 1 + p = 1 + p−1
1
2
3
2
2
eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde eğer n 3 := 23 − 1 = 7 olarak tanımlanırsa
µ
¶
1
1
1
1
4
1
1
s n3 = s n2 + p + p + p + p < s n2 + p < 1 + p−1 + p−1
4
5
6
7
4
2
4
eşitsizliği sağlanır. Bu şekilde devam edilirse bir (s nk ) dizisi oluşturulur.
1
Şimdi r := 2p−1
olsun, tümevarım yöntemiyle, n k := 2k − 1 olarak tanımlanırsa her k ∈ N için
0 < s nk < 1 + r + r 2 + · · · + r k−1 =
1−rk
1
<
1−r
1−r
olduğu görülür. Yani (s nk ) dizisi sınırlıdır. Buradan da monoton yakınsaklık teoremi (Teorem 3.2.4)
ve Teorem 3.3.17 gereği p > 1 ise (3.3.7) serisi yakınsaktır, Çünkü monoton bir dizinin sınrlı bir alt
dizisi varsa kendisi de sınırlıdır. Bunu kanıtlayabilirsiniz.
118
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Diğer yandan eğer 0 < p < 1 ise her n ∈ N için
1
1
≤ p
n n
olduğundan ve harmonik serinin kısmi toplamlar dizisi sınırsız olduğundan (Bkz: Örnek 3.3.5)
0 < p < 1 için (3.3.7) serisi ıraksaktır.
Örnek 3.3.19 Alterne harmonik seri denilen
∞ (−1)n+1
X
1 1 1
(−1)n+1
= − + −···+
−···
n
1 2 3
n
n=1
serisini ele alalım.
µ
¶ µ
¶
µ
¶
1 1
1 1
1
1
s 2n =
−
+
−
+···+
−
1 2
3 4
2n − 1 2n
ve
s 2n+1 =
¶ µ
¶
µ
¶
µ
1 1
1
1
1 1
1
−
−···−
−
−
−
−
1
2 3
4 5
2n 2n + 1
olduğundan (s 2n ) dizisinin artan, (s 2n+1 ) dizisinin ise azalan olduğunu görürüz. Ayrıca
0 < s 2n < s 2n +
1
= s 2n+1 ≤ 1
2n + 1
olup bu alt dizilerin ikisi de sınırlıdır. Yani bir önceki örnekte olduğu gibi bu alt diziler yakınsaktır,
her ikisinin de limiti de aynıdır ve serinin toplamı da bu limit değeridir.
Yakınsaklık Testleri
Buraya kadar elde ettiğimiz sonuçları kullanarak her zaman bir serinin yakınsaklığını test etmek
kolay olmayabilir. Bu bölümde serilerin yakınsaklıkları ve ıraksaklıkları için daha kullanışlı bazı
kriterler vereceğiz, bu sonuçlara literatürde yakınsaklık testleri adı verilir.
Vereceğimiz ilk iki kriter Teorem 3.1.59 ve 3.1.74 benzeri bir karşılaştırma testidir. Bu testleri
uygularken p-serilerini çok kullanışlı bulacağız.
Teorem 3.3.20 (Karşılaştırma Testi) (x n ) ve (y n ) reel sayı dizileri olmak üzere her n ≥ K için
0 ≤ xn ≤ y n
olacak şekilde bir K ∈ N var olsun. Bu durumda
P
P
(a)
y n yakınsak ise x n de yakınsaktır,
P
P
(b)
x n ıraksak ise y n de ıraksaktır.
İspat
(a)
P
y n yakınsak olsun ve keyfi bir ² > 0 sayısı verilsin. Teorem 3.3.16 gereği m > n ≥ M için
y n+1 + y n+2 + · · · + y m < ²
olacak şekilde bir M doğal sayısı vardır. Şimdi eğer m > max{K , M } seçersek
0 ≤ x n+1 + x n+2 + · · · + x m ≤ y n+1 + y n+2 + · · · + y m < ²
eşitsizliği sağlanır ki bu da istenendir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
119
3.3. Sonsuz Seriler
(b) Bu sonuç doğrudan (a) maddesinden elde edilir.
■
Teorem 3.3.21 (Limit Karşılaştırma Testi) (x n ) ve (y n ) pozitif reel sayı dizileri olmak üzere
µ ¶
xn
L := lim
yn
limiti var olsun. Bu durumda
P
P
(a) L 6= 0 ise x n serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul y n serisinin yakınsak olmasıdır,
P
P
(b) L = 0 olması durumunda y n yakınsak ise x n de yakınsaktır.
İspat
(a) lim(x n /y n ) = L > 0 ise her n ≥ K için
L xn
<
< 2L
2 yn
olacak şekilde bir K ∈ N doğal sayısı vardır, bunu görmek için Tanım 3.1.11’de ² := L/2 seçin.
Buradan da her n ≥ K için
L
y n ≤ x n ≤ 2Ly n
2
eşitsizlikleri elde edilir. Burada her iki eşitsizlik için karşılaştırma testi (Teorem 3.3.21) uygulanırsa ve Teorem 3.3.14 kullanılırsa istenilen elde edilir.
(b) Eğer L = 0 ise her n ≥ K için
0 < xn ≤ y n
olacak şekilde bir K ∈ N vardır (Tanım 3.1.11 gereği). Böylece karşılaştırma testini (Teorem
3.3.20) kullanarak istenen elde edilir.
■
Uyarı 3.3.22 Limit karşılaştırma testi aslında daha zayıf koşullar altında da geçerlidir, Alıştırma
26’yı inceleyin. Î
Örnek 3.3.23 Karşılaştırma testini (Teorem 3.3.20) kullanırsak,
∞
X
1
2 +n +1
n
n=1
serisinin yakınsak olduğu, her n ∈ N için
0<
olduğundan ve
Örnek 3.3.24
P
1
n2 + n + 1
<
1
n2
(1/n 2 ) p-serisi yakınsak olduğundan açıktır.
∞
X
1
n=1
n2 − n + 1
(3.3.8)
serisini ele alalım. Bir önceki örnekte olduğu gibi eğer n ≥ K için
1
1
≤
n2 − n + 1 n2
(3.3.9)
120
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
eşitsizliği sağlanacak şekilde bir K ∈ N bulabilirsek karşılaştırma kriteri gereği serinin yakınsak
olduğunu söyleyebiliriz. Ne var ki (3.3.9) eşitsizliği her n ∈ N−{1} için yanlıştır. Fakat her n ∈ N için
1
2
≤
n2 − n + 1 n2
(3.3.10)
eşitsiziliği sağlanır, yani bunu kullanarak verilen serinin yakınsak olduğu sonucu elde edilebilir.
Ama (3.3.10) eşitsiziliğini sezmek için biraz gözlem ve deneyim gerekebilir.
Bunun yerine x n := 1/(n 2 − n + 1)2 ve y n := 1/n 2 olarak tanımlanırsa
xn
n2
= 2
→1
yn n − n + 1
olduğundan limit karşılaştırma testi (Teorem 3.3.21) gereği (3.3.8) serisi yakınsaktır.
Örnek 3.3.25
∞
X
n=1
3n
5
+1
serisinin yakınsak olduğunu görmek için her n ∈ N için
3n
1
1
≤ n
+1 3
eşitsiziliğini gözlemlemek yeterlidir. İlgili geometrik seri yakınsak olduğundan karşılaştırma testi
gereği verilen seri de yakınsaktır.
Örnek 3.3.26
serisini ele alalım. Her n ∈ N için
∞
X
1
p
3
+
n
n=1
1
1
p ≤p
3+ n
n
P p
eşitsizliği sağlanır. Fakat (1/ n) p-serisi ıraksak olduğundan karşılaştırma testini kullanamayız.
p
p
Fakat x n := 1/(3 + n) ve y n := 1/ n olarak tanımlarsak
p
n
xn
=
p →1
yn 3 + n
olduğundan limit karşılaştırma testi gereği verilen seri ıraksaktır.
Örnek 3.3.27
∞ µ n + 17 ¶n
X
3n
n=1
(3.3.11)
serisini ele alalım. Parantez içindeki ifadenin limiti 1/3 olduğundan bu (1/3n ) dizisini kullanarak
karşılaştırma yapabileceğimizi sezeriz. Fakat her n ∈ N için
n + 17 1
≥
3n
3
eşitliği sağlandığından karşılaştırma testini kullanamayız. Fakat x n :=
çersek
µ
¶
xn
17 n
= 1+
→ e 17
yn
n
¡ n+17 ¢n
3n
olduğundan limit karşılaştırma testi gereği (3.3.11) ile verilen seri yakınsaktır.
ve y n := (1/3)n se-
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
121
3.3. Sonsuz Seriler
Aşağıda vereceğimiz yakınsaklık testi azalan diziler için oldukça kullanışlı bir kriterdir.
Teorem 3.3.28 (Cauchy Yoğunlaşma Testi) (x n ) pozitif reel sayıların azalan bir dizisi olmak üzere
P
P
x n serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul 2k x 2k serisinin yakınsak olmasıdır.
İspat (s n ) ve (t n ) sırasıyla
n ≤ 2m için
sm
P
x n ve
P
2k x 2k serilerinin kısmi toplamlar dizileri olsun. Bu durumda
=
x1 + x2 + · · · + xn
≤
x 1 + (x 2 + x 3 ) + (x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) + · · · + (x 2m + · · · + x 2m+1 −1 )
≤
x 1 + 2x 2 + 4x 4 + · · · + 2m x 2m
=
tm
olur. Benzer şekilde eğer n ≥ 2m ise
sm
=
x1 + x2 + · · · + xn
≥
x 1 + (x 2 + x 3 ) + (x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) + · · · + (x 2m−1 +1 + · · · + x 2m )
1
x 1 + x 2 + 2x 4 + · · · + 2m−1 x 2m
2
1
tm
2
≥
=
olur. Her iki durumda da (s n ) ve (t n ) aynı anda sınırlıdır veya sınırsızdır. Bu da istenendir.
Uyarı 3.3.29 Ddikkat edilirse ispattan,
■
P
x n = L ise
X
L ≤ 2k x 2k ≤ 2L
sonucu da elde edilir. Î
P
Örnek 3.3.30 Cauchy yoğunlaşma testini kullanarak p > 0 olmak üzere (1/n p ) p-serisinin yakınsaklığını araştıralım.
P
p > 0 olduğundan (1/n p ) dizisi azalandır. Cauchy yoğunlaşma testine göre (1/n p ) serisiP n 1
nin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul 2 (2n )p serisinin yakınsak olmasıdır. Diğer yandan
P n 1
P ³ 1 ´n
2 (2n )p =
geometrik serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul p − 1 > 0 ol2p−1
P
masıdır (Bkz: Örnek 3.3.8). Böylece (1/n p ) serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşulun
p > 1 olduğu sonucu elde edilmiş olur.
P
P
Daha önce Örnek 3.3.5 ve Örnek 3.3.19 ile gördük ki x n serisi yakınsak ve |x n | serisi ıraksak
olabilir. Bunun için aşağıda bir tanım vereceğiz ve bunu ileride sıklıkla kullanacağız.
P
Tanım 3.3.31 (Mutlak Yakınsaklık) (x n ) bir reel sayı dizisi olmak üzere eğer |x n | serisi yakınsak
P
ise x n serisine bir mutlak yakınsak seri denir. Yakınsak olan fakat mutlak yakınsak olmayan
serilere de şartlı yakınsak seri denir.
Uyarı 3.3.32 Bu tanıma göre Örnek 3.3.5 ve Örnek 3.3.19 gereği
X (−1)n
n
alterne harmonik serisi şartlı yakınsak bir seridir. Başka bir alterne seri olan
X (−1)n
n2
serisi ise mutlak yakınsaktır ve dolayısıyla (bunu az sonra göreceğiz) yakınsaktır. Î
122
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Teorem 3.3.33 Mutlak yakınsak bir seri yakınsaktır.
P
İspat
x n serisinin kısmi toplamlar dizisi (s n ) olmak üzere, üçgen eşitsizliği ile m > n doğal
sayıları için
|s m − s n | = |x n+1 + x n+2 + · · · + x m | ≤ |x n+1 | + |x n+2 | + · · · + |x m |
P
eşitsiziliğinin sağlandığı görülür. Buradan da |x n | serisi yakınsak olduğundan Cauchy kriteri
P
(Teorem 3.3.16) gereği x n serisi yakınsak olur.
■
Şimdi bir serinin terimleriyle oynayarak seride değişiklik yapmanın nelere neden olabileceğine bir bakalım. Serinin terimleriyle oynamak derken ya terimleri parantezler kullanarak gruplayacak, ya da sıralarını değiştireceğiz. Bu durumda kısmi toplamlar dizisi değişeceğinden serinin
bazı özellikleri değişebilir.
P
Bir x n serisi verildiğinde serinin x n terimlerinin sırasını bozmadan parantezler kullanarak
P
gruplayarak yeni bir seri elde edebiliriz. Örneğin (−1)n /n disinin terimleri
¶ µ
¶ µ
¶
µ
1 1
1 1
1
+
−
+
−
+···
1−
2
3 4
5 6
şeklinde gruplandırılırsa
1
1
1
+
+
+···
2 12 30
serisi elde edilir. Dikkat edildiği üzere orijinal serinin aksine elde edilen bu serinin tüm terimleri pozitiftir, yani serinin bazı özellikleri keskin bir şekilde değişmiştir. İspatı okuyucuya bırakılan aşağıda vereceğimiz sonuç ile göreceğiz ki orjinal seri yakınsak ise bundan gruplama yöntemiyle elde edilen her seri de yakınsaktır ve aynı sayıya yakınsar. Bunun tersinin doğru olmadığı
P
ise (−1)n serisinden belli.
P
Yukarıdaki yönteme alternatif olarak, verilen bir x n serisinin terimlerinin sırası değiştirilerek de yeni bir seri elde edilebilir. Fakat bu durumda orjinal seri yakınsak ise elde edilen bu seri
yakınsak olmayabilir. Bunun gerçekleşebilmesi için serinin mutlak yakınsak olması gereklidir.
Teorem 3.3.34 Bir seri yakınsak ise, bunun terimleri gruplandırılarak elde edilen her seri de yakınsaktır ve aynı sayıya yakınsar.
Teorem 3.3.35 Bir seri mutlak yakınsak ise, bunun terimlerinin sırasının değiştirilmesiyle elde
edilen her seri yakınsaktır ve aynı sayıya yakınsar.
Uyarı 3.3.36 Teorem 3.3.34 ve 3.3.35 sonuçlarıyla ilgili olarak 9, 10, 11, 12 ve 13 numaralı alıştırmaları inceleyin. Î
Sıradaki vereceğimiz yakınsaklık testi literatürde d’Alembert oran testi olarak bilinir ve oldukça
kullanışlıdır. Bu testi kullanarak bir serinin yakınsak veya ıraksak olduğunu çoğu durumda doğrudan söyleyebiliriz, karşılaştırma yapmak için yakınsaklığını veya ıraksaklığını önceden bildiğimiz
bir seriye ihtiyaç yoktur. Aşağıda vereceğimiz ilk teorem bu testin genel bir halidir, genellikle onun
sonuçları olan ve sonrasında vereceğimiz ikinci ve üçüncü teoremler yaygın olarak kullanılır.
Teorem 3.3.37 (d’Alembert Oran Testi) (x n ) sıfırdan farklı reel sayıların bir dizisi olsun.
(a) Eğer 0 < L < 1 olmak üzere
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¯≤L
her n ≥ K için ¯¯
xn ¯
P
olacak şekilde bir L ∈ R ve K ∈ N varsa x n serisi mutlak yakınsaktır,
(3.3.12)
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
123
3.3. Sonsuz Seriler
(b) Eğer
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¯≥1
her n ≥ K için ¯¯
xn ¯
olacak şekilde bir K ∈ N varsa
P
(3.3.13)
x n serisi ıraksaktır.
İspat
(a) Eğer (3.3.12) koşulu sağlanırsa m ∈ N için |x K +m | ≤ |x K |L m olduğu açıktır (tümevarımla göP
rebilirsiniz). Diğer yandan 0 < L < 1 olduğundan ∞
L m geometrik serisi yakınsaktır. BöyP m=1
lece karşılaştırma testi (Teorem 3.3.20) gereği |x n | serisinin yakınsaklığı elde edilmiş olur.
(b) Eğer (3.3.13) koşulu sağlanırsa m ∈ N için |x K +m | ≥ |x K | olduğu gösterilebilir. Bu durumda
P
ise (x n ) 6→ 0 olduğundan Teorem 3.3.15 gereği x n serisi ıraksaktır.
■
Teorem 3.3.38 (x n ) sıfırdan farklı reel sayıların bir dizisi olmak üzere
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¯<1
lim sup ¯¯
xn ¯
P
x n serisi
ise mutlak yakınsak,
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¯>1
lim inf ¯¯
xn ¯
ise ıraksaktır.
İspat L := lim sup |x n+1 /x n | olsun. Eğer L < 1 ise L < L 1 < 1 olmak üzere her n ≥ K için |x n+1 /x n | <
L 1 olacak şekilde bir K doğal sayısı vardır. Böylece d’Alembert oran testi (Teorem 3.3.37) (a) madP
desi gereği x n serisi yakınsaktır. Eğer L ∗ := lim inf |x n+1 /x n | > 1 ise sonsuz sayıda n doğal sayısı
P
için |x n+1 | > |x n | olacağından (x n ) 6→ 0 olur ki böylece Teorem 3.3.15 gereği x n serisi ıraksaktır.
■
Teorem 3.3.39 (x n ) sıfırdan farklı reel sayıların bir dizisi ve
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¯
¯
L := lim ¯
xn ¯
P
olsun. Bu durumda x n serisi L < 1 ise mutlak yakınsak, L > 1 ise ıraksaktır.
Örnek 3.3.40 a ∈ R olmak üzere
X an
n!
serisini ele alalım. x n = a n /n! olduğundan
¯
¯
¯ x n+1 ¯ ¯¯ a ¯¯
|a|
¯
¯
¯ x ¯ = ¯n +1¯ = n +1 → 0
n
olduğundan Teorem 3.3.39 gereği verilen seri yakınsaktır.
Örnek 3.3.41 x ∈ R olmak üzere
serisini ele alalım.
∞ 1 · 4 · 7 · · · (3n + 1)
X
xn
(n
+
1)!
n=0
¯
¯
¯ x n+1 ¯ 3n + 4
¯
¯
¯ x ¯ = n + 2 x → 3|x|
n
olduğundan Teorem 3.3.39 gereği verilen seri |x| < 1/3 ise yakınsak, |x| > 1/3 ise ıraksaktır. Teorem
|x| = 1/3 durumu için bilgi vermez.
124
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Çok pratik olan diğer bir yakınsaklık kriteri de Cauchy kök testi olarak bilinnen kriterdir. Oran
testinde olduğu gibi kök testinin de farklı ifadelerini aşağıda veriyoruz.
Teorem 3.3.42 (Cauchy Kök Testi) (x n ) bir reel sayı dizisi olsun.
P
(a) Her n ≥ K için |x n |1/n ≤ L olacak şekilde bir L < 1 reel sayısı ve K ∈ N varsa x n serisi mutlak
yakınsaktır,
P
(b) Her n ≥ K için |x n |1/n ≥ 1 olacak şekilde bir K ∈ N varsa x n serisi ıraksaktır.
İspat
(a) Bu durumda n ≥ K için |x n | ≤ L n olur. Böylece geometrik serinin yakınsaklığından karşılaşP
tırma testi (Teorem 3.3.20) gereği |x n | mutlak yakınsaktır.
(b) Bu durumda n ≥ K için |x n | ≥ 1 olacağından (x n ) 6→ 0 olduğu elde edilir.
■
Teorem 3.3.43 Reel sayıların bir (x n ) dizisi için
¡
¢
lim sup |x n |1/n < 1
ise
P
x n serisi mutlak yakınsaktır. Eğer
¡
¢
lim sup |x n |1/n > 1
ise
P
x n serisi ıraksaktır.
İspat (a) maddesinin ispatı Teorem 3.3.38 ile benzerdir. (b) maddesinde ise lim sup |x n |1/n > 1 ise
sonsuz sayıda n ∈ N için |x n | > 1 olacağından (x n ) 6→ 0 olduğu açıktır. lim inf |x n |1/n > 1 olmasına
gerek yoktur.
■
Teorem 3.3.44 Reel sayıların bir (x n ) dizisi için
¡
¢
lim |x n |1/n < 1
ise
P
x n serisi mutlak yakınsaktır. Eğer
¡
¢
lim |x n |1/n > 1
ise
P
x n serisi ıraksaktır.
Örnek 3.3.45
P
1/n n serisi yakınsaktır, gerçekten
ï ¯ !
µ ¶
¯ 1 ¯1/n
1
lim ¯¯ n ¯¯
= lim
=0
n
n
olduğundan Teorem 3.3.44 gereği istenen gösterilmiş olur.
Örnek 3.3.46
X
xn =
1 1 1
1
1
1
+ +
+
+
+
+···
2 3 2 2 3 2 23 3 3
(3.3.14)
serisini ele alalım. Bu serinin terimleri
½
xn =
1
,
2(n+1)/2
1
,
3(n/2)
n tek ise,
n çift ise.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
125
3.3. Sonsuz Seriler
olduğundan
(
¡
¢
lim |x n |1/n =
p1 ,
2
p1 ,
3
n tek ise,
n çift ise.
olduğu görülür. Bu yüzden verilen serinin yakınsaklığı için Teorem 3.3.44’yi kullanamayız, fakat
Teorem 3.3.42 veya Teorem 3.3.43 kullanılırsa (3.3.14) serisinin yakınsak olduğu görülür. Ayrıca
µ
¶ ( ¡ 2 ¢(n+1)/2
x n+1
, n tek ise,
3¡ ¢
lim
=
1 3 n/2
xn
,
n çift ise.
2 2
olduğundan d’Alembert oran testinin hiç bir versiyonunu kullanamıyoruz.
Uyarı 3.3.47 Bu örnekten de görüldüğü gibi bazı durumlarda d’Alembert oran testi bize yardım
etmese de Cauchy kök testi yardım edebilir. Aslında pozitif terimli bir (x n ) dizisi için aşağıdaki
kanıtlanabilir
µ
¶
¡
¢
x n+1
lim
= L ⇒ lim (x n )1/n = L.
xn
Yani bir seri için oran testi cevap veriyorsa kök testi de verir ama tersi doğru değil, bu örnekte
olduğu gibi (Bkz: Alıştırma 3.1-55). Î
Oran ve kök testlerinin bize bilgi vermediği
¯
¯
¯ x n+1 ¯
¡
¢
¯ = lim |x n |1/n = 1
lim ¯¯
¯
xn
olduğu durumda başka yakınsaklık kriterlerine ihtiyaç duyulur. Aşağıda Raabe testi denilen böyle
bir kriteri ve daha sonra onun kullanışlı bir versiyonunu veriyoruz.
Teorem 3.3.48 (Raabe Testi) Sıfırdan farklı reel sayıların bir (x n ) dizisini ele alalım.
(a) Her n ≥ K için
¯
¯
¯ x n+1 ¯
a
¯
¯
(3.3.15)
¯ x ¯ ≤ 1− n
n
P
olacak şekilde bir K ∈ N ve bir a > 1 reel sayısı varsa x n serisi mutlak yakınsaktır,
(b) Her n ≥ K için
¯
¯
¯ x n+1 ¯
a
¯
¯
(3.3.16)
¯ x ¯ ≥ 1− n
n
P
olacak şekilde bir K ∈ N ve bir a ≤ 1 reel sayısı varsa x n serisi mutlak yakınsak değildir.
İspat
(a) Eğer (3.3.15) koşulu sağlanırsa k ≥ K için
k|x k+1 | ≤ k|x k | − a|x k | = (k − 1)|x k | − (a − 1)|x k |
eşitsizliği sağlanır. Buradan da k ≥ K için
(k − 1)|x k | − k|x k+1 | ≥ (a − 1)|x k | > 0
(3.3.17)
olduğu görülür. Bu da (k|x k+1 |) dizisinin k ≥ K için azalan olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi
(3.3.17) eşitliğinde k = K , K +1, . . . , n için yazıp elde edilen eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
eşitliklerin sol taraflarında sadeleşmeler olacağından
(K − 1)|x K | − n|x n+1 | ≥ (a − 1) (|x K | + |x K +1 | + · · · + |x n |)
P
eşitsizliği elde edilir. Bu da x n serisinin kısmi toplamlar dizisinin sınırlı olduğunu gösterir,
böylece Teorem 3.3.17 gereği seri mutlak yakınsak olur.
126
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
(b) Eğer (3.3.16) koşulu sağlanırsa, (a) maddesinin ispatında yapıldığı gibi, (k|x k+1 |) dizisinin
k ≥ K için artan olduğu gösterilebilir. Bu yüzden n ≥ K için |x n+1 | > c/n olacak şekilde bir
P
c > 0 reel sayısı bulunabilir. Böylece eğer harmonik seri ile karşılaştırma yaparsak |x n |
serisinin ıraksak olduğunu elde ederiz.
■
Teorem 3.3.49 (x n ) sıfırdan farklı reel sayıların bir dizisi olmak üzere
¯¶¶
¯
µ µ
¯ x n+1 ¯
¯
(3.3.18)
L := lim n 1 − ¯¯
xn ¯
P
limiti var olsun. Bu durumda x n serisi L > 1 ise mutlak yakınsaktır, L < 1 ise mutlak yakınsak
değildir.
İspat Eğer L > 1 ise L > L 1 > 1 olmak üzere n ≥ K için
¯¶
¯
µ
¯ x n+1 ¯
¯
L 1 < n 1 − ¯¯
xn ¯
olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Bu eşitsizliğin sonucu olarak Raabe testi (Teorem 3.3.48) gereği
P
x n serisi mutlak yakınsaktır. L < 1 durumu da benzer şekilde gösterilir.
■
P
Örnek 3.3.50 (1/n p ) p-serisinin yakınsaklığını araştırıken oran ve kök testleri sonuç vermez.
P
Bu durumda Raabe testi kullanılır, özel olarak p = 2 durumuna karşılık gelen (1/n 2 ) serisini ele
alalım. Bu serinin yakınsaklığını önceden biliyoruz. Ama oran ve kök testlerinde (limit versiyonları
için) ilgili limit değerleri 1 çıkacağından o testler bu seri için bir sonuç vermiyor. Raabe testini
kullanırsak ise
µ
¶
¶
µ
x n+1
2n 2 + n
(n + 1)2
n 1−
=
→2
= n 1−
xn
n2
(n + 1)2
olduğundan serinin yakınsak olduğunu görürüz.
Sıradaki vereceğimiz yakınsaklık kriteri alterne seriler için oldukça kullanışlıdır. Leibniz tarafından verilen bu kritere alterne seri testi denir.
Teorem 3.3.51 (Alterne Seri Testi) Pozitif reel sayıların (x n ) dizisi azalarak sıfıra yakınsasın. Bu
P
durumda (−1)n x n serisi yakınsaktır.
P
İspat
(−1)n x n serisinin kısmi toplamlar dizisi (s n ) olsun. Bu durumda
s 2n = (x 1 − x 2 ) + (x 3 − x 4 ) + (x 2n−1 − x 2n )
olduğundan ve her n ∈ N için x n − x n+1 ≥ 0 olduğundan (s 2n ) dizisi artandır. Ayrıca
s 2n = x 1 − (x 2 − x 3 ) − · · · − (x 2n−2 − x 2n−1 ) − x 2n
olduğundan her n ∈ N için s 2n ≤ x 1 eşitsizliği sağlanır. Böylece motonon yakınsaklık teroemi (Teorem 3.2.4) gereği (s 2n ) dizisi yakınsaktır.
Şimdi lim(s 2n ) = a olsun. Bu durumda keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde n ≥ K 1 için |s 2n − a| <
²/2 olacak şekilde bir K 1 ∈ N vardır. Diğer yandan lim(x n ) = 0 olduğundan, Teorem 3.2.42 gereği
lim(x 2n+1 ) = 0 olacağından her n ≥ K 2 için |x 2n+1 | < ²/2 olacak şekilde bir K 2 ∈ N vardır. Böylece
K := max{K 1 , K 2 } seçilirse her n ≥ K için
|s 2n+1 − a| = |s 2n + x 2n+1 − a| ≤ |s 2n − a| + |x 2n+1 | <
² ²
+ =²
2 2
eşitsizliği, dolayısıyla lim(x 2n+1 ) = a olduğu elde edilir. Böylece (s n ) dizisinin hem tek indisli hem
de çift indisli terimleri, dolayısıyla tüm terimleri, s sayısına ² uzaklıktadır. Burada ² keyfi olduğundan lim(s n ) = a olduğu gösterilebilir. (K ² := max{2K , 2K 1 + 1} seçerseniz her n ≥ K ² için |s n − a| ≤ ²
P
olduğunu gösterebilirsiniz.) Sonuç olarak kısmi toplamlar dizisi yakınsak olduğundan (−1)n x n
serisi yakınsaktır.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
127
3.3. Sonsuz Seriler
Uyarı 3.3.52 Bu sonuç aslında Dirichlet testi denilen daha genel bir kriterin bir sonucudur (Bkz:
Alıştırma 43). Î
Kuvvet Serileri
Örnek 3.3.41 ile verilen, x sabit bir reel sayı olmak üzere,
∞ 1 · 4 · 7 · · · (3n + 7)
X
xn
(n + 1)!
n=0
(3.3.19)
serisini hatırlayalım. (a n ) reel sayı dizisini
a n :=
1 · 4 · 7 · · · (3n + 7)
(n + 1)!
olarak tanımlarsak bu seriyi
∞
X
an x n
n=0
olarak ifade edebiliriz. Bu bölümde çok önemli uygulamaları olan böyle serilerle ilgileneceğiz.
Temel sorumuz böyle bir serinin hangi x sayıları için yakınsak olacağı sorusudur.
Tanım 3.3.53 (Kuvvet serisi) (a n ) bir reel sayı dizisi ve x ∈ R olmak üzere
∞
X
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · ·
n=0
olarak tanımlanan seriye bir kuvvet serisi, a n sayılarına da kuvvet serisinin katsayıları denir.
P
Örnek olarak (a n ) = (1) sabit dizisi ise ilgili kuvvet serisi x n serisi olur. Bu seri geometrik seridir ve |x| < 1 için yakınsak olduğunu biliyoruz (Bkz: Örnek 3.3.8). Başka bir örnek olarak (3.3.19)
kuvvet serisinin de |x| < 1/3 ise yakınsak olduğunu Örnek 3.3.41 ile göstermiştik.
Kuvvet serilerini yakınsak yapan x sayıları üzerine yapacağımız araştırmaların çıkış noktası
aşağıdaki sonuçtur.
P
Teorem 3.3.54 (Cauchy-Hadamard Teoremi) Eğer a n x n kuvvet serisi x = c sayısı için yakınsak
oluyorsa bu durumda seri |x| < |c| eşitsizliğini sağlayan tüm x reel sayıları için mutlak yakınsaktır.
Ayrıca eğer seri x = d sayısı için ıraksak ise bu durumda |x| > |d | eşitsizliğini sağlayan tüm x reel
sayıları için de ıraksaktır.
P
İspat
a n c n yakınsak bir seri olsun, bu durumda Teorem 3.3.15 gereği lim(a n c n ) = 0 olur. Dolayısıyla n ≥ K için |a n c n | < 1 olacak şekilde bir K ∈ N vardır. Buradan da n ≥ K için
|a n | <
1
|c n |
(3.3.20)
olduğu sonucuna varılır. (3.3.20) eşitsizliğini x ∈ R olmak üzere |x|n ile çarparsak n ≥ K için
¯ x ¯n
¯ ¯
|a n x n | < ¯ ¯
(3.3.21)
c
P
eşitsizliği elde edilir. Eğer |x| < |c| ise |x/c| < 1 olur, bu durumda da |x/c|n geometrik serisi
P
yakınsak olduğundan karşılaştırma testi (Teorem 3.3.20) gereği (3.3.21) eşitsizliğinden |a n x n |
serisinin yakınsak olduğu sonucu elde edilir.
P
P
Şimdi a n d n serisini ıraksak ve |x| > |d | kabul edelim. Eğer a n x n serisi yakınsak ise bu
durumda ispatın ilk yarısında kanıtlandığı üzere seri x = d sayısı için de yakınsak olurdu. Bu bir
çelişki olduğundan seri ıraksaktır.
■
P
Teorem 3.3.54’in sonucu olarak bir a n x n kuvvet serisinin yakınsaklığı için üç olasılık vardır;
128
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
(i) Seri sadece x = 0 için mutlak yakınsaktır,
(ii) Seri her x ∈ R için mutlak yakınsaktır,
(iii) R bir reel sayı olmak üzere seri her x ∈ (−R, R) için mutlak yakınsak, her x ∈ (−∞, −R) ∪
(R, +∞) için ıraksaktır.
Burada (iii) maddesinde belirtilen R reel sayısına kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı denir.
(i) olasılığının gerçekleşmesi durumunda R = 0, (ii) olasılığının gerçekleşmesi durumunda ise R =
+∞ olarak gösterilir. Ayrıca bir kuvvet serisini yakınsak yapan tüm x reel sayılarının kümesine
serinin yakınsaklık aralığı denir. Dikkat edilirse (iii) maddesinde x = ±R için serinin yakınsak mı
yoksa ıraksak mı olacağı hakkında bilgi verilmiyor, bunun için aralığın bu uç noktaları ayrı ayrı
incelenip yakınsaklık aralığı belirlenebilir.
Sonuç olarak, bir kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını bulmak için önce oran veya kök testleri
(başka bir yöntem de olur) kullanılarak serinin yakınsaklık yarıçapı olan R sayısı belirlenir. Daha
sonra x = −R ve x = R durumları ayrı ayrı incelenip serinin bu durumlarda yakınsak mı ıraksak
mı olduğu tespit edilir.
Şimdi bu söylediklerimizi aşağıda vereceğimiz teoremlerle özetleyelim, sonra bir kaç örnek
vereceğiz. Aşağıdaki teoremler ilgili oran ile kök testlerinin ve Alıştırma 3.1-55 ile verilen sonucun
doğrudan uygulamalarıdır.
Teorem 3.3.55 (a n ) reel sayı dizisi için
L := lim sup |a n |1/n
olsun. Bu durumda
P
a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olan R sayısı için

 1/L,
+∞,
R=

0,
0 < L < ∞ ise,
L = 0 ise,
L = +∞ ise.
(3.3.22)
eşitliği sağlanır.
Teorem 3.3.56 (a n ) bir reel sayı dizisi olmak üzere
¯
¯
¯ a n+1 ¯
¯
L := lim ¯¯
an ¯
P
olsun. Bu durumda a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olan R sayısı (3.3.22) eşitliğini
sağlar.
Örnek 3.3.57 (a n ) := (1/n) dizisi için
∞ xn
X
n=1 n
kuvvet serisini ele alalım. Teorem 3.3.56 sonucunu uyuglayarak
¯
¯
¯ a n+1 ¯
¯ = lim n = 1
L = lim ¯¯
an ¯
n +1
olduğundan yakınsaklık yarıçapını R = 1/L = 1 olarak buluruz. Yani verilen kuvvet serisi x ∈ (−1, 1)
P
için mutlak yakınsaktır. Aralığın uç noktalarını ayrıca ele alacağız. x = −1 ise kuvvet serisi (−1)n /n
halini alır ki Örnek 3.3.19 ile bu serinin şartlı yakınsak olduğunu göstermiştik. Eğer x = 1 ise bu
P
seri 1/n serisine döner ki bunun da ıraksak olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla verilen serinin yakınsaklık aralığı [−1, 1) aralığıdır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
129
3.3. Sonsuz Seriler
Uyarı 3.3.58 Aynı şekilde gösterilebilir ki
X xn
n2
kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1 ve yakınsaklık aralığı [−1, 1] aralığıdır. Î
Örnek 3.3.59
P
n n x n kuvvet serisi için
L = lim |a n |1/n = lim(n) = +∞
olduğundan Teorem 3.3.55 gereği serinin yakınsaklık "aralığı" {0}’dır. Yani seri sadece x = 0 için
yakınsaktır.
Bazı durumlarda daha genel bir biçime sahip olan, x 0 sabit bir reel sayı olmak üzere,
∞
X
a n (x − x 0 )n
n=0
kuvvet serileri ile karşılaşırız. Bu gibi serilerin yakınsaklık yarıçapları araştırılırken y := x − x 0 taP
nımlaması yapılırsa a n y n biçiminde kuvvet serisine varılır. Bu durumda yakınsaklık yarıçapı R
tespit edilirse seri |y| < R için yakınsak olacağından |x − x 0 | < R eşitsizliği elde edilmiş olur. Buradan da yakınsaklık aralığı elde edilir, uç noktaları incelenerek sonuca gidilir.
Örnek 3.3.60 Aşağıdaki kuvvet serisini ele alalım
∞
X
(x − 1)n = 1 + (x − 1) + (x − 1)2 + · · ·
n=0
P
Burada (a n ) = (1) ve x 0 = 1 olmuştur. y := x − 1 olarak tanımlanırsa y n kuvvet serisi elde edilir.
Bu geometrik seri de |y| < 1 için yakınsak olacağından verilen kuvvet serisi
|x − 1| < 1
için yakınsaktır. Buradan da x ∈ (0, 2) için serinin yakınsak olduğunu anlarız. Uç noktalar olan
x = 0 ve x = 2 için seri ıraksak olacağından serinin yakınsaklık aralığı (0, 2) aralığı olarak bulunur.
Alıştırmalar 3.3
1. Aşağıdakilerin doğru mu yoksa yanlış mı olduklarını belirleyin
P
P
P
a) Hem x n hem de y n yakınsak ise (x n + y n ) de yakınsaktır,
P
P
P
b) Hem x n hem de y n ıraksak ise (x n + y n ) de ıraksaktır,
P
P
P
c)
x n yakınsak ve y n ıraksak ise (x n + y n ) de ıraksaktır,
P
P
d)
x n yakınsak bir dizi ise k ∈ R olmak üzere kx n de yakınsak bir seridir,
P
P
e)
x n yakınsak ve pozitif terimli ise (1/x n ) ıraksaktır.
P
P
2.
x n yakınsak bir seri ve k > 1 bir doğal olmak üzere ∞
x serisinin yakınsak olduğunu ve
n=k n
∞
X
n=k
xn =
∞
X
n=1
x n − (a 1 + a 2 + · · · + a k−1 )
olduğunu gösterin.
3. Bir serinin yakınsaklığı sonlu sayıda teriminin değiştirilmesiyle değişmez, kanıtlayın. (Toplamı değişebilir elbette.)
4. Aşağıdaki serilerin ıraksak olduklarını gösterin
130
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
a)
P
n
2n+1 ,
b)
P
2
,
n 2 +2
c)
P
p n
,
n 2 +1
1
n=2 ln n ,
P
1
e)
n sin n ,
P
f)
cos nπ
2 ,
P ³ n−2 ´n
,
g)
n
P∞
d)
h)
P∞ ¡ n ¢ 1
ln n ,
n=2 2n+1
p ¢
P ¡p
n +1− n .
i)
p 1 p .
n+1+ n
j)
P
i)
P (n−1)!
j)
P (−1)n
k)
P 3n−1 −2n
l)
P∞
5. Aşağıdaki serilerin yakınsak olduklarını gösterip toplamlarını bulun
a)
P ³ 1 ´n
b)
P³
3
− 34
,
´n
,
c)
P
1
n(n−1) ,
d)
P
1
(2n−1)(2n+1) ,
1
(3n−2)(3n+1) ,
e)
P
f)
P
g)
P
1
,
4n 2 −1
h)
P
1
,
n 2 +3n+2
1
,
n 2 +2n
(n+a)! , (a ∈ N sabit),
2n−1
,
6n
k=2
ln
,
n 2 −1
n2
.
6. Aşağıdaki serilerin hangi a değerleri için yakınsak olduğunu belirleyin
a n−1
n=3 5n ,
P
n
d) ∞
n=2 (ln a) .
P −n
a ,
P
b)
3(a − 2)n ,
a)
7.
c)
P∞
P
x n yakınsak bir seri ve (y n ) de sınırlı bir dizi olsun. Bu durumda
yın.
P
(x n y n ) serisi yakınsaktır, kanıtla-
8. (x n ) pozitif reel sayıların bir dizisi olmak üzere
y n :=
x1 + x2 + · · · + xn
n
P
olarak tanımlanmışsa y n dizisi +∞’a ıraksaktır, kanıtlayın.
P
9. Bir x n serisinin sonlu sayıda terimleri gruplanarak elde edilen yeni terimlerin oluşturduğu bir seriye
x n serisinden türetilen bir seri diyelim. Mesela y 1 := x 1 + x 2 + x 3 , y 2 := x 4 + x 5 + x 6 , . . . olarak tanımlaP
P
nırsa y n serisi x n ’den türetilen bir dizi olmuş olur.
a) Yakınsak bir seriden türetilen her seri de yakınsaktır ve limitleri aynıdır, kanıtlayın.
b) Iraksak bir seriden yakınsak bi seri türetilebilir, örnek verin.
c) Terimleri negatif olmayan ıraksak bir seriden türetilen her seri de ıraksaktır, kanıtlayın.
10.
P
x n şartlı yakınsak bir seri ve a ∈ R ise aşağıdakileri kanıtlayın
P
a)
x n serisinin terimlerinin sırasının değiştirilmesiyle elde edilen ve a sayısına yakınsayan bir
seri vardır,
P
b)
x n serisinin terimlerinin sırasının değiştirilmesiyle elde edilen ıraksak bir seri vardır.
11.
P
(1/n 2 ) = π2 /6 olduğunu kabul ederek aşağıdaki eşitlikleri kanıtlayın
a)
P
2
1
= π8 ,
(2n−1)2
2
b) 12 + 12 + 12 + · · · = Π
24 ,
2
4
6
2
c) 1 − 12 + 12 − 12 + · · · = π
12 .
2
3
4
12. Aşağıdaki işlemlerde yanlış olan adımı tespit edin
0
=
0+0+0+···
=
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
=
1−1+1−1+1−1+···
=
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·
=
1+0+0+0+···
=
1.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
131
3.3. Sonsuz Seriler
13. Teorem 3.3.35’i kanıtlayın.
P
14.
x n şartlı yakınsak serisinin negatif terimlerinin oluşturduğu dizi ıraksaktır, kanıtlayın.
P
15.
x n serisi mutlak yakınsak ise
¯X ¯ X
¯ x n ¯ ≤ |x n |
eşitsizliği sağlanır, kanıtlayın.
16. Aşağıdaki serinin şartlı yakınsak olduğunu gösterip toplamını bulun
X
xn = 1 − 1 +
1 1 1 1
− + − +··· .
2 2 3 3
17. (x n ) ve (y n ) dizilerinin terimleri sıfırdan farklı olsun ve
¯ ¯
¯ xn ¯
L := lim ¯¯ ¯¯
yn
limiti var olsun. Bu durumda aşağıdakileri kanıtlayın
P
P
a) L 6= 0 ise x n serisinin mutlak yakınsak olması için gerek ve yeter koşul y n serisinin mutlak
yakınsak olmasıdır,
P
P
b) L = 0 ise bu durumda eğer y n serisi mutlak yakınsak ise x n serisi de mutlak yakınsaktır.
18. Örnek 3.3.8 ile |x| < 1 ise
1
1−x
olduğunu gösterdik. Bu eşitlikte x yerine 1/x yazıp sonra eşitliğin her iki tarafından 1 çıkartırsak
1 + x + x2 + x3 + · · · =
1
1
1
1
+
+
+··· =
x x2 x3
x −1
eşitliği elde edilir. Son olarak bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
1
1
· · · + 2 + + 1 + x + x2 + · · · = 0
x
x
eşitliği elde edilir. Bu son eşitliğin doğru olmadığı açık, nerede hata yapıldı?
19. Aşağıdaki şekilde A açısı 45◦ ’den küçük ve C B D açısı 45◦ olan bir ABC üçgeni verilmektedir. |AB | = 1
birimdir. Önce B noktasından P 1 noktasına, sonra P 1 noktasından P 2 noktasına dik doğrular çizilmiştir. Bu işlem sürekli devam ederse bu dik doğruların toplam uzunluğunun ne olacağını araştırın.
İp ucu:|AC | doğrusunun eğimi r olsun. Dik doğruların her birini r cinsinden ifade edin.
20. Bir önceki alıştırmaya benzer şekilde aşağıdaki şekil şöyle elde edilmiştir. |AB | = 1 birimdir ve C B
doğrusunun eğimi 1’dir. AC doğrusunun eğimini de −r kabul edin (r > 0). Şekilde görülen sarmalı
oluşturan AB , B P 1 , P 1 P 2 , |P 2 P 3 |,. . . doğrularının uzunlukları toplamını araştırın.
132
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
21. Aşağıdaki spiral iç içe geçmiş ve her birinin yarıçapı bir öncekinin yarısı kadar olan yarım çemberlerim
uç uca eklenmesiyle oluşturulmuştur. Spiralin uzunluğunu araştırın.
22. Aşağıda verilen serilerin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduklarını belirleyin (oran ve kök testlerini
kullanmayın)
1
,
(n+1)2
a)
P
b)
P n+1
n2
P 1
c)
nn
P 1
p
d)
n
n
n
1p
n=2 n− 2 ,
P
p 1
f)
,
n(n+1)
p
P n+1−n
p
g)
n
e)
P∞
p1
,
n n+1
p
P
n
p
i)
n 3 +1
h)
P
k)
P n!
,
(2n )3
P n!
l)
P n+ln n
j)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
nn
n 2 +1
P 1
ln n
P 1
(ln n)2
P 1
(ln n)n
P
1
(ln n)ln n
P ln n
n
P ln n
n2
P
1
(1+1/n)n ln n
1
n ln n
1
n(ln n)2
t)
P
u)
P
v)
P
1
n(ln n)(ln(ln n))
w)
P
1
n(ln n)(ln(ln n))3/2
x)
P 1/(ln ln ln n)
y)
P n −n
2 e ,
P n −n
3 e ,
P n
e sin(2−n ),
P n
2 sin(e −n ),
P n
en .
z)
(α)
(β)
(θ)
n(ln n)(ln(ln n))
23. Aşağıdaki adımları uygulayın
P
a) (n 2 /n!) serisinin yakınsak olup olmadığını anlamak için limit karşılaştırma testini (Teorem
P
3.3.21) kullanarak (1/n!) serisiyle karşılaştırma yapmaya çalışın,
P
b) Bir önceki adımda olduğu gibi bu kez (n + 2)2 /(n + 2)! serisinin yakınsak olup olmadığını anP
lamak için limit karşılaştırma testini kullanarak (1/n!) serisiyle karşılaştırma yapmaya çalışın,
P
c) İlk iki adımda elde ettiklerinizle (n 2 )/n! serisinin yakısaklığı veya ıraksaklığı hakkında bilgi
edinebildiniz mi? Açıklayın.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
133
3.3. Sonsuz Seriler
P 2
x n serisi de yakınsaktır, kanıtlayın.
P
Pp
x n x n+1 serisi de yakınsaktır, kanıtlayın.
25. Terimleri negatif olmayan x n serisi yakınsak ise
24. Terimleri negatif olmayan
P
x n serisi yakınsak ise
26. (x n ) ve (y n ) negatif olmayan diziler olmak üzere
¶
xn
=L
yn
P
P
değeri sonlu olarak mevcut olsun. Bu durumda y n serisi yakınsak ise x n serisi de yakınsaktır,
kanıtlayın.
µ
lim sup
27. Zeta fonksiyonu olarak adlandırılan
ζ(x) :=
∞ 1
X
x
n=1 n
fonksiyonunun tanım kümesini belirleyin.
28. Onluk tabandaki yazılışında 9 rakamını bulundurmayan tüm doğal sayıların oluşturduğu
(a n ) := (1, 2, . . . , 7, 8, 10, 11, . . . , 87, 88, 100, 101, . . .)
dizisini ele alalım. Bu durumda
X 1
an
serisin yakınsaktır, kanıtlayın.
29. Oran ve kök testlerini kullanarak aşağıdaki serilerin yakınsaklık durumunu araştırın
b)
P (n−1)!
,
(n+1)2
P (n+1)(n+2)
c)
P 2n+1
n−1 ,
a)
d)
n!
,
P (2n+3)(2n +3)
h)
P
P n4
4n ,
P
3n +2
n2n (n+1)!
,
n!3n
i)
P n 2 (n+2)!
j)
P (n+3)!
k)
P³
l)
P³
n3
7
,
(3+(1/n))2n
P 1
f)
,
n 1+n
e)
g)
n!32n
P −n
e n!,
P −n 3
n)
e n ,
P ln n
,
o)
n3
P n! ln n
p)
n(n+2)! ,
,
m)
,
3!n!3n ,
1 − n1
´n 2
1
1 − 3n
´n
q)
,
P (n!)n
2
,
n (n )
P 1·3···(2n−1)
r)
[2·4···(2n)](3n +1) .
,
30. Aşağıdaki serinin yakınsaklığını araştırmak için oran testlerini kullanın
X 4n (n!)2
(2n)!
31. Sonsuz serilerden faydalanarak
lim
.
µ n ¶
2 n!
=0
nn
olduğunu gösterin.
32. Karşılaştırma ve kök testlerini kullanarak
X
xn =
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+···
3 22 33 24 35
serisinin yakınsak olduğunu gösterin. Oran testlerini kullanarak da bu sonucu elde edebilir misiniz?
P
x n serisinin yakınsaklık du-
33. Oran veya kök testlerini kullanarak terimleri aşağıdaki gibi tanımlanan
rumunu araştırın
1
1
x 2n := n ve x 2n−1 := n+1 .
3
3
34. Aşağıdaki seriyi yakınsak yapan x reel sayılarının kümesini tespit edin
X (x − 1)n
n 2 3n
.
134
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
P
x n serisinin yakınsaklık durumunu araştırın
xn
x − 1 = 2, x n+1 =
.
n
P
36. Oran testlerini kullanarak terimleri aşağıdaki gibi tanımlanan x n serisinin yakınsaklık durumunu
araştırın
(
1
,
n tek ise,
2(n+1)/2 3(n−1)/2
x n :=
1
,
n
çift ise.
n/2 n/2
35. Terimleri tümevarımsal olarak aşağıdaki gibi verilen
2
3
37. (x n ) ve (y n ) pozitif reel sayı dizileri olsun. Ayrıca her n ≥ K için
x n+1 y x n+1
≤
xn
yn
P
P
olacak şekilde bir K ∈ N var olsun. Bu durumda eğer y n serisi yakınsak ise x n serisi de yakınsaktır,
kanıtlayın.
38. Aşağıdaki serinin yakınsaklığını araştırın
X
(2n)!
.
4n n!(n + 1)!
39. Aşağıdaki serilerin mulak yakınsaklık ve şartlı yakınsaklık durumlarını araştırın
(−1)n+1 (0, 1)n ,
a)
P
b)
P
c)
P (−1000)n
(−7)−n ,
n!
,
n
(−1)n+1 (0,1)
n ,
d)
P
e)
P (−1)n+1
f)
P
p
n
,
(−1)n+1 sin2n ,
41.
P (−2)n+1
h)
P (−1)n−1
i)
n
40. lim(x n ) = 0 olan fakat azalan olmayan bir (x n ) dizisi için
verin.
g)
P
n+5n ,
(n+1)2
,
P (−1)n (n+1)n
(2n)n
.
(−1)n x n serisi yakınsak olabilir, bir örnek
X (−1)n (x − 3)n
n +1
serisi, x’in hangi değerleri için
a) mutlak yakınsaktır?
b) şartlı yakınsaktır?
c) ıraksaktır?
P
42. Yakınsak bir (−1)n x n alterne serisinin tolamı A ve kısmi toplamlar dizisi (s n ) olsun. Bu durumda
her n ∈ N için
|s n − A| ≤ x n+1
eşitsizliği sağlanır, kanıtlayın. Bu eşitsizlik yardımıyla yakınsak alterne serilerin toplamları istenilen
hata payıyla yaklaşık olarak hesaplanabilir.
P
43. (x n ) azalarak sıfıra yakınsayan bir dizi ve y n de kısmi toplamlar dizisi sınırlı olan bir seri ise bu
durumda
X
xn y n
serisi yakınsaktır, kanıtlayın. Bu sonuca literatürde Dirichlet testi denir.
İp ucu: Bunu kanıtlamak için şu bilgiye ihtiyacınız olacak:
P
(a n ) ve (b n ) reel sayı dizileri olmak üzere y n serisinin kısmi toplamlar dizisi (s n ) ve s 1 := 0 ise, bu
durumda m > n için
m
X
k=n+1
m−1
X
x k y k = (x m s m − x n+1 s n ) +
(x k − x k+1 )s k
k=n+1
eşitliği sağlanır.
P
P
44. (x n ) monoton yakınsak bir dizi ve y n serisi de yakınsak bir seri ise bu durumda x n y n serisi de
yakınsaktır, kanıtlayın. Bu sonuca Abel testi denir, kanıt için bir önceki alıştırmada verilen Dirichlet
testini kullanın.
45. Teorem 3.3.55 ile Teorem 3.3.56 sonuçlarının ispatını verin.
46. Aşağıdaki kuvvet serilerinin yakınsaklık aralıklarını bulun
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
135
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
a)
P ¡ x ¢n
f)
n
P pn n
b)
2 x
g)
P −n n
c)
2 x
P 3n x n
d)
n!
P (−1)n x n
e)
n
h)
i)
j)
P x 2n
n3n
P (−4)−n x n
n
P (x−1)n
n 2 3n
P (3n)!x n
(n!)2
P n!x n
nn
k)
P ³ n+1 ´n 2
l)
P (3x−2)n
m)
P n(x+3)n
n
(x − 1)n
n
5n
P
47. (a n ) dizisinin sonsuz sayıda terimi dıfırdan farklı tamsayılar olsun. Bu durumda a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı için R ≤ 1 eşitsizliği sağlanır, kanıtlayın.
P
P
48. (a n ) sınırlı bir dizi ve a n serisi ıraksak ise a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı R = 1’dir,
kanıtlayın.
P
P
49.
a n x n ile na n x n kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçapları aynıdır, kanıtlayın.
P
50.
a n x n serisinin yakınsaklık yarıçapı R = 2 ise aşağıdaki kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçaplarını
bulun
a)
P k n
an x ,
b)
P
a n x kn ,
c)
P
2
an x n .
3.4 Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Bu bölümde terimleri fonksiyonlar olan dizileri ele alalcağız. Bu tür diziler için iki çeşit yakınsaklık kavramı tanımlayıp bazı temel özelliklerini inceleyeceğiz. Bu yakınsaklık çeşitleri daha ileri
konularda sıklıkla karşımıza çıkacak.
Bir A ⊆ R kümesi verilsin, eğer her n ∈ N için bir f n : A → R fonksiyonu tanımlanmışsa ( f n )
dizisine A kümesinde bir fonksiyon dizisi denir. Her n doğal sayısı ve her x ∈ A reel sayısı için
f n (x) ∈ R olduğundan bu dizi reel sayı dizilerinde olduğu gibi
¡
¢
¡
¢
( f n (x)) : n ∈ N veya
f n (x)
(3.4.1)
olarak da gösterilebilir. Böyle bir reel sayı dizisinin yakınsaklığı x sayısına göre değişebilir, yani
(3.4.1) dizisi bazı x ∈ A sayıları için yakınsak bazı x ∈ A sayıları için ıraksak olabilir. Şimdi fonksiyon dizilerinin yakınsaklığı kavramını tanımlayıp bazı araştırmalar yapalım.
Noktasal ve Düzgün Yakınsama
Tanım 3.4.1 (Noktasal Yakınsaklık) ( f n ) ile bir A ⊆ R kümesinde bir fonksiyon dizisini gösterelim. Ayrıca A 0 ⊆ A ve f : A 0 → R olsun. Eğer her x 0 ∈ A 0 için ( f n (x 0 )) reel sayı dizisi f (x 0 ) reel
sayısına yakınsıyor ise ( f n ) dizisi A 0 kümesinde f fonksiyonuna noktasal yakınsıyor denir. Bu durumda bu f fonksiyonuna ( f n ) dizisinin A 0 kümesindeki limiti denir. Böyle bir f fonksiyonu varsa
( f n ) dizisi A 0 kümesinde noktasal yakınsak bir dizidir deriz. Bu durumu da
A 0 ’da lim( f n ) = f
veya
A 0 ’da f n → f
olarak gösteririz. Eğer f fonksiyonu bir formül olarak biliniyorsa
x ∈ A 0 için lim( f n (x)) = f
veya x ∈ A 0 için f n (x) → f (x)
notasyonları da kullanılabilir.
Uyarı 3.4.2 Teorem 3.1.13 gereği noktasal yakınsak bir fonksiyon dizisinin tek bir limitinin olacağı açıktır. Î
136
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Tanım 3.1.11’nin doğrudan bir uygulaması olarak aşağıdaki sonuç verilebilir, okuyucu bunlar
arasındaki denkliği kontrol etmelidir. Benzer denklikler Teorem 3.1.15 kullanılarak elde edilebilir.
Lemma 3.4.3 A 0 ⊆ A ⊆ R olmak üzere A kümesindeki bir ( f n ) dizisinin bir f : A 0 → R fonksiyonuna noktasal yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, verilen her ² > 0 ve her x 0 ∈ A 0 sayılarına
karşılık
¯
¯
her n ≥ K (², x 0 ) için ¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ < ²
(3.4.2)
olacak şekilde bir K (², x 0 ) doğal sayısının var olmasıdır.
Örnek 3.4.4 A 0 = A = R olsun. Her n ∈ N için
f n (x) :=
x
n
fonksiyonlarını tanımlayalım (Bkz: Şekil 3.16), ayrıca x ∈ R için f (x) := 0 olsun. Teorem 3.1.48 ve
Örnek 3.1.18 gereği x ∈ R için
µ ¶
³x´
¡
¢
1
lim f n (x) = lim
= x lim
= x ·0 = 0
n
n
olduğu açıktır, yani R’de lim( f n ) = f olur. Şimdi bu gerçeği, Lemma 3.4.3 ile verildiği gibi, biraz
daha detaylı olarak gözlemleyelim.
Şekil 3.16: f n = x/n fonksiyonları
Keyfi bir ² > 0 sayısı verilmiş olsun ve sabit bir x 0 ∈ R seçelim. Her n ∈ N için
¯
¯
¯ ¯
¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ = ¯¯ x 0 − 0¯¯ = |x 0 |
n
n
olduğundan eğer
|x 0 |
²
olacak şekilde bir K (², x 0 ) doğal sayısı seçersek, her n ≥ K (², x 0 ) için |x 0 |/n < ² eşitsizliği sağlanacağından her n ≥ K (², x 0 ) için
¯
¯
¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ < ²
K (², x 0 ) >
eşitsizliği sağlanır, yani Lemma 3.4.3 gereği R’de lim( f n ) = f olur.
Bu örnekte dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta var. Gördüğümüz gibi verilen her ² > 0
sayısına karşılık Lemma 3.4.3 ile verilen (3.4.2) koşulunu sağlayan bir K (², x 0 ) sayısı seçebiliyoruz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
137
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Bu sayıyı |x 0 |/² sayısından büyük olan herhangi bir doğal sayı olarak seçebileceğimizi gösterdik.
Yani ² verildiğinde seçeceğimiz K (², x 0 ) sayısı sadece verilen ² sayısına değil aynı zamanda sabit
olarak başta seçtiğimiz x 0 reel sayısına da bağlı, x 0 sayısını değiştirdiğimizde seçmemiz gereken
K (², x 0 ) sayısı da değişecek. Bazı fonksiyon dizilerinde ² verildiğinde öyle bir K (², x 0 ) doğal sayısı
bulunabilir ki x 0 sayısını ne seçersek seçelim aynı K (², x 0 ) doğal sayısı için (3.4.2) koşulu sağlanır,
yani K (², x 0 ) doğal sayısı x 0 ’dan bağımsızdır. Bu durumda bu doğal sayıyı K (²) ile gösteririz. Bu
örnekte ele aldığımız ( f n ) dizi için f n fonksiyonlarının tanım kümesini R yerine [0, 1] aralığı alsaydık, yani tüm reel sayılarda değil de sadece [0, 1] aralığındaki yakınsaklığını araştırmış olsaydık,
her x 0 ∈ [0, 1] için
¯
¯
¯ ¯
¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ = ¯¯ x 0 − 0¯¯ = x 0 ≤ 1
n
n
n
eşitsizliği sağlanırdı. Bu durumda da
K (²) >
1
²
olacak şekilde bir K (²) doğal sayısı seçersek her n ≥ K (²) için
¯
¯
¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ < ²
eşitsizliği sağlanır, ve dolayısıyla [0, 1] aralığında f n → f olduğu elde edilirdi. Yani bu aralıkta
K (², x 0 ) sayısı x 0 ’dan bağımsız olarak bulunabilirdi.
Örnek 3.4.5 Her n ∈ N için f n : [0, 1] → R fonksiyonlarını
f n (x) = x n
olarak tanımlayalım (Bkz: Şekil 3.17). x = 1 ise ( f n (x)) = (1) olacağından dizinin limiti 1 sayısı olur.
Eğer 0 < x < 1 ise Örnek 3.1.29 gereği
lim( f n (x)) = lim(x n ) = 0
olacaktır. Böylece bu fonksiyon dizisi [0, 1] aralığında noktasal yakınsaktır ve limiti de
½
f (x) :=
0,
1,
0 ≤ x < 1 ise,
x = 1 ise.
fonksiyonudur. Şimdi buna biraz daha detaylı olarak bakalım.
Şekil 3.17: f n = x n fonksiyonları
138
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Keyfi bir ² > 0 reel sayısı verilmiş olsun ve bir 0 < x 0 < 1 sayısı seçelim.
K (², x 0 ) >
ln ²
ln x 0
olacak şekilde bir K (², x 0 ) doğal sayısı seçersek her n ≥ K (², x 0 ) için
¯
¯
¯ f n (x 0 ) − 0¯ = x n < ²
0
eşitsizliği sağlanır, yani f n fonksiyon dizisi 0 fonksiyonuna noktasal yakınsaktır.
Uyarı 3.4.6 Bir önceki örnekte yaptığımız gibi burada da K (², x 0 ) sayısını x 0 ’dan kurtarmaya çalışın, bunu yapamayacağınızı göreceksiniz. Ama f n fonksiyonları [0, 1] kapalı aralığı yerine 0 < a < 1
olmak üzere [0, a] aralığı üzerinde tanımlanmış olsaydı bunu yapabilirdiniz, bunu inceleyin. Î
Örnek 3.4.7 f n : (0, 1) → R fonksiyonları (grafik ekle)
f n (x) :=
n
nx + 1
olarak tanımlansın. Bu durumda Teorem 3.1.48 ve Örnek 3.1.18 gereği
µ
¶
³ n ´
¡
¢
1
1
lim f n (x) = lim
= lim
=
nx + 1
x + 1/n
x
olduğu görülür. Gerçekten
¯
¯ ¯
¯
¯ n
1 ¯¯ ¯¯ −1 ¯¯
1
¯
−
=
¯ nx + 1 x ¯ ¯ nx 2 + x ¯ = nx 2 + x
olduğundan, keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde, seçeceğimiz bir x 0 ∈ (0, 1) için K (², x 0 ) >
şekilde bir K (², x 0 ) doğal sayısı seçersek
²−x 0
x 02
olacak
¯
¯
¯
¯
¯ f n (x) − 1 ¯ < ²
¯
x¯
eşitsizliği sağlanır.
Uyarı 3.4.8 Bu örnekte de K (², x 0 ) doğal sayısının x 0 sayısından bağımsız olarak seçilemeyeceğini
gözlemleyin. Î
Örnek 3.4.9 Her n ∈ N için f n : R → R fonksiyonları
f n (x) :=
sin(nx + 1)
p
n +1
olarak tanımlansın. Bu durumda
−1
sin(nx + 1)
1
≤ p
≤p
p
n +1
n +1
n +1
¡
¢
eşitsizliği sağlandığından sandviç teoremi (Teorem 3.1.61) gereği lim f n (x) = 0 olduğu görülür.
Gerçekten, keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde, seçeceğimiz bir x 0 ∈ R için
¯
¯
¯
¯ sin(nx + 1)
1
¯ p
− 0¯¯ ≤ p
¯
n
n +1
olduğundan
K (², x 0 ) >
1
²2
olacak şekilde bir K (², x 0 ) doğal sayısı seçersek
¯
¯
¯ f n (x 0 ) − 0¯ < ²
eşitsizliği sağlanır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
139
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Uyarı 3.4.10 Burada K (², x 0 ) sayısının x 0 ’dan bağımsız bir şekilde bulunabilidiğine dikkat edin. Î
Buraya kadar incelediğimiz örneklerde K (², x 0 ) sayısının x 0 ’dan bağımsız seçilip seçilemeyeceği konusuna ayrıca önem verdik. Bu gerçekten önemli bir sorudur, aşağıdaki tanımla birlikte
yeni bir yakınsaklık kavramı vereceğiz. Bu yakınsaklık çeşidi ileride sıklıkla karşımıza çıkacak.
Tanım 3.4.11 (Düzgün Yakınsaklık) A 0 ⊆ A ⊆ R olsun. Ayrıca her n ∈ N için f n : A → R ve bir
f : A 0 → R fonksiyonları tanımlansın. Eğer verilen her ² > 0 sayısına karşılık
¯
¯
her n ≥ K (²) ve her x 0 ∈ A 0 için ¯ f n (x 0 ) − f (x 0 )¯ < ²
olacak şekilde, x 0 sayısına bağlı olmayan bir K (²) doğal sayısı var ise A 0 kümesinde ( f n ) fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna düzgün yakınsıyor denir ve bu durum
A 0 ’da f n â f
veya
A 0 ’da f n (x) â f (x)
olarak gösterilir. Bu durumda ( f n ) dizisine A 0 ’da düzgün yakınsak bir dizi denir.
Düzgün yakınsak her dizinin aynı zamanda noktasal yakınsak olduğu açık, tersinin doğru olmadığını da verdiğimiz bazı örneklerde gördük. Düzgün yakınsaklığın noktasal yakınsaklıktan farkını geometrik olarak şöyle açıklayabiliriz. Eğer bir ( f n ) fonksiyon dizisi bir aralıkta bir f fonksiyonunda düzgün yakınsak ise, bir ² > 0 sayısı verildiğinde sadece sonlu sayıda f n fonksiyonu f ±²
bandı dışında kalır (Bkz: Şekil 3.18). Noktasal yakınsaklıkta böyle olması gerekmez.
Bu tanımdan aşağıdaki sonuç elde edilir, okuyucu bunu kanıtlamalıdır. Bu sonuç yardımıyla
bazı fonksiyon dizilerinin düzgün yakınsamadığı kolaylıkla gösterilebilir.
Şekil 3.18: Düzgün yakınsak olan ( f n ) dizisi
Teorem 3.4.12 A 0 ⊆ A ⊆ R olsun. A kümesinde bir ( f n ) fonksiyon dizisinin bir f : A 0 → R fonksiyonuna düzgün yakınsamaması için gerek ve yeter koşul, bazı ² > 0 sayıları için
¯
¯
her k ∈ N için ¯ f nk (x k ) − f (x k )¯ ≥ ²
¡ ¢
koşulu sağlanacak şekilde bir f nk alt dizisinin ve A 0 kümesinde bir (x k ) dizisinin var olmasıdır.
Örnek 3.4.13 Örnek 3.4.4 ile verilen f n (x) = x/n fonksiyonlarının dizisini ve f (x) = 0 fonksiyonunu ele alalım. Bir (n k ) = (k) ve R’de (x k ) = (k) dizilerini seçersek her n ∈ N için
¯
¯
¯ f n (x k ) − f (x k )¯ = |1 − 0| = 1
k
olacağından Teorem 3.4.12 gereği R’de ( f n ) 6â f olduğu görülür.
140
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.4.14 Örnek 3.4.5 ile verilen f n (x) = x n fonksiyonlarının dizisini ve f (x) = 0 fonksiyonunu
ele alalım. Bir (n k ) = (k) ve [0, 1] aralığında (x k ) = (1/2)1/k dizilerini seçersek her n ∈ N için
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ f n (x k ) − f (x k )¯ = ¯ 1 − 0¯ = 1
¯2
¯ 2
k
olacağından Teorem 3.4.12 gereği [0, 1] aralığında ( f n ) 6â f olduğu görülür.
Örnek 3.4.15 Örnek 3.4.7 ile verilen f n (x) = n/(nx + 1) fonksiyonlarının dizisini ve f (x) = 1/x
fonksiyonunu ele alalım. Bir (n k ) = (k) ve (0, 1) aralığında (x k ) = (1/k) dizilerini seçersek her n ∈ N
için
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ f n (x k ) − f (x k )¯ = ¯ k − k ¯ = k
¯ 2
¯2
k
olacağından Teorem 3.4.12 gereği (0, 1) aralığında ( f n ) 6â f olduğu görülür.
Fonksiyon dizilerin düzgün yakınsaklığı araştırılırken, aşağıda tanımlayacağımız supremum
normu denilen araç çok kullanışlıdır, hemen arkasından vereceğimiz iki teorem ile bunu göreceğiz. Norm kavramı aslında ayrıca incelenmesi gereken önemli bir kavramdır ama burada detaya
girmeyeceğiz. Bu tanımı vermeden önce şunu belirtelim, bir A kümesinde sınırlı bir f fonksiyonu
ile görüntü kümesi olan f (A) kümesi sınırlı olan bir fonksiyonu kastederiz.
Tanım 3.4.16 (Supremum Normu) A ⊆ R ve f : A → R sınırlı bir fonksiyon olsun. Bu durumda A
kümesinde f fonksiyonunun supremum normu
k f k A := sup{| f (x)| : x ∈ A}
olarak tanımlanır.
Teorem 3.4.17 Sınırlı bir ( f n ) fonksiyonlar dizisinin bir A ⊆ R kümesinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul k f n − f k A → 0 olmasıdır.
İspat Eğer A kümesinde f n â f ise Tanım 3.4.11 gereği verilen her ² > 0 sayısına karşılık n ≥
K (²) ve x ∈ A için | f n (x) − f (x)| < ² olacak şekilde bir K (²) ∈ N vardır. Buradan da n ≥ K (²) için
k f n − f k A < ² elde edilir. Böylece, Tanım 3.4.16 gereği k f n − f k A ≥ 0 olduğundan, k f n − f k A → 0
elde edilmiş olur.
Diğer yandan eğer k f n − f k A → 0 ise, keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde n ≥ K (²) için k f n − f k A < ²
olacak şekilde bir K (²) doğal sayısı vardır (k f n − f k A ifadesi x terimi içermez). Buradan da Tanım
3.4.16 gereği, her n ≥ K (²) ve x ∈ A için | f n (x) − f (x)| < ² olduğu sonucu çıkar.
■
Örnek 3.4.18 Örnek 3.4.4 ile verdiğimiz f n (x) = x/n fonksiyonlar dizisini ve f (x) = 0 fonksiyonunu ele alalım. f n (x) − f (x) = x/n fonksiyonu R’de sınırlı olmadığından Teorem 3.4.17’i kullanamayız. Bu yüzden A = [0, 1] alalım, yani bu dizinin [0, 1] kümesinde yakınsaklığını inceleyelim. Bu
dizinin bu aralıkta düzgün yakınsak olduğunu aslında Örnek 3.4.4 ile görmüştük, alternatif olarak
k f n − f k A = sup{|x/n − 0| : x ∈ [0, 1]} =
olduğundan Teorem 3.4.17 gereği düzgün yakınsaklık elde edilir.
1
n
Örnek 3.4.19 Örnek 3.4.9 ile verdiğimiz ( f n ) dizisini ele alalım. k f n kR ≤ 1/n olduğundan Teorem
3.4.17 gereği R’de f n â 0 olur.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
141
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Teorem 3.4.20 (Cauchy Düzgün Yakınsaklık Kriteri) Sınırlı bir ( f n ) fonksiyonlar dizisinin bir A ⊆
R kümesinde sınırlı bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, verilen
her ² > 0 sayısına karşılık her m, n ≥ K (²) için k f m − f n k A < ² olacak şekilde bir K (²) doğal sayısının
var olmasıdır.
İspat A kümesinde f n â f olsun. Bu durumda bir ² > 0 sayısı verildiğinde, her n ≥ K (²/2) için
k f n − f k A < ²/2 olacak şekilde bir K (²/2) ∈ N vardır. Böylece her m, n ≥ K (²/2) ve her x ∈ A için
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ f m (x) − f n (x)¯ ≤ ¯ f m (x) − f (x)¯ + ¯ f n (x) − f (x)¯ < ² + ² = ²
2 2
eşitsizliği sağlanır. Buradan da k f m − f n k A < ² eşitsizliği çıkar.
Diğer yandan, eğer m, n ≥ K (²) için k f m − f n k A < ² olacak şekilde bir K (²) ∈ N varsa her x ∈ A
için
| f m (x) − f n (x)| ≤ k f m − f n k A < ²
(3.4.3)
olur. Bu da ( f n (x)) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına geldiğinden bu yakınsak bir dizidir. f : A → R fonksiyonunu f (x) := lim( f n (x)) olarak tanımlarsak ve bunu (3.4.3) eşitsizliğinde
kullanırsak her m ≥ K (²) ve her x ∈ A için
¯
¯
¯ f m (x) − f (x)¯ < ²
eşitsizliği sağlanır, yani yakınsama düzgündür.
■
Bu bölümü sınırlı fonksiyon dizileri hakkında bir sonuç ve bir tanım vererek tamamlıyoruz.
Aşağıda vereceğimiz teorem önemlidir, sınırlılık özelliğinin düzgün yakınsama ile korunduğunu
gösterir. Bu özellik noktasal yakınsamada yoktur, Örnek 3.4.7 ile sınırlı fonksiyonlardan oluşan bir
dizinin noktasal yakınsadığı fonksiyonun sınırlı olmayabileceğini gördük. Teoremden sonraki tanımda vereceğimiz kavramları detaylı olarak incelemeyeceğiz ama alıştırmalarda ihtiyacınız olabilir.
Teorem 3.4.21 A 0 ⊆ A ⊆ R olmak üzere her n ∈ N için f n : A → R fonksiyonları sınırlı olsun ve
f : A 0 → R olmak üzere A 0 kümesinde f n â f olsun. Bu durumda A 0 kümesinde f foksiyonu da
sınırlıdır.
İspat A 0 ’da f n â f olduğundan, ² = 1 seçersek, her n ≥ K 1 ve her x ∈ A 0 için | f n (x) − f (x)| < 1
olacak şekilde bir K 1 ∈ N vardır. Her n ∈ N ve her x ∈ A için | f n (x)| ≤ M n olacak şekilde M n sayıları
var olduğundan
| f (x)| = | f (x) − f n (x) + f n (x)| + | f n (x) − f (x)| + | f n (x)| ≤ 1 + M n
eşitsizliği sağlanır. Bu da istenendir.
■
Uyarı 3.4.22 Burada şu önemli sonuç elde edildi: f n fonksiyonları sınırlı olmak üzere eğer f fonksiyonu sınırlı değilse f n 6â f olur. Î
Tanım 3.4.23 A ⊆ R olmak üzere f n : A → R fonksiyonlarının oluştruduğu ( f n ) dizisini ele alalım.
(a) Eğer her n ∈ N ve her x ∈ A için | f n (x)| ≤ M (x) olacak şekilde bir M : A → R fonksiyonu varsa
( f n ) fonksiyon dizisi A’da noktasal sınırlıdır denir,
(b) Eğer her n ∈ N ve her x ∈ A için | f n (x)| ≤ K olacak şekilde bir K ∈ R sabiti varsa ( f n ) fonksiyon
dizisi A’da düzgün sınırlıdır denir.
142
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Fonksiyon Serilerinde Yakınsama
Daha önce reel sayıların sonsuz serilerini reel sayı dizilerine dayanarak tanımlamıştık, buna paralel olarak fonsiyonların sonsuz serileri de tanımlanır. Bu serilerin kısmi toplamlar dizisi bir fonksiyon dizisi olacağından yakınsaklık kavramı yine noktasal ve düzgün yakınsaklık olarak ayrı ayrı
incelenir.
Tanım 3.4.24 A 0 ⊆ A ⊆ R olmak üzere f n : A → R fonksiyonlarının ( f n ) dizisini ve f : A 0 → R
P
P
fonksiyonunu ele alalım. Genel terimi s n (x) := nk=1 f n (x) olarak tanımlanan (s n ) dizisine ∞
n=1 f n
P
sonsuz serisinin kısmi toplamlar dizisi denir. A 0 kümesinde s n → f ise f n serisi noktasal yakınP
saktır, A 0 kümesinde s n â f ise f n serisi düzgün yakınsaktır denir. Bu f fonksiyonuna da serini
P
limiti veya toplamı deriz. Ayrıca eğer her n ∈ N ve her x ∈ A için nk=1 | f k (x)| < K olacak şekilde bir
P
K ∈ R varsa f n serisine A kümesinde düzgün sınırlı dizi denir.
Örnek 3.4.25 Örnek 3.3.8 ile verilen seriyi hatırlayın. Buna benzer şekilde
∞
X
xn
n=1
serisini ele alalım. Serinin x ∈ (−1, 1) için noktasal yakınsak olduğu açıktır, gerçekten kısmi toplamlar dizisinin genel terimi
1 + x n+1
sn =
1−x
şeklindedir. |x| < 1 için s n → 1/(1− x) olduğundan x ∈ (−1, 1) için serinin toplamı da f (x) := 1/(1−
x) foksiyonudur, yani
∞
X
1
xn =
1
−
x
n=1
olur. Şimdi bu yakınsamanın düzgün olup olmadığını araştıralım.
¯
¯
¯ 1 − x n+1
1 ¯¯ |x|n+1
|s n − f | = ¯¯
−
=
1−x
1−x ¯
1−x
olduğundan ve 1/(1 − x) ifadesi x ∈ (−1, 1) için sınırlı olmadığından ks n − f k(−1,1) 6→ 0 sonucu, doP
layısıyla s n 6â f sonucu elde edilir. Dolayısıyla x n serisi (−1, 1) aralığında noktasal yakınsaktır
fakat düzgün yakınsak değildir. Ama bu serinin 0 < a < 1 olmak üzere [−a, a] aralığında düzgün
yakınsak olduğu açıktır, çünkü bu durumda yokarıdaki yöntemle ks n − f k[−a,a] → 0 olduğu görülür.
Uyarı 3.4.26 Bu örnekte hiç araştırmadan, doğrudan Teorem 3.4.21 sonucunu kullanarak da yakınsamanın düzgün olup olmadığını söyleyebilirsiniz. Î
P
Teorem 3.4.27 A ⊆ R kümesinde tanımlanan ( f n ) fonksiyonlar dizisini ele alalım. f n serisinin
A kümesinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, verilen her ² > 0 sayısına karşılık
her m > n ≥ K (²) için
| f n+1 (x) + f n+2 (x) + · · · + f m (x)| < ²
olacak şekilde bir K (²) doğal sayısının var olmasıdır.
Uyarı 3.4.28 Bu teorem Cauchy yakınsaklık kriterinin doğrudan uygulamasıdır. Bkz: Teorem 3.3.16.
Burada verilen koşul
k f n+1 (x) + · · · + f m (x)k A < ²
olarak verilirse de geçerlidir. Î
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
143
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
P
Teorem 3.4.29 A 0 ⊆ A ⊆ R olsun. A kümesinde bir f n fonksiyon serisinin bir f : A 0 → R fonksiyonuna düzgün yakınsak olmaması için gerek ve yeter koşul, bazı ² > 0 sayıları için
¯
¯
her k ∈ N için ¯ f nk (x k )¯ ≥ ²
¡ ¢
koşulu sağlanacak şekilde bir f nk alt dizisinin ve A 0 kümesinde bir (x k ) dizisinin var olmasıdır.
Uyarı 3.4.30 Bu teoremi ispatlamak için Teorem 3.4.27’de m = n + 1 seçin ve Tanım 3.4.24 ile
verilen yakınsaklık tanımın değilini düşünün, Teorem 3.4.12 sonucunda yaptığınız gibi. Î
Örnek 3.4.31 Her n ∈ N için f n : (0, 1) → R foksiyonları
f n (x) :=
olarak tanımlanmış olsun. x ∈ (0, 1) için
n ∈ N ve x ∈ (0, 1) için
P
nx n
n +1
x n serisinin yakınsak olduğunu biliyoruz. Ayrıca her
n
xn < xn
n +1
P
eşitsizliği sağlandığından karşılaştırma testi (Teorem 3.3.20) gereği f n serisinin 0 sayısına noktasal yakınsak olduğu anlaşılır. Şimdi yakınsamanın düzgün olup olmadığına bakalım. Bunun için
Teorem 3.4.29 sonucunu kullanalım. n k := k ve (0, 1) aralığından bir
0<
µ
x k :=
k +1
k +2
¶1
k
dizisi tanımlayalım. Bu durumda
1
n
≥
n +2 3
olduğundan yakınsamanın düzgün olmadığı anlaşılır.
¯
¯
¯ f n (x k )¯ =
k
Teorem 3.4.32 (Weierstrass M-Testi) ( f n ) ile A ⊆ R olmak üzere f n : A → R fonksiyonlarının bir
dizisini gösterelim. Ayrıca her n ∈ N ve her x ∈ A için¯ | f n¯ (x)| ≤ M n olacak şekilde M n sayıları var
P
P
olsun. Bu durumda eğer M n serisi yakınsak ise ¯ f n ¯ serisi düzgün yakınsak olur, dolayısıyla
P
f n serisi düzgün yakınsak olur.
P
P
M n yakınsak olduğundan Cauchy kriteri (Teorem 3.3.16) gereği m > n ≥ K (²) için | m
M |<
İspat
k=n+1 k
² olacak şekilde bir K (²) ∈ N vardır. Böylece her m > n ≥ K (²) ve her x ∈ A için
¯
¯
¯ X
¯
m
m ¯
m
X
X
¯
¯
¯
¯ f (x)¯ ≤
|s m (x) − s n (x)| = ¯
f k (x)¯ ≤
Mk < ²
¯k=n+1
¯ k=n+1 k
k=n+1
P
olur ki bu da Cauchy kriteri gereği f n serisinin düzgün yakınsak olduğu anlamına gelir. Ayrıca
her n ∈ N ve her x ∈ A için | f n (x)| ≤ M n olduğundan karşılaştırma testi gereği mutlak yakınsaklık
açıktır.
■
Örnek 3.4.33 p > 1 olmak üzere
serisini ele alalım. p > 1 için
P
∞ sin nx
X
p
n=1 n
(1/n p ) p-serisi yakınsak olduğundan ve her x ∈ R için
¯
¯
¯ sin nx ¯
1
¯
¯
¯ np ¯ ≤ np
olduğundan verilen seri Weierstrass M-testi gereği R’de mutlak ve düzgün yakınsaktır.
144
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
Örnek 3.4.34 Her x ∈ R için
∞ 1
X
cos(3n x)
n
n=1 2
serisini ele alalım. Her x ∈ R için
olduğundan ve
kınsaktır.
P
¯
¯
¯ 1
¯
¯ cos(3n x)¯ ≤ 1
¯ 2n
¯ 2n
(1/2n ) = 1 olduğundan Weierstrass M-testi gereği (3.4.4) serisi R’de düzgün ya-
Örnek 3.4.35 x ∈ [1, 8] olmak üzere
serisini ele alalım. Bu durumda
olduğundan ve
yakınsaktır.
(3.4.4)
P
∞ (−1)n
X
x2
2
n
n=1
¯
¯
¯ (−1)n 2 ¯ 64
¯
¯≤
x
¯ n2
¯ n2
(1/n 2 ) serisi yakınsak olduğundan verilen seri Weierstrass M-testi gereği düzgün
Weierstrass M-testini kullanarak bir çeşit fonksiyon serisi olan kuvvet serilerinin düzgün yakınsaklığı için aşağıdaki sonucu elde ederiz.
P
Teorem 3.4.36
a n x n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı R olsun. Bu durumda bu seri (−R, R)
aralığı tarafından kapsanan her kapalı ve sınırlı aralıkta düzgün yakınsaktır.
İspat Öncelikle Teorem 3.3.55 gereği
R=
1
lim sup |a n
|1/n
≤
1
(3.4.5)
|a n |1/n
olduğunu gözlemleyelim. Diğer yandan eğer K ⊆ (−R, R) ise bu durumda |x| < cR olacak şekilde
bir 0 < c < 1 sayısı vardır. Bu durumda (3.4.5) eşitsizliği gereği
|x| < cR ≤
c
|a n |1/n
olduğu, dolayısıla
|a n |1/n |x| < c
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. Bu eşitsizliğin her iki tarafının da n-inci kuvvetini alırsak
|a n x n | < c n
P
elde edilir. 0 < c < 1 olduğundna c n serisi yakınsaktır, dolayısıyla Weierstrass M-testi (Teorem
P
3.4.32) gereği a n x n serisi düzgün yakınsaktır.
■
Alıştırmalar 3.4
¡ ¢
1. Aşağıda verilen f n : A → R fonksiyonları için f n dizilerinin noktasal yakınsak olduklarını gösterip
limitlerini bulun. Daha sonra bu dizilerin verilen A kümelerinde düzgün yakınsak olup olmadıklarını
tespit edin. Düzgün yakınsak olmayanlar için, mümkün oluyorsa, düzgün yakısak olacakları bir tanım
aralığı belirleyin.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
145
3.4. Fonksiyon Dizileri ve Serileri
a) A := R,
b)
c)
d)
e)
2
f n (x) := xn ,
h) A := [0, 1],
A := R, f n (x) := nx2 2 ,
1+n x
nx
,
A := [0, ∞), f n (x) := 1+nx
xn
A := [0, ∞), f n (x) := 1+x n ,
1
A := R, f n (x) :=
,
n(1+x 2 )
f) A := R,
i) A := [0, ∞),
p
f n (x) := sin(nx)
,
k) A := R,
f n (x) := sin(nx+n)
,
n
n
l) A := [0, π],
n
f n (x) := 1−x
1−x ,
f n (x) := sin(nx)
1+nx ,
j) A := R,
2
f n (x) := x +nx
n ,
g) A := (−1, 1),
f n (x) := nx n (1 − x),
m) A := [0, ∞),
f n (x) := (sin x)n ,
−n
f n (x) := xe n
2 x2
.
2. ( f n ) ve (g n ) dizileri bir A kümesinde sırasıyla f ve g fonksiyonlarına düzgün yakınsak ise aynı kümede
( f n ± g n ) dizisi de f ± g fonksiyonuna düzgün yakınsaktır, kanıtlayın.
3. f n (x) := x +1/n ve f (x) := x fonksiyonları için R’de ( f n ) â f olduğunu ve ( f n2 ) 6â f olduğunu gösterin.
Böylece düzgün yakınsak iki fonksiyon dizisinin çarpımının düzgün yakınsak olamayabileceği sonucu
elde edilir. Buna ilişkin başka örnekler verin.
4. ( f n ) ve (g n ) sınırlı fonksiyon dizileri A kümesinde sırasıyla f ve g fonksiyonlarına düzgün olarak yakınsıyorsa ( f n g n ) dizisi de bu kümede f g fonksiyonuna düzgün olarak yakınsar, kanıtlayın.
5. Her n ∈ N için f n : [0, ∞] → R fonksiyonları
f n (x) := x −
1
n
olarak tanımlansın. Bu durumda ( f n ) dizisinin noktasal sınırlı olduğunu fakat düzgün sınırlı olmadığını gösterin.
6. Sınırlı f n fonksiyonlarının ( f n ) dizisi A kümesinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak ise ( f n ) dizisi
düzgün sınırlıdır, kanıtlayın.
P
7. Aşağıdaki gibi tanımlanan f n : [0, 1] → R fonksiyonları için f n serisinin noktasal yakınsak olduğunu
gösterip toplamını bulun
x
f n (x) :=
(x + 1)n−1
8. Aşağıdaki serilerin verilen A kümelerinde düzgün yakınsak olup olmadıklarını belirleyin
a) A := [0, 1],
b) A := (0, 1],
P xn
,
n2
P 1
1+x n ,
c) A := (1, ∞),
d) A := (0, 1],
1
1+x n ,
P
1
,
1+x 2 n 2
P
1
,
1+x 2 n 2
e) A := (1, ∞),
P
f) A := (0, ∞),
P −nx
e
.
9. Aşağıdaki serinin [0, ∞) kümesinde düzgün yakınsak olduğunu, fakat mutlak yakınsak olmadığını gösterin
X (−1)n
.
n + x2
10. Aşağıdaki serinin R’de noktasal yakınsak olduğunu, mutlak yakınsak olduğunu fakat düzgün yakınsak
olmadığını gösterin. Ayrıca a sabit bir reel sayı olmak üzere bu serinin [−a, a] kümesinde düzgün
yakınsak olduğunu gösterin
X xn
.
n!
P
11.
f n serisi bir A kümesinde düzgün yakınsak olsun, ayrıca (g n ) dizisi düzgün sınırlı ve her x ∈ A için
P
(g n (x)) dizisi zamanla monoton olsun. Bu durumda f n g n serisi A kümesinde düzgün yakınsaktır,
kanıtlayın. Bu sonuca literatürde düzgün yakınsaklık için Abel testi denir.
P
12.
f n serisi bir A kümesinde düzgün sınırlı ve bu A kümesinde (g n ) dizisi de düzgün yakınsak olsun.
P
Ayrıca her x ∈ A için (g n (x)) dizisi zamanla monoton ve (g n (x)) → 0 olsun. Bu durumda f n g n serisi
A kümesinde düzgün yakınsaktır, kanıtlayın.Bu sonuca literatürde düzgün yakınsaklık için Dirichlet
testi denir.
146
Bölüm 3. Dı̇zı̇ler ve Serı̇ler
P
f n serisi bir A kümesinde düzgün sınırlı olsun. Ayrıca A kümesinde (g n ) â 0 ve |g n+1 (x)−g n (x)| â
P
0 olsun. Bu durumda f n g n serisi A kümesinde düzgün yakınsaktır, kanıtlayın. Bu sonuca literatürde
düzgün yakınsaklık için Dedekind testi denir.
P
P
14.
f n serisi bir A kümesinde düzgün sınırlı olsun. Ayrıca A kümesinde (g n ) dizisi ve |g n+1 (x)−g n (x)|
P
serisi de düzgün aınırlı olsun. Bu durumda f n g n serisi A kümesinde düzgün yakınsaktır, kanıtlayın.
Bu sonuca literatürde düzgün yakınsaklık için Du Bois-Reymond testi denir.
13.
P
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ