BÖLÜM 1. GENEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 5
KUVVET SİSTEMLERİ
ve
MOMENT
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Bir eksen çevresindeki kuvvetin Momenti (cisimdeki bir
nokta), uygulanan kuvvetin bu eksen çevresinde cismi
çevirme (döndürme) ölçüsüdür.
Momentin şiddeti aşağıdaki eşitlik ile belirlenir:
Mo = F x d
Mo : Moment
F : Kuvvet
d : Dönme eksenine veya noktasına olan
Dik uzaklık (Kuvvet kolu)
Rotasyonun yönü sağ el kuralı ile belirlenir.
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-1
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
O noktasına etki eden F1, F2 ve F3 kuvvet sistemi için moment
toplamları (Saat yönü tersi + alınırsa):
ƩFxd = MRo
Örnek : O noktasına etki eden F1, F2 ve F3 kuvvet
sistemi için moment toplamını belirleyelim.
Mro = -50Nx(2m)+60Nx (0)+20Nx(3.sin30˚m)-40Nx(4m+3.cos30˚m) = -334Nm
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-2
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Örnek : Kuvvetler ve O noktasına olan uzaklıklara göre momentleri hesaplayalım.
•
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-3
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
O noktası etrafında F kuvvetinin momenti;
Mo = F x r
r : Kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada kuvvet ile O noktası arasındaki
konum vektörü
Note :
r sin q  d for any d,q
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-4
BÖLÜM 5. DÜZLEMSEL KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Let F  Fx i  Fy j  Fz k
and r  rx i  ry j  rz k
Then,
i
M o  r  F  rx
Fx
j
ry
Fy
k
rz
Fz
Moment ekseni F ve r vektörlerini içeren
düzleme diktir. Eksen merkezi O noktasından
geçmektedir
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-5
BÖLÜM 5. CİSİM KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Cisme O noktası etrafında etkiyen kuvvet sistemlerinin net momenti “Her bir kuvvet ve
uzaklık vektörlerinin momentleri toplamı olacaktır.”
MRo = F x r
Kartezyen koordinatlarda x, y ve z yönlerinde net moment :
MRo = Ʃmxi + Myj + Mzk
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-6
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Örnek : Bir kirişe etkiyen kuvvetler
aşağıdaki şekilde verilmiştir. B noktası
etrafındaki toplam momenti hesaplayınız.
CCW  M RB   M B ;
4
3
(500) (5) 
(500) (0)
5
5
 160 cos 30(0)  160 sin 30(0.5)
M RB  375 (11) 
M RB  6165 lb  ft  6.16 kip  ft CCW
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-7
BÖLÜM 5. KUVVET SİSTEMLERİ ve MOMENT
Örnek : B şahsı direğe bağlı halatı P = 30 lb (pound) ile çekmektedir. Direğin A noktası
etrafında herhangi bir yöne devrilmemesi için C şahsının uygulaması gereken F
kuvvetinin şiddeti kaç lb olmalıdır?
Saat yönü tersi (+) alınırsa,
30 x (cos 45˚) x 18 = F (4/5) x 12
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
F = 39.8 lb
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-8
BÖLÜM 5. VARIGNON TEOREMİ
VARIGNON TEOREMİ
Fransız matematikçi Pierre Varignon tarafından 1687 yılında “Projet d' unè nouvelle mèchanique”
isimli eserde yayınlanmıştır. Bir Bileşke Kuvvetin Momenti, Aynı Noktada Etkiyen Kuvvet
Bileşenlerinin Momentleri Toplamına Eşittir.
M 0  r  F  r   F1  F2   r  F1  r  F2
Gerilmiş kablo direği hareket etmeyecek şekilde tutuyorsa
A noktasındaki moment:
MA = Fxh = Fyb = IFId olmalıdır.
Not : F, iletimlilik yasasına göre konumlandırılmıştır
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-9
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT
Aynı noktada farklı eksenlerdeki momenti belirlemek için skaler veya vektörel analiz
yapılabilir
F=20 N. Tipik olarak b-ekseni için momenti
düşünelim. Aynı şekilde y-eksenindeki
momenti hesaplayalım?
Mo = F x r (eksen r ve F’e dik)
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-10
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)
VEKTÖR ÇARPIMINDA SAĞ EL KURALI
C  A B
Şiddet
C = A B sinq
Yön
C , A ve B ‘ye DİK
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-11
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)
Çarpım Komütatif değildir
(Farklı yönlerin çarpımı eşit değildir)
A B  B  A
In fact
A  B  B  A
Skaler Çarpım
  A  B    A   B  A   B    A  B 
Çarpım Distribütiftir (Dağılım)
A   B  D  A  B  A  D
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-12
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT (HATIRLATMA)
i x j çarpımında;
Şiddet : (i)(j)(sinq)
Doğrultu (Yön) : k= i x j
i j  k ik   j ii  0
j  k  i j  i  k j  j  0
k  i  j k  j  i k  k  0
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-13
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT
1. Aşama
Mo = rA x F = (0.3i+0.4j) x (-20k)
2. Aşama
My = Mo x ua = (-8i + 6j) x (j)=6)Nm
= (-8i + 6j)Nm
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-14
BÖLÜM 5. FARKLI EKSENLERDE MOMENT
Cisme herhangi bir noktada etkiyen kuvveti ele alırsak; bir önceki örnekteki aşamalar skaler
üç eksende bir moment oluşturur. Cisimdeki nokta komütatif (yönlere göre sabit)
olduğundan,
If M o  r  F and M a  uˆa M o then
M a  uˆa  r  F 
i
 uax i  ua y j  uaz k rx
Fx

A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

uax
ua y
uaz
 rx
Fx
ry
Fy
rz
Fz
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
j
ry
Fy
Dr. Koray ULAMIŞ
k
rz
Fz
5-15
BÖLÜM 5. KUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ
Kuvvet çifti; birbirlerine paralel doğrultuda, aynı şiddete sahip ve zıt yönlerde etkiyen kuvvetlerdir.
Net kuvvet sıfır fakat bir yönde hareket vardır.
Moment çiftleri; aynı noktadaki momentler toplamıdır.
O noktasında moment;
M = rA x (-F) + rB x F = (rB-rA) x F = r x F
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-16
BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ
Eşdeğer kuvvet çiftleri; aynı momenti yaratan kuvvet çiftleridir.
Kuvvetler aynı veya birbirine paralel düzlemlerde etkimelidir. Eşdeğer
momentleri oluşturan kuvvetler serbest vektörler olup, cismin herhangi
bir noktasında eklenebilirler.
Momentleri M1 ve M2 olan eşdeğer kuvvetler için:
MR = M1 + M2 = (r x F)
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-17
BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ
Örnek : Aşağıdaki ahşap çerçeveye iki moment çifti etki etmektedir. d = 6 ft ise, bileşke
momenti hesaplayalım.
a. Tüm kuvvetleri x ve y bileşenlerine ayırıp ayrı ayrı momentleri belirleyelim.
b. A noktası etrafında kuvvetlerin bileşkelerine göre momentleri hesaplayarak toplamı
belirleyelim
(a)
M 1  100cos30(6)
 519.6 lb  ft CW
4
M 2  (150)(4)  480 lb  ft CCW
5
M R  M 1  M 2  519.6-480
 39.6 lb  ft CW
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-18
BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ
(b)
CCW  M R   M B ;
4
M R  100cos30(3)  (150)(4)  100cos30(9)
5
M R  39.6 lb  ft
 39.6 lb  ft CW
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-19
BÖLÜM 5. EŞDEĞERKUVVET ÇİFTLERİNİN MOMENTİ
Örnek : Moment çiftlerini dikkate alarak toplam momenti a. direkt, b. A noktasına göre x ve y
bileşkeleri ile belirleyelim (d = 4ft)
M c  40 cos 30(4)  60  54  (4)
 53.4 lb.ft (CW)
M c  40 cos 30(2)  40 cos 30(6)
60  54  (3)  60  53  (7)  60  54  (7)  60  53  (7)
 53.4 lb.ft (CW)
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-20
BÖLÜM 5. HATIRLATMA
Bölüm 5. Kısa Notlar
Moment; kuvvetin bir eksen etrafında veya cismin uygulanan noktasında
oluşturduğu çevirme hareketinin ölçüsüdür.
 Moment şiddeti, kuvvetin şiddeti ile ilgili noktaya olan dik uzaklığının çarpımı
kadardır.
Varignon Teoremi; bileşke kuvvetin momenti, aynı noktada etkiyen kuvvet
bileşenlerinin momentleri toplamı olarak tanımlanmıştır.
 Kuvvet vektörlerinin çarpımında sağ el kuralı
 Kuvvet ve moment çiftleri. Cismin hareketsiz kalması için toplam momentin
noktasal ve düzlemsel koordinatlarda sıfır olması.
 Eşdeğer kuvvet çiftleri ve momentleri
A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
JEM102 STATİK DERS NOTLARI
Dr. Koray ULAMIŞ
5-21