Soru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6.

İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i
Matematik -Bilgisayar Bölümü
MB5002, MC 561, MC 562 - NÜMERİK ANALİZ (I)
03 Ocak 2013
Final Sınavı
Öğrenci Numarası:
Adı Soyadı:
Talimatlar
——————————————————
——————————————————————-
– Sınav süresi 115 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav,
belirtilen puanlandırmaya sahip altı sorudan oluşmaktadır. Tam puan almak için
yaptığınız işlemleri sınav kâğıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar
puanlandırılmayacaktır. Sınav süresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders
notlarını içeren herhangi bir aracın sınav süresince kullanılması yasaktır. Trigonometrik ifadelerle ilgili hesap makinasında işlem yaparken radyan modunu kullanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedikçe 5-ondalık dijit yuvarlama
aritmetiği kullanarak hesaplmalarınızı yapınız. Cevap anahtarı, sınav sonrasında
Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır.
Başarılar.
Soru 1.
Soru 2.
Soru 3.
Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman
Soru 4.
Soru 5.
Soru 6.
İstanbul Kültür Üniversitesi
Soru 1.
15 puan
f fonksiyonunun bazı noktalarda aldığı değerleri içeren aşağıdaki tablo verilsin:
x
0.84
f (x) 0.74464
0.92
0.79560
1.00
0.84147
f ′ (1) türev değerine en iyi yaklaşımı yapınız.
Cevap.
2
1.08
0.88196
1.16
0.91680
İstanbul Kültür Üniversitesi
Soru 2.
15 puan
f (x) = e sin x + 27 fonksiyonunun ikinci türevinin 0.7 noktasındaki değerine h = 0.01
olmak üzere ikinci türev için orta nokta formülü kullanılarak yapılan yaklaşımda oluşan
hata için bir üst sınır belirleyiniz.
x
Cevap.
3
İstanbul Kültür Üniversitesi
15 puan
Soru 3.
Aşağıdaki tablo değerleri verilsin:
xi
f (xi )
−0.4
0
0.4
−0.204 −0.07 −0.006
0.8
0.442
1.2
1.658
Newton geri fark formülünü kullanarak x = 1 değerine bir yaklaşımda bulununuz.
Cevap.
4
İstanbul Kültür Üniversitesi
Soru 4.
15 puan
f (x) = x cos x fonksiyonu için 1 f (x)dx integraline Simpson ve yamuk kurallarını
kullanarak bir yaklaşımda bulununuz. Her iki yaklaşımda oluşan mutlak hatayı hesaplayınız.
∫5
Cevap.
5
İstanbul Kültür Üniversitesi
Soru 5.
20 puan
f (x)dx integral değerine orta nokta kuralı ile bir yaklaşım yapıldığında 12, n = 2
−1
için bileşik orta nokta ve bileşik Simpson kuralları ile yapılan yaklaşımlardan ise sırası ile
5 ve 6 sonuçları elde ediliyor. f (−1) = f (1), f (−0.5) = f (0.5) − 1 olduğunu kullanarak
f (−1), f (−0.5) ve f (0) değerilerini hesaplayınız.
∫1
Cevap.
6
İstanbul Kültür Üniversitesi
20 puan
Soru 6.
f (x0 + h) − f (x0 ) h ′′
− f (ξ)
h
2
şeklinde verilen türev değeri için fark formülünde oluşan yuvarlama hatasını araştırınız.
Metodun güvenilirliği hakkında yorum yapınız.
f ′ (x) =
Cevap.
7
İstanbul Kültür Üniversitesi
Newton Geri Fark Formülü:
Pn (x) = f (xn ) +
n
∑
(−1)k
(−s)
k=1
Fark Formülü:
f ′ (x0 ) =
k
∇k f (xn )
f (x0 + h) − f (x0 )
h
− f ′′ (ξ)
h
2
Üç-Nokta Uç Nokta Formülü:
1
h2 ′′′
[−3f (x0 ) + 4f (x0 + h) − f (x0 + 2h)] +
f (ξ)
2h
3
f ′ (x0 ) =
Üç-Nokta Orta Nokta Formülü:
f ′ (x0 ) =
1
h2 ′′′
[f (x0 + h) − f (x0 − h)] −
f (ξ)
2h
6
Beş-Nokta Orta Nokta Formülü:
h4 (v)
1
[f (x0 − 2h) − 8f (x0 − h) + 8f (x0 + h) − f (x0 + 2h)] +
f (ξ)
12h
30
f ′ (x0 ) =
Beş-Nokta Uç Nokta Formülü:
1
h4 (v)
[−25f (x0 ) + 48f (x0 + h) − 36f (x0 + 2h) + 16f (x0 + 3h) − 3f (x0 + 4h)] +
f (ξ)
12h
5
f ′ (x0 ) =
İkinci Türev için Orta Nokta Formülü:
1
h2 (iv)
[f (x0 − h) − 2f (x0 ) + f (x0 + h)] −
f
(ξ)
2
h
12
f ′′ (x0 ) =
Kapalı Newton-Cotes Formülleri.
n = 1: Yamuk Kuralı
∫
x1
f (x) dx =
x0
n = 2: Simpson Kuralı
∫
x2
f (x) dx =
x0
n = 3: Simpson
3
8
h
h5 (iv)
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] −
f
(ξ)
3
60
Kuralı
∫
x3
f (x) dx =
x0
n = 4:
h
h2 ′′
[f (x0 ) + f (x1 )] −
f (ξ)
2
12
∫
x4
f (x) dx =
x0
3h
3h5 (iv)
[f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] −
f
(ξ)
8
80
2h
8h7 (vi)
[7f (x0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 ) + 7f (x4 )] −
f
(ξ)
45
945
Açık Newton-Cotes Formülleri.
n = 0: Orta Nokta Kuralı
∫
x1
f (x) dx = 2hf (x0 ) +
x−1
n = 1:
∫
x2
f (x) dx =
x−1
n = 2:
∫
x3
f (x) dx =
x−1
n = 3:
∫
x4
h3 ′′
f (ξ)
3
3h3 ′′
3h
[f (x0 ) + f (x1 )] +
f (ξ)
2
4
4h
14h5 (iv)
[2f (x0 ) − f (x1 ) + 2f (x2 )] +
f
(ξ)
3
45
5h
95h5 (iv)
[11f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + 11f (x3 )] +
f
(ξ)
24
144
f (x) dx =
x−1
Bileşik İntegrasyon.
Bileşik Simpson Kuralı:
∫
h[
f (a) + 2
3
b
f (x) dx =
a
Bileşik Yamuk Kuralı:
∫
b
a
Bileşik Orta Nokta Kuralı:
∑
(n/2)−1
f (x2j ) + 4
j=1
] b−a
f (x2j−1 ) + f (b) −
h4 f (iv) (ξ)
180
j=1
n/2
∑


n−1
∑
h
b − a 2 ′′
f (x) dx =
f (a) + 2
f (xj ) + f (b) −
h f (ξ)
2
12
j=1
∫
b
f (x) dx = 2h
a
n/2
∑
j=0
8
f (x2j ) +
b − a 2 ′′
h f (ξ)
6