t¨urev˙ın uygulamaları

Maksimum ve Minimum Değerler
Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
D içindeki her x elemanı için f (c) ≥ f (x) ise f fonksiyonunun c
noktasında mutlak maksimumumu vardır. f (c) sayısına f nin D
deki maksimum değeri denir.
TÜREVİN UYGULAMALARI
Benzer olarak, D içindeki her x için f (c) ≤ f (x) ise f
fonksiyonunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f (c)
sayısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve
minimum değerlerine f nin uç değerleri denir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
1/ 107
Maksimum ve Minimum Değerler
MAT 1009 Matematik I
2/ 107
Maksimum ve Minimum Değerler
Şekil 1, d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak
minimuma sahip olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.
Bu grafik üzerindeki en üstteki noktanın (d, f (d)) ve en alttaki
noktanın (a, f (a)) noktası olduğuna dikkat ediniz.
Tanım :
x noktası c ye yakın olduğunda f (c) ≥ f (x) ise f fonksiyonunun c
noktasında bir yerel maksimumu (ya da göreli maksimum)
vardır denir.
h
Bunun anlamı c yi içeren bir açık aralık içindeki her x için
i
f (c) ≥ f (x) olmasıdır.
Şekil 1:
Benzer olarak, x noktası c ye yakın olduğunda f (c) ≤ f (x) ise f
nin c noktasında bir yerel minimumu vardır denir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
3/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
4/ 107
Örnek
Örnek
Örnek : Her x için
−1 ≤ cos x ≤ 1
Örnek : f (x) = x2 ise
ve herhangi bir n tamsayısı için
her x için x2 ≥ 0 olduğundan f (x) ≥ f (0) dır.
cos 2nπ = 1
olduğundan, f (x) = cos x fonksiyonu (yerel ve mutlak) minimum
değeri olan 1 i sonsuz kez alır.
Dolayısıyla f (0) = 0 değeri f nin mutlak (ve yerel) minimum
değeridir.
Bu y = x2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç
noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir.
Benzer olarak herhangi bir n tamsayısı için
cos(2n + 1)π = −1
fonksiyonun minimum değeridir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
5/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
6/ 107
Örnek
Örnek : Şekil 2 de gösterilen f (x) = x3 fonksiyonunun
grafiğinden, fonksiyonun hem mutlak maksimum hem de mutlak
minimum değerlerinin olmadığını görüyoruz. Aslında yerel uç
değerleri yoktur.
Bununla beraber, parabol üzerinde en üst nokta yoktur ve bu
yüzden bu fonksiyonun maksimum değeri de yoktur.
Şekil 2:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
7/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
8/ 107
Örnek
Örnek...
Örnek : Şekil 3 de
f (x) = 3x4 − 16x3 + 18x2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
−1≤x≤4
Buradan f (1) = 5 in yerel maksimum ve f (−1) = 37 nin mutlak
maksimum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir yerel
maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur.]
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Şekil 3:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
9/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
10/ 107
Uç Değer Teoremi
Teorem :
f fonksiyonu bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, c ve d sayıları,
[a, b] kapalı aralığında olmak üzere, f (c) mutlak maksimum
değerini ve f (d) mutlak minimum değerin alır.
Ayrıca f (0) = 0 yerel minmum ve f (3) = −27 hem yerel hem de
mutlak minimumdur. Burada f nin x = 4 de ne yerel ne de mutlak
maksimum olmadığına dikkat ediniz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
11/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
12/ 107
Uç Değer Teoremi
Maksimum ve Minimum Değerler
Uç Değer Teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun
bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söyler, fakat
bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şey söylemez.
Yerel uç değerleri arayarak işe başlayalım.
Şekilde, Uç Değer Teoreminin hipotezlerinden birini kaldırdığımızda
(süreklilik ya da kapalı aralık) fonksiyonun uç değerlere sahip
olması gerekmediğini gösterir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
13/ 107
Maksimum ve Minimum Değerler
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
14/ 107
Fermat Teoremi
Şekil 4, c de bir yerel maksimumu ve d de bir yerel minimumu olan
bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve
minimum noktalarda teğet doğruları yataydır ve bunun sonucu
olarak her birinin eğimi 0 dır. Türevin teğet doğrusunun eğimi
olduğunu biliyoruz. Bu nedenle f ′ (c) = 0 ve f ′ (d) = 0 dır.
Fermat Teoremi : Eğer f , c noktasında yerel maksimuma ya da
minimuma sahip ve f ′ (c) varsa f ′ (c) = 0 dır.
f ′ (c) = 0 olduğunda f nin c noktasında maksimumu ya da
minimumu olması gerekmez. (Diğer bir deyişle, Fermat teoreminin
tersi genelde doğru değildir.)
Şekil 4:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
15/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
16/ 107
Fermat Teoremi
Fermat Teoremi
Şekil 6: f (0) = 0 minimum değer fakat f ′ (0) yok.
Şekil 5: f ′ (0) = 0 fakat maksimum yada minimum yok
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
17/ 107
MAT 1009 Matematik I
18/ 107
Örnek
Tanım
Örnek : f (x) = x3/5 (4 − x) fonksiyonunun kritik sayılarını
bulunuz.
Tanım : f bir fonksiyonu ve c sayısı f nin tanım kümesi içinde
olsun. Eğer f ′ (c) = 0 ya da f ′ (c) yoksa c ye f nin bir kritik sayısı
denir.
Çözüm : Çarpım kuralı ile
3
3(4 − x)
f ′ (x) = x−2/5 (4 − x) + x3/5 (−1) =
− x3/5
5
5x2/5
=
12 − 8x
3(4 − x) − 5x
=
2/5
5x
5x2/5
olur. [Aynı sonuç, ilk olarak f (x) = 4x3/5 − x8/5 yazılarak elde
edilebilir.]
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
19/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
20/ 107
Örnek...
Fermat Teoremi
f ′ (x) =
12 − 8x
5x2/5
Kritik sayının tanımından sonra Fermat teoremi aşağıdaki gibi de
yazılabilir:
Böylece, f ′ (x) = 0 dan
12 − 8x = 0
3
olur. Buradan x = elde ederiz. x = 0 noktasında türev yoktur.
2
3
Sonuç olarak, ve 0 kritik sayılardır.
2
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Eğer f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c
noktası f nin bir kritik sayısıdır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
21/ 107
MAT 1009 Matematik I
22/ 107
Örnek
Kapalı Aralık Yöntemi
Örnek : f (x) = x − 2 sin x, 0 ≤ x ≤ 2π fonksiyonunun mutlak
maksimum ve mutlak minimum değerlerini tam olarak bulunuz.
Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksiyonun
mutlak maksimum ya da minimum değerlerini bulmak için:
Çözüm : f (x) = x − 2 sin x fonksiyonu [0, 2π] aralığında
süreklidir. f ′ (x) = 1 − 2 cos x olduğundan,
1
f nin (a, b) deki kritik sayılardaki değerlerini bulunuz.
2
Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz.
3
1. ve 2. adımlardaki değerlerin en büyüğü mutlak maksimum
değeri, en küçüğü ise mutlak maksimum değeridir.
cos x =
1
⇒ f ′ (x) = 0
2
olur. Bu x = π/3 ya da 5π/3 iken olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
23/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
24/ 107
Örnek...
Ortalama-Değer Problemi
Bu kritik noktalardaki f değerleri
f (π/3)
=
f (5π/3) =
π
π
π √
− 2 sin = − 3 ≈ −0.684853
3
3
3
Teorem : Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında türevlenebilir bir
fonksiyon ise a ve b arasında
5π
5π
5π √
− 2 sin
=
+ 3 ≈ 6.968039
3
3
3
f ′ (c) =
dir.
f (b) − f (a)
b−a
ya da denk olarak
Uç noktalarda f nin aldığı değerler f (0) = 0 ve f (2π) = 2π ≈ 6.28
dir.
eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır.
Bu dört değeri √
karşılaştırdığımızda mutlak minimum değeri
π
f (π/3) = 3 − 3, mutlak maksimum değeri ise
√
f (5π/3) = 5π
3 + 3 olarak bulunur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a)
25/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
26/ 107
Ortalama-Değer Problemi
Bu teoremin akla uygun olduğunu geometrik bir yorumla
görebiliriz. Şekil 7 türevlenebilir iki fonksiyonun grafikleri üzerinde
A(a, f (a)) ve B(b, f (b)) noktalarını göstermektedir.
Şekil 7:
Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
27/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
28/ 107
Örnek
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Örnek : f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 fonksiyonunun artan ve
azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Artan/Azalan Testi
Çözüm :
(a) Bir aralıkta
f ′ (x)
> 0 ise, bu aralıkta f artandır.
(b) Bir aralıkta
f ′ (x)
< 0 ise, bu aralıkta f azalandır.
f ′ (x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x − 2)(x + 1)
Ar/Az Testi’ni kullanmak için nerede f ′ (x) > 0, nerede f ′ (x) < 0
olduğunu bilmek zorundayız.
Bu testin adına kısaca Ar/Az Testi diyelim.
Bu f ′ (x) in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 12x,
x − 2 ve x + 1 dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
29/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
30/ 107
Örnek...
Gerçel doğruyu uç noktaları −1, 0, 2 kritik sayıları olan aralıklara
bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim.
Dolayısıyla f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 fonksiyonunu
(−∞, −1) aralığında AZALAN,
(−1, 0) aralığında ARTAN,
(0, 2) aralığında AZALAN,
Azalan
Artan
Azalan
(2, ∞) aralığında ise ARTAN dır.
Artan
Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin
negatif olduğunu gösterir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
31/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
32/ 107
Yerel Minimum/Maksimum Noktaları
Yerel Minimum/Maksimum Noktaları
Daha önce f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa,
c nin f nin bir kritik sayısı olması gerektiğini(Fermat Teoremi),
fakat her kritik sayıda bir maksimum ya da minimumun ortaya
çıkmayacağını hatırlayalım.
Bunun sonucu olarak bir kritik sayıda f nin bir yerel maksimumu
ya da minimumu olup olmadığını anlayacağımız bir teste
ihtiyacımız var.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksiyonunun bir kritik
sayısının c olduğunu varsayalım.
(a) Eğer f ′ türevi c de pozitiften negatife değişirse, f nin c de bir
yerel maksimumu vardır.
(b) Eğer f ′ türevi c de negatiften pozitife değişirse, f nin c de bir
yerel minimumu vardır.
(c) Eğer f ′ türevi c de işaret değiştirmezse (f ′ , c nin iki yanında
pozitif ya da negatif ise), f nin c de yerel maksimumu ve
minimumu yoktur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
33/ 107
MAT 1009 Matematik I
34/ 107
Örnek
Yerel Minimum/Maksimum Noktaları
Örnek : f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 fonksiyonunun yerel
minimum ve maksimum değerlerini bulunuz.
Çözüm : Bu fonksiyonun önceki örnekteki fonksiyon olduğunu
anımsayınız.
O örnekteki çizelgeden f ′ türevinin −1 noktasında negatiften
pozitife değiştiğini görürüz. Dolayısıyla f (−1) = 0, Birinci Türev
Testi ile bir yerel minimum değeridir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
35/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
36/ 107
Örnek...
Bükeylik
Bir f fonksiyonunun f ′ türevi bir I aralığı üzerinde artan bir
fonksiyon ise f fonksiyonu (ya da grafiği) I üzerinde dışbükeydir
denir.
Benzer şekilde f ′ türevi, 2 de negatiften pozitife değişir. Burada
f (2) = −27 de bir yerel minimum değeridir.
Eğer f ′ türevi bir I aralığı üzerinde azalan bir fonksiyon ise f
fonksiyonu I üzerinde içbükeydir denir.
Ayrıca f (0) = 5 bir yerel maksimum değeridir, çünkü f ′ türevi 0 da
pozitiften negatife değişir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
37/ 107
Bükeylik
MAT 1009 Matematik I
38/ 107
Bükeylik
Bir eğrinin bükeyliğinin yönünün değiştiği noktaya büküm noktası
denir.
Şekildeki eğri P de dışbükeylikten içbükeyliğe ve Q da
içbükeylikten dışbükeyliğe değişir. Dolayısıyla P ve Q noktaları
eğrinin büküm noktalarıdır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
39/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
40/ 107
Bükeylik
Bükeylik
Bükeylik Testi’nin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri
veren aşağıdaki testtir.
Bükeylik Testi
İkinci Türev Testi
(a) I aralığındaki her x için f ′′ (x) > 0 ise I üzerinde f nin grafiği
dışbükeydir.
(b) I aralığındaki her x için f ′′ (x) < 0 ise I üzerinde f nin grafiği
içbükeydir.
f ′′ türevinin c nin yakınında sürekli olduğunu varsayalım.
(a) f ′ (c) = 0 ve f ′′ (c) > 0 ise f nin c de bir yerel minimumu
vardır.
(b) f ′ (c) = 0 ve f ′′ (c) < 0 ise f nin c de bir yerel maksimumu
vardır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
41/ 107
MAT 1009 Matematik I
42/ 107
Örnek
NOT
f ′′ (c) = 0 olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez.
Diğer bir deyişle, bu noktada bir maksimum veya bir minimum
olabilir ya da her ikisi de olmayabilir.
Bu test f ′′ (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir.
MAT 1009 Matematik I
Çözüm : Eğer f (x) = x4 − 4x3 ise
f ′ (x) = 4x3 − 12x2 = 4x2 (x − 3)
Böyle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin
kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testi’ni kullanmak çoğu
kez daha kolaydır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Örnek : y = x4 − 4x3 eğrisinin bükeyliğini, büküm noktalarını,
yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri
kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz.
43/ 107
f ′′ (x) = 12x2 − 24x = 12x(x − 2)
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
44/ 107
Örnek...
Örnek...
f ′ (3) = 0 ve f ′′ (3) > 0 olduğu için f (3) = −27 yerel
minimumdur.
Kritik sayıları bulmak için birinci türevi 0’a eşitleriz.
f ′ (x) = 4x3 − 12x2 = 4x2 (x − 3) = 0
f ′′ (0) = 0 olduğu için ikinci türev testi 0 kritik sayısı için bir bilgi
vermez.
Buradan x = 0 ve x = 3 elde ederiz. İkinci türev testini
kullanabilmek için f ′′ nü kritik sayılarda hesaplarız.
′′
f (0) = 0
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Fakat x < 0 ve 0 < x < 3 için f ′ (x) < 0 olduğu için birinci türev
testi f (x)’in 0’da yerel minimum veya maksimumunun olmadığını
söyler.
′′
f (3) = 36 > 0
MAT 1009 Matematik I
45/ 107
Örnek...
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
46/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
48/ 107
Örnek...
İkinci türevin köklerini:
f ′′ (x) = 12x(x − 2) = 0
⇒
x = 0 veya
x=2
olarak buluruz.
(−∞, 0)
Dış Bükey
(0, 2)
İç Bükey
(2, ∞)
Dış Bükey
(0, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada
işaret değiştirir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
47/ 107
Örnek
Örnek...
Gerçel doğruyu uç noktaları 0, 4, 6 kritik sayıları olan aralıklara
bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim.
Örnek : f (x) = x2/3 (6 − x)1/3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm : Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım.
f ′ (x) =
4−x
− x)2/3
f ′′ (x) =
x1/3 (6
−8
− x)5/3
x4/3 (6
x = 4 olduğunda f ′ (x) = 0 ve x = 0 ya da x = 6 olduğunda f ′ (x)
tanımlı olmadığından 0, 4, 6 noktaları kritik sayılardır.
Azalan
Artan
Azalan
Azalan
Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin
negatif olduğunu gösterir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
49/ 107
Örnek
MAT 1009 Matematik I
50/ 107
Örnek...
f ′′ nü inceleyelim
f ′ , x = 0’da işaret değiştirdiği için f (0) = 0 yerel minimumdur.
f ′ , x = 4’te işaret değiştirdiği için f (4) = 25/3 yerel maksimumdur.
f ′ , x = 6’da işaret değiştirmediği için burada yerel
maksimum/minimum yoktur.
f ′′ (x) =
−8
− x)5/3
x4/3 (6
İkinci türev testi yalnızca x = 4’te kullanılabilir, çünkü x = 0’da ve
x = 6’da f ′′ yoktur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
51/ 107
(−∞, 0)
İç Bükey
(0, 6)
İç Bükey
(6, ∞)
Dış Bükey
(6, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada
işaret değiştirir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
52/ 107
Örnek...
Örnek
Örnek : f (x) = e1/x fonksiyonunun asimptotlarla birlikte birinci
ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz.
Çözüm :
f nin tanım kümesi {x | x 6= 0} kümesidir. Dolayısıyla x → 0 iken
f nin sağdan ve soldan limitlerini hesaplayarak düşey asimptotlarını
kontrol edebiliriz.
Eğrinin (0, 0) ve (6, 0) noktalarında düşey teğetleri olduğuna dikkat
ediniz. Çünkü, x → 0 ve x → 6 iken |f ′ (x)| → ∞
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
53/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
54/ 107
Örnek...
x → 0+
iken
x → 0−
1/x → ∞
olduğunu biliyoruz. Buradan
1/x → −∞
olduğunu biliyoruz. Buradan
lim e1/x = ∞
lim e1/x = 0
x→0+
x→0−
çıkar. Bu x = 0’ın düşey asimptot olduğunu gösterir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
iken
MAT 1009 Matematik I
çıkar.
55/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
56/ 107
Örnek...
Örnek...
x → ∓∞, iken 1/x → 0 ve
lim e1/x = e0 = 1
x→∓∞
dır. Yani y = 1 yatay asipmtottur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
57/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
58/ 107
Örnek...
Şimdi f nin birinci türevini hesaplayalım. Zincir kuralı ile
f ′ (x) = −
e1/x
x2
dir. Her x 6= 0 için x2 > 0 ve e1/x > 0 olduğundan, her x 6= 0 için
f ′ (x) < 0 dır.
Dolayısıyla f fonksiyonu, (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarında azalandır.
Kritik sayı olmadığından, f ’nin yerel maksimum/minimum u
yoktur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
59/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
60/ 107
Örnek...
Örnek...
İkinci Türev:
f ′′ (x) = −
e1/x (2x + 1)
x2 e1/x (−1/x2 ) − e1/x (2x)
=
x4
x4
e1/x > 0 ve x4 > 0 olduğundan,
x>
−1
(x 6= 0)
2
ve
x<
−1
2
iken
iken
f ′′ (x) > 0
f ′′ (x) < 0
−1
olur. Böylece eğri (−∞, −1
2 ) aralığında iç bükey, ( 2 , 0) ve (0, ∞)
−1 −2
aralıklarında dış bükeydir. ( 2 , e ) noktası büküm noktasıdır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
61/ 107
MAT 1009 Matematik I
62/ 107
L’Hospital Kuralı
a noktasının yakınında (belki a noktası dışında), f ve g
fonksiyonlarının türevlenebilir ve g ′ (x) 6= 0 olduğunu varsayalım.
lim f (x) = 0
ve
lim f (x) = ±∞
ve
x→a
Belirsizlik Durumları ve L’Hospital Kuralı
lim g(x) = 0
x→a
ya da
x→a
olsun.(Diğer bir ifadeyle
0
0
ya da
∞
∞
lim g(x) = ±∞
x→a
belirsizliği olsun.)
O zaman, sağ taraftaki limit varsa (ya da ∞ veya −∞ ise),
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
x→a g (x)
x→a g(x)
lim
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
63/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
64/ 107
Örnek
NOT
Örnek : lim
x→1
ln x
limitini bulunuz.
x−1
Çözüm :
L’Hospital Kuralı aynı zamanda tek yönlü limitler, sonsuzdaki ve
eksi sonsuzdaki limitler için de geçerlidir.
Diğer bir ifadeyle ”x → a” yerine x → a+ , x → a− , x → ∞ ve
x → −∞ sembollerinden biri gelebilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
lim ln x = ln 1 = 0 ve
x→1
olduğundan L’Hospital Kuralı’nı uygulayabiliriz:
ln x
lim
x→1 x − 1
d
(ln x)
1/x
= lim dx
= lim
x→1 d
x→1 1
(x − 1)
dx
1
= lim = 1
x→1 x
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
65/ 107
Örnek
lim (x − 1) = 0
x→1
MAT 1009 Matematik I
66/ 107
Örnek
ex
limitini hesaplayınız.
x→∞ x2
Örnek : lim
Çözüm :
x
lim e = ∞
x→∞
ve
Örnek : lim
2
lim x = ∞
x→π −
x→∞
olduğundan L’Hospital Kuralı ile
sin x
limitini bulunuz.
1 − cos x
Çözüm : Eğer burada L’Hospital Kuralı’nı koşullarını kontrol
etmeden uygularsak
ex
ex
=
lim
x→∞ x2
x→∞ 2x
lim
lim
x→π −
dir. x → ∞ iken ex → ∞ ve 2x → ∞ olduğundan L’Hospital
Kuralı uygulanabilir:
sin x
cos x
= lim
= −∞
−
1 − cos x x→π sin x
elde ederiz. Bu yanlıştır!
ex
ex
ex
=
lim
=
lim
=∞
x→∞ x2
x→∞ 2x
x→∞ 2
lim
buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
67/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
68/ 107
Örnek...
Belirsiz Çarpımlar
lim
x→π −
sin x
1 − cos x
Eğer
x → π − iken paydaki sin x → 0 olmasına rağmen paydadaki
1 − cos x ifadesi sıfıra yaklaşmaz.
lim f (x) = 0 ve
x→a
ise
lim f (x)g(x)
Dolayısıyla burada L’Hospital Kuralı uygulanamaz.
x→a
Aslında bu limiti hesaplamak kolaydır, çünkü fonksiyon süreklidir ve
payda π de sıfırdan farklıdır:
lim
x→π −
sin π
0
sin x
=
=
=0
1 − cos x
1 − cos π
1 − (−1)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
lim g(x) = ∞(ya da − ∞)
x→a
limitinin değerinin, eğer varsa, ne olacağı açık değildir.
Bu tür limit, 0 · ∞ türü belirsizlik olarak adlandırılır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
69/ 107
MAT 1009 Matematik I
70/ 107
Örnek
Belirsiz Çarpımlar
Örnek : lim x ln x limitini hesaplayınız.
x→0+
f · g çarpımını bölüm şeklinde yazarak bu durumu ele alabiliriz:
f ·g =
f
1/g
ya da
f ·g =
Çözüm : Verilen limit belirsizdir. Çünkü x → 0+ için birinci
çarpan (x), 0 a yaklaşırken ikinci çarpan (ln x), −∞ a yaklaşır.
x = 1/(1/x) yazarak x → 0+ iken 1/x → ∞ elde ederiz.
g
1/f
Dolayısıyla L’Hospital Kuralı’nı uygulayarak
∞
türü belirsizliğe dönüştürüp böylece
Verilen limiti 00 ya da ∞
L’Hospital Kuralı’nı kullanabiliriz.
1
ln x
x
lim x ln x = lim
= lim
x→0+
x→0+ −1
x→0+ 1/x
x2
= lim (−x) = 0
x→0+
buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
71/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
72/ 107
Örnek...
NOT
Belirisiz Farklar
Bu örneği çözerken bir başka seçenek
lim f (x) = ∞ ve
x→a
x
lim x ln x = lim
x→0+ 1/ ln x
x→0+
ise
yazmak olabilirdi. Bu 00 türü belirsizlik verir, ama L’Hospital
Kuralı’nı uygularsak baştakinden daha karmaşık bir ifade elde
ederiz. Genelde belirsiz bir çarpımı yeniden yazarken daha basit bir
limit elde edeceğimiz durumu seçmeye çalışırız.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
lim [f (x) − g(x)]
x→a
limiti ∞ − ∞ türü belirsizlik olarak adlandırılır.
Farkı bölüme çevirerek
çalışırız.
0
0
ya da
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
73/ 107
Örnek
Örnek :
lim g(x) = ∞
x→a
∞
∞
türü belirsizlik elde etmeye
MAT 1009 Matematik I
74/ 107
Belirsiz Kuvvetler
lim
x→(π/2)−
(sec x − tan x) limitini hesaplayınız.
lim [f (x)]g(x)
(π/2)−
Çözüm : x →
iken sec x → ∞ ve tan x → ∞ olduğundan
verilen limit belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırız:
sin x
1
−
lim (sec x − tan x) =
lim
cos x
x→(π/2)−
x→(π/2)− cos x
1 − sin x
=
lim
−
cos x
x→(π/2)
− cos x
=
lim
=0
x→(π/2)− − sin x
x → (π/2)− iken 1 − sin x → 0 ve cos x → 0 olmasının, L’Hospital
Kuralı’nı uygulamayı haklı çıkardığına dikkat ediniz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
75/ 107
x→a
limitinden çeşitli belirsizlik durumları ortaya çıkar.
lim f (x) = 0
x→a
lim f (x) = ∞
x→a
lim f (x) = 1
x→a
ve
ve
ve
lim g(x) = 0
x→a
00 türü
lim g(x) = ∞
∞0 türü
lim g(x) = ±∞
1∞ türü
x→a
x→a
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
76/ 107
Örnek
Belirsiz Kuvvetler
Örnek : lim (1 + sin 4x)cot x limitini hesaplayınız.
x→0+
Bu üç durumdan her biri ya doğal logaritma alarak:
y = [f (x)]g(x)
ise
Çözüm : İlk olarak x → 0+ iken
ln y = g(x) ln f (x)
1 + sin 4x → 1
yada üstel fonksiyon şeklinde yazarak:
ve
cot x → ∞
olduğundan verilen limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz.
[f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x)
y = (1 + sin 4x)cot x
aşılabilir.
olsun. O zaman
(Bu yöntemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların türevlerini
bulurken kullanıldığını anımsayınız.)
ln y = ln[(1 + sin 4x)cot x ] = cot x · ln(1 + sin 4x)
Her iki durumda da 0 · ∞ türü g(x) ln f (x) belirsiz çarpımını elde
ederiz.
=
ln(1 + sin 4x)
tan x
olur,
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
77/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
78/ 107
Örnek
Örnek : lim xx limitini bulunuz.
0
( belirsizliği)
0
ln(1 + sin 4x)
lim ln y = lim
+
+
tan x
x→0
x→0
x→0+
Çözüm : Herhangi bir x > 0 için 0x = 0, ama herhangi bir x 6= 0
için x0 = 1 olduğundan bu limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz.
dolayısıyla L’Hospital Kurali ile
= lim
x→0+
4 cos 4x
1+sin 4x
sec2 x
Fonksiyonu üstel şekilde yazarak devam edebiliriz:
=4
xx = (eln x )x = ex ln x
buluruz.Buraya kadar ln y nin limitini hesapladık. Fakat biz y nin
limitini bulmak istiyoruz. Bunu bulmak için y = eln y olduğunu
kullanalım:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
x→0+
x→0+
x→0+
MAT 1009 Matematik I
x→0+
gösterdik. Dolayısıyla
lim xx = lim ex ln x = e0 = 1 dir.
lim (1 + sin 4x)cot x = lim y = lim eln y = e4
x→0+
daha önce L’Hospital kuralını kullanarak lim x ln x = 0 olduğunu
79/ 107
x→0+
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
80/ 107
Örnek...
Optimizasyon Problemleri
Örnek: 2400 ft çiti olan bir çiftçi, bu çit ile bir kenarı ırmağa sınır
olan dikdörtgensel bir arazi çevirmek istiyor. Irmak boyunca çit
çekmesine gerek yoktur. En büyük alana sahip arazinin boyutları
nedir?
Sığ, geniş bölgeleri ya da derin, dar bölgeleri denediğimizde küçük
alanlar elde ettiğimizi görüyoruz. En büyük alanı arada bulunan
şeklin vereceği akla yatkındır. Şekil 8 genel durumu
göstermektedir. Dikdörtgenin A alanını maksimum yapmak
istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdörtgenin derinliği ve genişliği olsun.
Çözüm: Bu problemde neler olduğunu hissetmek için birkaç özel
durumu deneyelim. Aşağıda (ölçeklenmemiş), 2400 ft lik teli
kullanmanın olası yollarından üçünü göstermektedir.
Şekil 8:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
81/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
82/ 107
Örnek...
Bu durumda A yı x ve y cinsinden ifade ederiz:
A = 2400x − 2x2
A = xy
x > 0 ve x 6 1200 (aksi takdirde A < 0) olduğuna dikkat ediniz.
A yı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu
nedenle y yi x cinsinden yazarak yok edeceğiz.
Şimdi
A(x) = 2400x − 2x2
Bunun için, telin toplam uzunluğunun 2400 ft olduğu bilgisini
kullanırız. Buradan,
2x + y = 2400
fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Türev
A′ (x) = 2400 − 4x dir. Kritik sayıları bulmak için,
olur. Bu denklemden y = 2400 − 2x elde ederiz ve
A = x(2400 − 2x) = 2400x − 2x
0 6 x 6 1200
2400 − 4x = 0
2
denklemini çözerek, x = 600 buluruz.
buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
83/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
84/ 107
Örnek...
Örnek
A nın maksimum değeri ya bu kritik sayıda ya da aralığın bir uç
noktasında oluşur.
A(0) = 0, A(600) = 720000 ve A(1200) = 0, olduğundan,
Kapalı Aralık Yöntemi maksimum değeri A(600) = 720000 olarak
verir.
Örnek : 1 L yağ koymak için silindir biçiminde bir teneke kutu
yapılmak isteniyor. Metal maliyeti minumum olan kutu üretmek
için boyutları bulunuz.
Çözüm : Şekil 9 deki gibi, yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir
silindir çiziniz.
[Alternatif olarak, her x için A′′ (x) = −4 < 0 olduğundan A daima
iç bükeydir ve x = 600 deki yerel maksimum bir mutlak maksimum
olmalıdır.]
Sonuç olarak, dikdörtgensel bölgenin derinliği 600 ft ve genişliği
1200 ft olmalıdır.
Şekil 9:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
85/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
86/ 107
Örnek...
Metal maliyetini minimum yapmak için, silindirin toplam yüzey
alanını (alt, üst ve yan) minumum yaparız. Şekil 10 den,
kenarların, boyutları 2πr ve h olan bir dikdörtgensel levhadan
yapıldığını görürüz.
Bu nedenle silindirin yüzey alanı
A = 2πr2 + 2πrh olur.
h yi yok etmek için hacmin 1L olarak verildiğini, 1000 cm3 alarak
kullanırız. Böylece
πr2 h = 1000
den
h=
1000
(πr2 )
olur.
Şekil 10:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
87/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
88/ 107
Örnek...
Örnek...
Bunu A nın ifadesinde yerine koyarsak
2000
1000
2
= 2πr2 +
A = 2πr + 2πr
2
πr
r
Kritik sayıları bulmak için A(r) nin türevini alırız:
A′ (r) = 4πr −
elde ederiz. Şimdi
2000
4(πr3 − 500)
=
r2
r2
Burada πr3 = 500 olduğunda A′ (r) = 0 olur.
A(r) = 2πr2 +
2000
r
r>0
Bu nedenle tek kritik sayı r =
fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
3
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
89/ 107
Örnek...
q
500
π
dir.
MAT 1009 Matematik I
90/ 107
Örnek...
[Alernatif olarak, r → 0+ iken A(r) → ∞ ve r → ∞ iken
A(r) → ∞ olduğundan, A(r) nin bir minumum değeri olmalı ve bu
minimum değer kritik sayıda meydana gelmelidir. Bkz. Şekil 11]
A nın tanım kümesi (0, ∞) olduğundan bir önceki örnekteki gibi uç
noktaları kullanamayız.
q
q
′ (r) < 0 ve r > 3 500 için A′ (r) > 0
Ama r < 3 500
için
A
π
π
olduğunu, dolayısıyla A nın kritik sayısının solundaki her r için
azaldığını ve sağındaki her r için arttığını gözlemleyebiliriz.
Böylece, r =
q
3
500
π
mutlak minimumu vermelidir.
Şekil 11:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
91/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
92/ 107
Örnek...
Örnek
Örnek : y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan
noktayı bulunuz.
r=
q
3
500
π
değerine karşılık gelen h değeri
r
1000
1000
3 500
=2
=
= 2r
h=
2
2/3
πr
π
π(500/π)
dir.
q Böylece kutunun maliyetini minimum yapmak için yarıçap
3 500
π cm ve yükseklik yarıçapın iki katı, yani çap olmalıdır.
Çözüm : (x, y) ve (1, 4)
noktaları arasındaki uzaklık
p
d = (x − 1)2 + (y − 4)2
ile verilir. (Bkz. Şekil 12)
Şekil 12:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
93/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
94/ 107
Örnek...
Ama, (x, y) parabolün üzerindeyse, x = y 2 /2 dir ve d nin ifadesi
s
2
1 2
y − 1 + (y − 4)2
d=
2
olur. (İkinci seçenek, y =
ifade edebilirdik.)
√
2x alarak d yi yalnızca x cinsinden
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
95/ 107
d yi minimum yapmak yerine karesini minimum yapacağız:
2
d = f (y) =
2
1 2
y − 1 + (y − 4)2
2
(d2 nin minimumu ile d nin minimumunun aynı noktada meydana
geldiğine, ama d2 ile çalışmanın d ile çalışmaktan daha kolay
olduğuna dikkat ediniz.)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
96/ 107
Örnek...
Örnek...
Türev alırsak
′
f (y) = 2
1 2
y − 1 y + 2(y − 4) = y 3 − 8
2
elde ederiz, dolayısıyla y = 2 olduğunda f ′ (y) = 0 olur.
Karşı gelen x değeri x = y 2 /2 = 2 dir.
y < 2 için f ′ (y) < 0 ve y > 2 için f ′ (y) > 0 olduğunu
gözlemleyiniz.
Böylece y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan
nokta, (2, 2) noktasıdır.
Buradan Mutlak Uç Değerler için Birinci Türev Testi’ne göre
mutlak minimum y = 2 de meydana gelir.
(Yalnızca, problemin geometrik yapısından ötürü en yakın noktanın
olduğunun fakat en uzak noktanın olmadığının açık olduğunu
söyleyebilirdik.)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
97/ 107
Bir Fonksiyonun İlkeli
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
98/ 107
Bir Fonksiyonun İlkeli
Örneğin, f = x2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı’nı aklımızda tutarsak,
f nin bir ilkelini bulmak zor değildir.
Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F ′ (x) = f (x) ise, F
fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.
F (x) = 13 x3 ise F ′ (x) = x2 = f (x) dir.
Fakat G(x) = 13 x3 + 100 fonksiyonu da G′ (x) = x2 yi sağlar.
Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir.
Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 13 x3 + C biçimindeki
her fonksiyon f nin bir ilkelidir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
99/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
100/ 107
Örnek
Bir Fonksiyonun İlkeli
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz.
Teorem: F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C
herhangi bir sabit olmak üzere,
F (x) + C
(1)
(a) f (x) = sin x
(b) f (x) = 1/x
(c) f (x) = xn ,
n 6= 1
Çözüm : (a)
F (x) = − cos x
f nin I üzerindeki en genel ilkelidir.
ise
F ′ (x) = sin x
olur. Bu nedenle sin x in bir ilkeli − cos x dir.
Teoremden en genel ilkeli G(x) = − cos x + C dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek...
(b)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
101/ 107
MAT 1009 Matematik I
102/ 107
Örnek...
Teorem, f (x) = 1/x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir
aralıkta ln |x| + C olduğunu söyler.
1
d
(ln x) = olduğunu anımsayınız.
dx
x
Özel olarak, (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarının herbirinde bu
doğrudur.
Bu nedenle (0, ∞) aralığında 1/x in genel ilkeli ln x + C dir.
Aynı zamanda, her x 6= 0 için
Böylece f nin genel ilkeli
F (x) =
1
d
(ln |x|) =
dx
x
olduğunu öğrenmiştik.
ln x + C1 eğer x > 0
ln(−x) + C2 eğer x < 0
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
103/ 107
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
104/ 107
Örnek...
İlkel Formüllerin Tablosu
(c) xn nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı’nı kullanırız. Aslında,
n 6= 1 ise,
n+1 (n + 1)xn
x
d
=
= xn
dx n + 1
n+1
dir. Böylece f (x) = xn nin genel ilkeli
F (x) =
xn+1
+C
n+1
olur. f (x) = xn bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n > 0
için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n 6= −1) ise bu 0 ı içermeyen
herhangi bir aralıkta geçerlidir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
105/ 107
MAT 1009 Matematik I
107/ 107
İlkel Formüllerin Tablosu
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
106/ 107

Download

t¨urev˙ın uygulamaları

Products

Support

t¨urev˙ın uygulamaları

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib