Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. Soru 4. TOPLAM

İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i
Matematik -Bilgisayar Bölümü
MB1001 Analiz I
31 Aralık 2013
Final Sınavı
Öğrenci Numarası:
Adı Soyadı:
——————————————————
——————————————————————-
– Sınav süresi 110 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav,
belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan oluşmaktadır. Tam puan almak için
yaptığınız işlemleri sınav kâğıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar
puanlandırılmayacaktır. Sınav süresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders
notlarını içeren herhangi bir aracın sınav süresince kullanılması yasaktır. Cevap
anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır.
Başarılar.
Soru
Soru
Soru
Soru
Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman
1.
2.
3.
4.
Soru 5.
Soru 6.
Soru 7.
TOPLAM
5 + 5 + 5 puan
(a)-(e) şıklarından istediğiniz 3 tanesini cevaplandırınız.
(a) Diferansiyellenebilme ve türev tanımlarını veriniz.
(b) Diferansiyellenebilme ve süreklilik arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
(c) Rolle Teoremi’ni ifade ediniz.
(d) Türevler için Ara Değer Teoremi’ni ifade ediniz.
(e) Ters Fonksiyon Teoremi’ni ifade ediniz.
Cevap.
(a) Reel değerli bir f fonksiyonunun bir a noktasında diferansiyellenebilir olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun a noktasını içeren bir I açık aralığında
tanımlı ve
f (a + h) − f (a)
f (a) := lim
h→0
h
limitinin var olmasıdır. Bu durumda f (a) değerine a noktasında f fonksiyonunun türevi
denir.
(b) Biliyoruz ki f fonksiyonu bir a noktasında diferansiyellenebilir ise aynı zamanda bu
noktada süreklidir. Fakat bunun tersi doğru değildir. Örneğin f (x) = |x| fonksiyonunun
0 noktasında sürekli olmakla birlikte bu noktada fakat diferansiyellenebilir değildir.
(c) a < b olmak üzere a, b ∈ R reel sayıları göz önüne alınsın. Eğer f fonksiyonu [a, b]
aralığında sürekli, (a, b) aralığında diferansiyellenebilir ve f (a) = f (b) ise f (c) = 0
olacak şekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır.
(d) f fonksiyonu f (a) = f (b) olmak üzere [a, b] aralığında diferansiyellenebilir olsun. Eğer
y0 sayısı f (a) ile f (b) arasında yer alıyor ise f (x0 ) = y0 eşitliğini sağalayacak şekilde
bir x0 ∈ (a, b) sayısı vardır.
(e) I bir açık aralık ve f : I → R fonksiyonu 1-1, sürekli olsun. Eğer a ∈ I için b =
f (a) sağlanıyor ve f (a) türev değeri mevcut ve sıfırdan farklı ise buna göre f −1 ters
fonksiyonu b noktasında diferansiyellenebilirdir ve (f −1 ) (b) = 1/f (a) eşitliği geçerlidir.
MB1001 Analiz I
2
Final Sınavı
10 puan
Ortalama Değer Teoremi’ni kullanarak | sin b − sin a| ≤ |b − a| eşitsizliğinin sağlandığını
gösteriniz.
Cevap. f (x) = sin x fonksiyonu reel sayıların her [a, b] aralığında sürekli ve (a, b)
aralığında diferansiyellenebilirdir. Buna göre
sin b − sin a
f (b) − f (a)
=
= f (c) = cos c
b−a
b−a
eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır. Diğer taraftan her c ∈ R için
| cos c| ≤ 1 ifadesi gerçeklendiğinden
sin b − sin a b − a = | cos c| ≤ 1
yani
|sin b − sin a| ≤ |b − a|
sonucu elde edilir.
10 puan
f (x) = |x − 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olduğunu gösterip diferansiyellenebilir olmadığını ispatlayınız.
2
Cevap. Mutlak değer fonksiyonunun tanımına göre x → 1 iken |x2 −1| → 0 sağlandığından
f fonksiyonu 1 noktasında süreklidir. Diğer taraftan
f (1 + h) − f (1)
|(1 + h)2 − 1| − |12 − 1|
|h2 + 2h|
= lim
= lim
h→0+
h→0+
h→0+
h
h
h
h|h + 2|
= lim
=2
h→0+
h
lim
ve
f (1 + h) − f (1)
|(1 + h)2 − 1| − |12 − 1|
|h2 + 2h|
= lim
= lim
h→0−
h→0−
h→0−
h
h
h
h|h + 2|
= −2
= lim
h→0−
h
lim
elde edilir. Limitin var olması için tek-yönlü limitlerin mevcut ve birbirine eşit olması
gerektiğinden 1 noktasında limit yoktur. Buna göre f fonksiyonu 1 noktasında diferansiyellenebilir değildir.
MB1001 Analiz I
3
Final Sınavı
10 puan
⎧
1
⎪
x>1
⎨ √ 2
d
1
arcsec x = x x −
1
⎪
dx
⎩− √
x < −1
x x2 − 1
olduğunu ispatlayınız. (Not. x < −1 veya x > 1 için y = arcsec x olsun. Buna göre
y ∈ [0, π]\{π/2} için x = sec y’dir.)
Cevap. y = arcsec x olsun. Buna göre
x = sec y ve y ∈ [0, π] − {π/2}
yazılabilir. Yukarıdaki ilk ifadenin x’e göre türevi alınırsa
1=
d
d
dy
dy
d
(x) =
(sec y) =
(sec y)
= (sec y tan y)
dx
dx
dy
dx
dx
yani
dy
1
=
dx
sec y tan y
elde edilir. x = sec y =
1
cos y
olduğundan
üçgeni kullanılarak
1
1
1
1
1
dy
√
=
=
=
2
dx
sec y tan y
sec y tan y
|x| x − 1
türev değerine ulaşılır.
√
x ≥ −5 olmak üzere f (x) =
Teoremi’ni kullanarak bulunuz.
puan
3x + 15 − 21
ise (f −1 ) (−9) değerini Ters Fonksiyon
2
Cevap. Her x ≥ −5 için sürekli f (x) =
d
f (x) =
dx
√
√
3x+15−21
2
3x + 15 21
−
2
2
=
fonksiyonu
√ 3
2 3x+15
2
3
= √
>0
4 3x + 15
olduğundan birebirdir. Ayrıca
f (−2) =
3(−2) + 15 − 21
= −9
2
olduğundan f −1 (−9) = −2 gerçeklenir. Buna göre Ters Fonksiyon Teoremi kullanılarak
(f −1 ) (−9) =
1
1
1
=
=
√ 3
f (f −1 (−9))
f (−2)
4
=4
3(−2)+15
elde edilir.
MB1001 Analiz I
4
Final Sınavı
10 + 10 puan
Aşağıdaki limitlerden istediğiniz 2 tanesini L’Hôpital kuralını kullanarak hesaplayınız.
(a) limx→π/2 x − π2 tan(3x)
(b) limx→∞
(ln x)n
x
(c) limx→0+ (sin x)sin x
Cevap.
(a)
lim
x→π/2
x−
x − π2 0/0
π
1
1
sin2 (3x)
0·∞
= lim
tan(3x) = lim
=
−
lim
=
−
.
x→π/2 cot(3x)
x→π/2 −3 csc2 (3x)
x→π/2
2
3
3
(b)
n(ln x)n−1 x1
n(n − 1)(ln x)n−2 x1
(ln x)n ∞
n(ln x)n−1 ∞
∞
∞
= lim
= lim
= lim
lim
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x
1
x
1
n−2
n(n − 1)(ln x)
n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1(ln x)n−n
= · · · = lim
= lim
x→∞
x→∞
x
x
n!
= lim
=0
x→∞ x
(c) Verilen limit 00 belirsizliğine sahiptir. Eğer f (x) = (sin x)sin x denir ise
ln f (x) = ln(sin x)sin x = sin x ln(sin x)
elde edilir. Buna göre
lim ln f (x) = lim sin x ln(sin x)
x→0+
x→0+
0·(−∞)
=
lim
ln(sin x)
x→0+
1
sin x
−∞
∞
=
cos x
lim sin x
x→0+ − cos2x
sin x
= − lim sin x = 0
x→0+
olduğundan istenen limit değeri
lim (sin x)sin x = e0 = 1
x→0+
şeklinde bulunur.
MB1001 Analiz I
5
Final Sınavı
25 puan
x3
f (x) =
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x − 1)2
Cevap.
• Fonksiyon her x ∈ R\{1} için tanımlıdır.
• x = 0 için f (0) = 0 olduğundan fonksiyonun grafiği eksenleri (0, 0) noktasında keser.
3x2 (x − 1)2 − 2(x − 1)x3
3x2 (x − 1) − 2x3
x3 − 3x2
x2 (x − 3)
=
=
=
= 0
(x − 1)4
(x − 1)3
(x − 1)3
(x − 1)3
eşitliğini sağlayan x değerleri x = 0 ve x = 3 noktaları f ’in ekstremum noktalarıdır.
Diğer taraftan
• f (x) =
f (x) =
(3x2 − 6x)(x − 1)3 − 3(x − 1)2 (x3 − 3x2 )
6x
=
(x − 1)6
(x − 1)4
elde edilir. Burada f (3) > 0 olduğundan x = 3 bir yerel minimum noktasıdır. Bununla
beraber f (0) = 0 olduğundan ikinci türev testi sonuç vermez.
6x
• f (x) = (x−1)
4 fonksiyonu x < 0 için negatif, x > 0 için pozitif değerler aldığından
fonksiyonun grafiği x < 0 için aşağı konkav, x > 0 için yukarı konkavdır. Buna göre
x = 0 bir büküm noktasıdır.
x2 (x − 3)
türev fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu fonksiyon (−∞, 0) ∪ (0, 1)
(x − 1)3
aralığında pozitif, (1, 3) aralığında negatif, (3, ∞) aralığında pozitif değerler aldığından
(−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (3, ∞) aralığında monoton artan, (1, 3) aralığında monoton azalandır.
• f (x) =
x3
x3
=
lim
= ∞ olduğundan x = 1 doğrusu
x→1−
(x − 1)2
(x − 1)2
f fonksiyonunun hem sağdan hem de soldan düşey asimptotudur.
x3
x3
=
−∞
ve
lim
= ∞ olduğundan yatay
Yatay Asimptot: limx→−∞
x→∞
(x − 1)2
(x − 1)2
asimptot yoktur.
• Düşey Asimptot: limx→1+
Eğik Asimptot: limx→±∞ f (x) = ±∞ olduğundan f (x) fonksiyonunun eğik asimptotu
olabilir. Buna göre
f (x)
x3
lim
= lim
=1=m
x→∞ x
x→∞ x(x − 1)2
elde edilir. Dolayısıyla
x3
2x2 − x
−
x
=
lim
=2=c
x→∞ (x − 1)2
x→∞ (x − 1)2
lim (f (x) − mx) = lim (f (x) − x) = lim
x→∞
x→∞
olduğundan y = mx + c = x + 2 eğik asimptottur.
MB1001 Analiz I
6
Final Sınavı
• Yukarıdaki bilgiler ışığında değişim tablosu olarak elde edilir.
• Değişim tablosu kullanılarak verilen fonksiyona ait grafik aşağdaki şekilde çizilir:
MB1001 Analiz I
7
Final Sınavı