T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR
Zehra ER
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Matematik Anabilim Dalı
Eylül-2015
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR
Zehra ER
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL
2015, 32 Sayfa
Jüri
Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL
Prof. Dr. EĢref HATIR
Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
Bu çalışma sekiz bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde tezde kullanılan kavramların literatür bilgileri kısaca verildi.
İkinci bölümde soft küme teori ve 2011 yılında Sabir ve Naz tarafından verilen soft topolojik
uzaylarla ilgili temel kavramlar ve bazı özellikler hatırlatıldı.
Üçüncü bölümde soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı kümeler, bazı yeni kavramlar ve temel
teoremler verildi.
Dördüncü bölümde soft bağlantılı uzay kavramı ve temel teoremler verildi.
Beşinci bölümde soft bağlantılı alt uzay, soft kapanış noktası, soft yoğun küme kavramları ve
bunlarla ilgili örnekler verilip bazı yeni teoremler verildi.
Altıncı bölümde soft bileşen kavramı ve özellikleri incelenip bazı yeni teoremler verildi.
Yedinci bölümde soft tamamen bağlantısız uzay kavramı verilip özellikleri incelendi.
Son bölümde soft lokal bağlantılı uzay kavramı verildi ve temel özellikleri incelendi.
Anahtar Kelimeler: Soft bağlantılı küme, soft bağlantısız küme, soft bağlantılı uzay, soft
bağlantılı alt uzay, soft bileşen, soft tamamen bağlantısız uzay, soft lokal bağlantılı uzay
iv
ABSTRACT
MS THESIS
SOFT CONNECTED SPACES
Zehra ER
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE
IN MATHEMATICS DEPARTMAN
Advisor: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL
2015, 32 Pages
Jury
Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL
Prof. Dr. EĢref HATIR
Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
This study consists of eight sections.
In the first section; the introduction which has been summarized briefly literatüre knowledge of
concepts used in thesis was given.
In the second section; the basic concepts and some properties about soft set theory and soft
topological spaces was proposed Shabir and Naz in 2011 were reminded.
In the third section; the definition soft disconnected sets, soft connected sets, some new concepts
and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the fourth section; the definition of soft disconnected spaces, soft connected spaces, some new
concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the fifth section; the definition of soft connected subspaces, soft cluster point, dense of set,
some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the sixth section; the definition of soft components, some new concepts and basic theorems in
the soft topological spaces were given.
In the seventh section; the definition of soft totally disconnected spaces, some new concepts in
the soft topological spaces were given.
In the last section section, the definition soft local connected spaces, some new concepts basics
in the soft topological spaces were given.
Keywords: Soft connected set, soft disconnected set, soft connected space, soft connected
subspace, soft component, soft totally disconnected space, soft locally connected space.
v
ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Tez çalışmamı büyük bir titizlikle ve dikkatle takip ederek bana her açıdan
destek olan ve yol gösteren değerli hocam Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL’ e sonsuz
teşekkürlerimi ve sevgilerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarımda bana yardımını
esirgemeyen Arş. Gör. Dr. Zehra GÜZEL ERGÜL’ e ve her zaman yanımda olan
sevgili aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
Zehra ER
KONYA-2015
vi
ĠÇĠNDEKĠLER
ÖZET .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................................... v
ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi
ĠÇĠNDEKĠLER ............................................................................................................. vii
SĠMGELER .................................................................................................................. viii
1. GĠRĠġ ........................................................................................................................... 1
2. ÖN BĠLGĠLER ............................................................................................................ 3
2.1. Soft Kümeler .......................................................................................................... 3
2.2. Soft Topolojik Uzaylar .......................................................................................... 6
3. SOFT BAĞLANTILI KÜMELER .......................................................................... 11
4. SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR ........................................................................... 15
5. SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR ................................................................. 18
6. SOFT BĠLEġENLER ............................................................................................... 24
7. SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR .................................................. 27
8. SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR ........................................................... 29
9. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ................................................................................. 31
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 32
ÖZGEÇMĠġ .................................................................................................................. 33
vii
SĠMGELER
: Her
: Vardır
: Eşit değildir
: Ait
: Ait değil
: Gerek şart
: Yeter şart
: Başlangıç evreni
: Parametreler kümesi
: Boş küme
:
soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu
: Soft küme
:
soft kümesinin relatif tümleyeni
: Boş soft küme
:
üzerinde tanımlı tüm soft kümelerin ailesi
: Soft kesişim
: Soft birleşim
: Soft alt küme
: Soft fark
:
kümesinin güç kümesi
̃
: - tam soft küme
̃
: Tam soft küme
, ̃
: Soft topolojik uzay
̅̅̅
̃(
̃(
)
:
soft kümesinin kapanışı
:
soft kümesinin içi
:
soft kümesinin sınırı
:
noktasının ̃ soft topolojisine göre soft komşuluklar tabanı
:
noktasının ̃ soft topolojisine göre soft komşuluklar ailesi
viii
1
1. GĠRĠġ
Belirsizlik problemleri için matematikçiler, mantıkçılar ve filozoflar uzun bir
süredir uğraşmaktadırlar. Son zamanlarda bu tür problemler bilgisayar ve yapay zeka ile
ilgilenen bilim adamları için çok önemli olmuştur. Klasik mantığın tanımlayamadığı
belirsiz kavramların matematiksel olarak ifade edilebilmesinin öneminden dolayı
araştırmacılar her geçen gün yeni teoriler sunmaktadırlar. Bilinen en önemli teoriler
fuzzy küme (Zadeh, 1965), soft küme (Molodtsov, 1999) ve rough küme (Pawlak,
1982) teorileridir.
Kesinlik konusundaki en başarılı teorik yaklaşım şüphesiz ki Zadeh (1965)
tarafından tanımlanan fuzzy teorisidir. Bu teorinin temel fikri üyelik fonksiyonudur ve
bu fonksiyon elemanları kısmi üyeliklerine göre derecelendirir.
Pawlak (1982) tarafından sunulan rough küme teori, bilgiyi kesinliğe, eşitlik
ilkesine dayandıran farklı bir yaklaşımdır. Rough küme metodunun avantajı veri
hakkında fuzzy kümedeki üyelik fonksiyonu gibi herhangi bir ek bilgiye ihtiyaç
duymamasıdır.
Molodtsov (1999) kesinliği model alan yeni bir teori olarak soft küme teoriyi ve
temel özelliklerini tanımladı. Soft kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri
olduğundan geniş bir alanda birçok uygulamaya sahiptir. 2011 yılından itibaren de bazı
yazarlar soft kümelerin topolojik özelliklerini incelemektedir. İlk olarak Shabir ve Naz
(2011) soft topolojik uzayı, soft açık, soft iç nokta ve bir noktanın soft komşuluğunu
tanımladı.
Çağman ve arkadaşları (2011) soft topolojiye farklı bir yaklaşımda bulunarak,
soft açık, soft iç, soft kapanış, soft limit noktası, soft Hausdorff uzayı tanımladılar.
Aygünoğlu ve Aygün (2011) soft dönüşümlerin sürekliliğini, soft çarpım
topolojisini, soft kompaktlık ve genelleştirilmiş Tychonoff teoremini soft topolojik
uzayda çalıştılar.
Zorlutuna ve arkadaşları (2012) soft iç nokta, soft komşuluklar ve soft süreklilik
ve özelliklerini çalıştılar ve soft topoloji ile fuzzy topoloji arasındaki ilişkiyi incelediler.
Hussain ve Ahmad (2011) soft iç, soft kapanış ve soft sınırlılığın birçok
özelliğini araştırdılar.
Bu tezde ilk olarak araştırmacılar tarafından daha önce tanımlanan soft küme ve
soft topolojinin özellikleri verilmiş sonra soft bağlantılı kümeler, soft bağlantılı uzaylar,
2
soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşen, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft lokal
bağlantılı uzaylar tanımlanıp özellikleriyle beraber incelenmiştir.
3
2. ÖN BĠLGĠLER
2.1. Soft Kümeler
Bu bölümde soft kümeler ile ilgili bazı temel kavramlar verilecektir. Bu çalışma
boyunca
, bir başlangıç evreni ve
, tüm parametrelerin kümesi olsun. Genellikle
parametreler; özellikler, karakteristikler ya da
evrenindeki nesnelerin özellikleridir.
kümesinin güç kümesini göstermek üzere soft küme kavramı aşağıdaki
ailesi,
şekilde tanımlanır.
2.1.1.Tanım. (Molodtsov, 1999)
evren kümesi,
parametre kümesi ve
küme değerli bir dönüşüm olmak üzere
olsun.
evreni üzerinde soft küme denir. Başka bir deyişle
(yada
) ikilisine
evreni üzerinde bir soft küme
evren kümesinin alt kümelerinin parametrelendirilmiş bir ailesidir.
2.1.2.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
kümesi olsun.
dönüşümü için eğer
olmak üzere
ise
evren kümesi,
parametre ve
ise
ve
üzerinde bir soft küme sıralı çiftler şeklinde
aşağıdaki şekilde tanımlanır.
)):
Burada
fonksiyonuna
,
soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu denir.
nin değeri
keyfidir.
Bu bölümden itibaren
üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi
sembolü
ile gösterilecektir.
2.1.3.Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010)
ise
olsun. Her
soft kümesine boş soft küme denir ve
ise
Eğer
olsun. Her
soft kümesine -tam soft küme denir ve
ise -tam soft kümeye tam soft küme denir ve
2.1.5.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
bir alt kümesi olsun. Eğer her
kümesini gösterir. Benzer şekilde,
için
şeklinde gösterilir.
ya da
2.1.4.Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010)
,
için
̃ şeklinde gösterilir.
̃
̃
için
̃ şeklinde gösterilir.
evreninin boş kümeden farklı
ise ̃ sembolü,
üzerindeki
soft kümesi de ̃ şeklinde gösterilir.
soft
4
2.1.6.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
için
ise
soft kümesine
olmak üzere her
,
soft kümesinin soft alt kümesi denir
şeklinde gösterilir.
ve
2.1.7.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
ve
ise
ve
,
olsun. Eğer
soft kümelerine soft eşit kümeler denir ve
şeklinde gösterilir.
2.1.8.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) ,
kümenin soft birleşimi,
olsun. Bu iki soft
soft kümesidir. Burada
ve
şeklindedir.
2.1.9.Tanım. (Feng ve ark., 2008)
soft kesişimi,
olsun. Bu iki soft kümenin
,
soft kümesidir. Burada
ve
şeklindedir.
2.1.10.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
kümenin soft farkı
,
olsun. Bu iki soft
soft kümesidir. Burada
şeklindedir.
2.1.11.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
olsun.
,
soft kümesinin relative tümleyeni
şeklinde tanımlanır,
evreni üzerinde bir soft küme
olmak üzere,
şeklinde gösterilir.
2.1.1.Önerme. (Maji ve ark., 2003; Çağman ve Enginoğlu, 2010)
kümesi ve
,
ve her
vardır.
,
,
,
,
indeks
olmak üzere aşağıdakiler
5
,
(
(
̃
(
(
),
(
(
),
̃,
,
,
,
ise
dir,
̃,
.
2.1.12.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
için
ise
Eğer bazı
̃
noktası,
ve
soft kümesine aittir denir ve
için
ise
noktasına,
olsun. Her
̃
şeklinde gösterilir.
soft kümesine ait değildir denir ve
şeklinde gösterilir.
2.1.13.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
soft küme gösterir öyle ki her
için
üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi olsun.
dönüşümüne
üzerinde
ve
sırasıyla
ve
iki dönüşüm
ve
ye soft dönüşüm denir.
soft kümesinin
olsun.
görüntüsü
den
üzerinde bir
şeklindedir.
2.1.14.Tanım. (Kharal ve Ahmad, 2010)
olmak üzere
sembolü,
olsun.
soft dönüşümü altındaki
( ) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
⋃
{
soft kümesinin
olsun.
görüntüsü
üzerinde
(
soft dönüşümü altındaki ters
) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
{
6
Eğer
ve
örten ise
soft dönüşümü bire-bir dönüşümdür, eğer
bire-bir ise
ve
soft dönüşümü örtendir.
2.1.1.Teorem. (Kharal ve Ahmad, 2010; Zorlutuna ve Akdağ, 2012)
ve
kesin küme ve indeks kümesi olmak üzere,
ve
olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır.
(
ise
,
(
ise
(
(
bire-bir ise eşitlik sağlanır,
( )),
(
),
örten ise eşitlik sağlanır,
,
(
,
(
birebir ise eşitlik sağlanır,
,
(
) (
(
(̃
örten ise
,
) (
̃
,
(
(̃
,
̃ ,
(
2.2. Soft Topolojik Uzaylar
ailesi aşağıdaki özellikleri
2.2.1.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃
sağlarsa ̃ ailesine
̃
kümesi üzerinde soft topoloji denir.
̃,
̃
̃,
̃
̃.
̃ ikilisine soft topolojik uzay, ̃ ailesinin elemanlarına da soft açık küme
denir. Eğer
̃ ise
kümesine soft kapalı küme denir.
7
Yalnızca
ve ̃ soft kümelerinden oluşan soft topolojiye en kaba soft topoloji
şeklinde gösterilir.
denir ve ̃
üzerindeki tüm soft kümelerden oluşan soft
topolojiye en ince soft topoloji denir ve ̃ şeklinde gösterilir.
2.2.2.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
̃ ) ve
̃
soft topolojik
uzaylar olmak üzere, eğer ̃ soft topolojisine göre soft açık olan her küme ̃ soft
topolojisine göre de soft açık ise ̃ soft topolojisi ̃ soft topolojisinden soft kaba ya da
̃ şeklinde gösterilir.
̃ soft topolojisine ̃ soft topolojisinden soft ince denir. ̃
Eğer ̃
̃ ve ̃
̃ ise ̃ soft topolojisine, ̃ soft topolojisinden kesinlikle
soft kaba ya da ̃ soft topolojisine ̃ soft topolojisinden kesinlikle soft ince topoloji
denir.
Eğer ̃ soft topolojisi ̃
̃
topolojisi
soft topolojisinden daha soft kaba ya da ̃
soft topolojisinden daha soft ince ise
̃
ve
̃
soft
soft topolojilerine
karşılaştırılabilir iki soft topolojik yapı denir.
̃ bir soft topolojik uzay olsun. ̃
2.2.1.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011)
ailesi soft kapalı kümelerin bir koleksiyonu olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.
, ̃
{
{
̃,
:1
i
,n
:i I
}
}
̃
̃
̃.
2.2.3.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
olsun.
soft kümesinin soft içi
̃,
̃ soft topolojik uzayı ve
şeklinde gösterilir ve
kümesinin kapsadığı tüm
soft açık kümelerin birleşimine eşittir.
2.2.2.Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012)
olsun.
soft topolojik uzayı ve
̃
kümesinin bir soft açık küme olması için gerek ve yeter koşul
olmasıdır.
2.2.3.Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012)
̃
soft topolojik uzayı ve
olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır.
8
2.2.4.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
̃ soft topolojik uzayı ve
soft kümesinin soft kapanışı ̅̅̅ şeklinde gösterilir ve
olsun.
kümesini kapsayan
tüm soft kapalı kümelerin kesişimine eşittir.
2.2.4.Teorem.(Shabir ve Naz, 2011)
̃ soft topolojik uzayı ve
kümesinin bir soft kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul
olsun.
)
̅̅̅
olmasıdır.
2.2.5.Teorem.(Shabir ve Naz, 2011)
̃ soft topolojik uzayı ve
̅̅̅ dır.
olsun. Bu takdirde
soft topolojik uzayı ve
̃
2.2.6.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011)
) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır.
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
(̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
2.2.5.Tanım. (Hussain ve Ahmad, 2011)
olsun.
oluşturduğu kümeye,
kümesinin ne içine ne de dışına ait olmayan noktaların
olsun. Eğer
noktasına,
̅̅̅ ̅̅̅̅ şeklinde gösterilir.
kümesinin soft sınırı denir.
2.2.6.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
ve
̃ bir soft topolojik uzayı ve
̃
̃ soft topolojik uzayı ve
olacak şekilde bir
soft kümesinin soft iç noktası ve
soft açık kümesi varsa
soft kümesine de,
noktasının bir soft
komşuluğu denir.
noktasının bütün soft komşuluklarından oluşan aile
2.2.1.Önerme. (Shabir ve Naz, 2011)
olsun.
̃(
̃(
) şeklinde gösterilir.
̃ soft topolojik uzayı verilsin ve
) soft komşuluklar ailesi aşağıdaki özellikleri sağlar.
9
̃
ise
̃
̃(
ise
̃
ve
̃
ise
̃
2.2.7.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
kümeden farklı bir alt kümesi olsun.
̃
şeklinde tanımlanır ve
ve
kümesi üzerindeki
̃ soft topolojik uzay ve ,
boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. ̃
̃
soft kümesi,
ile gösterilir.
2.2.8.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
relative topoloji denir ve
evreninin boş
,
{
evreninin
üzerindeki soft
̃ } ailesine,
̃ soft topolojik uzayının soft alt uzayı
ikilisine de
denir.
alt uzayı ve
olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır:
soft kümesinin
̃
yeter koşul
kümesi üzerinde soft açık küme olması için gerek ve
olacak şekilde bir
soft kümesinin
̃
yeter koşul
̃(
̃ kümesinin varlığıdır.
kümesi üzerinde soft kapalı küme olması için gerek ve
olacak şekilde bir
̃ kümesinin varlığıdır.
̃ soft topolojik uzayı ve bir
2.2.9.Tanım.
̃(
̃ soft topolojik uzayının soft
̃ ,
2.2.7.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011)
soft komşuluğu için,
noktası verilsin. Eğer her
olacak şekilde bir
ailesine, ̃ soft topolojisine göre,
noktasının bir soft komşuluklar tabanı denir.
2.2.10.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
topolojik uzay,
için,
(
̃
oluyorsa
̃
̃
ise (
̃
:
̃
bu
soft
dönüşüme
soft
süreklidir
̃
denir.
̃ ), dönüşümleri soft sürekli
2.2.11.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
ve soft sürekli ise
iki soft
̃
̃
̃ ise bu dönüşüme soft açık dönüşüm denir.
̃
topolojik uzay olsun. Eğer
̃
ve
bir soft dönüşüm olmak üzere
̃
ve
̃
nin de soft sürekli olduğu açıktır.
dönüşümü için
kümesi varsa,
̃(
̃
̃
̃
ve
̃
iki soft
soft dönüşümü birebir, soft açık
dönüşümüne soft homeomorfizma denir.
10
2.2.12.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
̃ bir soft topolojik uzay
olsun.
kümesinin soft açık alt kümelerinden oluşan
verilsin. Eğer ̃
kümesinin bir soft açık örtüsü denir.
ailesine
kümesinin sonlu soft açık alt kümelerinden oluşan bir aile ise
ailesi
ailesine
ise
ailesi
kümesinin sonlu soft örtüsü denir.
kümesinin her soft açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa,
̃ soft
topolojik uzayına soft kompakt uzay denir.
̃ bir soft topolojik uzayı verisin ve
2.2.13.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011)
olsun. Eğer
̃
,
̃
ve
soft açık kümeleri varsa
̃ uzayına soft
soft kapalı bir küme ise,
̃ uzayı soft
̃
,
̃
olacak şekilde
uzayı denir. Ayrıca her
ve
için
uzayıdır.
2.2.14.Tanım. (Babitha ve Sunil, 2010)
ve
olsun.
soft kümelerinin kartezyen çarpımı;
ve
,
şeklinde tanımlanır.
şeklinde gösterilir.
Bu tanıma göre
soft kümesi
üzerinde parametre kümesi
olan bir soft kümedir.
2.2.8.Teorem. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
̃
kümesi ve bir her
için
soft topolojik uzaylar ailesi verilsin.
̃
bir soft dönüşüm olmak üzere her
̃
dönüşümünü soft sürekli kılan
üzerindeki
en kaba soft topolojiye soft başlangıç topolojisi denir.
2.2.15.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011)
ailesi ve
∏
soft topolojik uzaylar
soft çarpım kümesi verilsin.
̃
dönüşümünü soft sürekli kılan
topolojisi denir.
̃
̃
üzerindeki en kaba soft topolojiye soft çarpım
11
3. SOFT BAĞLANTILI KÜMELER
̃ soft topolojik uzayı ve
3.1.Tanım.
̅̅̅
ise,
kümelerine soft bağlantılı kümeler denir. Eğer
ve
ve
̅̅̅
ya da
̅̅̅
ise
olsun. Eğer
,
̅̅̅
ve
kümelerine soft bağlantısız kümeler denir.
3.2.Tanım.
ise
̃
ve
soft topolojik uzayı ve
verilsin. Eğer
,
kümelerine soft ayrık kümeler denir.
3.1.Uyarı. Bir soft topolojik uzayda soft bağlantılı olmayan iki küme soft
ayrıktır.
3.1.Örnek. Başlangıç evreni
{ , } olmak üzere,
ve parametreler kümesi
kümesi
̃
̃
üzerinde bir soft
topolojidir. Burada
{( ,{ }),( ,{
, , })},
{( ,{
}),( ,{
{( ,{
, ,}),( ,{
{( ,{ })} ve
, , })},
, , })} dir.
{( ,{ }),( ,{
, , })}
şeklinde iki soft küme alacak olursak bu kümelerin soft ayrık fakat soft bağlantılı
olduğu görülür.
̃ soft topolojik uzayı ve
3.1.Teorem.
,
verilsin.
kümelerinin her ikisi de soft açık, soft ayrık kümeler ise soft
ve
bağlantılı değillerdir.
ve
kümelerinin her ikisi de soft kapalı, soft ayrık kümeler ise soft
bağlantılı değillerdir.
̃
Ġspat.
ve
soft ayrık kümeler olsun. Eğer
ve ̃
kümeleri soft kapalıdır.
̃
ve
oldu undan
̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̃
kümeleri soft açık ise
ve
oldu undan
̅̅̅
̃
̃
…
12
̅̅̅̅̅̅
̃
̅̅̅
̃
̅̅̅
̃
̃
ifadelerinin son gerektirmeleri sırasıyla
ve
ve
…
olur.
kümeleri ile soft kesişimi
alınırsa;
̅̅̅
̃
̅̅̅
ve
elde edilir. Sonu olarak ̅̅̅
̃
̅̅̅
ya da
olup 3.1.Tanım gere ince
ve
soft bağlantısız kümelerdir.
olsun.
kümeleri soft kapalı kümeler olduğundan
ve
̅̅̅
̅̅̅
olur. Böylece 3.1.Tanım gere ince
3.2.Teorem.
soft bağlantısız kümelerdir.
ve
̃ soft topolojik uzayı ve
olsun. Eğer
,
soft kümelerinin her ikisi de soft açık ya da her ikisi de soft kapalı ise
ve
ve
kümeleri soft bağlantısız kümelerdir.
Ġspat.
ve
soft açık kümeler olsun.
ve (̅̅̅̅̅̅̅̅
̃
̅̅̅ ̅̅̅ olduğu için;
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̃
(̅̅̅̅̅̅̅̅
soft açık küme olduğundan
̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̃
̅̅̅
̃
̅̅̅
̃
̃
)
̃
)
̅̅̅̅̅̅̅
̃
̃
)…
elde edilir.
olup, böylece
(̅̅̅̅̅̅̅̅
elde edilir. Benzer şekilde;
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
soft açık küme olduğundan
ve
den
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̃
)
̃
̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̃
̅̅̅ ( ̃
)
̃
̅̅̅ ( ̃
)…
) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
soft kapalı kümeler olduğundan ̅̅̅
ve
̅̅̅̅̅̅̅
̃
elde edilir.
olup, böylece
(
ve
̃
olur.
ve ̅̅̅
soft bağlantısız kümeler olur.
olur. Sonuç olarak
13
̃
3.3.Teorem.
̅̅̅
kümesi soft kapalı ise
ve
Ġspat.
soft topolojik uzayı ve
olup, buradan ̅̅̅
kümesi soft kapalı ise
verilsin. Eğer
,
kümesi soft kapalı bir kümedir.
kümesi soft kapalı olduğundan,
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
olup, buradan ̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅
olur. Hipotez gere i,
̅̅̅ olup
oldu undan ̅̅̅
̅̅̅ elde edilir. Sonu olarak
soft kapalı bir küme ise
ve
olur.
soft kapalı bir kümedir.
̃ soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan
3.1.Sonuç.
verilsin. Eğer
dir.
soft kapalı bir kümedir.
soft topolojik uzayı ve
̃
ve
Ayrıca
oldu undan ̅̅̅
̅̅̅ elde edilir. Sonu olarak
3.4.Teorem.
Ġspat.
̅̅̅ ̅̅̅
olur. Hipotez gere i, ̅̅̅
̅̅̅ olup
̅̅̅
kümesi soft kapalı bir kümedir.
kümesi soft kapalı olduğundan,
(̅̅̅̅̅̅̅̅
Ayrıca
) verilsin. Eğer
,
,
soft kapalı kümelerdir.
Ġspat. 3.3.Teorem ve 3.4.Teoremlerinin direkt sonucudur.
soft topolojik uzayı ve
̃
3.5.Teorem.
̅̅̅
kümesi soft açık ise
ve
Ġspat. Hipotezden ̅̅̅
verilsin. Eğer
,
kümesi soft açıktır.
̃ ̅̅̅) olup,
,
soft açık bir küme
olduğundan
) ( ̃ ̅̅̅̅
(
(
̃ ̅̅̅ )) (
̃ ̅̅̅ ))
elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir kümedir. Dolayısıyla
(
̃ ̅̅̅ )) (
̃ ̅̅̅)
kümesi soft açık bir küme olur.
̃
3.6.Teorem.
̅̅̅
ve
soft topolojik uzayı ve
kümesi soft açık ise
Ġspat. Hipotezden
̅̅̅
,
verilsin. Eğer
,
kümesi soft açıktır.
̃ ̅̅̅) olup,
soft açık bir küme
olduğundan
(
) ( ̃ ̅̅̅̅) (
( ̃ ̅̅̅̅)) (
̃ ̅̅̅))
14
elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir küme olduğundan
(
( ̃ ̅̅̅̅)) (
̃ ̅̅̅))
kümesi soft açık bir küme olur.
3.2.Sonuç.
̃ soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan
soft alt kümeleri verilsin. Eğer
soft açık bir küme ise
kümelerdir.
Ġspat. 3.5.Teorem ve 3.6.Teoremlerinin direkt sonucudur.
,
ve
soft açık
15
4. SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR
̃ soft topolojik uzayı verilsin. Eğer ̃ kümesi boştan farklı, soft
4.1. Tanım.
bağlantılı olmayan iki soft alt kümenin birleşimine eşitse,
̃ uzayına soft bağlantılı
olmayan uzay ya da soft bağlantısız uzay denir. Eğer ̃ kümesi boştan farklı, soft
bağlantılı iki kümenin birleşimine eşitse,
̃ uzayına soft bağlantılı uzay denir.
4.1.Örnek. En kaba soft topolojik uzay
soft bağlantılı bir uzaydır.
4.2.Örnek. En ince soft topolojik uzay
soft bağlantısız bir uzaydır. Gerçekten
için
olsun.
̃
şeklinde gösterilsin.
kümesi üzerinde bir soft küme olup
{ },
)
bağlantısız bir küme olduğundan
̃,
ve 3.1.Teorem gereğince
̃
soft
soft bağlantısız bir uzaydır.
̃ soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler
4.1.Teorem.
eş değerdir:
̃ uzayı soft bağlantılı değildir,
̃ kümesi soft bağlantılı olmayan ve boş olmayan iki soft alt kümenin
birleşimine eşittir,
̃ kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft açık iki soft alt kümenin birleşimine
eşittir,
̃ kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft kapalı iki soft alt kümenin
birleşimine eşittir,
̃ uzayının boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı olan has bir alt
kümesi vardır.
Ġspat.
4.1.Tanımın direkt sonucudur.
̃ olacak şekilde boştan farklı, soft bağlantılı olmayan
̃
soft kümeleri verilsin.
ve
̃ olup 3.2.Sonuç gereğince
ve
kümeleri soft açıktır. O halde ̃ kümesi boştan farklı ayrık, soft açık iki alt kümenin
birleşimine eşittir.
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft açık
̃ ve
kümenin birleşimine eşit olsun.
̃
olur. Dolayısıyla
ve
olduğundan
gibi iki alt
̃
ve
kümeleri, aynı zamanda soft kapalı kümelerdir.
16
Böylece ̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı iki soft kümenin birleşimine
eşittir.
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı
̃ ve
birleşimine eşit olsun.
kümelerinin
ve
olduğundan
̃
olup
kümesi hem soft açık hem soft kapalıdır ve boştan farklı bir has soft alt kümedir.
kümesi, ̃ kümesinin boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı bir
alt kümesi olsun. Bu durumda
̃
kümesi hem soft açık hem soft kapalı bir has
̃ olur 3.1.Teorem’den ̅̅̅
alt küme olup,
edilir. O halde 4.1.Tanım gereğince
4.3.Örnek.
̅̅̅
elde
̃ soft bağlantısız bir uzay olur.
{ , , } ve
{ , } olsun.
={( ,{ }),( ,{ })},
={( ,{ })},
={( ,{
̃ ={ , ̃ ,
,
,
},( ,{ })} ve
,
};
={( ,{
}), ( ,{ , })} olmak üzere
üzerinde bir soft topoloji oluşturur. Açıktır ki
̃ uzayı
soft bağlantısızdır.
4.1.Sonuç.
̃ soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler eş
değerdir:
̃ uzayı soft bağlantılıdır,
̃ kümesi, boştan farklı, soft bağlantılı iki soft alt kümenin birleşimine eşittir,
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft açık alt kümenin birleşimine
eşittir,
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft kapalı kümenin birleşimine
eşittir,
̃ uzayının hem soft açık hem soft kapalı alt kümeleri, yalnızca ̃ ve
kümeleridir.
Ġspat. 4.1.Teoremin direkt sonucudur.
4.4.Örnek.
={ :⋃
soft bağlantılıdır.
reel sayılar kümesi ve
sonlu bir küme olsun.
kümesi üzerinde
ailesi bir soft topoloji oluşturur. (
) uzayı
17
4.2.Teorem.
̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve
yeter şart boştan farklı her has soft alt kümesinin sınırının boş olmamasıdır.
Ġspat.
̃ uzayı soft bağlantılı olsun. Bir
:
kümesi alalım. Varsayalım ki
) alt
olsun. Soft sınırlılık tanımından
̅̅̅
olup
̅̅̅
elde
edilir.
̅̅̅
Ayrıca,
olup.4.1.Teorem gereğince,
̅̅̅
olduğundan,
̃ uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise bir çelişkidir. O
’ dir.
halde
: ̃ kümesinin boştan faklı bir
̅̅̅
durumda,
has soft alt kümesinin sınırı boş olmasın. Bu
olup, ̅̅̅
olur. Dolayısıyla
hem soft kapalı olamaz. 4.1.Sonuç gereği
̃ soft bağlantılı bir uzaydır.
̃ ) soft bağlantılı uzaylar ise, (
̃ ) ve (
4.3.Teorem. (
kümesi, hem soft açık
, ̃
̃ )
uzayı da soft bağlantılıdır.
Ġspat. (
̃ ) ve (
̃ ) soft bağlantılı uzaylar olsun. (
̃ ) soft bağlantılı
olduğundan,
̃
şekilde
̃ vardır.
ve
̃ ) da soft bağlantılı uzay olduğundan
̃
olacak şekilde
olacak
ve
̃ vardır. Buradan
(
) (
)
olup,
) (
ve
̃
̃ ) (
)’ den (
) (
açık kümelerdir. Böylece (
4.4.Teorem. (
),
, ̃
)
̃
) (
ve (
)
)
̃
soft
̃ ) uzayı da soft bağlantılıdır.
̃ ) uzayı soft bağlantılı bir uzay olmak üzere ̃
̃ ise (
̃ )
uzayı da soft bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki (
̃
ve
̃ ) uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teoremden
olacak şekilde
olduğundan
̃ olup buradan (
çelişkidir. O halde (
̃ ) soft bağlantılı bir uzay olur.
̃ soft kümeleri vardır. ̃
̃
̃ ) uzayı soft bağlantısız olur. Bu ise bir
18
5. SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR
Bu bölümde soft topolojik uzaylar ile ilgili Shabir ve Naz (2011) tarafından
yapılmış olan çalışmadan, soft alt uzay kavramının yorumlanması açısından
ayrılmaktayız. Shabir ve Naz (2011) tarafından verilmiş olan tanıma benzer olarak soft
alt uzay tanımını aşağıdaki gibi düzenledik. Ayrıca bu bölümden itibaren soft alt uzay
tanımı için 5.1.Tanımdaki soft alt uzay tanımı kullandık.
5.1.Tanım.
̃ bir soft topolojik uzayı ve
verilsin.
soft
kümesi üzerindeki
̃
kümesi üzerinde soft alt uzay topolojisi, (
soft topolojisine
uzayına da
̃
soft topolojik
̃ soft topolojik uzayının bir soft alt kümesi
verilsin. Eğer
̃ uzayının soft alt uzayı denir.
5.2.Tanım.
(
̃
alt uzayı, soft bağlantılı ise
̃
kümesine
̃ soft topolojik uzayı içerisinde
soft bağlantılı küme denir.
̃
5.1.Teorem.
soft topolojik uzayı ve
verilsin.
soft
kümesinin soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul
,
şeklindeki her
,
̃ soft açık kümeleri için
Ġspat.
olmasıdır.
soft bağlantılı bir küme olsun. Buradan
,
şeklindeki herhangi
̃
ve
soft açık kümelerini alalım. Varsayalım ki
olsun. Soft kesişim işleminin dağılma özelliğinden
(
̃
olup,
ve
)
olduğundan, sonuç olarak
̃
)
elde edilir. 4.1.Teorem gereğince
̃
̃
)
soft alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise,
alt uzayının soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde
:
,
soft açık kümeleri için
) (
olacak şekilde her
ve
olsun.
) ve
(
olur.
̃
19
olduğundan
̃ olur. 4.1.Sonuç gereğince
̃ ,
bağlantılı olup 5.2.Tanımdan
5.2.Teorem.
̃ soft topolojik uzayı, boş olmayan soft ayrık, soft açık
bağlantılı bir alt kümesi ise
kümesi
̃
uzayının soft
’ dir.
ya da
Ġspat. Varsayalım ki
kümeleri
soft
soft bağlantılı bir kümedir.
alt kümelerinin birleşimine eşit olsun.
ve
̃
ve
olsun.
̃ uzayında soft açık olduklarından
ve
̃ ve
soft
̃
olup
olduğundan
bulunur. ̃
olduğundan,
(
̃
elde edilir. 4.1.Teoremden
)
alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise
kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde
olur ya da
ve buradan
ve buradan
olur.
5.3.Teorem. Boştan farklı soft bağlantılı kümelerden oluşan bir ailenin arakesiti
boş değilse, bu ailenin birleşimi de soft bağlantılıdır.
Ġspat.
̃ uzayı verilsin. ̃ kümesi her
için
soft bağlantılı alt
kümelerinin birleşimi şeklinde olsun. Varsayalım ki,
̃=
uzayı soft bağlantılı olmasın. Bu takdirde 4.1.Teorem gereğince ̃ kümesi boş olmayan,
ayrık, soft açık herhangi
gereğince her i
olduğundan
alt kümelerinin birleşimi şeklindedir. 5.2.Teorem
ve
için, ya
olur. Eğer
ya da
̃
ve
olur, Bu ise,
̃
ve
elde edilir ki bu da
olmasıyla çelişir.
Eğer
olduğundan
çelişir . O halde
̃ uzayı, soft bağlantılı bir uzaydır.
olmasıyla
20
kümesinde bir
soft topolojik uzayı ve
̃
5.3.Tanım.
noktası verilsin.
bir elemanı varsa,
noktasına
noktasının her komşuluğunda,
kümesinin soft kapanış noktasıdır.
,
kümesinin soft kapanış noktası değildir.
,
̃
̃
verilsin. Eğer ̅̅̅
̃ soft topolojik uzayı ve
5.4.Tanım.
kümesinin en az
kümesinin soft kapanış noktası denir.
,
kümesine
alt kümesi ve
̃ ise
̃ uzayı içinde her yerde yoğun soft küme denir.
̃ soft topolojik uzayı ve
5.1.Lemma.
verilsin.
kümesi
̃ uzayında her yerde yoğun olması için gerek ve yeter koşul her boş olmayan her
soft açık kümesi için,
Ġspat.
Buradan
̅̅̅
olmasıdır.
̃ olsun ve boş olmayan bir
̃ noktası vardır Ayrıca
̃
̃ ̃
soft açık kümesi verilsin.
̅̅̅ olduğundan 5.3.Tanım gereği
elde edilir.
̃ ̃ noktasını içeren her
: Herhangi bir
için
olsun. Soft kapanış noktası tanımından,
̃
̃ soft açık alt kümesi
̃ ̅̅̅ olur. Buradan
̅̅̅…….(1)
̃ olduğundan,
olur.
̅̅̅
elde edilir. O halde
ve
̅̃ ……
̃
ifadelerinden,
̅̅̅
olup, 5.3.Tanımdan
kümesi
̃
̃ uzayında yoğun bir soft kümedir.
5.4.Teorem. Soft bağlantılı ve soft yoğun bir alt kümeye sahip olan her soft
topolojik uzay, soft bağlantılıdır.
Ġspat.
̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı ve yoğun bir soft alt kümesi
olsun. Varsayalım ki
̃ uzayı soft bağlantılı olmasın. Buradan 4.1.Teorem gereği
̃
olacak şekilde herhangi soft açık
soft küme olduğundan ̅̅̅
soft alt kümeleri vardır.
ve
̃ olup, 5.1.Lemmadan her
elde edilir. (1) den
Buradan
…(1)
ve
̃
kümesi yoğun bir
̃ için,
ve
olur.
21
ve
elde edilir öyle ki
̃
uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise
Sonuç olarak
dir. Böylece 4.1.Teorem den
̃
ve
̃
kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir.
̃ uzayı soft bağlantılı bir uzaydır.
̃ bir soft topolojik uzay olsun.
5.5.Teorem.
olmak üzere
verilsin. Eğer
̃
,
soft bağlantılı bir küme
̃
ve
ise
dır.
Ġspat. Varsayalım ki
olsun.
̃
̃
olup,
̃
bulunur. Buradan
̃
ve
olur. Diğer taraftan
̃
bağlantılı değildir. Bu ise
kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. Sonuç olarak
olduğundan 5.1.Teorem den
kümesi soft
olur.
̃ uzayının
5.1.Sonuç.
kümesinin ̃ soft topolojisine göre soft bağlantılı olması için gerek ve yeter
takdirde
koşul ̃
şeklinde iki soft alt kümesi verilsin. Bu
soft topolojisine göre bağlantılı olmasıdır.
̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi
5.6.Teorem.
̅̅̅ şeklindeki her
verilsin. Eğer
Ġspat. Varsayalım ki
soft kümesi soft bağlantılıdır.
soft kümesi soft bağlantılı olmasın. Bu durum da
4.1.Teorem gereği
olacak şekilde boş olmayan soft ayrık, soft açık
soft alt kümeleri vardır. 5.2.Teorem gereğince, ya
olsun. Buradan ̅̅̅
̅̅̅̅ elde edilir.
̅̅̅̅ olur. 4.1.Teorem gereğince
̅̅̅̅
ve
̅̅̅̅
ve
olduğundan
olur. Bu ise
̅̅̅
olur.
̅̅̅̅ olduğundan,
soft bağlantılı iki küme değildir. Yani
dır. Böylece
,
ya da
ve
̅̅̅̅ ve ̅̅̅̅
olmasıyla çelişir.
22
olsun. Buradan ̅̅̅
̅̅̅̅ elde edilir.
̅̅̅̅ olur. 4.1.Teorem gereğince
̅̅̅̅
̅̅̅̅
ve
̅̅̅̅ olduğundan
soft bağlantılı iki küme değildir. Yani
ve
dır. Böylece
̅̅̅̅ ve
,
olduğundan
̅̅̅
̅̅̅̅
olmasıyla çelişir. O halde
olur. Bu ise
soft kümesi soft
bağlantılı bir kümedir.
̃
5.2.Sonuç.
soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi
verilsin. Bu takdirde ̅̅̅ kümesi de soft bağlantılıdır.
̅̅̅ şeklindeki her
Ġspat. 5.6.Teoremden
ve ̅̅̅
̅̅̅ olduğundan
5.7.Teorem.
yeter koşul her
Ġspat.
̅̅̅
kümesi, soft bağlantılıdır.
̅̅̅ olup, ̅̅̅ kümesi soft bağlantılı olur.
̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve
nokta çiftini içeren soft bağlantılı bir kümenin varlığıdır.
,
̃ soft bağlantılı uzay olduğundan, her
:
içeren soft bağlantılı küme,
: Sabit bir
nokta çiftini
,
kümesinin kendisidir.
noktasını seçelim. Hipotezden, her
noktalarını içeren bir her
için
noktası için,
ve
soft bağlantılı kümeler ailesi
vardır.
ve ̃
̃
olduğundan 5.3.Teorem gereğince
̃ uzayı soft bağlantılıdır.
5.8.Teorem. Soft bağlantılı bir uzayın soft sürekli bir dönüşüm altındaki
görüntüsü de soft bağlantılıdır.
Ġspat.
̃ ,
̃
soft bağlantılı uzaylar, (
sürekli, örten bir dönüşüm ve
̃
̃
̃
̃
soft
soft bağlantılı uzayı verilsin. Varsayalım ki
soft bağlantılı bir uzay olmasın. Bu takdirde, ̃
boştan farklı, soft ayrık, soft açık herhangi
soft alt kümeleri vardır. (
ve
dönüşümü soft sürekli olduğundan
)
dönüşümü soft örten olduğundan
olacak şekilde
̃ ve
)
,
)
̃ olur. (
olur. Sonuç
olarak;
(̃
)
)
)
)
elde
23
Böylece
̃ ) uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise
bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde
̃
5.5.Tanım.
soft kümesi
̃
uzayı soft bağlantılı bir uzaydır.
̃
̃
bir soft topolojik uzay,
soft kompakt uzay ve
uzayının soft yoğun alt kümesi olsun. Eğer
soft alt uzayına bir soft homeomorfizm varsa
̃
uzayının soft
̃
̃
uzayından
̃
uzayına,
̃
uzayının bir soft kompaktlaştırılması denir.
5.9.Teorem. Soft bağlantılı uzayın soft kompaktlaştırılması da soft bağlantılıdır.
Ġspat. Soft bağlantılı bir
̃
uzayının bir soft kompaktlaştırılması,
uzayı olsun. Soft kompaktlaştırma tanımından
yoğun bir
̃
̃
alt kümesine homeomorftur.
uzayı da soft bağlantılıdır. ̅̅̅̅
̃
uzayı,
̃
̃
uzayının soft
uzayı soft bağlantılı olduğundan
̃ olduğundan 5.4.Teorem den
̃
de
soft bağlantılı bir uzaydır.
soft bağlantılı bir uzay olsun. Eğer ̃
̃
5.10.Teorem.
̃ ise
̃
uzayı soft bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki
̃
uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teorem gereği,
̃
olacak şekilde herhangi
olduğundan
̃ soft alt kümeleri vardır. Hipotez gereği ̃
̃ olur. Buradan
,
çelişkidir. O halde
,
ve
̃
̃
̃
soft bağlantısız bit uzay olur bu ise bir
uzayı soft bağlantılıdır.
24
6. SOFT BĠLEġENLER
Bir soft topolojik uzay soft bağlantılı olmadığı halde, bu uzayın bazı soft alt
kümeleri soft bağlantılı olabilir. Böyle bir uzayın en büyük soft bağlantılı alt
kümelerinden faydalanarak, uzayın yapısı ve özellikleri incelenebilir.
6.1.Tanım.
̃ soft topolojik uzayı ve soft bağlantılı bir
kümesi verilsin. Eğer
alt uzayını kapsayan
̃
bağlantılı bir soft alt uzay yoksa
Diğer bir ifade ile
uzayına
̃
soft alt
̃ uzayında daha büyük soft
̃ uzayının bir soft bileşeni denir.
̃ uzayının en büyük soft bağlantılı soft alt uzayına,
̃
uzayının soft bileşeni denir.
̃
soft topolojik uzayının bir
noktasının soft bileşeni denir ve
soft noktasını içeren soft bileşenine
sembolü ile gösterilir.
̃ soft topoojik uzayının her bir
6.1.Teorem.
noktasını içeren bir ve yalnız
bir bileşeni vardır.
Ġspat. Varsayalım ki
kümesi
̃
̃
kümesi
ve
olur. Buradan
̃ soft topolojik uzayı ve
6.2.Teorem.
̃
noktasının iki soft bileşenleri olsun.
noktasının soft bileşeni olduğundan
noktasının soft bileşeni olduğundan
Her
kümeleri
ve
elde edilir.
soft alt kümesi verilsin.
için, “ aynı soft bağlantılı soft alt kümeye ait olma” bağıntısı, bir denklik
bağıntısıdır.
Ġspat.
ğ
Şeklinde tanımlanan
bağıntısının yansıma ve simetri özelliğin sağladığı açıktır. Şimdi
geçişme özelliğini sağladığını gösterelim. Herhangi
olsun. Bu durumda
ve
̃
̃
olacak şekilde bir
olduğundan 5.3.Teorem den
olur. O halde
ıı ü
olur. Böylece
olacak şekilde bir
̃
noktaları için,
ve
(X,E) soft bağlantılı kümesi
(X,E) soft alt kümesi vardır.
̃
kümesi de soft bağlantılıdır. Ayrıca
̃
bağıntısı, bir denklik bağıntısı olur.
6.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın 6.1.Teoremdeki denklik bağıntısına göre,
denklik sınıfları, bu uzayın soft bileşenlerini oluşturur.
25
6.3.Teorem. Bir soft topolojik uzayın tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını
oluşturur. Ayrıca uzayın herhangi bir soft bağlantılı alt kümesi, uzayın soft
bileşenlerinden yalnızca biri tarafından kapsanır.
Ġspat. Bir
̃ soft topolojik uzayının soft bileşenleri, uzayın denklik sınıfları
olduğundan, herhangi iki denklik sınıfı ya aynıdır ya da ayrık iki soft kümedir ve bu
denklik sınıflarının bileşiminin ̃ kümesine eşit olduğu açıktır. Dolayısıyla
̃
uzayının tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını oluşturur.
̃ uzayın herhangi bir soft bağlantılı
soft alt kümesinin
̃
uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri ile kesiştiğini
gösterelim. Varsayalım ki
kesişsin.
̃
ve
kümesi,
̃
noktalar aynı soft bağlantılı
Şimdi
soft alt kümesini alalım. Önce, bu
̃ uzayının
ve
olduğundan,
olsun.
olur ve bu
kümesine ait olduğundan 6.2.Teoremden
soft bağlantılı alt kümesinin
tarafından kapsandığını gösterelim.
olur.
̃ uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri
noktasını alalım.
̃
bileşenleri, uzayın bir soft ayrışımını oluşturduğundan,
yalnızca birine aittir. Bu soft bileşeni
da aynı
gibi iki soft bileşeniyle
ile gösterelim.
soft bileşenine aittir, aksi takdirde
kesişmemiş olurdu. Sonuç olarak
̃ soft uzayının soft
noktası bu soft bileşenlerden
kümesinin diğer noktaları
kümesi yalnızca bir soft bileşenle
elde edilir.
6.4.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft bileşenleri soft kapalıdır.
Ġspat.
̃ uzayının bir soft bileşeni
kümesi ise 6.1.Tanımdan,
kümesi
soft bağlantılı bir kümedir. 5.2.Sonuçdan ̅̅̅ kümesi de soft bağlantılı bir kümedir.
kümesi,
̃
uzayının en büyük soft bağlantılı alt kümesi olduğundan ̅̅̅
bulunur. Diğer taraftan
̅̅̅ olduğundan
̅̅̅ elde edilir. Böylece
kümsi soft
kapalı bir kümedir.
6.2.Sonuç.
̃ uzayının herhangi iki soft bileşeni, soft bağlantılı olmayan iki
kümedir.
Ġspat.
̃ uzayının herhangi
,
soft bileşenleri verilsin. Bu soft bileşenler
6.3.Teoremden soft ayrık iki kümedir. 6.4.Teoremden soft kapalı kümelerdir.
4.1.Teorem dan,
̅̅̅
̅̅̅
26
bulunur. O halde
kümeleri, soft bağlantılı olmayan iki kümedir.
ve
6.5.Teorem.
̃ soft topolojik uzayının hem soft açık hem soft kapalı olan
soft bağlantılı alt kümeleri, bu uzayın soft bileşenleridir.
Ġspat.
kümesi
̃ uzayının hem soft açık hem soft kapalı bir soft alt
kümesi olsun. Soft bağlantılı her alt küme, uzayın bir soft bileşeni tarafından
kapsanacağından, 6.3.Teorem gereğince
olacak şekilde bir
soft bileşeni
vardır. Buradan,
(
) (( ̃
olduğundan 4.1.Teorem gereğince
)
)
(
) (( ̃
)
)
kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise
kümesinin soft bileşen olasıyla çelişir. O halde
elde edilir.
27
7. SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR
7.1.Tanım.
̃
̃ bir soft topolojik uzay olmak üzere her
̃ olacak şekilde
̃
̃ ve
noktaları için,
soft bağlantısızlığı varsa,
̃
uzayına soft tamamen bağlantısız uzay denir.
7.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay ̃ soft tamamen bağlantısızdır.
Soft tamamen bağlantısız uzay soft bağlantısızdır fakat tersi doğru değildir.
7.2.Örnek. 4.3.Örnek, soft bağlantısız bir uzaydır fakat soft tamamen bağlantısız
bir uzay değildir.
7.1.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için
gerek ve yeter koşul bu uzayın soft bileşenlerinin tek elemanlı kümeler olmasıdır.
Ġspat.
̃ uzayı soft tamamen bağlantısız uzay olsun. Varsayalım ki
̃ uzayının bir
soft bileşeni birden çok noktayı içersin. Bu durumda herhangi
noktalarını alalım.
̃
hipotez gereğince
̃
̃ ve
̃ uzayı soft tamamen bağlantısız olduğundan
̃ olacak şekilde
̃
soft bağlantısızlığı
vardır. Ayrıca
,
,
olduğundan 5.1.Teorem gereğince,
ve
kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise
kümesinin soft bileşen olmasıyla çelişir. O halde
soft bileşeni yalnızca tek nokta
içerir.
̃
uzayının soft bileşenleri tek elemanlı alt kümeler olsun.
uzayının soft bileşenleri,
noktaları için
her
̃
̃ uzayının en büyük soft bağlantılı kümeleri olduğundan,
̃
̃ ve
̃
bağlantısızlığı vardır. O halde 7.1.Tanım gereğince
̃ olacak şekilde
̃
soft
uzayı soft tamamen
bağlantısızdır.
7.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için gerek
ve yeter koşul boş olmayan, soft bağlantılı kümelerin tek elemanlı alt kümelerden
oluşmasıdır.
Ġspat. 7.1.Teoremin direkt sonucudur.
28
7.2.Teorem. Soft tamamen bağlantısız her uzay, soft
Ġspat. Soft tamamen bağlantısız bir
uzayıdır.
̃ uzayının soft bileşenleri, yalnızca tek
elemanlı alt kümelerden oluştuğundan, 6.4.Teorem gereğince
bileşenleri sotf kapalı kümelerdir. Böylece
küme olur. 2.2.13.Tanım gereğince
7.2.Tanım.
verilsin. Eğer
̃
̃
̃
uzayının soft
tek bir noktadan oluşan soft kapalı bir
̃ uzayı soft
uzayıdır.
soft topolojik uzayı ve bir
soft alt kümesi
soft alt uzayı soft tamamen bağlantısız ise
kümesine soft
bağlantısız küme denir.
7.3.Tanım.
̃ soft topolojik uzayının sahip olduğu bir özellik, bu uzayın tüm
soft alt uzaylarında da varsa, bu özelliğe soft kalıtsallık özelliği denir.
7.2.Sonuç. Soft tamamen bağlantısız uzay özelliği soft kalıtsal bir özelliktir.
7.3.Teorem. Herhangi sayıda soft tamamen bağlantısız uzayların çarpım uzayı
da soft tamamen bağlantısızdır.
Ġspat.
̃
soft tamamen bağlantısız uzayların bir ailesi verilsin.
̃ =∏
üzerindeki çarpım topolojisi ̃ olsun.
̃
̃
soft dönüşümü
için
olup soft izdüşümler soft süreklidir.
olduğundan,
kümesi ̃ =∏
soft bağlantılıdır.
her biri soft tamamen bağlantısız olduğundan,
elemanlı soft kümelerdir. O halde
̃
kümesinde soft bağlantılı
çarpan uzaylarından
kümeleri tek
soft bağlantılı kümesi ̃ çarpım uzayının tek
elemanlı soft bağlantılı kümesidir. Sonuç
̃ uzayı soft tamamen bağlantısızdır.
29
8. SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR
̃ soft topolojik uzayı verilsin. Her
8.1.Tanım.
noktasının,
uzayında soft bağlantılı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanı varsa,
̃
̃ uzayına
soft lokal bağlantılı uzay denir.
8.1.Uyarı.
̃ uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul
noktasının ve her
her
soft bağlantılı soft açık bir
̃
komşuluğu için,
olacak şekilde
̃
komşuluğunun varlığıdır.
8.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay ̃ , soft lokal bağlantılıdır.
8.1.Teorem.
̃ uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul
̃ uzayının her soft açık alt uzayındaki her bir soft bileşeninin,
̃ uzayında soft
açık olmasıdır.
Ġspat.
̃ uzayı soft lokal bağlantılı,
:
kümesi,
alt uzayında bir soft bileşen olsun.
̃
noktasını ele alalım.
̃
8.1.Uyarı. gereği,
̃ uzayı soft lokal bağlantılı olduğundan,
olacak şekilde soft bağlantılı bir
komşuluğu vardır. Böylece
kümesi,
̃
soft bağlantılı bir kümedir. Diğer taraftan,
bileşen olduğundan,
Böylece
̃ soft açık bir alt küme ve
soft alt uzayında,
kümesi
̃
noktasını içeren
soft alt uzayında soft
olur. Soft iç nokta tanımı gereğince,
̃
olduğundan,
elde edilir.
soft açık
̃
elde edilir.
bulunur. Sonuç
soft bileşeni, soft açıktır.
olarak
̃ uzayında soft açık bir
açık iken,
̃
soft alt uzayının her soft bileşeni soft
̃ uzayının soft lokal bağlantılı olduğunu göstereceğiz.
alt uzayına göre,
noktasını içeren
bağlantılı olup, 8.1.Uyarı gereği
bileşeni soft açıktır.
̃
soft açık
bileşeni soft
̃ uzayı soft lokal bağlantılıdır.
8.1.Sonuç. Soft lokal bağlantılı bir uzayın soft bileşenleri, hem soft açık hem
soft kapalıdır.
Ġspat.
̃ uzayı, soft lokal bağlantılı olsun. Eğer
bir soft bileşeni ise 8.1.Teorem gereği,
6.4.Teorem gereği soft kapalıdır.
kümesi,
̃ uzayının
soft bileşeni, soft açıktır. Diğer taraftan,
30
8.2.Sonuç.
̃ uzayı, soft kompakt ve soft lokal bağlantılı ise bu uzayın soft
bileşenlerinin sayısı sonludur.
Ġspat. Soft kompakt ve soft lokal bağlantılı bir
̃
uzayının tüm soft
bileşenleri, bu uzayın bir ayrışımını oluşturduğundan ve soft bileşenler soft açık
olduğundan,
̃ uzayının bir soft açık örtüsü elde edilir.
̃ uzayı 2.2.11.Tanım
gereği soft kompakt uzay olduğundan, bu soft ayrık, soft açık örtünün sonlu bir alt
örtüsü vardır. O halde
̃ uzayının soft bileşenlerinin sayısı sonludur.
8.2.Uyarı. Soft lokal bağlantılılık kavramı, soft sürekli dönüşümle korunmaz,
ancak, soft sürekli ve soft açık dönüşümlerle korunur.
31
9. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER
Soft topolojik uzaylar oldukça geniş bir çalışma alanına sahip olup, şüphesiz bu
tez çalışması bundan sonraki araştırmalara bir fikir oluşturacaktır. Çalışma boyunca soft
bağlantılı kümeler, soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı uzaylar, soft bağlantısız
uzaylar, soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşenler, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft
lokal bağlantılı uzaylar ve bunların özellikleri sabit parametreli soft kümeler üzerinde
incelenmiş
olup,
parametreler
sağlanmayacağı incelenebilir.
sabit
tutulmayarak
ta
özelliklerin
sağlanıp
32
KAYNAKLAR
Aktaş, H. and Çağman, N., 2007, Soft sets and soft groups, Information Sciences, 177,
2726-2735.
Aygünoğlu, A. and Aygün, H., 2012, Some notes on soft topological spaces, Neural
Computing and Applications, 21 (1), 113-119.
Babitha, K. V. and Sunil, J.J. 2010,
Comput.Math.,Appl., 60, 1840-1849.
Soft
set
relations
and
functions,
Çağman, N., Karataş, S. and Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Computers and
Mathematics with Applications, 62, 351-358.
Çağman, N. and Enginoğlu S., 2010, Soft set theory and uni-int decion making,
Europen J. Oper. Res., 207, 848-855.
Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics
with Applications, 56, 2621-2628.
Hussain, S. and Ahmad, B., 2011, Some properties of soft topological spaces,
Computers and Mathematics with Applications, 62, 4058-4067.
Kharal, A. and Ahmad, B., 2011, Mapping on soft classes, New Math. and Nat.
Computation 7 (3), 471-481.
Maji P. K., Biswas, R. and Roy A. R., 2003, Soft set theory, Computers and
Mathematics with Applications, 45, 555-562.
Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2008, Similarity measure of soft set, New Math. Nat.
Comput., 4 (1), 1-12.
Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-first results, Computers and Mathematics with
Applications, 37, 19-31.
Pawlak, Z., 1982, Rough sets, International Journal of Computer and Information
Sciences, 11 (5), 341-356.
Shabir, M. and Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics
with Applications, 61, 1786-1799..
Zadeh, L. A., 1965, Fuzzy sets, Information Control, 8, 338-353.
Zorlutuna, İ., Akdag, M., Min, W. K. and Atmaca, S., 2012, Remarks on soft
topological spaces, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 3 (2), 171-185.
.
33
ÖZGEÇMĠġ
KĠġĠSEL BĠLGĠLER
AdıSoyadı
Uyruğu
DoğumYeriveTarihi
Telefon
e-mail
:
:
:
:
:
Zehra ER
T.C
Konya 02.10.1990
0507 136 33 48
Matematik39@hotmail.com
EĞĠTĠM
Derece
Adı, Ġlçe, Ġl
Lise
: ÖzelElmasLisesi, Selçuklu-Konya
Üniversite
: SelçukÜniversitesi, Fen Fakültesi, Selçuklu-Konya
YüksekLisans : SelçukÜniversitesi , Fen BilimleriEnstitüsü
BitirmeYılı
2007
2012
2015
UZMANLIK ALANI
Topoloji
YABANCI DĠLLER: İngilizce
YAYINLAR
1. Yüksel, Ş., Güzel Ergül, Z. and Güven, Z., 2014, Soft connected spaces,
International Journal of Pure & Engineering Mathematics, 2 (3), 121-134.
(Yüksek Lisans tezinden yapılmıĢtır)
ULUSLARARASI BĠLĠMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN BĠLDĠRĠLER
1. Güzel Ergül, Z., Yüksel, Ş. and Güven, Z., Soft connected spaces, 2nd International
Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA2013), BOSNIA. (Yüksek Lisans tezinden yapılmıĢtır)