Matematik Dünyas›, 2003 Güz Cauchy’nin Bir Eflitsizli¤i Reflit Hurflit ugustin Cauchy 19. yüzy›lda yaflam›fl (1789-1857) ünlü bir Frans›z matematikçisidir. Buldu¤u soyut ve uygulamal› matematikteki teoremler bir yana, analizi bugünkü anlam›yla matematiksellefltiren kifli olarak bilinir. Cauchy’den önce, anl› flanl› matematikçilerin, bugün her matematik ö¤retmeninin tüylerini diken diken edecek, hatta avaz› ç›kt›¤› kadar ba¤›rtacak (ço¤unlukla do¤ru sonuç veren) yanl›fl yöntemler kulland›klar› olurdu. Cauchy matematiksel analizdeAugustin Cauchy ki bu karmafla ve kargaflaya son vermifl, matemati¤in temel direklerinden biri olan analizi sa¤lam temellere oturtmufltur. Afla¤›da Cauchy’nin bir eflitsizli¤inin iki ayr› kan›t›n› verece¤iz. ‹kinci kan›tta ufak bir eksiklik var ama o kadar kusur kad› k›z›nda da olur. si = A dersek, ri ∑i ri 1 ≤ n ∑i =1 si2 n eflitsizli¤ini kan›tlamam›z gerekti¤i anlafl›l›r. Ayr›ca ∑i =1 si = 1 n eflitli¤ine dikkatinizi çekeriz. Demek ki, ∑i =1 si = 1 n ise 1 ≤ n ∑i =1 si2 n önermesini kan›tlamal›y›z. n −1 s n = 1 − ∑i =1 si oldu¤undan, kan›tlamak istedi¤imiz yukardaki önerme, 2 ∑i =1 si2 + 1 − ∑i =1 si 1 n önermesine dönüflür. Tümevar›m varsay›m›ndan dolay›, 2 1 n −1 n −1 ∑i =1 si2 ≥ n − 1 ∑i =1 si eflitsizli¤i geçerli oldu¤undan, 2 1 n −1 2 1 n −1 ∑i =1 si + 1 − ∑i =1 si ≥ n −1 n eflitsizli¤ini kan›tlamak yeterli. E¤er n −1 Teorem (Cauchy). E¤er r1, …, rn gerçel say›larsa, 2 n r ≤ n n r 2 ∑i =1 i ∑i =1 i eflitsizli¤i do¤rudur. Birinci Kan›t: Teoremi n üzerinden tümevar›mla kan›tlayaca¤›z. n = 1 ise, kan›tlayacak pek bir fley yok, her fley apaç›k ortada. fiimdi n > 1 olsun. Önsav›n n − 1 için do¤ru oldu¤unu varsayal›m (tümevar›m varsay›m›.) E¤er n n −1 t= ≥ n −1 ∑i =1 si olursa, bu son önerme, her t için, t2 1 + (1 − t)2 ≥ n −1 n olarak okunur. Bu son eflitsizli¤i kan›tlamal›y›z. Biraz basit bir hesap, bu eflitsizli¤in, (tn – (n − 1))2 ≥ 0 eflitsizli¤ine eflde¤er oldu¤unu gösterir, ki bu da do¤ru. ■ ∑i =1 ri = 0 ise, önsav elbette do¤ru. Bundan böyle ∑i =1 ri ≠ 0 n eflitsizli¤ini varsayaca¤›z. Kan›tlamak istedi¤imiz eflitsizlik, 2 ‹kinci Kan›t: (∑i ri)2 ≤ (∑i |ri|)2 oldu¤undan, ri yerine |ri| alarak, hiçbir ri’nin negatif olmad›¤›n› varsayabiliriz. Bundan böyle ri ≥ 0 olsun. E¤er ∑i ri = 0 ise, önsav elbette do¤ru. Bundan böyle ∑i ri > 0 eflitsizli¤ini varsayal›m. r n 1 ≤ n ∑i =1 ni ∑i =1 ri eflitsizli¤ine denk oldu¤undan, 69 Matematik Dünyas›, 2003 Güz Ayr›ca, ri yerine ri ∑i ri say›s› rv − ru say›s›ndan küçük herhangi bir pozitif say› olsun. fiimdi (r1, …, rn) say›s›n› hafifçe de¤ifltirelim: ru yerine ru + ε, rv yerine rv − ε alal›m ve di¤er koordinatlara dokunmayal›m. Elde etti¤imiz yeni nokta da A’dad›r. Ayr›ca, kolay bir hesapla görülece¤i üzere ƒ’nin yeni noktada ald›¤› de¤er, (r1, …, rn) noktas›nda ald›¤› de¤erden daha küçüktür. Bundan da flu ç›kar: ƒ’nin minimum de¤eri ald›¤› (r1, …, rn) noktas›, r1 = … = rn eflitliklerini sa¤lamak zorundad›r, yoksa daha küçük de¤er alan bir nokta bulabiliyoruz. ∑i ri = 1 oldu¤undan, en küçük de¤erin r1 = … = rn = 1/n noktas›nda al›nd›¤› ç›kar. Demek ki ƒ fonksiyonu minimum de¤erini (1/n, …, 1/n) noktas›nda al›yor1, dolay›s›yla her (r1, …, rn) ∈ A için, ƒ(r1, …, rn) ≤ ƒ(1/n, …, 1/n) = 1/n. ■ say›lar›n› alarak, ∑i ri = 1 eflitli¤ini de varsayabiliriz, çünkü kan›tlamak istedi¤imiz eflitsizlik, 2 r 1 ≤ n ∑i i ∑ ri i eflitsizli¤ine denktir. Bundan böyle her ri ≥ 0 ve ∑i ri = 1 olsun. Demek ki, ∑i ri = 1 ise ∑i ri2 ≥ 1/n eflitsizli¤ini kan›tlamal›y›z. A = {(r1, …, rn): 0 ≤ ri ve ∑i ri = 1} olsun. fiimdi, ƒ(r1, …, rn) = ∑i ri2 kural›yla tan›mlanm›fl ƒ : A → R fonksiyonunu ele alal›m. Her (r1, …, rn) ∈ A için, ƒ(r1, …, rn) ≤ 1/n eflitsizli¤ini göstermeliyiz. ƒ(1/n, …, 1/n) = 1/n eflitli¤i bundan sonra yapacaklar›m›za bir ipucu olabilir. (r1, …, rn) ∈ A olsun. Bu noktan›n iki koordinat›n›n birbirinden farkl› oldu¤unu varsayal›m. Diyelim ru ≠ rv. Ve diyelim ru < rv. fiimdi ε gerçel 1 Bu kan›tta miniminnac›k bir hata var. E¤er f fonksiyonu minimum bir de¤er al›yorsa bu de¤erin (1/n, …, 1/n) noktas›nda al›nd›¤›n› kan›tlad›k sadece. Ayr›ca ƒ fonksiyonunun minimum bir de¤er ald›¤›n› da kan›tlamak gerekiyordu. Bu önemli teoremi bir baflka say›m›zda kan›tlar›z. 70