5.1 Ölçüsel Yakınsaklık SORU 1: f : [a, b] → R fonksiyonu

5.1 Ölçüsel Yak¬nsakl¬k
SORU 1: f : [a; b] ! R fonksiyonu diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. E¼
ger
0
0
f türevi [a; b] aral¬g¼¬nda düzgün s¬n¬rl¬ ise f fonksiyonu Lebesgue anlam¬nda
integrallenebilirdir ve
Z
0
f d = f (b)
f (a)
[a;b]
d¬r. Gösteriniz.
ÇÖZÜM 1: f : R ! R fonksiyonu diferensiyellenebilir ve 8x 2 [a; b] için
0
f (x)
M olacak şekilde M > 0 sabitini dikkate alal¬m.
8
>
>
< f (a) + f 0 (a) (x a) ; x < a
f (x) =
>
>
: f (b) + f 0 (b) (x b) ; x > b
olarak tan¬mlans¬n. f fonksiyonu R üzerinde tan¬ml¬ve diferensiyellenebilir oldu¼
gu
kabul edilebilir.x 2 R için
fn (x) = n f
x+
1
n
f (x)
ile tan¬ml¬ (fn ) diferensiyellenebilir fonksiyonlar dizisini dikkate alal¬m. Herbir
0
x 2 R için fn (x) ! f (x) sa¼
glan¬r. Ortalama de¼
ger teoremi kullan¬l¬rsa herbir
x 2 R için jfn (x)j
M oldu¼
gu görülmektedir. Dolay¬s¬yla Lebesgue yak¬nsak0
l¬k teoremi dikkate al¬n¬rsa, f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda Lebesgue anlam¬nda
1
integrallenebilir ve
Z
0
f d = lim
n!1
(1)
fn (x) dx
a
[a;b]
sa¼
glan¬r. u = x +
Zb
1
n
de¼
gişken de¼
giştirmesi yap¬l¬rsa
8 b
9
Zb
Zb
<Z
=
1
fn (x) dx = n
f x+
dx
f (x) dx
:
;
n
a
a
a
8 1
9
b+ n
b
>
>
Z
Z
<
=
= n
f (u) du
f (x) dx
>
>
: 1
;
a
a+ n
8 1
9
1
b+ n
a+ n
>
>
Z
Z
<
=
= n
f (x) dx
f (x) dx
>
>
:
;
a
b
1
b+ n
=
R
1
a+ n
R
f (x) dx
b
f (x) dx
a
1
n
! f (b)
1
n
f (a)
bulunur. (1) ifadesi yard¬m¬yla istenilen elde edilir.
SORU 2: (fn ) ölçülebilir fonksiyonlar¬n bir dizisi ve f : X ! R fonksiyon
olsun. 8 > 0 için
lim
n!1
(fx 2 X : jfn (x)
f (x)j
g) = 0
sa¼
glans¬n. Bu durumda f fonksiyonu ölçülebilirdir. Gösteriniz.
ÇÖZÜM 2: (kn ) pozitif tamsay¬lar¬n artan dizisi öyle ki 8k > kn için
x 2 X : jfk (x)
f (x)j
2
1
n
<2
n
sa¼
glans¬n. 8n 2 N için
En =
kümesi ve E =
1 S
1
T
m=1 n=m
x 2 X : jfkn (x)
1
[
En
n=m
öyle ki x 2
=
1
n
En tan¬mlans¬n. Bu durumda 8m 2 N için
(E)
sa¼
glan¬p
f (x)j
!
1
X
(En )
21
m
n=m
(E) = 0 olur. Ayr¬ca, e¼
ger x 2
= E ise bu durumda bir m 2 N vard¬r
1
S
n=m
En ve 8n
m için
jfkn (x)
f (x)j <
1
n
sa¼
glan¬r. Böylece x 2
= E için lim fkn (x) = f (x) ve hemen hemen heryerde fkn !
f sa¼
glan¬r. Bu ise f fonksiyonunun ölçülebilir olmas¬n¬gerektirir.
3