ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Melek ŞENOL
GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2011
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ
Melek ŞENOL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 18/07/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu
ile Kabul Edilmiştir.
………………..................
…………………………..
..………………...............
Prof. Dr. Naime EKİCİ
Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak
gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ
Melek ŞENOL
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ
Yıl: 2011, Sayfa: 89
Jüri
:Prof. Dr. Naime EKİCİ
:Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
:Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
Bu çalışmada, grup halkası konusunu ele aldık. Grup halkasının sıfır
bölensiz olduğu özel bir kaç durumu inceledik. [ ] grup halkasından
cismine
bir
dönüşümü tanımlayarak, ∈ [ ] idempotent eleman olmak üzere
nin
[
]
cisminin asal alt cismi tarfından içerildiğini gösterdik.
grup halkasının
hangi şartlar altında asal olduğunu söyledik. Her grubu için kompleks sayılar
cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunu söyledik.
sonlu grup olmak
üzere [ ] grup halkasının homomorfizmalarına değindik. Grup halkasında ve
serbest grup halkasında türev tanımını vererek Fox türevinin uygulamasında
kullanacağımız bir teorem ve bu teoremin uygulaması amacı ile bir kaç örnek
verdik. Sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) integral grup halkasının birim
grubunu ve ( ) nin
otomorfizmasını hesapladık. Ayrıca grup halkasında
ortaya konan hipotezleri verdik.
Anahtar Kelimeler: Grup, Halka, Cisim, Grup Halkası , Fox Türevleri
I
ABSTRACT
MSc. THESIS
GROUP RINGS AND THE IMPORTANCE OF THE SUBJECT
Melek ŞENOL
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATİCS
Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ
Year: 2011, Pages:
Jury
:Prof. Dr. Naime EKİCİ
:Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
:Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
In this study, we deal with the concept of group ring. We survey some case
which group ring has no zero divisors. We define a map , from the group ring
[ ] into the field . Let ∈ [ ] be an idempotent and we have shown that
is contained in the prime supfield of . We mention some condition which the
group ring [ ] is prime. Let be field of complex numbers, we say that for all
group rings , [ ] is semisimple. Let be finite group, we obtain homorphisms
of the group ring [ ]. We define derivation in the group ring and in the free
group ring and we establish a theorem which we use applications of Fox’s
derivation and we have some examples with applications of this theorem. Let be
a finitely generated abelian group, we compute the group of units of the integral
group ring ( ) and the group of automorphisms of ( ). Furthermore, we
mention hypothesis in the group ring.
Key Words: Group, Ring, Field, Group Ring, Fox’s Derivation
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve desteğini
esirgemeyen, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygıdeğer danışmanım Prof. Dr.
Naime EKİCİ’ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca hiçbir zaman desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan
sevgili babam Osman ŞENOL, annem Kadiriye ŞENOL, ablam Meral ERDEM,
abim Gürsel ŞENOL’a teşekkür ederim.
Son olarak Onur YAĞCI’a, Ç.Ü. Matematik bölümünün saygıdeğer
öğretim üyelerine ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma yardım, destek ve
teşviklerinden dolayı teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ........................................................................................................ II
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .............................................................................................. …..V
1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1
2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER ................................................................. 3
2.1 Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi....................................................... 3
2.2. Gruplar .................................................................................................... 4
2.3. Halka........................................................................................................ 9
2.4. Cisim...................................................................................................... 12
2.5. Modül .................................................................................................... 13
2.6. Vektör Uzayları ...................................................................................... 15
2.7. Lineer Dönüşümler ve Matrisler ............................................................ 17
2.8. İç Çarpım Uzayları ................................................................................ 19
2.9. Serbest Gruplar ...................................................................................... 21
2.10. Grup Etkisi .......................................................................................... 22
2.11. Jacobian Matris ve Taylor Serisi........................................................... 23
3. GRUP HALKASI NEDİR ............................................................................ 25
3.1. Giriş
................................................................................................... 25
3.2. Sıfır Bölen .............................................................................................. 28
3.3. Idempotent ............................................................................................. 37
3.4. Yarı Basitlik ........................................................................................... 45
4. GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR .................................. 55
5. GRUP HALKASINDA TÜREV ................................................................... 59
5.1. Serbest Grup Halkasında Türev ........................................................... 61
5.2. Fox Türevlerinin Uygulamaları .............................................................. 67
6. DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER .................... 77
6.1. ( ) nin Birimleri ................................................................................. 77
6.2. ( ) nin Otomorfizmaları...................................................................... 80
IV
7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER ........................ 83
KAYNAKLAR .................................................................................................. 87
ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 89
V
Melek ŞENOL
1.GİRİŞ
1.GİRİŞ
Grup halkası konusu oldukça eskidir. Grup halkası, 1854 yılında A. Cayley’in
“ On the Theory of Groups as Depending on the Symbolic Equation
= 1, Phil.
Mag., 7, 40-47” makalesinde ele alınmış ve 1897 yılında T. Molien tarafından tam
olarak tanıtılmıştır. Grup halkası konusu R. Brauer, F. G. Frobenius, E. Noether ve I.
Schur’ın çalışmalarından sonra grup temsillerindeki uygulamalarından dolayı önem
kazanmaya başlamıştır.
1960 lı yıllarda grup halkası konusu bilim adamlarının etkili bir şekilde
dikkatini çekmeye başladı. I. Kaplansky, halka teorisindeki ünlü problemlere grup
halkası sorularının dahil olmasını sağlamıştır. Böylece grup halkası, halka teorisinin
ilginç alanlarından biri oldu. Grup halkası teorisi çeşitli cebirsel teori konularında
karşımıza çıkmaktadır. Özellikle grup temsillerinin gelişmesinde merkezi bir rol
oynamaktadır. Grup halkası, matematiğin homolojik cebir, cebirsel topoloji ve
cebirsel
-teorisi gibi dalları için de önemlidir. Çağdaş cebirciler S.A.Amitsur,
H.Bass, E. Formanek, N. D. Gupta , I. N. Herstein, G. Higman, A. V. Jategaonkar, I.
Kaplansky, W. May, K. W. Roggenkamp, W. Rudin e H. J. Zassenhaus yaşamları
boyunca alanın gelişmesi için çok büyük katkıda bulunmuşlardır. Ayrıca D. S.
Passman ve S. K. Sehgal da alana yaptıkları önemli katkılardan dolayı bu listeye
eklenmelidir.
Grup halkalarıyla ilgili yeterli Türkçe kaynak bulunmamaktadır. Bu tezin
temel amaçlarından birisi de bu konudaki eksikliği gidermektir. Bu nedenle grup
halkaları hakkında yazılmış temel kaynaklar ve makaleler incelenerek bir derleme
yapılmış ve konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacak örnekler verilmiştir.
Tezin ikinci bölümünde çalışmamızda kullanmış olduğumuz bazı temel tanım
ve teoremleri verdik.
Üçüncü bölümünde grup halkasının nasıl inşa edildiğinden, grup halkasında
toplama ve çarpmanın nasıl tanımlandığından bahsettik. Grup halkası konusunun
kafamızda canlanabilmesi için somut birkaç örnek verdik. Grup halkasında sıfır
bölensizliğin, grubun yapısına bağlı olarak özel birkaç durumda sağlandığını
gösterdik. Bir
[ ] grup halkasından bir
1
cismine
dönüşümü tanımladık ve
Melek ŞENOL
1.GİRİŞ
, [ ] nin bir idempotent elemanı olmak üzere
nin
nın asal alt cisminde
içerildiğini ispatladık. [ ] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu
söyledik. Bu bölümde son olarak yarı basitlik konusuna değindik ve her
grubu için
kompleks sayılar cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunun ispatını verdik
(D. S. Passman, 1976).
Dördüncü bölümde grubun sonlu olması durumunda grup halkasındaki
homomorfizmalardan bahsettik.
Beşinci bölümde herhangi bir çarpımsal
grubu ve rasyonel tam sayıların
halkası ile ilişkilendirilmiş grup halkasını ele alarak grup halkasından grup halkasına
bir dönüşüm tanımlayarak bu dönüşüme grup halkasında bir türev dedik ve türevin
sağladığı özellikleri verdik. Serbest grup halkasını ve elemanlarını tanımladık.
serbest grubunun her bir
bu türevin
=
,
üretecine karşılık gelen
ye göre türevi tanımladık ve
özelliğine sahip olduğunu ve ( ) ⟶
( ) e bir ve yalnız bir
türev olduğunu söyleyip bu türevin formülünü verdik (R. H. Fox, 1953). Bir
serbest grubunun bir üretecinin bir kuvvetinin türevinin hesaplanabilmesi için
geliştirilmiş formülü verdik ve bu formülü anlayabilmemiz için
türev
hesabının
nasıl
uygulamalarına değindik.
üzere
∕
yapılacağına
dair
örnekler
bir serbest grup ve
,
∈
verdik.
elemanı alarak
Fox
Türevinin
nin normal alt grubu olmak
nin üreteç kümesinin nasıl belirleneceğine dair bir teorem verdik (Wan
Lin, 2000) ve bu teoremin uygulaması olarak örnekler vererek bu bölümü bitirdik.
Altıncı bölümde sonlu üreteçli, değişmeli
halkasının birim grubu
grubu için
( ( )) yi hesapladık ve
( ) integral grup
sonlu üreteçli değişmeli
olduğunda ( ) nin grup otomorfizmalarını inceledik.
Yedinci bölümde grup halkaları alanında karşılaşılan önemli problemlerden
bahsettik ve grup halkalarında hipotez olarak ortaya konulan problemleri verdik.
2
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.1.Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi
Tanım 2.1.1
kümeleri olsun.
boş olmayan bir küme ve ∀ ∈ için
∀ ∈ için
(i)
∀ , ∈ için
(ii)
=⋃∈
(iii)
∩
= ∅ ve
ise { } ∈ ailesine
≥ 2 olmak üzere
Tanım 2.1.2
×
,
kümesine
≠∅
× ⋯×
,⋯,
kümeleri verilsin. O zaman
,⋯,
)|
∈
,1 ≤ ≤ }
nin kartezyen çarpımı denir.
≥ 2 olmak üzere
Tanım 2.1.3
nın bir takım alt
kümesinin bir ayrışımı denir.
= {( ,
× ⋯×
,⋯,
,
kümeleri,
,
,⋯,
kümeleri verilsin. O zaman
kartezyen çarpımının herhangi bir
alt kümesine
üzerinde bir bağıntı denir.
Tanım 2.1.4
kümesi üzerinde bir
(i)
Eğer her
(ii)
Eğer her ,
(iii)
Eğer her
∈
için
∈
,⋯,
bağıntısı verilsin.
ise
için
, , ∈
,
×
için
ye bir yansıyan bağıntı denir.
iken
ise
ve
ye bir simetrik bağıntı denir.
iken
ise
ye bir geçişken
bağıntı denir.
Eğer
bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken ise
ye
üzerinde bir denklik
bağıntısı denir.
Tanım 2.1.5
kümesine
nın
,
üzerinde bir denklik bağıntısı ve
ye göre denklik sınıfı denir.
3
∈
olsun.
={ ∈ |
}
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.1.6 :
=
iken
ise
biçimde bir
ise
∈
→
,
fonksiyonu verilsin. Eğer her
ye birebir fonksiyon denir. Eğer her
varsa
ye örten fonksiyon denir. Eğer
∈
∈
için ( ) = (
içn ( ) =
)
olacak
hem örten hem de birebir
ye birebir eşleme denir.
Tanım 2.1.7
= ∅ ise ya da
bir küme olsun. Eğer
üzere {1,2, ⋯ , } arasında birebir bir eşleme varsa
ya bir sonlu küme denir. Sonlu
olmayan bir kümeye de sonsuz küme denir. Eğer
arasında birebir bir eşleme varsa
bir pozitif tamsayı olmak
sonlu ise ve
ile {1,2, ⋯ , }
nın kardinalitesi denir ve | | ile
sayısına
gösterilir.
Sonlu kümelerde olduğu gibi bir sonsuz kümenin büyüklüğü de tanımlanır.
Bunun için bütün kümelerin sınıfı
,
ve
eşleme tanımlıysa o zaman ~ olsun. “~”
içeren denklik sınıfına
elemanlı sonlu küme ise
olur.
∈
için eğer
dan
ye birebir bir
üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
nın kardinalitesi denir ve | | ile gösterilir. Eğer
yı
,
~{0, 1, 2, ⋯ , − 1} olacağından |{0, 1, 2, ⋯ , − 1}| =
2.2.Gruplar
Tanım 2.2.1
boş olmayan bir küme olmak üzere
∗:
fonksiyona
×
→
,( , ) →
den
ye tanımlı bir
∗
üzerinde bir ikili işlem denir.
Tanım 2.2.2
üzerinde bir ∗ ikili işlemi tanımlı olsun.
boş olmayan bir küme ve
Eğer
(i)
×
∗ işlemi birleşme özelliğini sağlarsa; yani, her , , ∈
( ∗ )∗ =
∗ ( ∗ ) ise
4
için
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
(ii)
∈
Her
için
∗
olacak şekilde bir
(iii)
∈
Her
∈
=
varsa ( ye
için
∈
varsa (
=
ne
ikilisine bir grup denir.
değişmeli denir.
bir grup olsun. Eğer ∀
varsa
ye
∈
varsa
ye
,
∈
∈
için
bir grup ve
∈
ve
:
iki grup ve
için
(
den
∈
=
olsun. Eğer ∀ ∈
için
elemanı denir.
Tanım 2.2.5
∗
için
→
=
=
∗
için
için
oluyorsa
=
=
∈
olacak şekilde bir
oluyorsa
ye
ye
nin bir sağ sıfır
fonksiyonu verilsin. Eğer her ,
∈
)= ( ) ( )
ye bir grup homomorfizması denir. Eğer ek olarak
ye bir grup monomorfizması;
ise bu gruba
olacak şekilde bir
nin bir sağ birim elemanı denir.
nin bir sol sıfır elemanı ve eğer ∀ ∈
ye
=
nin bir sol birim elemanı ve eğer ∀
Tanım 2.2.4
ise
∗
nın ters elemanı denir) o zaman ( ,∗) sıralı
Eğer ( ,∗) grubunda fazladan her
Tanım 2.2.3
=
nin birim elemanı denir)
∗
olacak şekilde bir
∗
örten ise
5
birebir ise
ye bir grup epimorfizması ve
hem
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
birebir ve hem de örten ise
bir izomorfizma ise
Tanım 2.2.6 :
ye
→
ye bir grup izomorfizması denir. Ayrıca
nin bir otomorfizması denir.
,
nin
}
,
bir grup ve
nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer
işlemine göre kapalı ve bu işleme göre bir grup ise o zaman
≤
ile gösterilir.
Tanım 2.2.8
bir grup ve
tamsayısı varsa bu
durumda
ye
nin çekirdeği denir.
Tanım 2.2.7
denir ve
den
bir grup homomorfizması olsun.
( )={ ∈ | ( )=
kümesine
,
∈
=
olsun. Eğer
nin bir alt grubu
olacak şekilde bir
pozitif tamsayılarının en küçüğüne
nın mertebesi sonludur denir. Eğer
ya
pozitif
nın mertebesi denir. Bu
nın mertebesi sonlu değilse
nın
mertebesi sonsuzdur denir.
Tanım 2.2.9
bir değişmeli grup ve
∈
ya torsiyon eleman denir. Her
torsiyon grup denir. Eğer
∈
olsun. Eğer bir
için
≥ 1 için
=
ise
elemanı torsiyon eleman ise
ye
nin birimden başka torsiyon elemanı yoksa
ye
torsiyonsuz grup denir.
Tanım 2.2.10
merkezleyeni
bir grup ve
,
nin verilmiş bir elemanı olsun.
( ) ile gösterilir ve
( )={ ∈ |
=
olarak tanımlanır.
Tanım 2.2.11
bir grup,
≤
olsun. Bu takdirde
6
}
elemanının
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
( )={ ∈ |
kümesine
nın
içindeki normalleyeni denir.
Tanım 2.2.12
⊆
bir grup ve
olsun.
üreteç kümesi ve
Tanım 2.2.13
Tanım 2.2.14
= ⟨ ⟩ olacak şekilde bir
bir grup olsun. Eğer
∈
bir grup,
≤
ve
= { ℎ|ℎ ∈
kümelerine sırasıyla
Tanım 2.2.15
ın
Tanım 2.2.16
için
ın
Tanım 2.2.17
varsa
ye
} ve
= {ℎ |ℎ ∈
}
deki sol koseti ve sağ koseti denir.
≤
bir grup ve
ın
olsun.
deki farklı sol (sağ) kosetlerinin
deki indeksi denir ve [ : ] ile gösterilir.
bir grup olsun.
elemanına
nın
∈
e ⟨ ⟩ in bir
olsun.
nin bir alt grubu
nin
ve bir elemanı
olsun. Her
ya göre eşleniği denir.
={ ℎ
kümesine
i içeren bütün alt gruplarının
in elemanlarına da ⟨ ⟩ grubunun üreteçleri denir.
tarafından üretilen devirli grup denir.
∈
nin
tarafından üretilen alt grup denir ve ⟨ ⟩ ile gösterilir.
kesişimine
sayısına
}
=
|ℎ ∈ }
ya göre eşleniği denir.
bir grup ve
,
nin bir alt grubu olsun. Eğer her
=
7
∈
için
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
ise
ye
nin bir normal alt grubu denir.
Tanım 2.2.18
,
bir grup ve
nin bir normal alt grubu olsun.
,
çarpma işlemi şöyle tanımlansın. Her
(
olsun. Bu işleme göre /
Tanım 2.2.19
)(
için
bir grup ve
⊲
üzerinde bir
)=
bir gruptur ve bu gruba
nin
ile bölüm grubu denir.
olmak üzere
:
∀ ∈
∈ /
/
→ ⁄
için
( )=
şeklinde tanımlanan dönüşüm örten bir homomorfizmadır. Bu homomorfizmaya
doğal homomorfizma denir.
Tanım 2.2.20
( )≤
ise
,
grubunun bir alt grubu olsun. Her :
alt grubuna
Tanım 2.2.21
bir grup ve
nin karakteristik alt grubu denir.
,
,⋯,
[ ,
elemanına
ve
,
ile
→
nin elemanları olsun.
]=
nin komütatörü denir.
grubunun boştan farklı alt kümeleri olsun.
[
,
] = ⟨[ ,
]:
8
∈
,
∈
⟩
otomorfizması için
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
olarak tanımlanır. Burada
komütatör alt grubu denir ve
Tanım 2.2.22
fonksiyona
=
=
ile gösterilir.
ise [ , ] komütatör grubuna
boştan farklı bir küme olsun.
üzerinde tanımlı bire bir ve örten bir
üzerinde bir permütasyon denir. Bir
permütasyonların kümesi
( ) grubuna
grup denir.
Tanım 2.2.23
bir grup ve
homomorfizması varsa
kümesi üzerinde tanımlı bütün
( ) ile gösterilir ve
bileşke işlemine göre bir gruptur.
nin
( ) kümesi fonksiyonların
kümesi üzerindeki simetrik
bir küme olsun. Eğer bir
homomorfizmasına
:
→
nin permütasyon temsili denir.
( )
2.3.Halka
Tanım 2.3.1
üzerinde " + " ve " ⋅ " ikili işlemleri
boş olmayan bir küme olsun.
verilsin. Eğer
(i)
(ii)
( , +) bir değişmeli grup ise
çarpma işlemine göre birleşme özelliğine sahipse; yani her , , ∈
için
( ∙ )∙ =
∙( ∙ )
ise,
(iii)
üzerinde dağılma özellikleri sağlanırsa; yani her , , ∈
∙( + )=
( + )∙ =
∙
+
∙ +
∙
∙
ise ( , +,∙) sıralı üçlüsüne bir halka denir.
9
için
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Eğer her , ∈
∙
için
=
∙
ise halkaya değişmeli halka denir.
nin
∈
için
toplamsal birimi 0 ile gösterilir ve buna
∙1 =1 ∙
=
nin sıfırı denir. Eğer her
olacak şekilde 1 ∈
varsa 1
elemanı ve halkaya da birimli halka denir.
Tanım 2.3.2
sıfır bölen ve
bir halka ve ,
∈
elemanına halkanın birim
olsun. Eğer , ≠ 0 iken
ye sağ sıfır bölen denir.
= 0 ise
ya sol
nin değişmeli olması durumunda sıfır
bölen ifadesi kullanılır.
Tanım 2.3.3
birim elemanlı ve değişmeli bir halka olsun.
sıfır bölensiz ise
ye
tamlık bölgesi denir.
∈
Tanım 2.3.4 Eğer
halkasında her
tamsayısı varsa bu
sayılarının en küçüğüne
Tanım 2.3.5
∈
bir halka ve
eleman denir.
∈
bir halka ve
varsa
ye
nın sağ tersi ve
∈
olmak üzere
tersinir (birimsel) eleman denir.
Tanım 2.3.8
ya
için
∈
ise
elemanına idempotent
olsun. Eğer bazı pozitif
birimli bir halka ve 0 ≠
tersi denir. Eğer
∈
=
olsun.
=0
tam sayıları için
elemanına nilpotent eleman denir.
Tanım 2.3.7
∈
nin
( ) ile gösterilir.
karakteristiği
oluyorsa
nin karakteristiği denir. Eğer böyle
nin karakteristiği 0 olarak tanımlanır.
bir pozitif tamsayı yoksa
Tanım 2.3.6
= 0 olacak biçimde bir pozitif
için
bir halka ve ,
∈ ise
ya
∈
olsun. Eğer
= 1 olacak şekilde
=
= 1 ise
∈
ye
= 1 olacak şekilde
varsa
ye
nın sol
nın tersi ve
ya da
nin bir toplamsal alt grubu olsun. Eğer her
nin bir sol ideali ve her
∈ ve
∈
için
nin bir sağ ideali denir. Eğer hem sol ideal ve hem de sağ ideal ise
10
∈
ve
∈ ise
ya
nin
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
ve {0 },
bir ideali denir.
den farklı her idealine
Tanım 2.3.9
,
,⋯,
,⋯,
}
⊆
olsun.
nin
ise
⟨{ ,
,⋯,
}⟩=⟨ ,
⟩
,⋯,
ile
gösterilir
= 1 için ⟨ ⟩ idealine
üretilen temel ideal denir.
Tanım 2.3.10 ,
nin
i içeren bütün ideallerinin
tarafından üretilen ideal denir ve ⟨ ⟩ ile gösterilir. Eğer
tarafından üretilen ideal denir.
ve
=
buna
tarafından
halkasının bir ideali olsun. nın her elemanı nilpotent eleman ise
ya nil ideal; eğer bazı
Tanım 2.3.11
nin aşikar ideali denir.
nin öz ideali denir.
bir halka ve
kesişimine
{ ,
nin idealleridir. {0 } ye
ve
= 0 ise ya nilpotent ideal denir.
tamsayıları için
iki halka ve
için
:
⟶
fonksiyonu verilsin. Eğer her ,
∈
( + ) = ( ) + ( ) ve
(
ise
ye
den
)= ( ) ( )
ye bir halka homomorfizması denir. Eğer ek olarak
bire bir ise
ye bir halka monomorfizması, örten ise bir halka epimorfizması ve bire bir eşleme
ise bir halka izomorfizması denir.
den
ye tanımlı bir izomorfizmaya
otomorfizma denir.
Tanım 2.3.12
herhangi bir halka olsun. :
toplamsal grup otomorfizması olmak üzere her
ise
ya anti-otomorfizma denir.
Tanım 2.3.13
ve
iki halka ve :
⟶
⟶
tanımlı bir fonksiyon olsun.
∈
için (
bir halka homomorfizması olsun.
( )={ ∈ | ( )=0 }
11
)= (
) (
)
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
kümesine
nin çekirdeği denir.
Tanım 2.3.14
bir halka ve
,
nin bir ideali olsun.
koşulunu gerçekleyecek şekilde
nin bir
≠
olmak üzere
⊆
⇒
ideali mevcut değilse
ye
⊂ ⊂
nin bir
maksimal ideali denir.
Tanım 2.3.15
halkasının
koşullarını gerçekleyen
Tanım 2.3.16
kümesi
nin
,
idealleri için
idealine asal ideal denir.
bir halka = 0,1, ⋯ olmak üzere tüm (
[ ] ile gösterilsin. Burada
şekilde vardır. [ ] in elemanlarına
ve " ∙ " işlemleri ∀(
(
,
,
, ⋯ ), ( ,
,
> 0 tam sayısı ∀ ≥
⊆
veya
⊆
, ⋯ ) sonsuz dizilerinin
için
= 0 olacak
üzerinde polinomlar denir. [ ] üzerinde " + "
, ⋯ ) ∈ [ ] için
,⋯) +( ,
,⋯) = (
+
,
,⋯)
+
ve
(
,⋯) ∙( ,
,
,⋯) = ( ,
, ⋯ ),
şeklinde tanımlansın. Bu işlemler ile birlikte
üzerinde
belirsizli polinom halkası denir.
= 0,1,2, ⋯ için
=
[ ] bir halkadır ve bu halkaya
2.4.Cisim
Tanım 2.4.1
birimli bir halka ve 0 ≠ 1 olsun. Eğer
elemanı tersinir ise
nin sıfırdan farklı her
ye bir bölüm halkası denir. Değişmeli bir bölüm halkasına
cisim denir.
12
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.4.2
bir halka ve ,
nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer ,
işlemlerine göre kapalı ve bu işlemlere göre bir halka ise
denir.
ye
bir cisim ve ,
nin bir alt halkası olsun. Eğer
nin bir alt cismi denir.
ya
nin
nin bir alt halkası
aynı zamanda bir cisim ise
nin kendisinden farklı her alt cismine
nin bir öz alt
cismi denir.
Tanım 2.4.3 Eğer
Tanım 2.4.4
≅
cismine
ve her
cismi öz alt cisme sahip değilse
tamlık bölgesi ve
∈
ve 0 ≠ ,
nin kesir cismi denir.
Tanım 2.4.5
,
bir cisim ve
cisim genişlemesi denir.
Tanım 2.4.6
bir cisim ve
bir cisim olsun. Eğer
∈
için
[ ] in kesirler cismi ( ) ile gösterilir.
( )
( )
( ),
bir asal sayı ve
(
( ) e
∈ ℕ olmak üzere eleman sayısı
) ile gösterilir.
2.5.Modül
Tanım 2.5.1
bir halka,
ye
nin bir
belirsizinin polinom halkası [ ] olsun.
nin bir cisim genişlemesi olur.
Galois Cismi denir ve
olacak şekilde mevcut ise
( ), ( ) ∈ [ ] ve ( ) ≠ 0
fonksiyonlar cismi denir.
Tanım 2.4.7
alt halkası
nin elemanları ile gösterilirse , ( ) in bir alt cismi
dır. Burada sabit polinomlar
olup
=
nin bir
nin bir alt cismi olsun. O zaman
üzerinde bir
( )=
bir asal cisimdir.
bir toplamsal değişmeli grup, işlemi
13
üzerindeki rasyonel
olan sonlu cisme
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
×
⟶
( , )⟶
şeklinde tanımlı bir sol çarpım olsun. Eğer ∀ , ∈
( + )=
(i)
(ii)
(iii)
ise
1
( + ) =
( ) = (
ya bir sol
=
ve ,
+
)
∈
için
+
birimli bir halka olmak üzere ∀ ∈
-modül denir. Eğer
için
ya birimli sol -modül denir. Benzer şekilde sağ -modül ve birimli
ise
sağ -modül tanımlanır.
Tanım 2.5.2
bir halka,
-modül ve ∅ ≠
bir
toplamsal alt grubu ve ∀ ∈ ,
∈
için
∈
⊆
ise
olsun. Eğer
ye
,
nın
nın alt modülü denir.
Bir bölüm halkası üzerindeki bir vektör uzayının bir alt modülüne alt uzay denir.
Tanım 2.5.3 Bir
nin alt modülleri sadece {0} ve
modülü verilsin. Eğer
ye basit modül denir.
Tanım 2.5.4
-modül olsun. { ∈ |
bir
ideal sıfıra eşitse
ye faithful modül denir.
verilsin. Eğer
bir faithful
= 0} kümesi
den
ise
nin bir idealidir. Bu
ye bir halka homomorfizması
-modül ise halka homomorfizmasına faithful
homomorfizm denir.
Tanım 2.5.5
(i)
(ii)
oluyorsa
∀ ,
∀
ve
∈
∈
ye bir
iki -modül ve :
→
bir fonksiyon olsun. Eğer
için ( + ) = ( ) + ( )
ve
∈
için (
)=
( )
-modül homomorfizması denir ve
homomorfizmalarının kümesi
( , ) ile gösterilir.
14
den
ye tüm
-modül
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.5.6
∀ ,
∈
bir halka,
bir sol -modül olsun. ∀ ∈
değişmeli halka ve
için
(
oluyorsa
)=(
) = (
ve
)
ye bir -cebir denir.
Tanım 2.5.7
bir -modül ve
= 1,2, ⋯ , için
tek { , , ⋯ ,
}⊂
⊆
olsun.
≠ 0 olmak üzere
serbest -modül denir.
ve { ,
,⋯,
=
}⊂
nin sıfırdan farklı her
+⋯+
elemanı için
olacak şekilde bir ve bir
bulunabiliyorsa
ye
üzerinde
2.6.Vektör Uzayları
Tanım 2.6.1
(
,
vektörlerin bir kümesi ve
),
,⋯,
=( ,
,⋯,
,
sağlanırsa
Her ,
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
=(
∈
için iki vektörün toplamı ve
=
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve ∅ ≠ ,
nin
+
+
,
+
,⋯,
+
) şeklinde tanımlansın. Buna göre eğer aşağıdaki aksiyomlar
,⋯,
∈
ve
=
) ve
skalerle bir vektörün çarpımı
(
)∈
bir cisim olsun. Ayrıca
ye
cismi üzerinde bir vektör uzayı denir.
ve
,
∈
için
( + )=
+
( , +) değişmeli bir gruptur.
∈
( + ) =
(
1⋅
Tanım 2.6.2
)=(
=
,
)
+
olacak şekilde 1 ∈
herhangi bir alt kümesi olsun. Eğer
,
vardır.
de tanımlanan toplama ve skalerle çarpma
15
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
işlemlerine göre bir vektör uzayı ise
ya
nin bir alt vektör uzayı ya da kısaca alt
uzayı denir.
Tanım 2.6.3 Bir
cismi üzerinde tanımlanan vektör uzayındaki vektörlerin bir
kümesini içeren bütün alt uzayların arakesitine o kümenin -lineer gereni denir.
Tanım 2.6.4 ,
⊆
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve
olsun.
+
olması = 1,2, ⋯ , olmak üzere
+ ⋯+
= 0 olmasını gerektiriyorsa
üzerinde lineer bağımlıdır denir.
⊆
≠ 0 ise
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve
olsun.
=
kümesi
nin bir alt uzayıdır.
Tanım 2.6.6 ,
,⋯,
}
=0
üzerinde lineer bağımsızdır denir. Eğer ∃ için
Tanım 2.6.5 ,
={ ,
kümesine
cismi
kümesine
={ ,
cismi
,⋯,
}
∈
alt uzayına
tarafından gerilen alt uzay denir.
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve ∅ ≠ ,
kümesi olsun. Buna göre aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman
nin bir bazı veya tabanı ve bazdaki eleman sayısına
(i)
alt kümesi lineer bağımsızdır.
(ii)
alt kümesi
yi gerer.
16
⊆
nin bir alt
alt kümesine
nin boyutu denir.
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.6.7 ,
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı
uzayı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman
=
direkt toplamı denir ve
=
(i)
+
ve
,
nin iki alt
alt uzaylarının
şeklinde gösterilir.
= {0}
∩
(ii)
⊕
ye
ve
2.7.Lineer Dönüşümler ve Matrisler
Tanım 2.7.1
:
→
,
ve
cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı olsun. Eğer
dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlar ise o zaman bu dönüşüme bir lineer
dönüşüm denir.
(i)
Her
(ii)
Her
,
∈
∈
ve
vektör uzayından
için (
∈
)= (
+
için (
)=
)+ (
( )
)
cismi içine olan bir lineer dönüşüme lineer fonksiyonel ya da
lineer form denir.
Tanım 2.7.2
biçimdeki bir :
Tanım 2.7.3
,
cismi üzerinde bir vektör uzayı olmak üzere,
→
, ,
lineer dönüşümüne, bir izdüşüm denir.
bir
cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, :
fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa
Her
∈ , her
(
dır.
(ii)
Her
∈
, her
,
+
∈ , her
, )= (
∈ , her
,
∈
için
, )+
∈
17
olacak
×
→
dönüşümüne bilineer dönüşüm
denir.
(i)
=
için
(
, )
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
( ,
)= ( ,
+
)+
( ,
)
dır.
Tanım 2.7.4 ,
bir
bilineer dönüşümü her
cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, :
,
∈
(
için
)= (
,
×
→
) eşitliğini sağlarsa
,
bilineer dönüşümüne simetriktir denir. Simetrik bir bilineer fonksiyona,
vektör
uzayı üzerinde bilineer form denir.
Tanım 2.7.5
, ,
cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, :
bir
bilineer bir dönüşüm olsun.
kümesi
{0} ise
={ | ∈
vektör uzayının alt uzayıdır. :
×
→
ve her
∈
bir iç çarpım uzayı ve ,
form olsun. Bir :
→
bilineer bir form olsun.
olacak şekildeki bir
∗
Tanım 2.7.7 Bir
=
:
→
=
üzerinde dejenere olmayan bir bilineer
lineer dönüşümünün ek dönüşümü her ,
( ( ), ) =
→
için ( , ) = 0}
bilineer formuna dejenere olmayan bilineer form denir.
Tanım 2.7.6
×
,
∗(
∈
için
)
lineer dönüşümüdür.
×
kare matrisinin izi
elemanlarının toplamı olarak tanımlanır ve
( )=
dır.
18
matrisinin esas köşegen
( ) ile gösterilir. Yani
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.7.8 Eğer
,
bir cisim ise
sütunları ifade edilirse
,⋯
×
ile
tipindeki birim matris
üzerindeki bir permütasyon matris
nin
nin sütunlarının
değiştirilmesi ile elde edilen matristir.
Tanım 2.7.9
:
→
nin
- temsili denir. Varsayalım ki
ise
lineer
,
bir cism ve
( ) homomorfizmasına
nin
∈
bir grup,
∗
( , ) de bir
dönüşümünü
cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
üzerindeki bir lineer temsili ya da kısaca
nin bir bazı { ,
,⋯
} olsun. O zaman
∗
( , )
matrisi vardır öyle ki bu eleman verilen baza göre bir
temsil
eder.
:
→
dönüşümü
bir
homomorfizmadır ve bu homomorfizma verilen baz ile ilişkili matris temsili olarak
isimlendirilir (Burada
matrislerin kümesidir ve
( , ),
üzerinde tanımlı bütün
( ) de
grubudur).
×
tipinde tersinir
nin tersi olan bütün lineer dönüşümlerinin
2.8.İç Çarpım Uzayları
Tanım 2.8.1 ,
cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı olmak üzere
⟨ , ⟩:
×
→
dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme
üzerinde bir iç çarpım denir.
Üzerinde iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına iç çarpım uzayı denir.
(i)
Her
(ii)
Her
için ⟨ , ⟩ ≥ 0
∈
için ⟨ , ⟩ = 0 olması için gerek ve yeter koşul
∈
olmasıdır.
(iii)
Her
,
∈
için
eşleniğidir)
(iv)
(v)
Her ,
∈
Her , , ∈
ve
∈
⟨ , ⟩=⟨ , ⟩
için ⟨
dir.(⟨ , ⟩, ⟨ , ⟩
, ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.
için ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ + ⟨ , ⟩ dir.
19
nin
=0
karmaşık
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.8.2
olmak üzere
,
kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı
⟨ , ⟩:
×
→
dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme
üzerinde bir Hermityen iç
çarpım denir. Üzerinde Hermityen iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına
Hermityen iç çarpım uzayı denir.
(i)
Her
(ii)
Her
∈
∈
için ⟨ , ⟩ ≥ 0
olmasıdır.
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Her ,
Her ,
Her ,
∈
∈
∈
Her , , ∈
Tanım 2.8.3
için ⟨ , ⟩ = 0 olması için gerek ve yeter koşul
=0
için ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.
ve
ve
∈
∈
için ⟨
, ⟩ = ⟨ , ⟩ dir.
için ⟨ ,
⟩= ⟨ , ⟩
için ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ + ⟨ , ⟩ dir.
bir iç çarpım uzayı ve
,
∈
olsun. Eğer ⟨ , ⟩ = 0 ise
ve
birbirine diktir denir. Bütün vektörleri ikişer ikişer birbirine dik olan kümeye dik
küme, her vektörü birim uzunluğa sahip olan (yani normu 1 olan) bir kümeye de
ortonormal küme denir.
Tanım 2.8.4 ,
cismi üzerinde tanımlanmış bir iç çarpım uzayı ve
kümesi olsun. O zaman
= { ∈ |⟨ , ⟩ = 0, ∀ ∈
kümesine dik tümleyen denir.
20
için}
,
nin bir alt
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.9.Serbest Gruplar
≠ ∅ bir küme olsun.
Tanım 2.9.1
∩
ve
= ∅ olsun. ∀ ∈
={
tanımlansın.
için
,
| ∈ } ve 1 ∉
ile aralarında bire bir eşleme olan küme
:
∪
→
→ ( )=
,
∪ {1} kümesini ele
∪
olsun.
şeklinde
alalım. Bu kümenin elemanlarından oluşan ve sonlu terimi dışındaki bütün terimleri
1 olan ( ,
=( ,
değilse yani
, ⋯ ) dizisine
, ⋯ ) bir kelime olsun. Eğer bu kelimede ∀ ∈
=
Eğer
,⋯,
gösterilebilir.
∈
≠
ise
özellikleri sağlanır ise
,
in elemanları üzerinde bir kelime denir.
ve bir ≥ 1 için
ve
=
olmak
=
üzere
üzerinde bütün indirgenmiş kelimelerin kümesi
⋯
≥
,
=
kabul edebiliriz. 0 ≤
≤
⋯
)
=
1
⋯
⋯
olmak üzere
olsun.
⋯
⋯
üzerinde bir serbest grup denir.
Tanım 2.9.2
( ) ise,
herhangi bir grup,
grubu
Teorem 2.9.3
,
⊆
şeklinde
( ) olsun.
( )
,
,
,
<
=
=
=
<
<
= .
( ) = ⟨ ⟩ ile gösterilir.
nin bir üreteçler kümesi olsun. Eğer
üzerinde serbest olup
bir grup, ,
= ±1,
= 0,1,2, ⋯ , − 1 için
( ) yukarıda tanımlanan ikili işleme göre gruptur ve
( )e
⋯
=1
∈ ( ) olsun. Genelliği bozmaksızın
⋯
koşulunu sağlayan en büyük tamsayı
=(
komşu
, 1,1, ⋯ ) bir indirgenmiş kelime ise
,⋯,
üzerinde bir ikili işlem aşağıdaki gibi tanımlansın.
=
ile
= 1 iken ∀ ≥ için
a indirgenmiş kelime denir.
=( ,
için
ya
olsun. Eğer
21
≅
nin serbest üreteçler kümesi denir.
grubu hem
hem de
üzerinde
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
serbest ise, | | = | | dir. Başka bir deyişle, bir serbest grubun herhangi iki serbest
üreteçler kümesinin kardinalitesi aynıdır. Bu kardinaliteye o grubun rankı denir.
2.10.Grup Etkisi
Tanım 2.10.1
bir grup ve
∗:
boştan farklı bir küme olsun. Bir
⟶ , ( , ) ⟶∗ ( , ) =
×
∗
fonksiyonu verilsin. Eğer
(i)
Her
(ii)
Her
∈
için ∗
∈
=
ve , ℎ ∈
O zaman ∗ fonksiyonuna
nin
ise;
için ( ℎ) ∗
∈
ya bir -kümesi denir.
=
olarak tanımlı ∗ fonksiyonu
nin kendi üzerine soldan çarpma etkisi denir.
nin kendi üzerine sağdan çarpma etkisi tanımlanabilir.
Teorem 2.10.2 Bir
için
∗
için
nin kendi üzerine bir etkisidir. Buna
∈
∗ (ℎ ∗ ) ise;
üzerine bir etkisi ve
bir grup olsun. Her ,
Benzer şekilde
=
grubu bir
( )=
permütasyondur ve
:
∗
→
homomorfizmadır.(Burada
kümesi üzerine etki etsin ve
biçiminde tanımlı
( ), ( ) =
( ),
biçiminde tanımlı
olsun. Her
üzerinde bir
fonksiyonu bir
nın permütasyonlarının grubudur)
Yukarıda görüldüğü gibi eğer bir
nin her elemanı
fonksiyonu
∈
grubu bir
kümesi üzerine etki ederse
üzerinde bir permütasyon tanımlar ve
homomorfizma tanımlıdır. O halde bir
den
grubunun her etkisi
( ) içine bir
nin bir permütasyon
temsilini tanımlar.
Tanım 2.10.3
,
∈
için
biçiminde tanımlı
grubu kendi üzerine soldan çarpma biçiminde etki etsin ve her
( )=
olsun.
fonksiyonu
∈
( ) ve
:
→
( ), ( ) =
nin bir permütasyon temsilidir. Buna
22
nin sol
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
regüler temsili denir. Benzer şekilde
nin kendi üzerindeki sağdan çarpma etkisi de
nin bir permütasyon temsilini tanımlar. Buna
nin sağ regüler temsili denir.
2.11. Jacobian Matris ve Taylor Serisi
⊂ ℝ açık bir küme, :
Teorem 2.11.1
∈
→ℝ
olmak üzere
de türevlenebilen bir dönüşüm ise her 1 ≤
türevleri vardır ve
nin
≤
noktasındaki Jacobian Matrisi
( )
⎡
⎢
( )=⎢
⎢
⎣
⋮
için
),
,⋯,
( )
kısmi
( )
( )
⎤
⎥
⋮ ⎥
( )⎥
⎦
⋯
⋱
( )
,1 ≤ ≤
=( ,
⋯
×
dır.
Tanım 2.11.2 Bir
∈
noktasının -komşuluğu
( , ) = { :| −
olarak tanımlanan kümedir. Buradaki
|< }
noktasına komşuluğun merkezi,
sayısına
ise komşuluğun yarıçapı denir.
Tanım 2.11.3
fonksiyonu bir
noktasının bir komşuluğunda tanımlı olsun. Eğer
lim
→
varsa,
fonksiyonu
( )− ( )
−
noktasında diferansiyellenebilir denir. Bu limit değeri
ile gösterilir.
23
( )
Melek ŞENOL
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım 2.11.4 Bir
karmaşık fonksiyonu bir
noktasının belli bir
komşuluğundaki bütün noktalarda diferansiyellenebiliyorsa ,
Eğer bir
da analitiktir denir.
kümesinin bütün noktalarında analitikse ,
karmaşık fonksiyonu bir
üzerinde analitiktir denir. Bir
( , )
fonksiyonu
nin tüm noktalarında analitikse
ye
tam fonksiyon denir.
Teorem 2.11.5 Bir
fonksiyonu, yakınsaklık yarı çapı
( )=
( − )
≥ 0 tamsayısı için
kuvvet serisi ile verilsin. O zaman her
( )(
=
dir. Diğer taraftan,
> 0 olan
!
fonksiyonu bir
)
sayısını içeren bir açık kümenin her
noktasında her basamaktan türeve sahip ise
( )(
!
)
kuvvet serisi oluşturulabilir. Bu seriye
( − )
nin
24
civarındaki Taylor Serisi denir.
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
3.GRUP HALKASI NEDİR
3.1.Giriş
bir cisim olsun. 3 elemanlı { , , } kümesi verilsin ve bu kümeyi taban kabul
eden
∙
vektör uzayı
olsun. Bu durumda
kümesi , , ∈
için
∙
+
∙
+
şeklindeki bütün toplamların kümesidir. Eğer 4, 5 ya da 6 elemanlı küme
verilirse, bu yapıyı oluşturmak zor değildir. Fakat daha büyük bir küme verilirse ∑
notasyonu kullanılır. Genellikle, eğer
, ∑
vektör uzayı
∈
∙
∈
dır. Sonuç olarak
sadece ∑
sonlu sayıda
∙
kümesi verilirse o zaman
tabanıyla
-
şeklinde tüm formal toplamlardan oluşur. Burada
nin sonsuz olmasında hiçbir zorluk yoktur. Burada
toplamının sonlu olması kısıtlanmaktadır. Bunun anlamı sadece
katsayılarının sıfırdan farklı olmasıdır.
∙
+
∙
=
(
de ki toplam
+
)∙
(
)
ve skalerle çarpım
∙
=
( ∙
)∙ ,
şeklindedir.
nin elemanları nasıl çarpılır?
(∑
∙ )°(∑
∙ ) = ∑(
∙
)∙
çarpımı çok fazla ilginç değildir ve hiçbir
doğal seçimle varlığı görülemez. O zaman
bir küme değil bir çarpımsal grup kabul
edilmelidir.
O halde
bir cisim ve
O zaman [ ] grup halkası
sonlu olması gerekmeyen çarpımsal bir grup olsun.
tabanlı
-vektör uzayıdır ve çarpma
25
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
∙
∈
∙
∈
=
, ∈
∙
(
)=
∈
∙
şeklinde tanımlıdır. Burada
=
=
dir.
[ ] deki çarpmanın birleşme özelliğini garanti eder.
de ki birleşme özelliği
Böylece [ ] bir halkadır ve aslında bir
-cebirdir.
[ ] sonlu boyutlu
nin sonlu olduğunu kabul edelim. Bu durumda
-
cebirdir. Sonlu boyutlu
-cebir çalışmaları sonlu grup çalışmalarından daha iyi bir
şekilde şekillendiği için
[ ] grup halkası grup teorisinin konusu olarak ele alınır.
sonsuz ise o zaman ne grup teorisi ne de halka teorisi özel bir şekilde
Eğer
ilerlemez ve burada ilginç olan şey ikisi arasındaki karşılıklı etkidir.
Örnek 3.1.1
=
=(
=∑
∈
, +,∙) , = { , } ise
,
grup halkasını belirleyelim.
∈
+
0
+
0
0
+
+
0
+
26
+
0
+
0
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
∙
0
0
0
0
0
+
Örnek 3.1.2
+
+
Şimdi
ve
∙
0
0
bir küme ve
0
+
aşağıdaki şekilde tanımlansın:
∙
= {1,2,3} kümesini alalım.
=
⋂
0
+
+
nin kuvvet kümesi
= ( ⋃ )\( ⋂ ) ve
+
+
0
( ) olsun.Her
,
∈
( ) için
olsun. ( ) bu işlemlerle bir halkadır.
( ) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} şeklindedir.
( ) nin sıfırı ∅ ve birimi
kümesidir.
= { , , , } Klein-4 grubunu alalım. ( ) grup halkasını bulalım.
( )
=
={
=∑
∙e+
∈
∙a+
,
∙b+
∈ ( )
∙c │
∈P(S) }
(∅e+{1}a+{2}b+∅c), ({1,2,3}e+{1,2,3}a+{1,2,3}b+{1,2,3}c) ∈ P(S)G olsun.
(∅ + {1} + {2} + ∅ ) + ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) =
{1,2,3} + {2,3} + {1,3} + {1,2,3}
({1} + {2} ) ∙ ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) = {1,2} + {1,2} +
{1,2} + {1,2} .
27
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
3.2.Sıfır Bölen
[ ] grup halkasında [ ] nin bir bazı ile
nin elemanları özdeşlenirse ∑
∙
deki toplamı ve çarpımı adi toplam ve adi çarpım olarak görebiliriz. Özel olarak bu
,
notasyon da ki “nokta” atılabilir. Ayrıca eğer
alt kümesi olduğu için
içerisine gömülebilir. ,
devirli grubunu ve
düşünebiliriz. İlk olarak
nın
mertebeli ise
[<
bazının bir
[ ] , [ ]
,<
nin birimden farklı bir elemanı olsun. O zaman
[ ],
[<
sonlu
>] i içerir ve
>] ve böylece
>]
grup halkasını
,
[ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine eğer
sonsuz
[<
halkası gibi görebiliriz ve aslında
)=1−
+⋯+
[<
in bütün kuvvetleri farklıdır ve
kuvveti tarafından bölünebilen
[<
>
> 1 mertebeli olsun. O zaman 1 , , ⋯ ,
bütün sonlu toplamlardan oluşur. Böylece [<
= 0 denklemi
>], ∑
formundaki
>] grup halkasını
>] in her elemanı
[ ] polinom
in yeterince büyük
in bir polinomudur. Böylece
[<
rasyonel fonksiyon cismi tarafından içerilir. Bu nedenle
bölgesidir.
Eğer
,
[ ] dır. Böylece
- lineer gereni
in farklı kuvvetleridir ve (1 − )(1 +
gösterir ki
nin alt grubu ise
[<
>],
( )
>] bir tamlık
birimden farklı sonlu mertebeli bir torsiyon elemana sahipse o zaman
[ ] aşikar olmayan sıfır bölenlere sahiptir. Fakat eğer
birimden farklı sonlu
mertebeli elemana sahip değilse o zaman en azından sıfır bölenler açık şekilde
yoktur. 25 yılın üzerinde uğraşılan “ torsiyonsuzdur gerek ve yeter koşul [ ] sıfır
bölensizdir” hipotezi aslında grupların oldukça basit sınıfları olan serbest gruplar ya
da değişmeli gruplar için doğrudur. Değişmeli gruplar için olan ispat oldukça
kolaydır.
değişmeli, torsiyonsuz ve
kapsayan
,
∈ [ ] için
= 0 olsun. ,
nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. Bu durumda
Değişmeli grupların temel teoremi gereğince
,<
sonsuz devirli grupların direkt çarpımıdır. O zaman
polinom halkası ve ( ,
,⋯,
> ,<
ve ,
ve
yı
[ ] a aittir.
> ⋯ ve <
[ ] nin [ ,
,⋯,
>
]
) rasyonel fonksiyon cismi arasında olduğunu
göstermek zor değildir. Aslında [ ], ( ,
28
,⋯,
) nin (
⋯
) nin yeterince
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
,
büyük kuvveti tarafından bölünebilen
,⋯,
ye bağlı bütün polinomlarının
kümesidir. Böylece [ ] bir tamlık bölgesidir ve ya
R bir halka olsun. ,
∈
= 0 ya da
= 0 dır.
için αRβ = 0 ⇒ α = 0 ya da β = 0 oluyorsa
halkasına asaldır denir. Açık bir şekilde değişmeli olma durumunda genel tanımla bu
uyuşmaktadır. Örneğin;
≥ 2 için sıfır bölenlere sahip olmasına
matris halkası
rağmen her zaman asaldır.
Teorem 3.2.1 [ ] grup halkasının asal olması için gerek ve yeter koşul
nin
birimden farklı sonlu normal alt grubunun olmamasıdır.
İspat. Kabul edelim ki
,
∑
ise ℎ
∈
ℎ olsun. Eğer ℎ ∈
=
ve böylece ℎ =
=
dır. Özel olarak
için
=
= | |1 −
ve böylece
ve merkezcildir ve
=
nin birim olmayan sonlu normal alt grubu ve
∈
=
=| |
ℎ
= 0 dır.
ise
ve
, G de normal olduğu için ∀
∈
dır. Böylece , [ ] nin bir bazı ile değişmelidir
[ ] = [ ]
=0
dır.
Sonuç olarak
ve
sıfır olmadığı için
[ ] asal değildir.
Karşıt yönünü göstermek oldukça zordur.
nasıl bulunacağını düşünmeliyiz. Eğer
mertebelidir ve ∀
∈
için
ℎ =
ℎ
nin sonlu bir normal alt grubunun
böyle bir alt grup ve ℎ ∈
∈
dir.
29
=
ise ℎ sonlu
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
Böylece ℎ nin
deki eşlenikleri
ℎ olan sonlu sayıda
tarafından içerilir ve
eleman vardır.
Şimdi aşağıdaki kümeleri düşünelim.
∆( ) = { ∈ | in
∆ ( )=
Yardımcı Teorem 3.2.2
O zaman
de sonlu sayıda eşleniği vardır
ve in mertebesi sonludur.
bir grup ve ∆( ) ve ∆ ( ) yukarıdaki gibi tanımlansın.
∆( ) ve ∆ ( ),
(i)
in
∈
de sonlu sayıda eşleniği vardır}
nin normal alt gruplarıdır.
∆ ( ) ⊆ ∆( ) ve ∆( ) ∕ ∆ ( ) bölüm grubu torsiyonsuz değişmeli
(ii)
gruptur.
∆ ( ) ≠ 1 ⟺ G birimden farklı sonlu normal alt gruba sahiptir.
(iii)
İspat .
∆( ) ⊲
(i)
olduğunu gösterelim. ( ) = {
∆( ) = { ∈ | ( ) sonlu} dır.
∆( ) ⊆
dir ve
∆( ) ≤
olduğunu gösterelim.
∆( ) ≠ ∅ dir.
∈
ve ∀
∈
sonlu mudur?
(
∶
)={
( )⟶ (
=ℎ ℎ
için
⇒ (
⟶
)
=
olup
∈ ∆( ) ve böylece
∈ ∆( ) olsun. O halde ( ) sonludur.
| ∈ } = {(
),
=
| ∈ } olmak üzere
) | ∈ }
olsun.
= (ℎ
ℎ )
30
(
)
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
⇒ (
⇒ (
⇒
(
∀ℎ
iyi tanımlıdır
⇒ (
)
) için ℎ ℎ
∈
⇒
birebirdir.
∈ C(
ℎ
örtendir. Böylece
| ( )| = |C(
O halde (
|C( )| =
(
)={
) sonlu ve
| ∈ }, ( ) = {
olsun.
)(
)| ∈ }
( ) ( ) = {(
| ∈ }
⇒ (
) ⊆ C( ) C( )
⇒ |C(
)| ≤
⇒ |C(
⇒ (
ℎ )
= (ℎ ℎ )
=ℎ ℎ
( ) olup (ℎ ℎ ) = ℎ
∈ ∆( ) dir.
ve |C( )| =
= {(
) = (ℎ
)| elde edilir.
∈ ∆( ) olsun.
( )={
ℎ )
) = (ℎ ℎ )
) = (ℎ ℎ ) ⇒ (
O halde
,
) = (ℎ
| ∈ } sonludur ve
)(ℎ ℎ )| , ℎ ∈ }
)| ≤ |C( ) C( )| = |C( )||C( )| =
⋅
) sonludur.
31
⋅
ℎ
dir. Yani
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
∈ ∆( )
⇒
O halde ∆( ) ≤
∀ ∈ ∆( ) , ∈
dir.
∈ ∆( ) midir?
için
∈ ∆( ) ise ( ) = {
(
)={ (
(
⇒ (
) = {(
)
) (
)⊆ ( )
| ∈ } sonludur.
| ∈ }
) | ∈ }
⇒ C( ) sonlu olduğundan (
) de sonludur.
∈ ∆( ) dir.
⇒
Böylece ∆( ) ⊲
olduğu görülür.
∆ ( )⊲
olduğunu gösterelim. ( ) = {
∆ ( ) ⊆
, ∆ ( ) ≠ ∅ dir.
{ ∈ |C( ) sonlu ve | | < ∞} dır.
(
∈ ∆ ( ) olsun . O halde ( ) sonludur ve | | < ∞ dur.
)={
∶
| ∈ }
= {(
( )⟶ (
| ( )| = |C(
(
) | ∈ }
) fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterdik.
)| olduğundan C(
∈ ∆ ( ) olduğundan
,
| ∈ } olmak üzere ∆ ( ) =
) =(
)
in mertebesi sonludur. | | =
=1⇒ |
∈ ∆ ( ) olsun.
) sonludur.
| ∕
⇒ |
| < ∞ olup
32
olsun.
∈ ∆ ( ) dir.
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
( )={
| ∈ } ve ( ) = {
olur.
(
(
(
) nin sonlu olduğunu gösterdik. | | = , | | = olsun.
) sonlu olduğundan
)
(
)
∈ (
elemanının mertebesi m olsun.
) elemanının mertebesi sonludur.
( (
=( (
)
)( (
)
)
)
⇒ (
)(
⇒ (
)
⇒ (
⇒(
⇒|
⇒|
⇒
∈ ∆ ( )
∀
∈ ∆ ( ), ∈
O halde ∆ ( ) ≤
C(
C(
| ∈ } sonludur ve | | < ∞, | | < ∞
)(
) =
)(
)⋯(
=
)
)⋯(
)
=
)(
)=
)
=
|<∞
dir.
için
∈ ∆ ( ) midir?
) sonlu olduğundan
( (
)(
)
|∕
) in sonlu olduğunu gösterdik. | | =
sonludur. (
)⋯( (
)
(
)
)
)( (
olsun.
∈ C(
elemanının mertebesi n olsun.
) =( (
⇒ (
⇒ (
⇒ (
)(
)(
)
)(
)⋯(
=
33
)
)(
) elemanının mertebesi
)⋯( (
)
)⋯(
=
)
)(
)=
)
=
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
|
|∕
⇒(
⇒|
⇒(
|<∞
Böylece ∆ ( ) ⊲
(ii)
∆( ) ⊲
) =
) ∈ ∆ ( ) dir.
olduğu görülür.
∆ ( ) ⊆
olduğu açıktır.
ve ∆ ( ) ⊲
olduğundan ∆ ( ) ⊲ ∆( ) dir. Bu durumda ∆( )⁄∆ ( )
bölüm grubundan söz edebiliriz.
∆( )⁄∆ ( ) = { ∆ ( )| ∈ ∆( )} dir ve
∆ ( ) ∈ ∆( )⁄∆ ( ) nın mertebesi
olsun.
⇒
(
∆ ( )
=∆ ( )⇒
∆ ( )=∆ ( )⇒
nın mertebesi sonludur. |
) =
=
⇒ | |⁄
⇒
| = olsun.
∈∆ ( )
in mertebesi sonludur.
∆ ( ) ⇒ ∆ ( ) birim elemandır.
∈∆ ( )⇒ ∆ ( )=
O halde ∆( )⁄∆ ( ) torsiyonsuzdur.
∆( )⁄∆ ( ) nin değişmeli olduğunu gösterelim.
,
∈ ∆( ) için
∆ ( )
=< ,
∆ ( ) =
> ve ∆ ( ),
∆ ( )
∆ ( ) olduğunu göstermeliyiz.
Lemma 3.2.3
∆ ( ) ∈ ∆( )⁄∆ ( ) olsun.
∆ ( ) olduğunu göstermek için
, ∆( ) nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. O zaman |
İspat. Passmann (1971), Lemma 2.2’ye bakınız.
34
| sonludur.
∈
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
=< ,
> olduğundan
komütatör alt grubu sonludur.
O halde [ , ] =
sonlu üreteçlidir ve Lemma 3.2.3 den < ,
>
∈ ∆ ( ) dir.
O halde ∆( )⁄∆ ( ) değişmelidir.
Lemma 3.2.4
bir grup ve
olsun.
Eğer ∀ için [ :
(i)
(ii)
grubu
=⋃
,
,⋯,
nin sonlu alt grupları ve
=⋂
] sonlu ise o zaman [ : ] sonludur.
alt gruplarının sonlu sayıda sağ kosetlerinin birleşimi yani
ler için [ :
olsun. O zaman bazı
1,2, ⋯ ( ) .
] < ∞ dur
= 1,2, ⋯ ; =
İspat.
(i)
Eğer
∩
∩ ⋯∩
,
nın bir koseti ise
için en fazla [ :
Dolayısıyla [ : ] sonludur.
(ii)
edelim.
][ :
=
∩ ⋯∩
]⋯[ :
nin kosetlerinin bir tam kümesi
∞ olur ve böylece ispat biter. Aksi takdirde eğer
⊆⋃
,
= ∅ olduğundan
dir ve
,
olduğunu kabul
= 1 durumunda ispat açıktır.
üzerine indüksiyon yapalım.
∩
,
⊆⋃
,⋯,
yoksa
,
⊆⋃
dir.
≠ 0} kümesini gösterelim. Yani;
]<
dir.
kosetlerinin sonlu birleşimi
için ispat biter.
Şimdi Teorem 3.2.1 in ispatına dönelim.
− 1 için
arasında ise [ :
olarak yazılabilir. İndüksiyon hipotezinden = 1,2, ⋯ − 1 için [ :
ile { ∈ |
dir.
] seçim yapılabilir.
lerin birbirinden farklı olduğunu ve sayısının
doğru olsun. Eğer
Fakat
∩
=∑
,
∈
=∑
] < ∞ olduğu
[ ] için S
ifadesinde
katsayıları sıfırdan farklı olan bütün grup elemanlarının kümesi olsun. Böylece
35
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
ve
Eğer
1∈
ve
,
= 0 iken
nin boş bir alt kümesidir. Kabul edelim ki
,
,
ve
ise (
∈
) [ ](
dir. Genelliği bozmaksızın
=
gösterelim.
+
=
,
+
− ∆( ) dir. 1,
⊆
[∆( )]
nin
sıfırdan
∈
=⋂
şıkkından dolayı
ℎ∈
elemanı
olsun ve
merkezler.
0=ℎ
Böylece ℎ
ℎ =−
olup
( )
,
ve
elemanı
de sonlu indekse sahiptir.
[ ]
= 0 ı ele alalım.
∈
=
)ℎ ∙
+
(ℎ
=ℎ
ℎ=
={ ,
=
( )
ℎ = 0 dır ve ℎ,
+ℎ
ℎ ) dır.
=ℎ
ℎ dir. O halde
ı
} olsun. Eğer
,⋯
olacak şekilde sabit
∈
,
ı
ℎ
ℎ
ve
olacak
de
=
yi merkezler. O halde ∀ ℎ ∈
⊆⋃,
∈
da sabit olan bir
} ve
nin tanımından
dır. Böylece ℎ
sıfır değildir çünkü
,⋯
ℎ =ℎ (
ℎ
+
da ki her elemanı merkezler ve böylece ℎ,
şekilde , vardır. Diğer bir deyişle
eşleniktir.
=
olduğunu
( )] sonludur ve böylece Lemma 3.2.4 nin (i)
ile eşlenirse o zaman
seçilmiş olur. ℎ ∈
=0
elemanlarıdır.
ise [ :
={ ,
merkezler. Şimdi
tarafından içerildiği için
− ∆( ) olduğu için bu iki toplam arasında
( ),
∈
⊆ ∆( ) ve
,
⊆
iptal etme durumu olmaz. O halde
de
farklı
,
1 i içersin.
ve
≠ 0 olsun. O zaman
seçilebilir. Eğer
ve
= 0 olsun.
) = 0 dır ve 1 ∈
olsun. Burada
⊆ ∆( ) ve
ki ℎ ∈
[ ]
grup halkasının sıfırdan farklı elemanları olmak üzere
∈
[ ] asal olmasın.
dir.
36
için uygun bir , vardır öyle
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
[ : ] sonlu olduğundan
=⋃,
birleşimidir ve
=⋃
şeklinde
( )
,
nın sağ kosetlerinin sonlu
,
dır. Böylece
( ) alt gruplarının
kosetlerinin sonlu bir birleşimi olarak yazılabilir. O halde Lemma 3.2.4 nin (ii)
ler için [ :
şıkkından bazı
∈
edilir. Çünkü
,
( )] sonludur. Buradan
∈ ∆( ) çelişkisi elde
− ∆( ) idi. Böylece
⊆
= 0 dır.
[∆( )] nın sıfırdan farklı elemanları olduğu için
,
= 0 ve
[∆( )] aşikar olmayan
sıfır bölenlere sahiptir. Bu yüzden ∆( ) torsiyonsuz değişmeli grup olamaz.
Yardımcı Teorem 3.2.2 (ii) ye göre ∆( )⁄∆ ( ) torsiyonsuz değişmelidir ve
böylece ∆ ( ) ≠ 1 dir. Böylece Yardımcı Teorem 3.2.2 (iii)
birim olmayan sonlu
normal alt gruba sahip olduğu zaman ki durum ispatlanmış olur. O halde Teorem
3.2.1 in ispatı tamamlanmış olur.
Sonuç olarak; Teorem 3.2.1 sıfır bölen probleminin güzel bir uygulamasıdır.
Yani,
torsiyonsuz grupsa
[ ] nin karesi sıfır olan sıfırdan farklı elemanlara sahip
gerek ve yeter koşul
olmasıdır. Eğer
∈
[ ] nin aşikar olmayan sıfır bölenlere sahip olması için
[ ],
≠ 0,
= 0 ise
[ ] nin sıfırdan farklı elemanları ve
ve ,
için Teorem 3.2.1 den [ ] asaldır. Böylece
[ ] =
sıfırdır.
[ ](
) [ ] = 0 dır. Böylece
[ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine
= 0 olsun.
torsiyonsuz olduğu
[ ] ≠ 0 dır. Fakat
[ ]
[ ] ∙
nın her elemanının karesi
3.3.Idempotent
Bir sonlu grubun grup halkasına tekrar dönelim ve grup halkasının regüler
temsilini düşünelim.
= [ ] yi sağdan çarpımla lineer dönüşüm olarak etki eden
-vektör uzayı olarak görebiliriz. Özel olarak,
bir baz
sonlu boyutlu olduğunda seçilen her
[ ] için belirgin bir matris temsili verir. Böyle olan her bir bazdan
: [ ]⟶
bir faithful homomorfizm elde edilir (Burada
tipindeki matrislerin halkasıdır). Açık bir şekilde
İlk olarak kabul edelim ki ,
gelsin. O zaman her bir
∈
=
doğal bazına yani
için sadece
37
,
üzerinde
= | | dir.
×
nin kendisine karşılık
ile sağdan çarpımla baz elemanlarının
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
sırası değişir. Böylece ( ) bir permütasyon matrisdir. Eğer
≠
∑
ve böylece
( ) = 0 dır. Tersine eğer
≠ 1 ise ∀
∈
için
-lineerdir ve böylece
=
= 1 ise (1) birim matristir ve
(1) = n = | | dir. Matris iz fonksiyonları
∈ [ ] için
( )=
dır. Diğer bir deyişle
Böylece keyfi
( ),
( )=
nın birim katsayısı
in bir sabit skaler katıdır.
: [ ]⟶
grubu için
dönüşüme iz dönüşümü denir ve
| |
dönüşümü tanımlanır. Bu
=
dır. Aslında
için
,
[ ] üzerinde
-lineer fonksiyoneldir ve
=∑
,
,
ve
=∑
=
dir ve
= 1 gerek ve yeter koşul
simetriktir. Böylece
∈
=
= 1 olduğundan
olur.
[ ] idempotent eleman ve
bazın seçiminden bağımsız olduğundan
| |
eşitliği hesaplanabilir. Yani
toplam olarak yazarsak
üzerinde
sonlu olsun. Bir lineer dönüşümün izi
için uygun bir baz alarak
=
( )
vektör uzayını
için bir baz olarak
38
=
+ (1 − ) şeklinde direkt
nin bir bazı ve (1 − ) nin bir
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
bazının birleşimini seçebiliriz.
ilk küme üzerinde birim etki ve ikinci küme
üzerinde sıfır etki şeklinde etki ettiği için
| |
dır. Eğer
nın karakteristiği
( )=
=
nin mertebesini bölmezse
=(
)⁄| |
dır.
Diğer bir deyişle
asal alt cisim
,
nın asal bir alt cisminde içerilir. Örneğin;
( )=
rasyonel sayılar cismi,
≤ | | olduğundan 0 ≤
cismidir. Karakteristik 0 olduğunda 0 ≤
Teorem 3.3.1
∈
ise asal alt cisim
( ) = 0 ise
[ ] bir idempotent eleman olsun. O zaman
,
( ) Galois
≤ 1 dır.
nın asal alt
cismi tarafından içerilir.
İspat. İlk olarak
cisminin karakteristiği
önünde bulunduralım. Cebirde, karakteristiği
inci kuvveti iyi tanımlıdır. ( + ) =
değişmeli olmayan
> 0 olsun ve
+
özdeşliği değişmeli
için [ , ] =
∈
özelliğini göz
olan cisim üzerinde ki dönüşümün
-cebirinde uygun bir genelleme ile vardır.
nın komütatör alt uzayı [ , ], ,
=
−
bir
-cebirinde ve
-cebiri olsun.
ile tanımlanan bütün
Lie çarpımları tarafından üretilen alt uzayı şeklinde tanımlıdır.
Lemma 3.3.2 , karakteristiği
,
,⋯
∈
ve
(
+
> 0 olan bir
> 0 bir tamsayı ise
+ ⋯+
)
=
cismi üzerinde bir cebir olsun. Eğer
∈ [ , ] elemanı vardır öyle ki
+
dır.
39
+ ⋯+
+
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
İspat. Passman(1971), Lemma 3.4’e bakınız.
Teorem 3.3.1 in ilk kısmını yani
=∑
ispatlayalım.
,
alt kümesi ve mertebesi
> 0 olan durumu
[ ] de bir idempotent eleman olsun ve ,
elemanlarının kümesi olsun.
kuvveti vardır öyle ki
cisminin karakteristiği
nin bir
nın karakteristiği
nin bir kuvveti olan bütün
sonlu olduğu için ∀
∈
= 1 dir.
,
≥
için
nin uygun bir
olan herhangi bir tamsayı olsun ve
olduğundan Lemma 3.3.2 yi uygulayabiliriz. Böylece [ ] nin komütatör
=
alt uzayında bir
elemanı vardır öyle ki
=
(
=
)
+
dır. Bu eşitliğin her iki tarafının izini hesaplayalım. ,
olduğundan
∈
[ , ] = 0 olur ve
= 0 elde edilir.
∈
≥
= 1 olması için gerek ve yeter koşul
için
=
∈
(
)
=
[ ] için
=
olmak üzere herhangi bir
∈
olmasıdır. Böylece
∈
dır.
Bu eşitliği bütün
dır.
∈
için
≥
tamsayıları için ele alalım. Özel olarak
(
) =
=
=
∈
denilirse
=
∈
=
ve + 1 ise
=
olur. Bu şekilde ki bütün
( ) de içerildiği için teorem karakteristik
> 0 için ispatlanmış olur.
Şimdi karakteristiğin sıfır olduğu ikinci durumu ele alalım.
40
elemanları
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
= [ ,
Lemma 3.3.3
öyle ki
] karakteristiği sıfır olan bir tamlık bölgesi olsun
,⋯
rasyonel sayılar halkasında içerilmesin. O zaman
=
vardır öyle ki
∕
=∑
nın karakteristiği sıfır ve
ve ,
= [
| ∈
] ise
halkasıdır. Şimdi
∕
=
[ ]= [ ]
∕
nin görüntüsü idempotentdir. Böylece Teorem 3.3.1
( ) de içerilir. Teorem 3.3.1 nin ikinci kısmı,
nin görüntüsü
alınırsa hemen görülür.
,
Böylece
[ ] nin alt
> 0 olan bir cisimdir.
doğal homomorfizması altında
Lemma 3.3.3 de
[ ] de
nın herhangi bir maksimal ideali olsun. Bu durumda
karakteristiği
in ilk kısmından
nin
, [ ] de idempotent eleman olsun.
da olan bütün elemanları içeren
[ ]⟶
Şimdi
∈
karakteristik sıfır durumunda bir tamlık bölgesidir
[ ] katsayıları
,
elemanı
maksimal ideali
tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçlidir. Ayrıca ,
idempotentdir ve
=
nın bir
> 0 olan bir cisimdir ve
karakteristiği
( ) de içerilmez.
görüntüsü
Eğer
∈
tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçli olsun ve
nın asal alt cismi tarafından içerilir özelliği ispatlanmış olur.
nın karakteristiği sıfır ise 0 ≤
≤ 1 özelliğini gösterelim.
İkinci özelliğin ispatı için bazı kısıtlamalar kabul edeceğiz.
, karakteristiği sıfır olan bir cisim ve
eleman olsun.
= (
| ∈
, [ ] de idempotentdir. Ayrıca
ve ,
,
),
=∑
[ ] de idempotent
,
nun sonlu üreteçli cisim genişlemesidir ve
kompleks sayılar cismi içerisine gömülebilir
[ ] de idempotentdir. O halde ilk kısıtlama olarak
edebiliriz. Burada
kompleks sayılar cismidir. İkinci olarak
göstermeliyiz. Eğer
idempotent ise o zaman 1 −
1−
=
(1 − ) ≥ 0 eşitsizliği
≤ 1 i sağlar.
41
olarak kabul
≥ 0 olduğunu
de idempotentdir ve böylece
Şimdi [ ] kompleks grup halkasını ele alalım. Eğer
[ ] nin elemanları ise
=
=∑
,
=∑
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
( , )=
ve
∕
‖ ‖=( , )
|
=
∕
|
nın eşleniğidir ve | |, nın mutlak değeridir.
dır. Burada ,
Açık bir şekilde (, ) bir ortonormal baz olan grup elemanları ile
Hermityen iç-çarpımdır ve ∥ ∥ bu bazla ilişkili normdur.
∗
[ ] üzerinde
=
şeklinde tanımlansın. O zaman ∗ dönüşümü
( + )∗ =
∗
+
∗
)∗ =
,(
∗
∗
,
∗∗
=
eşitliklerini sağlar. Böylece ∗, mertebesi 2 olan bir halka anti-otomorfizmasıdır.
∗
=
∗
, )=(
∗
( , )=
eşitliğini inceleyelim. Eğer , [ ] nin üçüncü bir elemanı ise
( ,
)=(
∗
, )
olur. Gerçekten;
=∑
,
=∑
,
=∑
olsun.
42
∗
=∑
,
∗
=∑
dır.
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
( ,
(
(
∗
∗
)=∑
, )=∑ (
=∑
=∑
)
, )=∑ (
=∑
)
.
Diğer bir deyişle ∗ hem sağ hem de sol çarpım için bu iç çarpımla bir ek
dönüşümdür.
Şimdi
≥ 0 iddiasının bir alternatif ispatını
sonlu olduğu zaman en az
elde etmek için yukarıda ki ifadeler kullanılmalıdır.
elemanı tarafından üretilen [ ] nin bir sağ ideali ve
olsun. O zaman
ayrışımıdır. Fakat
sağ idealidir.
[ ] sonlu boyutlu olduğu için
∈ ,
∈
ve
dır. Böylece ∀ ∈ için
ayrışımıdır.
∀
=
∈
+
idempotent
nın ortogonal tümleyeni
= [ ] bir direkt toplam
+
, [ ] nin sadece bir alt uzayı değil aynı zamanda [ ] nin bir
∈
( ,
+
,
[ ],
=
[ ] olsun. bir sağ ideal olduğu için
)=(
∗
∈ ve
, )=0
∈
ortogonaldir ve
∗
dir.
= [ ] olmak üzere [ ] iki sağ idealin direkt toplam olarak bir
= 1, 1 in bir ayrışımına karşılık gelsin.
[ ] ile idempotentdir. ,
ve
,
=
[ ] ve
[ ] = (1 − ) [ ] ye ortogonaldir.
[ ] için
0 = ( , (1 − ) ) = ((1 − )∗ , )
dır. Buradan (1 − )∗ ∈
[ ] = 0 dir. Böylece
∗
dir. O halde
olduğu için hem
=(
∗
)∗ =
∗
=
∗
elde edilir. O halde
=
bir self-adjoint idempotent, bir izdüşümdür.
hem de , ideali için sol birimdir.
43
[ ]= =
[ ]
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
∗
=
olur ve
=
=
=
olduğundan
=
∈
elde edilir. Bu sonucun
∗
=
=‖ ‖
≥ 0 için elde edilmiş olması değil sonsuz
ve
gruplara genişletilebilir olması önemlidir.
nin sonlu olması burada çok önemlidir.
= [ ] ayrışımı sonsuz boyutlu iç-çarpım uzaylarında genellikle doğru
+
değildir. İspat gerçekte özel bir
elemanına dayanmaktadır.
ve 1 elemanları arasındaki uzaklığı inceleyelim.
( , 1) = ‖ − 1‖ = ( − 1,
şeklinde tanımlansın.
= 1 ve ( − ,
+
( , 1) = ( −
olur. Böylece ( , 1) ≥ ‖
−
,
−
− 1)
) = 0 olduğundan
)=‖ − ‖ +‖
−
‖ dir ve eşitlik ancak
deyişle , nın 1 e en yakın olan tek elemanıdır.
Şimdi
=
bir keyfi grup, , [ ] de bir idempotent eleman ve =
=
şeklinde tanımlansın. Eğer
,
⋯
∈
( , 1) =
∈
[ ] olsun.
‖ − 1‖
sonsuz ise [ ] tam olmadığı için 1 e çok yakın olacak
nın elemanının bulunduğuna dair hiçbir kanıt yoktur. Fakat
elemanlarının
,
‖
iken elde edilir. Diğer bir
nın 1 e uzaklığı
şekilde
∈ olsun. [ ] nin
uzaklığı ile ilişkili bir dizisi vardır.
⋯ dizisi seçilebilir öyle ki
44
nın
nın elemanlarının uygun bir
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
≤‖
− 1‖ <
dır. Bu dizi, sonlu durumlarda özel eleman
=‖ ‖
yukarıda elde edilen
+ 1⁄
ile önemli bir rol oynar ve aslında
orijinal formülüne ayna tutar. Yeterli sayıda
eşitsizlikler ve yaklaşımlarla burada verilmeyen bir dizi çalışma ile
= lim ‖ ‖ ≥ 0
→
elde edilir. Böylece ispat biter.
3.4 Yarı Basitlik
Bu bölümde karakteristiğin sıfır olması durumunda önceki bazı çalışmaların
beraberinde hipotez tartışılacaktır.
Eğer
bir halka ise o zaman bir
, -modülü,
çarpımla tanımlanan toplamsal değişmeli gruptur.
halkasına
üzerinde
⟶
nin elemanlarıyla sağ
den
nin endomorfizm
halka homomorfizması verilsin. Bu dönüşüm yoluyla
nin doğal bir etkisi vardır ve bu etki sağ çarpımla tanımlıdır. Böylece
bir -vektör uzayıdır.
Eğer
nin 0 ve kendisinden başka hiçbir
indirgenemez -modül denir. Örneğin;
bir boyutlu -vektör uzayıdır.
Artık
ye
bir cisim ise indirgenemez -modül
nin indirgenemez modüllerinin terimleri üzerinde çalışabiliriz. Fakat
burada bir engel vardır.
indirgenemez
=
-alt modülü yoksa
≠
olmak üzere , ∈
-modül ve her
eşitlik sağlanır ise
olduğu söylenemez.
∈
için
=
( − ) = 0 dır ve böylece
={ ∈ |
= 0, her indirgenemez
45
elemanları vardır öyle ki her
olduğu söylenemez. Eğer bu
−
elemanının sıfırdan farklı
− modül
için}
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
ifadesine
nin Jacobson radikali denir. Jacobson radikali
nin hem sağ hem sol
idealidir.
Lemma 3.4.1
birimli bir halka olsun. O zaman
= { ∈ |∀ ∈
tersinirdir}
için 1 −
dir.
Eğer bir
halkasının Jacobson radikali sıfır ise
halkasına yarı basit denir.
İlk olarak karakteristiğin sıfır olduğu durumu ele alalım. Çünkü
sonlu
[ ] yarı basittir. Muhtemelen karakteristik sıfır durumunda
[ ] her
olduğu için
zaman yarı basittir. Burada sonsuz gruplar üzerinde ki kompleks sayılar cismini
düşünelim.
[ ] nin karakteristiğinin sıfır olması durumunda
[ ] nin yarı basit
olduğu kabul edilebilir.
Teorem 3.4.2 Her
İspat. Eğer
grubu için [ ] yarı basittir.
=∑
ise | | = ∑|
| tanımlaması ile [ ] üzerinde bir özel norm
ortaya koyalım. | + | ≤ | | + | | ve |
| ≤ | || | dır.
elemanı olsun. O zaman Lemma 3.4.1 den dolayı her
tersinirdir.
( )=
(1 −
,
kompleks sayısı için 1 −
)
fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon kompleks değişkenli
fonksiyonudur ve
noktasına göre
( ) = (1 −
[ ] nin sabit bir
nin kompleks
nin bir tam fonksiyon olduğu gösterilebilir ve başlangıç
nin Taylor serisi bulunabilir.
)
denirse
değişmelidir. Böylece
( )=
( ) olur. Açık bir şekilde ∀ ( ) ∈ [ ]
46
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
( ) − ( ) = (1 −
= [(1 −
=( − )
)
− (1 −
) − (1 −
( ) ( )
temel özdeşliği elde edilir. İlk olarak | ( )| nin
olduğunu göstermeliyiz.
| ( )| + | − ||
( )=
)](1 −
) (1 −
)
nin bir komşuluğunda sınırlı
( )−( − )
( ) ( ) ve böylece | ( )| ≤
( )|| ( )|. Böylece
| ( )|{1 − | − ||
)
( )|} ≤ | ( )|
dır.
Özel olarak
yü
ye yeteri kadar yakın seçersek {⋯ } çarpanını
den daha büyük
yapabiliriz. Böylece ~ , | ( )| ≤ 2| ( )| dir.
( ) nün tam fonksiyon olduğunu göstermeliyiz. Bunun için ilk olarak
için yukarıda ki formülü ele alalım.
( )− ( )=( − )
Bu denklem −
( ){ ( ) − ( − )
( ) ( )}
ile bölünür ve izi alınırsa
( )− ( )
−
−
( ) = −( − )
( )
( )
elde edilir.
Sonuç olarak |
| ≤ | | ve
nin bir komşuluğunda | ( )| sınırlı olmasından
lim
→
( )− ( )
=
−
47
( )
( )
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
elde edilir. Böylece ( ),
Şimdi
için
( ) ile bir tam fonksiyondur ve
( )=
( ) dır.
nin başlangıç noktasına göre Taylor serisini bulalım. Yeteri kadar küçük
( )=
(1 −
)
olduğundan (1 −
toplamı olarak yazılabilir ve izi alınarak
)
uygun bir geometrik serinin
elde edilebilir.
( )=
olsun.
( )−
( )=
( )−
( ) 1 − (1 −
=
( )
=
)∑
ve böylece
| ( )−
( )| ≤ | |
| |
| ( )|
dır.
Öncelikle | ( )| in sıfırın bir komşuluğunda sınırlı olduğunu belirtmeliyiz ve
böylece
yeterince küçük olmak üzere
lim
→
( )= ( )
olur. Böylece
( )=
48
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
eşitliği başlangıç noktasının bir komşuluğunda
genişletilmesidir.
ve her
( ) nin Taylor serisinin
bir tam fonksiyondur ve yukarıdaki serinin ( ) yi tanımladığını
için yakınsadığını anlamak için kompleks analizden iyi bilinen Teorem
2.11.6 ya başvurabiliriz. Özel olarak
lim
=0
→
dır ve bu her
∈
[ ] için sağlanır.
[ ] ≠ 0 ise o zaman bir
İspatı bitirmek için göstermeliyiz ki
elemanı vardır öyle ki yukarıdaki ifade sağlanmaz. Kabul edelim ki
sıfırdan farklı bir elemanı olmak üzere
ideal olduğu için
[ ] dir ve
∈
=
∗
=
∗
=‖ ‖
dır.
∗
)∗ = ‖
‖ ≥(
olur. Tümevarım yoluyla ∀
O halde
,
[ ] nin
=‖ ‖ ‖ ‖ =1
≥ 0 için
(
[ ]
∕ ‖ ‖ olsun. Jacobson radikali bir
nın kuvvetleri ∗ altında simetrik olduğundan ∀
=
,
∈
≥ 0 için
≥ 1 dir ve bu
[ ] = 0 dır. Böylece [ ] yarı basittir.
)
⟶ 0 ile çelişir.
rasyonel sayılar cismi üzerinde cebirsel olmayan, karakteristiği sıfır olan
bir cisim olsun. O zaman her
grubu için
[ ] yarı basittir. Tüm geri kalan cisimler
için yarı basitlik sorusu rasyonel grup halkasınınkine denktir (Passman, 1971).
Bu noktada
[ ] için yukarıdaki fikri genişletmeye çalışmada şaşırtıcı bir
durum vardır. Tekrar
dan
ya bir fonksiyon olarak
eşitliğini ele alalım. Öncelikle | | yeteri kadar küçük iken
49
( )=
(1 −
)
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
( )=
ifadesini inceleyelim. Şimdi sağ tarafı orjinin bir komşuluğunda bir analitik
fonksiyon olarak tanımlayalım. Böyle bir fonksiyonun polinom olması gerekli midir?
Maalesef böyle bir durum yoktur. Buna aşağıdaki gibi basit bir karşıt örnek
verilebilir.
,
⋯
⋯ negatif olmayan rasyonel sayıların bir sırası olsun ve
1 ( − )(
! ( + 1)(
ℎ( ) =
olarak tanımlayalım. O zaman ℎ,
− )⋯(
+ 1) ⋯ (
− )
+ 1)
ya bir tam fonksiyondur ve ℎ polinom
dan
fonksiyon değildir.
“ Sonlu üreteçli bir cebirin Jacobson radikali her zaman bir nil idealdir”
[ ] sıfır olmayan nil ideallere sahip değilse
[ ] = 0 ı sağlar.
[ ] nin yarı basit olması için gerek ve yeter koşul
∤ | | olmasıdır. Bu,
hipotezi,
Karakteristiği
zaman
> 0 olan cisim verilsin. İlk olarak kabul edelim ki
sonlu olsun. O
ikinci durum olan sonsuz gruplar için anlamlı değildir. Fakat denk durumlarda yani
nin ,
mertebeli hiçbir elemana sahip olmaması yukarıdakine denktir. Bununla
birlikte bu doğru cevap değildir. ”
[ ] ≠ 0 olması için gerek ve yeter koşul
de uygun bir şekilde
mertebeli bir elemana sahip olmasıdır’’ ifadesi doğru değildir.
iyi yerleştirilmiş olan
Lemma 3.4.3
grubu için
∈
mertebeli elemanlar önemli bir rol oynar.
, [ ] grup halkasının bir elemanı olsun.
gerek ve yeter koşul
nin
nin
[ ] olmasıdır.
⊆
,
alt
nin her sonlu üreteçli alt grubunda özel
nin normal bir alt grubu olsun. Eğer
[ ]=
[ ] olması için
olacak şekildeki her sonlu üreteçli
‘’iyi yerleştirilmiş’’ ile kastedilen
elemanların bulunmasıdır.
∈
[ ]∙ [ ]
50
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
ise
,
nin radikalini taşır denir. Burada amaç
nin uygun bir
taşıyıcı alt
[ ] yapısı iyi anlaşılsın.
grubunu bulmaktır öyle ki
, ∆ alt grubuna ve yukarıda ki Lemma 3.4.3 e dayansın.
∧ ( ) = { ∈ | i içeren
nin her sonlu üreteçli
şeklinde tanımlansın. O zaman ∧ ( ) ,
alt grubu için
∈ ∆ ( )}
nin karakteristik alt grubudur. Şimdiye
kadar sayılan örneklerin hepsinde ∧ ( ) radikali taşır.
[∧ ( )] ∙ [ ]
=
ideali üzerinde çalışılmış ve bu idealin Jacobson radikalinin çoğu özelliğine sahip
olduğu bulunmuştur. Böylece ∧ ( ) radikali taşır. Son olarak bu hipotez iyi bir
halka teorisi yorumuna sahiptir. Yani bu ‘’
sonlu üreteçli grup ise o zaman
nilpotent ideallerin birleşimidir.’’ iddiasına denktir.
Yukarıda
verilen
hipotezde
sonraki
adım
∧ ( ) ve
çalışmaktır. ∧ ( ) herhangi bir yerel sonlu gruba dönüşür ve belirli
[∧ ( )]
[ ]
yi
[∧ ( )] nin
problemi aşikar değildir. Böylece genel durumda yerel sonlu grupları çalışma
problemi ile yüzleşiliyor ve burada yeni bir madde devreye giriyor.
Eğer
,
grubunun her sonlu üreteçli alt grubu sonlu ise
nin böyle bir sonlu alt grubuysa ve
gruplarında alt normal ise
her bir
kümesi; bazı
,
⊲
⊆
⊆
olan bütün sonlu
alt
de yerel alt normaldir. Diğer bir deyişle böyle olan
ler için
=
ve
,
ye yerel sonlu denir.
⊆
⊆⋯⊆
=
şeklinde alt grupların bir zincirine sahiptir. O zaman bu yerel alt
( ) ile gösterilen
normal alt grupları kullanarak
nin yeni ve ilginç bir
karakteristik alt grubu tanımlanabilir. Sayılan bütün örneklerde
radikalini taşır ve
=
[ ( )] ∙ [ ]
51
( ),
nin
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
ideali genel durumda Jacobson radikalinin çoğu özelliğine sahiptir. Böylece
yerel sonlu ise o zaman ( ),
görünüyor ki
nin radikalini taşır.
Gruplar için yarı basitlik problemi iki parçaya ayrılır. Yani sonlu üreteçli grup
ve yerel sonlu grup durumlarına ayrılır. Bu durumların her birine ilişkin hipotezleri
∧ ( ) grubunun
birleştirirsek beklenen şey
nin radikalini taşımasıdır. Bu grup
biraz karışık gibi görünürken onun için bazı teoremler vardır. Dahası ve en önemlisi
∧ ( )
≠ 0 olması için gerek ve yeter koşul
eleman içermesidir.
Tanım 3.4.4
bir halka ise o zaman
∧ ( ) nin ,
Jacobson radikali
mertebeli bir
nin bütün maksimal sol
ideallerinin kesişimi olarak tanımlanır.
Önerme 3.4.5 , birimli bir halka olsun.
∈
(i)
∀ ∈
(ii)
(iii)
için 1 −
(1 −
için aşağıdaki ifadeler denktir.
∈
elemanı bir sol terse sahiptir. Yani
) = 1 dir.
için
için ( ∕ ) = {0} dır. (Bu ifade her basit sol
Her maksimal sol ideal
-modül
∈
= {0} a denktir)
için
İspat.
(i)⟹(ii) Eğer
∈
idealdir. Çünkü (1 −
için 1 −
sol terse sahip değilse
(1 −
∈ (1 −
)+
)⊆
∈
dır.
⊆
∈ olur. Bu ise bir çelişkidir.
(ii) ⟹(iii) Bir sol
ideal olmak üzere
Bir basit
≅
-modül
dır.
sol ideali vardır öyle ki
sol ideal olduğu için 1 =
basittir gerek ve yeter koşul , bir maksimal sol
∕ dır.
-modül
≠ 0 dır. Böylece
) bir öz sol
) 1 i içermez. ‘’Her öz ideal bazı maksimal idealler
tarafından içerilir.’’ Teoreminden dolayı bir maksimal
1−
(1 −
için
≠ {0} olsun. O zaman 0 ≠
≠ 0 dır. Çünkü
52
alt modülü 1
∈
yi içerir.
için
basit
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
olduğu için
Hipotezden (1 −
0=
(1 −
O halde
)
=
dir. Böylece
=
⟹
maksimal
sol
için
) bir sol terse sahiptir, yani (1 −
= {0} dir.
(iii) ⟹(i) Eğer
∈
= 0 çelişkisi elde edilir.
( ∕ ) = {0} ise
ideal
için
(1 + ) =
( ∕ ) = {0}
53
=
ise (1 −
)
) = 1 dır.
+ = ⟹
ise
∈∩
∈
= 0 dır.
dır. Her
=
dir.
Melek ŞENOL
3.GRUP HALKASI NEDİR
54
Melek ŞENOL
4.GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR
4. GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR
değişmeli olması gerekmeyen bir grup ve
, değişmeli
halkası üzerinde
modül olsun.
×
(i)
⟶
fonksiyonu
1
(ii)
=
( 1,
∈ ,
∈
nin birim elemanıdır.)
için (
özelliklerini sağlıyorsa ,
Bir
)= (
) ve
üzerine etki eder denir.
-modül olarak,
(
)=(
)
[ ] bazı { | ∈ } olan bir serbest
-modüldür.
deki grup işlemi, baz elemanlarının hepsinin üzerinde tanımlanmış bir çarpım verir.
Bunun
[ ] üzerinde birleşme ve dağılma özelliklerine sahip bir çarpıma
genişletilebileceğini görmek kolaydır. Bu
elemanı
[ ] nin birimidir.
,
[ ] yi bir
-cebir yapar.
nin birim
[ ] nin birim elemanını içerecek şekilde
bir alt halkası olarak tanımlanabilir. M üzerinde
[ ] nin
nin bir grup etkisi ile birlikte bir
-modül hem gösterim olarak hem de kavram olarak bir [ ]-modül ile aynı şeydir.
Burada
nin sonlu olmasına gerek yoktur. Fakat grubun sonlu olması son derece
kullanışlı olan morfizmalar üzerinde güzel bir işlem verir.
Lemma 4.1
∈
bir sonlu grup ve | | ≠ 0 ise
( , ) -lineer
ve
,
[ ](
∈
dönüşümünden,
[ ]-modüller olmak üzere
, )
dönüşümüne bir operatör vardır öyle ki aşağıdaki ifadeler doğrudur.
(i)
(ii)
İspat. ∈
Eğer ,
Eğer
tanımlayalım.
∈
[ ]-lineer dönüşüm ise
( , ) ve
( , ) ve
∈
∈
∈
için
olsun. Bu durumda
(
)=
1
| |
=
dir.
[ ](
, ) ise
( )= ∑
| |
(
55
[ ]-lineer
)
∈
=
(
dır.
) şeklinde
Melek ŞENOL
4.GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR
=
| |
∑(
( )
=
)
(
)
elde edilir. O halde , [ ]-lineerdir.
ile çarpma
ailesi yine
dir.
nin elemanlarının sırasını değiştirdiğinden {
Eğer , [ ]-lineer ise o zaman
( )=
1
(
| |
= | |∑
= | |∑
}
elemanlarının
∈
)
( )
( )= ( )
dır. Eğer , -lineer ve , [ ]-lineer ise o zaman
( )=
=
=
1
| |
| |
∑
( )
(
)
(
)
eşitliği elde edilir.
∈
için
nin eşlenik sınıfı {ℎ
eşlenik sınıfı sonlu ya da sonsuz olabilir. Eğer
kolaylıkla görülebilir ki ∑
sonsuz ise bir
bir sonlu eşlenik sınıfı ise o zaman
, [ ] nin merkezinin bir elemanıdır.
Önerme 4.2 [ ] nin merkezi, ,
∑
ℎ|ℎ ∈ } dir. Eğer
nin tüm sonlu eşlenik sınıflarını taramak üzere
elemanlarından oluşan bir baza sahip olan bir serbest -modüldür.
56
Melek ŞENOL
4.GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR
Herhangi bir grup cebiri [ ] için bir tek : [ ] ⟶ , -cebir morfizması
için ( ) = 1 dir. Bu dönüşüme genişletme dönüşümü denir.
vardır öyle ki ∀ ∈
nun çekirdeğine [ ] nin genişletme ideali denir.
Önerme 4.3
[ ] nin genişletme ideali [ ] nin,
(i)
∈
tarafından üretilen idealidir.
(ii)
, [ ] nin genişletme ideali olsun.
−1 ≡(
− 1) + (
,
için bütün
∈
− 1)(
− 1 elemanları
için
)
dir.
(iii)
[ , ],
nin komütatör alt grubu olsun ve , ℤ[ ] nin genişletme ideali
olsun. O zaman
⁄[ , ] ≈ ⁄
dir.
(iv)
Eğer
(sonlu olması gerekli değil) değişmeli gruplar ve ℤ[ ] ≈
ve
ℤ[ ] ise o zaman
≈
dir.
İspat.
( ) = 1 ⇔ ( ) = (1)
(i)
⇔ ( − 1) = 0
elde edilir.
(ii)
(
⇒(
− 1)(
⇔
− 1)(
−1∈
− 1) =
− 1) ≡ 0
−
−
( )
57
+1
4.GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR
⇒(
⇒(
− 1) ≡
− 1) ≡ (
+
−1−1
− 1) + (
− 1)
58
( )
( ) dir.
Melek ŞENOL
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
5.GRUP HALKASINDA TÜREV
Bu kısımda herhangi bir
ilişkilendirilmiş
grubu ve rasyonel tam sayıların
grup halkasını çalışacağız.
∙
şeklinde tanımlıdır.
nin 1 ∙
nin
de ki çarpma
=
elemanı
∙ 1 elemanı ile ve
nin
elemanı ile tanımlanabilir. Böylece
,
ve
görülebilir.
Bir
grubundan bir
halkası ile
grubuna
homomorfizmasını belirler. Aynı
nin
elemanı
nin alt kümeleri olarak
homomorfizması
den
a bir halka
sembolü tarafından belirtilen bu halka
homomorfizması, grup-homomorfizmasının lineer genişlemesidir.
∑
( ) şeklinde tanımlıdır ve
homomorfizmasının çekirdeği,
nin her elemanını sabit bırakır.
tarafından
oluşan
idealidir. Bu şekilde
Karşıt olarak
grup ,
de ki her
⟶
∕
dir.
ideali her normal
ideali
ideali
nin bir normal alt grubunu tanımlar. Bu alt
halka homomorfizması tarafından
Eğer
yi belirler ve
,
,⋯
de
üretir. Kabul edelim ki ∑
yi belirleyen
nin en küçük idealidir.
olsun. Bu durumda ∑
nın herhangi bir ℎ elemanı için ∑ , ( ) = ℎ olan
ise ∑
∑
= 0 dır.
=∑
(
, (
nin 1 e dönüştürülen
normal alt grubuna karşılık
yi üretiyor ise o zaman
∈
nin elemanlarından
alt grubuna karşılık getirilebilir.
elemanlarından oluşur. Açık bir şekilde verilen bir
gelen
− 1,
+∑
=∑
59
(
−1⋯
de
yi
( ) = 0 dır. O zaman
elemanlarının genişletilmesi
) = ℎ olan bir eleman olsun. O zaman
− 1)
grup-
halka-homomorfizmasının
ın sıfır elemanına dönüştürülen
tarafından
=
nın birim elemanı 1 e dönüştürülen
nin elemanlarından oluşan normal alt grup
çekirdeği,
∑
− 1)
olur.
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
Böylece ∑
− 1,
,
∈
, − 1 elemanlarının bir lineer kombinasyonudur. ∑
,
− 1 ⋯ nin bir lineer kombinasyonudur ve
( − 1)
−1=−
− 1 = ( − 1) + (
− 1 = ( − 1)
− 1)
şeklinde ifade edilebilir.
∘:
⟶1
aşikar
homomorfizması
tarafından
nin ∑
homomorfizmasının özel bir önemi vardır.
katsayıların toplamına ∘ ∑
=∑
belirlenen
⟶
elemanı, ∘ tarafından
∘( )=∑
homomorfizmasının çekirdeği yani
∘:
dönüştürülür. ∘ halka-
nin kendisine karşılık gelen
katsayıların toplamı sıfır olan bütün elemanlardan oluşur.
ye
ideali,
nin temel ideali
denir.
grup halkasında ki türev
den
ye bir
dönüşümü ile gösterilir ve
aşağıdakileri sağlar.
( + )=
( ∙ )=
( ℎ) =
= 0,
(
(
∑
∙
+
(5.1.)
∙∘ ( ) +
+
ℎ,
=∑
⋯
)=−
)=∑
,
,
⋅
,
,
∈
.
,ℎ ∈ .
∈ .
∙∘ (
⋯
∈ .
60
) ⋯ ∘ ( ),
(5.2.)
(5.2 .)
(5.3.)
(5.4.)
(5.5.)
(5.6.)
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
de ki türev bir sağ
+
-modül belirler ve bu modülde toplama (
ve sağ-çarpım,
nin bir
tanımlıdır.
elemanı için ( ∙ ) =
∙
+
) =
şeklinde
5.1 Serbest Grup Halkasında Türev
Bir
serbest grubu, ( ) = ( ,
kelimelerin bir
kelime
, ⋯ ) üreteçler kümesine sahiptir.
in bir elemanı,
denklik sınıfıdır öyle ki bir tek gösterime sahip olan indirgenmiş
= ±1,
=
için
≠ 0 olmak üzere ∏
+
nun uzunluğu indirgenmiş temsilci kelimenin
kelime ile temsil edilir ve uzunluğu sıfırdır.
uzunluğudur. Birim eleman 1, boş
nun
kelimesi ile temsil edilir.
tersi ∏
serbest grup halkasının bir elemanı ( ) = ∑
polinomudur.
den bir
ile gösterilir.
,
indirgenmiş
∈ ,
∈
homomorfizması ( ) ⟶
grubuna
serbest
( ) =
( ( ), ( ) ⋯ ) şeklinde tanımlı bir dönüşümdür. Bu homomorfizmanın
belirlediği halka homomorfizması
:
⟶
,
şeklinde tanımlı bir dönüşümdür. Özel olarak ∘ :
⟶ (1) = ∑
∘( )= ∑
şeklinde tanımlıdır.
olan ( ) polinomlarından oluşur.
( )⟶
⟶
in
( ) =∑
homomorfizması
temel ideali
( )
( )
(1) = 0
de ki türevlerin kümesi özel basit bir yapıya
sahiptir.
Teorem 5.1.1
in her bir
türevi karşılık gelir ve buna
=
,
üretecine
( )⟶
( )=
ye göre türev denir. Bu türev
(Kroneker delta)
( )=
( )/
(5.7.)
özelliğine sahiptir.
61
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
Dahası
,
( )⟶
, ⋯ yi
türevin formülü
( ) şeklinde tanımlı bir ve yalnız bir türev vardır öyle ki
in önceden belirlenmiş ℎ ( ), ℎ ( ), ⋯ elemanlarına dönüştürür. Bu
( )
( )=∑
∙ℎ ( )
(5.8.)
dir.
İspat. Her indeksi ve
⟨, ⟩=
1,eğer
in
elemanı için
, indirgenmiş temsilci kelime nun başlangıç kısmı ise
0, aksi takdirde
şeklinde tanımlansın. Bu tanımın lineer olarak
⟨ ,∑
⟩=∑
Her indeksi,
⟨ , ⟩ şeklindedir.
e genişletilmesi ⟨ , ( )⟩ =
elemanı ve ( ) serbest polinomu için
in
⟨ , , ( )⟩ = ⟨ ,
( )⟩ − ⟨ ,
⟩ (1)
şeklinde tanımlansın.
⟨ , , ⟩ =⟨ ,
Çünkü
nin
⟩−⟨ ,
⟩ ifadesi
nun bir başlangıç kısmı değilse sıfırdır.
nun başlangıç kısmı olması için gerek ve yeter koşul
in bir başlangıç kısmı olmasıdır.
∑
,
⟨ , , ⟩ tamsayısı
in
nin
( ) verilsin ⟨ , , ( )⟩ = ⟨ , , ∑
ve
elemanlarının bir sonlu sayısı hariç sıfıra eşittir.
göre ( ) in türevini
( )
=
∈
⟨ , , ( )⟩
62
⟩=
ye
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
şeklinde tanımlayalım. Açık bir şekilde ( ) türevi (5. 1) i sağlar. Böylece (5. 2) nin
(5.2 ) özel durumunu ispatlamak uygundur. ,
(
)
= ∑ (⟨ ,
⟩−⟨ ,
= ∑ (⟨ ,
⟩−⟨ ,
= ∑ (⟨ ,
=
⟩−⟨ ,
+
⟩)
⟩) + ∑ (⟨ ,
= (⟨ ,
=
Son olarak (5.8) i ispatlayalım.
⟩+⟨ ,
toplamı sonludur.
( )
,
de ki türevler bir sağ
∙ ℎ ( ) bir türevdir. Dahası her
ise o zaman
,
⟩)
⟩)
olarak görelim. Böylece
,
⟩
− 0 + (0 − 0)
( )
( ),
⟩−⟨ ,
⟩ − ⟨ , 1⟩) + (⟨ , 1⟩ − ⟨ ,
olmadığından
( )⟶
⟩−⟨ ,
⟩) + ∑ (⟨ ,
= ⟨ , 1,
( )
olsun.
nın başlangıç kısımlarını 1 ve
(5.7) in ispatı için
∑
∈
.
⟩)
indislerinin sonlu sayısı hariç tanımlı
∙ℎ ( )
-modül formunda olduğu için ( ) ⟶
indeksi için
⟶ ℎ ( ) dir. Eğer
, ⋯ yi ℎ ( ), ℎ ( ), ⋯ e götüren herhangi bir türev dönüşümü
( )⟶
( )−∑
( )
∙ ℎ ( ), her
63
yi 0 a götüren bir türev
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
( ) ⟶ ( ) − (1),
,
dönüşümüdür. (5.8) den
( )
∙
, ⋯ yi
/
∙ ℎ ( ) dir.
− 1,
− 1, ⋯ e götüren bir türev
(5.9.)
in herhangi bir ( ) elemanını (1) den ve
( ), = 1,2, ⋯, türevi özel olarak
,
in her
−1
temel formülü elde edilir. Bu formül
/
( )
( )=∑
elemanı 0 a dönüşür. Böylece
( ) = (1) + ∑
∙ 0 = 0 a gider. (5.1) ve (5.2) den
,−
dönüşümüdür. Böylece her
serbest grubunun herhangi bir
elemanını
,⋯ türevlerinden kurtarır.
Bir üretecin bir kuvvetinin türevi (5.9) temel formülünden kolaylıkla
hesaplanır
=1+
=
+ ⋯+
=0
=−
Bu formül ve (5.5) den
∈
−
yazılabilir.
− ⋯−
≤ −1.
⋯
Burada
indirgenmiş temsilci kelimeler
=∑
= 0,
elemanı
=
formunda
≥ 1, (5.10.)
,
,
,⋯,
,⋯,
⋯
sıfırdan
farklı
tamsayılardır
ve
üretecini içermez.
( 5.11. )
64
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
ifadesi elde edilir.
Örnek
5.1.2
=
grubunun
üreteç
kümesi
olsun.
( )=
=
=
=
( )=
)=∑
(
(1 +
+
(1 +
=1+
+
+
+
+
+
(
=
+
serbest
+
+
+
+
)
)+
(1 +
+
)+
+
)=∑
⋯
+
(1 +
(1 +
+
+
(
( ) =
(
= (1 +
+
=
)
( ) =
=
(
+
+
(1 +
,
) ve
)
)+
(1 +
)
+
)+
olsun.
( ) =
+
)
)+
)
(−
ve
)
+
serbest grubunun üreteç kümesi ( ) = ( ,
Örnek 5.1.3
)
⋯
+
+
( )=( ,
(−
−
65
−
)
)+
(1 +
=
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
,
Örnek 5.1.4
(
> 0 olmak üzere
) = (1 +
+⋯+
= (1 −
)+
)(1 +
(−
+ ⋯+
−⋯−
−
).
)
Bu örnekler türevin zincir kuralını tanımlar.
Eğer , bir
bir
∈
serbest grubundan
serbest grubuna bir homomorfizma ise herhangi
için
=∑
/
dir.
(5.12.)
(5.11) e rağmen (5.12) de ki eşleniklik özel durumlarda hesaplanan türevin en
özel yoludur. Bu
nun indirgenmiş temsilci kelimesinin terimlerinde ki
/
için
bir açık formüle sahiptir. Böyle bir formülde bir kelimenin başlangıç kısımlarının bir
düzenlemesi hariç başlangıç kısmına ihtiyaç yoktur. ∏
-yıncı başlangıç kısmı ∏
∈
tanımlanır.
= +1 ya da ∏
,
in -yıncı başlangıç kısmı
( ),
,
= ±1 kelimesinin
,
= −1 olarak
indirgenmiş temsilci kelimenin -
yıncı başlangıç kısmı olarak tanımlanır. Böylece
( )
= ∏
( )
=∏
dir. -yıncı kısım için bu notasyon,
=∑
(
∙
)/
= 1,2, ⋯
(5.14.)
( )
formülünü verir. Toplama
(5.13.)
= için
(5.9) temel formülünden dolayı
görülmesi beklenir. Örneğin,
indisine genişletilmiştir.
in bir
in bir
elemanında görülen özelliğin türevinde de
elemanının ∏
66
temsilci kelimesinin
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
indisi üzerinde ki ∑
= için
kuvvet toplamı
/
(5.14) den görülür. Aslında (5.14) e göre
=
toplamı olarak görülebilir.
nin
,
da ki
kuvveti
( )
∘
/
a eşittir. Bu eşitlik
nin bir ağırlıklı kuvvet
çarpanı tarafından ‘’ağırlıklı’’
olur. (5.14) formülünde değişmeli toplam ile ağırlıklı kuvvetler eklense bile ,
/
türevleri tarafından belirlenebilir.
(5.14) in sağ tarafında kısıtlama ya da sınıflandırma mümkün değildir.
Tersine
(
kabul
)/
edelim
(
⋯
<
ki
)/
iken mümkündür. Hipotezden
için
= 1 dir. Bu ancak
⋯
=
olsun.
()
=
+ 1 ve
Bu
durumda
= −1,
=1
bir indirgenmiş kelime olduğu için bu
=
mümkün değildir. Bunun bir sonucu ‘’
= ∑| |,
( )
için
indisi üzerindeki
-uzunluğu
de ki terimlerin sayısına eşittir’’ ifadesidir. Bir serbest
polinomu,
/
in herhangi bir
olmadıkça,
/
türevine eşit olamaz. ( Bu koşul yeterli değildir; herhangi bir
∈
=
için
( )
elemanının tüm katsayılarının mutlak değeri ≤ 1
mümkün değildir.)
5.2 Fox Türevlerinin Uygulamaları
Bir
grubunun integral grup halkası
homomorfizmasını belirtsin öyle ki ∀ ∑
∆=
a
∀ ,
∈
nin genişletme ideali denir.
∈ ℤ
için
eşitliklerini sağlıyorsa
( + )=
ile gösterilir. ,
∑
için
den
nin genişletme
ye tanımlı
ve ( ∙ ) =
+
dönüşümüne bir (sol) türev denir.
=∑
dönüşümü eğer
∙ ( )+
(ii)
(iii)
∀ ∈ ℤ için
(
∀ ∈
∙
⋯
= 0,
)=∑
için (
)=−
⋯
,
.
67
≥ 1,
⋅
de ki türev aşağıda ki
özelliklere sahiptir.
(i)
olsun.
,
,⋯,
∈ ,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
serbest grubunun bazı
,
olmak üzere
(
,
,
,⋯,
,⋯,
)
,
,⋯,
olsun.
= 1, 2, ⋯ ,
grubu ve
kümesinin
×
,
/
,⋯,
,
dir(
,
,⋯,
,⋯,
,
,⋯,
= /
elemanlarının kümesinin
bazına sahip bir serbest grup ve
,
nin normal alt
,⋯,
nin üreteç kümesi olması için gerek ve yeter koşul
ℎ ,ℎ ,⋯,ℎ ∈
yi
nin üreteç
nin elemanlarının bir kümesi olsun. O zaman { ,
=
tipinde bir
=
nin elemanlarının bir kümesi olsun ve
kümesi olması için gerek ve yeter koşulları belirleyelim.
,
=
Jacobian matrisinin sağ tersi vardır’’ teoremini ispatladı.
olmak üzere
Teorem 5.2.1
∈
için
/
ifadesi Jacobian matrisi belirtsin. 1973 de Birman ‘’
)
üretir ancak ve ancak
⊲
,⋯,
ye göre kısmi Fox türevi olsun öyle ki
Kroneker delta).
(
,
,
matrisi vardır öyle ki
olmak üzere
+diag(
,
)
,⋯,
,⋯,
}
üzerinde
∈ ℤ
ve
=
olmasıdır.
Burada , ×
,
,⋯,
tipinde birim matris ve diag(
×
olan
İspat. Eğer { ,
,
,⋯,
tipinde köşegen matristir.
},
,⋯,
/
=
{
,⋯,
) esas köşegen elemanları
nin üreteç kümesi ise
de bir kelimedir. Böylece
=
,
( ,
=
,⋯,
elde edilir. (ii) özellikten
68
( ,
,⋯,
)ℎ } =
=
)ℎ , ℎ ∈
+
ℎ
( ,
dir.
,⋯,
de
)
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
dır.
=
ve
=
=
,
, = 1, 2, ⋯
olsun. O zaman
+diag(
∈ ℤ ,1 ≤
,
≤
,⋯,
)
=
,⋯,
)
=
eşitliği elde edilir.
Tersine
+diag(
Burada
,
,⋯,
,
∈ ℤ ve ℎ , ℎ , ⋯ , ℎ ∈
dir. O zaman
ℎ
+
olur. Eşitliğin her iki tarafını
olsun.
=
− 1 ile çarpalım ve üzerinde toplam alalım.
ℎ
−1 +
−1 =
−1
dır.
Fox’ un temel formülü (5.9) dan ∑
−1 =
ℎ − 1 elde edilir. Böylece
∑
(
− 1) +
69
(ℎ − 1) =
− 1 ve ∑
−1
−1 =
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
ve
∑
(
− 1) =
,
elde edilir. (Cohen, 1972) den
− 1 mod ℤ ( − 1)
,⋯,
/
nin üreteç kümesidir.
Sonuç 5.2.2
(i)
Gerekliliğin ispatı için
,
matrisi,
,⋯,
elemanlarının bulunması için bir algoritma vardır. Aslında
serbest grubuna aittir.
= 1 ise Teorem 5.2.1 den “
(ii)
baz olması için gerek ve yeter koşul
,
nin
,⋯,
ve ℎ , ℎ , ⋯ , ℎ
,
,⋯,
elemanları
elemanlarının
Jacobian matrisinin
için bir
de tersi olmasıdır”
ifadesi elde edilir.
Örnek 5.2.3
=
=
Çözüm.
,
=⟨ ,
⟩,
nin /
nin üreteç kümesi olması için
olmak üzere
,
+ diag(
∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈
= −
=
−
0
=
,
,
/
,
,⋯,
=
=
,
olsun.
için üreteç kümesi midir?
)
=
olacak şekilde
elemanları bulunmalıdır.
0
0 +
0
1
=
0
1
0
=
70
1
0
0
1
=
ve
matrisi,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
−
−
−
+
+
+
−
=0
+
+
= 1−
=
,
=1
0
,
=0
−
=⟨ ,
⟩,
=
−
1
=
,
/
,
]=
,
=
olsun.
, ℎ = 1;
=
=
ve
için üreteç kümesi midir?
nin üreteç kümesi olması için
∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈
=
,
olmak üzere
nin /
,
=
+ diag(
−
−
; ℎ =[
0
= 1 olarak alınırsa istenen elde edilir.
=
Çözüm.
0
1
=1
−
Örnek 5.2.4
=
1
0
=
,
,⋯,
)
=
olacak şekilde
elemanları bulunmalıdır.
1
0
1
0
+
1
0
0
−
=
+
=
71
1
0
0
1
1
0
0
1
matrisi,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
+
−
+
=0
+
=1
+
−
=
=1
1
1
=0
0
;ℎ =1,ℎ =[ ,
]=
alınırsa istenen elde edilir.
Örnek 5.2.5
=
=
Çözüm.
,
=⟨ ,
⟩,
nin /
nin üreteç kümesi olması için
=
∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈
=
=
0
1
1
+
+
+
,
olmak üzere
+ diag(
,
;
+
+
,
,
,⋯,
=
=
,
/
olsun.
)
=
0
=
=1
72
olarak
=
=
ve
olacak şekilde
1
0
=
için üreteç kümesi midir?
elemanları bulunmalıdır.
0
1
= 1,
=
1
0
1
0
0
1
0
1
matrisi,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
+
+
+
=0
=0
+
+
=
ℎ =[
−
−
]=
,
Örnek 5.2.6
=
=
Çözüm.
=1
=⟨ ,
nin /
,
∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈
=
=
0
1
1 −
−
−
+
−
=
;
⟩,
=
,
olmak üzere
,
=
/
,
,⋯,
)
+
=
olsun.
,
=
=
ve
için üreteç kümesi midir?
=
olacak şekilde
elemanları bulunmalıdır.
0
1
1 −
+
0
0
1
0
=
+
=1
]=
= 1 olarak alınırsa istenen elde edilir.
,
,
ℎ =[ ,
;
−
nin üreteç kümesi olması için
+ diag(
,
−
1+
=
=0
73
1
0
0
1
0
1
matrisi,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
+
=0
+
−
= 1
1
=1
;ℎ =[ ,
0
]=
alınırsa istenen elde edilir.
Örnek 5.2.7
=
=
Çözüm.
,
=⟨ ,
⟩,
nin /
nin üreteç kümesi olması için
=
∈ ℤ ve ℎ , ℎ ∈
=
=
1
1
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
,
olmak üzere
+ diag(
,
, ℎ = 1;
=0
,
,
,⋯,
=
=
,
/
olsun.
)
=
0
=
=1
=0
74
=
olacak şekilde
0
0
,
için üreteç kümesi midir?
elemanları bulunmalıdır.
1
1
=
=
1
0
1
0
0
1
0
1
= 1 olarak
=
ve
matrisi,
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
+
=
ℎ =[ ,
=1
1+
−
]=
−
−
, ℎ =[
olarak alınırsa istenen elde edilir.
,
75
+
]=
−
−
;
;
=
,
=
Melek ŞENOL
5. GRUP HALKASINDA TÜREV
76
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
Melek ŞENOL
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
grubunun grup halkasını ( ) ile gösterelim.
Bir
grup halkasının birim grubu olsun. Eğer
sonlu değişmeli ise
( ) , ( ) integral
( ) =± ×
eşitliği sağlanır (Higman, 1940). Burada
−2
dir.
,
serbest gruptur ve rankı
nin mertebesi 2 olan elemanlarının sayısı ve ,
gruplarının sayısıdır. Sonlu üreteçli, değişmeli
( : 1) + 1 +
nin devirli alt
( )
grubu için
hesaplayalım ve
( ) =
∈
ve ,
eşitliğini ispat edelim.
otomorfizması
∈
nin bir sonlu alt grubu olmak üzere
sonlu değişmeli olduğu zaman
∈
yi
( )
( ) nin bir
için ( ) = ± gibi bir grup otomorfizmasından elde edilir.
sonlu üreteçli ve değişmeli olduğu zaman
inceleyelim.
( ) nin grup otomorfizmasını
6.1 ( ) nin Birimleri
Lemma 6.1.1 Eğer bir tamlık bölgesi ve
birim grubu ( ) ∙
İspat:
Lemma 6.1.2
sahip olsun.
dir.
torsiyonsuz değişmeli grup ise ( ) nin
, 1969’ e bakınız.
bir değişmeli halka ve
sadece 0 ve 1 idempotent elemanlarına
= ⟨ ⟩ sonsuz devirli grup olsun. Eğer
elemanları içermezse ( ) in birim grubu ( ) ∙
77
dir.
sıfırdan farklı nilpotent
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
İspat. ,
∈ ( ) olmak üzere
olarak alınabilir. İlk olarak
=∑
= 1 olsun.
yi içermeyen bir asal ideali olsun.
≠ 0 dır ve benzer şekilde eğer
,
ve
=∑
İkinci olarak
edelim ki
≠ 0 ve
için
≠ 0 olsun.
≠ 0,
/
de ve
6.1.1 ile çelişir. O halde
= 0 dır. O halde
∉
=∑
≠ 0 olduğunu gösterelim. ,
≠ 0 ise o zaman
≠ 0 ise
olur.
≠
ve
,
≠0
nin
= 1, / ( ) dedir. Lemma 6.1.1 den dolayı
dir. Benzer düşünce ile eğer bazı > 0 için
=∑
=∑
Melek ŞENOL
= 0 ve
≠ 0 dır. Böylece
≠ 0 dır. O halde
=
= 0 olduğunu gösterelim. Kabul
olacak şekilde
asal ideali seçelim. O zaman
/ ( ) grup halkasında
= 0 dır ve benzer şekilde
= 1 dir. Bu ise Lemma
≠
için
= 0 ve
=1
=
ifadeleri biliniyor.
=0=
, ≠ için
≠ 0 olsun. O zaman
+
olur.
+ ⋯+
=1
ile her iki tarafı çarparsak
=
ve (
) =
elde edilir.
Böylece
= 1 ve (⋆) dan ≠
=
= 0 olur. O halde
için
ve
78
=
( ⋆)
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
Melek ŞENOL
dır.
bir grup olsun.
= 1 ise
⋂
nin bir normal alt grubu ve ( : ) < ∞ olmak üzere
,
ye residülü sonlu grup denir.
Lemma 6.1.3.
zaman
residülü sonlu grup ve ( ) de
∈ ( ),
İspat.
=
⇒
= 0 ya da
,
∈ ℤ olsun.
residülü sonlu olduğu için
grubu vardır öyle ki ( : ) < ∞ ve 1 ≤ ≤
=
∈
eşitliğini düşünelim.
dır. Böylece
Lemma 6.1.4
= 0 ya da 1 dir.
,
için
nin bir
normal alt
kosetleri farklıdır.
= 1 ya da sıfırdır ve > 1 için
( / )
=0
sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman
∈ ( ),
İspat.
= 1 dir.
sonlu olduğu zaman iyi bilinen sonuç için (Berman, 1953) e bakınız.
=∑
de ki
nin integral grup halkası olsun. O
=
sonlu üreteçli olduğu için
⇒
= 0 ya da
= 1 dir.
residülü sonludur. Böylece Lemma 6.1.3 den
istenen elde edilir.
Teorem 6.1.5
dir.
( ) =
İspat.
∈
sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman ( ) nin birim grubu
∈
ve ,
( ) olsun.
nin bir sonlu alt grubu olmak üzere
sonlu üreteçli olduğundan
=
× ⟨ ⟩ × ⋯ × ⟨ ⟩, | | < ∞
79
∈
( )
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
olur. İspatı
Melek ŞENOL
( ×⟨ ⟩×⋯×⟨
üzerine tümevarımla yapalım.
⟩) aşikar
olmayan idempotent ya da nilpotent elemanlara sahip olmadığından Lemma 6.1.2,
=
×⟨ ⟩ × ⋯× ⟨
⟩ ve
,
(
) in birimi olmak üzere
uygulanabilir. Tümevarım hipotezinden
| | < ∞ dır. Böylece
Sonuç 6.1.6
=
=
dir.
=
bir sonlu üreteçli grup yani
zaman ( ) nin birim grubu
×
,
=
∈
× ,
ile verilir. Burada
=
e
ve , ( ) ın birimi olup,
sonlu ve
serbest olsun. O
, ( ) nin birim grubudur.
6.2. ( ) nin Otomorfizmaları
sonlu değişmeli olduğu için ( ) deki sonlu mertebeli birimler sadece
± dir (Hıgman, 1940). ( ) nin bütün otomorfizmaları
belirlenmiştir.
Fakat
için
nin otomorfizmalarından
torsiyonlu ya da torsiyonsuz değişmeli olduğu zaman
bütün otomorfizmaları
∈
( ) nin
nin otomorfizmalarından belirlenmiştir (Sehgal, 1969).
karma olduğu zaman bu durum olmaz.
Örneğin;
= ⟨ ⟩ × ⟨ ⟩,
= 1,∘ ( ) = ∞ olsun.
( ) nin birim grubu
, ± ×
⟨ ⟩, ∘ ( ) = ∞ ile verilir. Bunun nedeni (⟨ ⟩) nin birim grubunun serbest kısmının
1 rankına sahip olmasıdır.
: ( )⟶ ( )
fonksiyonu
=
şeklinde tanımlansın.
0=∑
⇒∑
bir homomorfizmadır.
= 0 ⇒∑
birebirdir. Çünkü
=0⇒
80
= 0 dır.
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
sonlu üreteçli değişmeli grup olsun. O zaman
serbestdir. ( ) nin birim grubu
sonlu ve
( ) =
( ) =
×
×
=
Melek ŞENOL
×
dir. Burada
×
şeklinde verilsin.
= ( ) nin otomorfizm grubu
=
nin otomorfizmaları tarafından belirlenen ( ( ) = ±
( ) nin otomorfizmalarının grubu
=
×
in elemanlarını eleman eleman sabit bırakan
otomorfizmalarının grubu olsun.
Teorem 6.2.1
İspat.
∈
=
×
; ,
∈
gibi)
×
×
nin
dir.
olsun.
( )=
( ),
,
∈
∈
şeklinde tanımlansın.
, ( ) nin bir otomorfizmasına genişletilebilir. O zaman
elemanını sabit bırakır ve
∈
,
ve
nin bir elemanı olarak düşünülebilir. O halde
⊆
dır. Karşıt olarak
∈
∈
olsun.
81
×
,
×
(6.1. )
6.DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER
( )
=
olarak tanımlayalım. Burada
homomorfizmadır. (∑
∈
∈ ( ) dir. Açık bir şekilde
farklıdır ve
) = 0 olsun.
0=
Melek ŞENOL
bir
( )
=
dır.
Böylece
0=∑
olduğundan
( )=∑
∈
,
= 0 dır. Dolayısıyla ∑
olur. (6.1. ) ve (6.2. ) den
×
,
∈
dir.
ler
farklı
= 0 olur. O halde
×
⊆
=
×
elde edilir.
82
(6.2. )
Melek ŞENOL
7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER
7.GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER
Bu kısımda grup halkaları alanında karşılaşılan bazı önemli problemlere
değineceğiz.
ve grup ve bir halka olsun.
≅
⇒
≅
≅
⇒
≅
ifadesi doğru mudur?
Aynı mertebeli izomorfik olmayan sonlu değişmeli iki grubun karmaşık
sayılar üzerinde izomorfik grup cebiri vardır. Fakat 1950 de S.Perlis ve C.Walker
sonlu değişmeli grupların rasyonel sayılar cismi üzerinde kendi grup halkaları
tarafından belirlendiğini gösterdi. Sonra 1956 da W.E.Deskins sonlu abeliyan pgruplarının karakteristiği p olan keyfi cisimler üzerindeki grup halkaları tarafından
belirlendiğini gösterdi. Değişmeli olmayan gruplar üzerindeki bazı sonuçlar
D.B.Coleman ve D.S.Passman tarafından elde edildi.
Bu izomorfizm problemlerinin pozitif bir şekilde çözüldüğü uygun cisimler
üzerinde grupların özel aileleri için görüldü. Fakat 1972 de E.Dade grup halkalarının
izomorfik olmayan her K cismi üzerinde izomorfik olduğuna dair bir örnek
yayınladı.
Sonuç olarak sonlu grupların integral grup halkası üzerinde verilen aşağıdaki
hipotezi ele alalım.
İntegral durumuna yönelmenin nedeni
≅
olması diger her değişmeli
halkası için
≅
olmasını gerektirir. Böylece bu koşullarda
≅
,
hipotezi güçlü bir olasılıkla sağlar. Bu hipotezdeki ilk pozitif sonuçlar 1940 da sonlu
değişmeli gruplar ve Hamiltonian 2-grupları için Graham Higman tarafından
bulundu. Şimdiye kadar problem tam anlamıyla çözülemedi. Fakat birkaç sonuç
çeşitli grup sınıfları için elde edildi.
Tanım
7.1.
:
→
∑
fonksiyonu
∈
( )
tanımlansın. fonsiyonu bir halka homomorfizmasıdır.
=∑
∈
( )
şeklinde
foksiyonuna RG nin
genişletme fonksiyonu denir.
Tanım 7.2 :
→
izomorfizması verilsin. Eğer ∀
( )
( ) =1
ya da ∀ ∈ için
ise
bu
83
∈
için ( ) =
izomorfizmasına
Melek ŞENOL
7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER
normalleştirilmiş izomorfizm denir. Eğer :
→
izomorfizması varsa bu iki
halka arasında normalleştirilmiş izomorfizm vardır.
:
→
bir normalleştirilmiş izomorfizm olsun. Eğer ∀ h∈ için (ℎ) ∈ ise
, ve arasında kısıtlanmış izomorfizm verir. En büyük zorluk ℎ ∈ için (ℎ)
formunun elemanları hakkındaki ana bilgidir. | | = olduğunda ∀ ℎ ∈
için
ℎ = 1 dir ve bir homomorfizma olduğu için (ℎ) = 1 dir. O halde ℎ ∈
için (ℎ)
de sonlu mertebeli birimdir.
bir sonlu mertebeli grup olsun.
(
(
)={ ∈
)={ ∈ (
| tersinir}
)| ( ) = 1}
şeklinde tanımlansın. İlk kümeye
nin birim grubu denir ve ilk küme içerisinde
normal olan ikinci kümeye
nin normalleştirilmiş birimlerinin grubu denir.
H.J.Zassenhaus integral grup halkalarının normalleştirilmiş birimleri ve
izomorfizmleri hakkında çeşitli hipotezler ortaya koydu:
1. :
→
birimi ve ∈
( ) dir.
normalleştirilmiş otomorfizm olsun. Bu durumda bir ∈
( ) otomorfizması vardır öyleki ∀ ∈
( )=
ç
2.
∈
∈ ( ) torsiyon birim olsun. O zaman bir ∈
dir. (Bu durumda , nin birim elemanı ile eştir.)
4.
,
birimi vardır öyleki
( ) nin sonlu bir alt grubu ve | | = | | olsun. O zaman
3. ,
birimi vardır öyleki
= dir.
öyleki
(
⊂
) nin sonlu alt grubu olsun. O zaman bir
dir.
∈
∈
birimi vardır
( ) nin p-alt grubu olsun. O zaman öyle bir ∈
birimi vardır
ki
dir.
Bu hipotez ( ) nin herhangi bir Sylow p-alt grubunun G nin bir p-alt grubuna
eşlenik olduğunu ifade eder.
5.
,
⊂
Bu bağlamda diğer önemli sorulardan söz edeceğiz. Verilen bir grubunun
nin birim grubundaki yerinin nasıl belirleneceği ve ( ) içerisindeki
normalleyenini belirlemek doğal bir sorudur. Açık olarak ( ( )) merkezi ve
84
7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER
Melek ŞENOL
nin merkezi
yi normalize eder. Normalleştirme hipotezi bu iki grubun
normalleyenini belirler.
(
)(
)=
∙
(
) .
70 li yıllardan beri elde edilen sonuçlar gösterdi ki bir grup halkasının birim
grubu çok karmaşık bir yapıdır.Nedenlerden birisi çok sık bir şekilde birim grubunun
rankı 2 olan bir serbest grubu içermesidir. Açık problemlerden birisi birim
gruplarındaki serbest alt grupların somut üreteçlerini belirlemektir.
Grup halkaları kavramının çeşitli genellemeleri vardır. Onlardan bazıları
yaygın bir şekilde çalışılmış olan çarpık grup halkaları , vektörel çarpımlar , yarı
grup halkaları , Frobenius ve yarı-Frobenius halkaları, ilmik halkaları ve Hopf
cebirleridir.
Grup halkalarının birim gruplarındaki serbest alt gruplarının varlığı sorusu
A.Lichtman dan dolayı bölüm halkaları için benzer bir hipoteze sebep oldu.
6. Değişmeli olmayan bölüm halkasının çarpımsal grubu, rankı 2 olan bir
serbest grup içerir.
L.Makor-Limanow dan dolayı benzer bir hipotez vardır.
7.
merkezi üzerinde sonsuz boyutlu sonlu üreteçli bir bölüm halkası, rankı
2 olan bir serbest -cebir içerir.
8. merkezi üzerinde sonsuz boyutlu sonlu üreteçli bölüm halkası, rankı 2
olan bir serbest grubun üzerinde grup cebirini içerir.
Yukarıdaki problemler M. Hertweck tarafından aşağıdaki durumlar için
ispatlanmıştır.
•
•
•
•
Sonlu metabelyen gruplar.
Simetrik ve alterne gruplar.
Sonlu gruplar ki bunlar bazı halkaların çarpımsal gruplarıdır.
Sonlu nilpotent gruplar.
2 nin doğru olduğu grup listelerini aşağıda verelim.
a)
b)
c) G=< >⋊ < > formunun yarı devirli grupları. Burada in mertebesi
ve nin mertebesi , ve farklı asal sayılardır.
d) G=< > ⋊< > formundaki yarı devirli gruplar. Burada (| |, | |) = 1
e)
A5
f)
g) S5
h) G=< > ⋊ formundaki gruplar. Burada değişmeli grup, (| |, | |) = 1
85
7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER
Melek ŞENOL
4 hipotezi aşağıdaki gruplar için ispatlanmıştır.
a) Nilpotent gruplar.
b) G=< > ⋊< > formundaki yarı devirli gruplar. Burada (| |, | |) = 1 dir.
c)
ve ikili Octahedral gruplar.
d)
, 5 e (2,5)
Diğer taraftan 5 hipotezinin doğruluğu aşağıdaki grup aileleri için sağlandı.
a) Sonlu nilpotent-by-nilpotent gruplar
b) Sonlu çözülebilir gruplar öyleki her Sylow -alt grubu ya abelyen ya da
genelleşmiş quaterniyon altgruplarıdır.
c) Sonlu çözülebilir gruplar ki bu grupların mertebeleri bir asal sayının 4-üncü
kuvveti tarafından bölünemez.
d) Genellikle > 2 için Frobenius gruplar ve = 2 durumunda homomorfik
görüntüsü olmayan Frobenius gruplar.
86
KAYNAKLAR
ASAR, A. O., ARIKAN, A., ARIKAN, A., 2009. Cebir. Eflatun Yayınevi, Ankara,
383s
BAŞKAN, T., 2005. Kompleks Fonksiyonlar Teorisi. Nobel Yayın Dağıtım, Ankara,
318s
BIRMAN, J.S., 1973. An Inverse Function Theorem for Free Groups. Proc. Amer.
Math. Soc., 41: 634-638
BERMAN, S. D., 1953. On Properties of Integral Group Rings. Dokl. Akad. Nauk
SSR, 91:7-9
COHEN, D. E., 1972. Groups of Cohomological Dimension One. Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York
FOX, R. H., 1953. Free Differantial Calculus I. Derivation in the Free Group Ring.
Ann. of Math., 57: 547-560
GOLDHABER, J. K., and EHRLICH, G., 1970. Algebra. The Macmillan Company,
Canada, 430p
HIGMAN, G., 1940. The Units of Group Ring. Prcc. London Math. Scc., 46: 231248
http://www.ime.usp.br/~polcino/group_rings/
HUNGERFORD, T. W., 2000. Algebra. Springer-Verlag, New York, 512p
KARAKAŞ, H. I., 2010. Cebir Dersleri. Türkiye Bilimler Akademisi, Ankara, 462s
LADY, E. L., 1977. Group Rings.
LIN, W., 2000. Application of Fox’s Derivation in Determining the Generators of
a Group. Bull. Austral. Math. Soc., 61: 27-32
PASSMAN, D. S., 1976. What is a Group Ring. Mathematical Notes
, 1971. Infinite Group Rings. Marcer Dekker Inc., New York, 157p
ROBINSON, D. J. S., 1982. A Course in the Theory of Groups. Splinper-Verlag,
New York Heidelberg New York, 481p
ROTMAN, J.J., 2002. Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 1040p
SABUNCUOĞLU, A., 2008. Lineer Cebir. Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 631s
SEHGAL, S. K., 1970. Units in Commutative Integral Group Rings. University of
87
Alberta Edmonton 7, Alberta, Canada
, 1969. On the Isomorphism of Integral Group Rings I. Can. J. Math., 21:
410-413
TAŞCI, D., 2005. Lineer Cebir. Gazi Kitabevi, Ankara, 477s
88
ÖZGEÇMİŞ
12.04.1985 yılında Çorum’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Çorum’da
tamamladıktan sonra 2004 yılında Ondokuz Mayıs Üniversitesi Matematik
bölümünde lisans öğrenimine başladı ve 2008 yılında mezun oldu. 2008-2009 eğitim
öğrenim yılının II. Döneminde Gazi Üniversitesi Matematik bölümünde yüksek
lisansa başladı. 2010 yılında Ç.Ü. Matematik bölümünde araştırma görevlisi olarak
çalışmaya başladı ve yatay geçiş yaparak Ç.Ü. Matematik bölümünde yüksek lisans
eğitimine devam etti. Halen Ç.Ü. Matematik bölümünde araştırma görevlisi olarak
görev yapmaktadır.
89