KOMB NATOR K TOPOLOJ

KOMBNATORK TOPOLOJ
Prof. Dr. smet KARACA
Ders Notlar
çindekiler
1
2
3
Topolojik Uzaylar
2
1.1
Bazlar
1.2
Bir Kümenin çi, Kapan³, Snr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
4
9
Süreklilik ve Homeomorzma
12
2.1
Topolojik Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
Topolojik Denklik(Homeomeorzm)
15
. . . . . . . . . . . . . .
Topolojik Özellikler
22
3.1
Ayrma Aksiyomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2
Metriklenebilirlik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3
Ba§lantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.4
Kompaktlk
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Identikasyon Uzay ve Bölüm Topolojisi
25
5
Ekli Uzaylar
35
6
Ba§lantl Uzaylar
37
7
Kompakt Uzaylar
43
8
Simpleksler
49
8.1
53
9
SIMPLICIAL KOMPLEKSLER . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homotopi
54
10 Temel Gruplar
60
11 Ayn Homotopi Tipine Sahip Uzaylar
64
1
Bölüm 1
Topolojik Uzaylar
Tanm:
X
Herhangi bir küme olsun.
daki özellikleri sa§lyorsa
τ 'ya X
X 'in alt kümeler kolleksiyonu τ
a³a§-
üzerinde bir topoloji denir.
1.
∅, X ∈ τ .
2.
A, B ∈ τ ⇒ A ∩ B ∈ τ .
3.
{Ai }i∈I ∈ τ ⇒ ∪i∈I Ai ∈ τ .
Örnekler:
1.
X
herhangi bir küme olsun.
τ = {∅, X}
kolleksiyonu
X
üzerinde bir
topolojidir. Bu topoljiye a³ikar topoloji denir.
2.
X
herhangi bir küme olmak üzere
τ = P(X)
kolleksiyonu bir topoloji
olu³turur. Bu topolojiye diskrit topoloji denir.
3.
X = {0, 1} için; τ1 = {∅, X}, τ2 = {∅, X, {0}}, τ3 = {∅, X, {1}},
τ4 = {∅, X, {0}, {1}} kolleksiyonlar X üzerinde topoloji olu³tururlar.
τ1 a³ikar topoloji, τ4 diskrit topoloji ve τ2 ile τ3 Sierpinski topolojisidir.
4.
X = {a, b, c} olsun. τ = {∅, X, {a, b}, {a, c}} kümesi X üzerinde topoloji
de§ildir. Çünkü {a, b} ∩ {a, c} = {a} 6∈ τ dur.
5.
X
X
herhangi bir küme olmak üzere
τF = {∅} ∪ {U ⊂ X : X − U
sonlu
}
üzerinde bir topolojidir ve bu topolojiye sonlu tümleyenler topolojisi
denir.
τF 'nin
topoloji oldu§unu gösterelim:
• X − ∅ = X ∈ τF , X − X = ∅ ∈ τF
2
• {Ai } ∈ τF , (i ∈ I
sonlu) için
X−(
için
X −(
n
[
Ai ) =
i=1
O halde
τF , X
Ai ) =
i=1
⇒ ∩Ai ∈ τF
• {Ai } ∈ τF
n
\
n
\
n
[
(X − Ai )
sonlu
i=1
(X − Ai )
sonlu
⇒ ∪Ai ∈ τF
i=1
üzerinde topolojidir.
6.
X
7.
τc = {∅} ∪ {U ⊂ X : X − U
herhangi bir küme olmak üzere
saylabilir
}
kolleksiyonu
X
üzerinde
bir topolojidir. Bu topoloji saylabilir tümleyenler topolojisi olarak adlandrlr.
8.
X
herhangi bir küme ve
p∈X
olsun.
τp = {X} ∪ {U ⊂ X : p 6∈ U }
çkarlan nokta topolojisidir.
9.
X
herhangi bir küme ve
p∈X
olsun.
τp = {∅} ∪ {U ⊂ X : p ∈ U } özel
nokta topolojisidir.
10.
(X, τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X . τA = {U ∩ A ⊂ X | U ∈ τ },
X üzerinde topolojidir. Bu topolojiye altuzay topolojisi yada relatif
topolojisi denir.
11.
(X, τ )
ve
(Y, τ 0 )
iki topolojik uzay olsun.
τ × τ0 = {
[
Uα × Vα ⊆ X × Y | Uα ∈ τ, Vα ∈ τ 0 }
α
X ×Y
üzerinde topolojidir. Bu topolojiye çarpm topolojisi denir.
(X, τ ) topolojik uzay olsun. τ nun
X − U ∈ τ ise U 'ya kapal küme denir.
Tanm:
E§er
Tanm:
N
elemanlarna açk küme denir.
N ⊂ X ve x ∈ X olsun. x ∈ U ⊂ N olacak ³ekilde bir U ∈ τ
x noktasnn bir kom³ulu§u denir.
varsa
alt kümesine
Not:
U, X
de açk olsun. O halde
U , ∀x ∈ U
3
noktasnn bir kom³ulu§udur.
Örnekler:
1. A³ikar topolojide
∅
X
2. Diskrit topolojide
X
ve
hem açk hemde kapal kümelerdir.
in her alt kümesi hem açk hem kapal kümedir.
3. Sonlu tümleyenler topolojisinde
X
ve
X 'in
sonlu alt kümeleri kapal
kümelerdir.
4. Saylabilir tümleyen topolojisinde
(A, τA ), (X, τ )'nun
Teorem:
X ve saylabilir alt kümeleri kapaldr.
alt uzay topolojisi olsun. A³a§dakiler vardr:
1.
U ⊂A
2.
F 0 ⊂ A kümesi A'da
F ∩ A'dr.
3.
M , a ∈ A'nn bir kom³ulu§udur. ⇔ a ∈ X
N için M = N ∩ A'dr.
1.1
kümesi
A'da
açktr.
⇔ ∀V ∈ τ
kapaldr.
⇔ X
U = V ∩ A'dr.
için
deki her kapal
F
için
F0 =
noktasnn bir kom³ulu§u
Bazlar
Tanm:
X
herhangi bir küme ve
a³a§daki özellikler sa§lanyorsa
• ∀x ∈ X
için
• ∀x ∈ X
ve
³ekilde bir
Tanm:
B, X
x∈B
B
B, X
ailesine
in alt kümeler ailesi olsun. E§er
X 'in
bir bazdr denir.
olacak ³ekilde en az bir
∀B1 , B2 ∈ B için x ∈ B1 ∩ B2
B3 ∈ B vardr.
B∈B
ise
deki bir topoloji için bir baz olsun.
vardr.
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2
olacak
B baz tarafndan üretilen
topoloji a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
U ⊂ X , X de
B ∈ B vardr.
Lemma:
ve
x
açktr.
B, τ
i içeren bir
Lemma:
x∈C ⊂U
X
⇐⇒ ∀x ∈ U
için
x∈B
ve
B⊂U
olacak ³ekilde bir
B 0 , τ 0 için bir baz olsun. τ ⊂ τ 0 ⇐⇒ x ∈ X
x ∈ B 0 ⊂ B olacak ³ekilde B 0 ∈ B 0 vardr.
için bir baz ve
B∈B
için
U ⊂ X ve x ∈ U için
C olacak ³ekilde C açk alt kümelerin kolleksiyonu
C , X üzerindeki topoloji için bir bazdr.
topolojik uzay olsun. Her bir açk
baz eleman
var olsun. O zaman
4
Örnek:
B1 = {(a, b) : a < b}
ailesi
üzerindeki topoloji için bir bazdr.
R
Standart(do§al) topololojiyi üreten bazdr.
• x∈R
için
a<x<b
olacak ³ekilde
(a, b) ∈ B
vardr.
• ∀x ∈ R ve ∀B2 = (a, b) ∈ B, B2 = (c, d) ∈ B için x ∈ (a, b) ∩ (c, d)
olsun. x ∈ B3 = (e, f ) ⊂ B1 ∩ B2 , e = max{a, c}, f = min{b, d}
Örnek:
B2 = {[a, b) : a < b}
ailesi
R
üzerindeki topoloji için bir bazdr.
Alt limit topolojisini üreten bazdr.
Örnek:
A³a§daki aileler
üzerindeki topoloji için birer bazdr:
R
• B3 = {(a, b] : a < b}
• B4 = {[a, b) : a < b}
• B5 = B1 ∪ {B − K : B ∈ Bs } , K = {
1
: n ∈ Z+ }
n
• B6 = {(a, +∞ : a ∈ R}
• B7 = {(−∞, b) : b ∈ R}
• B8 = {B : R − B
sonlu
}
• B9 = {(a, b) : a, b ∈ Q}
Örnek:
i)
B10 = {(a, b)×(c, d) : a < b, c < d, a, b, c, d ∈ Q} kümesi R×R üzerinde
çarpm topolojisi için bir bazdr.
ii)
B11 = {(a, b) × (c, d) : a, b, c, d ∈ R ve (a < c veya a = c ve b < d)}
kümesi R × R üzerinde sözlük sralama topolojisi için bir bazdr.
Tanm (Sralama Ba§nts):
olsun.
C
A
C de A üzerinde bir ba§nt
A üzerinde sralama ba§nts
bir küme,
a³a§daki özellikleri sa§lyorsa
C
ye
denir.
•
Her
x∈A
için
xCx
• ∀x, y, z ∈ A
için
• ∀x, y, z ∈ A
için ya
(A, C)
ba§nts mevcut de§ildir. Yani yansmal de§ildir.
xCy
ve
xCy
yCz
yada
ise
xCz
yCx
ikilisine sral küme denir.
5
dir.
dir.
d
c
0000
001111
11
0000
1111
0000
1111
0000
1
0
111111
00
0000
1111
b
a
“ekil 1.1:
B10
0000000000
1111111111
111
000
11111111111111111
00000000000000000
d
o
c
o
a
b
“ekil 1.2:
Örnek:
A=R
ve
C =<
ba§nts tanmlansn.
• x<x
olacak ³ekilde bir
• x<y
ve
• x, y ∈ R
y<z
için
ise
x<y
B11
x<z
yada
(R, <)
sral kümedir.
x 6∈ R'dir.
dir.
y < x'dir.
<A , A üzerinde bir sralama ba§nts ve <B , B üzerinde bir sralama ba§nts olsun. A×B üzerinde bir sralama
Tanm (Sözlük Sralama Ba§nts):
ba§nts tanmlayalm.
(a1 , b1 ) <d (a2 , b2 ) :⇔ a1 <A a2 yada a1 = a2 ve b1 <B b2 'dir.
A × B üzerindeki sralama ba§ntsna sözlük sralama ba§nts
6
denir.
0000000000
1111111111
111
000
11111111111111111
00000000000000000
d
o
c
o
a
b
“ekil 1.3:
Örnek:
A = [0, 1), B = Z+
B11
olmak üzere
A×B
üzerinde sralama ba§nts
mevcuttur.
(a, b) <d (c, d) :⇔ (a <1 c) ∨ (a = c) ∧ (b <2 d)
1
1
1
1
( , 1) <d ( , 1), ( , 1) <d ( , 2)
4
3
2
2
[0, 1) × Z+
üzerinde
<
sralama ba§nts bir sözlük sralama ba§ntsdr.
X basit sral küme olsun.
(a, b) = {x ∈ X : a < x < b} açk
Tanm:
küme
[a, b) = {x ∈ X : a ≤ x < b}
yar açk küme
(a, b] = {x ∈ X : a < x ≤ b}
yar açk küme
[a, b] = {x ∈ X : a ≤ x ≤ b}
kapal küme
Tanm:
X
basit sral küme olsun.
B
a³a§daki tipten olu³an kümelerin
ailesi olsun.
1.
X
deki tüm açk kümeler
2.
X
deki
[a0 , b)
(a, b)
formundaki tüm yar açk kümeler için
elemandr.
7
a0 X 'in
en küçük
3.
X
deki
(a, b0 ]
b0 X 'in
formundaki tüm yar açk kümeler için
en büyük
elemandr.
B
kolleksiyonu
X
üzerindeki topoloji için bir bazdr.
topolojiye sralama topolojisi denir ve
Not:
X
τo
B
baznn olu³turdu§u
ile gösterilir.
kümesinin en küçük eleman mevcut de§il ise
mevcut de§ildir.
X
2.
tipten kümeler
kümesinin en büyük eleman mevcut de§il ise
3.
tipten
kümeler mevcut de§ildir.
τd × τs = τo
Örnek:
oldu§unu gösterelim:
Bd = {{a} : a ∈ R}, Bs = {(b, c) : b, c ∈ R},
Bd × Bs = {{a} × (b, c) : a, b, c ∈ R}
Bd × Bs 'nin
üretti§i topoloji
• B11 ⊂ Bd × Bs midir?
B ∈ B11 olsun. ki durum
τd × τs 'dir.
mevcuttur:
S
S
B = {a} × (c, +∞) (a, b) × (−∞, +∞) {b} × (−∞, d)
durumda B ∈ Bd × Bs 'dir.
1. Durum:
Bu
B = {a} × (c, d)
durumda B ∈ Bd × Bs 'dir.
2. Durum:
Bu
O halde
B11 ⊂ Bd × Bs 'dir.
• Bd × Bs ⊂ B11 midir? (x, y) ∈ (a, b) × (c, d) ∈ Bd × Bs olsun.
(a, b) küme ise (x, y) ∈ {a} × (c, d) olur. O halde (x, y) ∈ B11
durumda Bd × Bs ⊂ B11 'dir.
O halde
τd × τs = τo 'dr.
Örnek:
X =R
ve
<
basit sralama ba§nts olsun.
R
üzerinde
tsna göre sralama ba§nts mevcut mudur?
R üzerindeki
standart topolojiyi ele alalm.
[
U ∈ τs ⇒ U = (ai , bi ),
B = {(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, i ∈ I}
Çözüm:
i∈I
R deki standart
topolojiye göre açklar açk aralklardr.
[
(a, b) = (ai , bi ),
U ∈ τs ⇔ U ∈ τo ⇒ τs = τo
R
dir. Bu
i∈I
deki sralama topolojisi standart topoloji ile çak³r.
8
<
ba§n-
(Z+ , <) basit sral küme olsun. Z+
Örnek:
nn üzerindeki sralama topolo-
jisi nedir?
Çözüm:
+
τd . Z
çünkü
{n} = (n − 1, n + 1) ∈ τd , n > 1
{1} = [1, 2) ∈
{1, 2} × Z+
üzerindeki sralama topolojisi bir diskret topolojidir.
Z+ × Z+
üzerindeki sralama topolojisi diskrit topoloji degildir.
+
noktasn içeren herhangi bir açk küme ayn zamanda {1} × Z for-
Örnek:
mundaki elemanlar içerir. Halbuki
Örnek:
1.2
Z×Z
{(1, 2)}
kümesi açk de§ildir.
üzerindeki sralama topolojisi diskrit topolojidir.
Bir Kümenin çi, Kapan³, Snr
Tanm:
1.
ve
üzerindeki sralama topolojisi diskret topolojidir.
Örnek:
(2, 1)
{n} ∈ τd
X
X
deki
bir topolojik uzay ve
A
X
kümesinin içi
A⊂X
olsun.
in tüm noktalarnn kom³uluklar
dan kapsanacak ³ekilde bir
x ∈ X
A
tarafn◦
noktalarnn kümesidir ve A ile
gösterilir.
2.
X
A kümesinin kapan³ X in tüm noktalarnn kom³uluklar A ile
kesi³ecek ³ekilde olu³an x ∈ X noktalarnn kümesidir ve A ile gösterilir.
3.
X deki A kümesinin snr tüm x ∈ X noktalarna ait kom³uluklar hem
A hem de Ac ile kesi³ecek ³ekilde olu³an x ∈ X noktalarnn kümesidir
ve ∂A ile gösterilir.
deki
Not:
1.
x ∈ A◦ ⇐⇒ N (x) ⊂ A olacak ³ekilde x noktasnn bir N (x) kom³ulu§u
vardr.
2.
x ∈ A ⇐⇒ ∀N (x)
3.
x ∈ ∂A ⇐⇒ ∀N (x)
için
N (x) ∩ A 6= ∅
için
N (x) ∩ A 6= ∅
9
ve
N (A) ∩ Ac 6= ∅
Lemma:
A
(X, τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. Ayrca A kümesinin içi
X 'in açk alt kümelerinin birle³imi olsun.
kümesi tarafndan içerilen tüm
Bu durumda
1.
U ⊆A
2.
A◦ ⊆ A
Lemma:
kapan³
A
ve
U , X 'de
ve
açk ise
A◦ , X 'de
(X, τ )
U ⊆ A◦ .
açktr.
bir topolojik uzay ve
y içeren
X 'in
A ⊂ X
olsun. Ayrca
A
kümesinin
tüm kapal alt kümelerinin arakesitidir. O zaman
1.
A⊆F
ve
F , X 'de
kapal ise
2.
A⊆A
ve
A, X 'de
kapaldr.
A ⊆ F.
Örnekler:
1.
(X, τ ) herhangi bir topolojik
∂X = ∅, ∂∅ = ∅'dir.
2.
τk , X
uzay olsun.
X = X = X ◦ , ∅ = ∅ = ∅◦ ,
A ⊂ X için; 
(

∅, A = ∅
∅, A = ∅
A=
, ∂A =
X, A =
6 X, A 6= ∅

A, A = X

∅, A = X
üzerinde a³ikar topoloji olsun.
(
∅, A 6= X
A◦ =
A, A = X
,
dir.
3.
τi , X
4.
X
de diskrit topoloji
A⊂X
sonlu olmayan bir küme ve
topolojisi olsun.
(
∅, Ac
A◦ =
A, Ac
A⊂X
sonsuz
sonlu
X
olsun.
A = A = A◦
ve
∂A = ∅'dir.
üzerindeki topoloji sonlu tümleyenler
için;

(

A, A sonlu
A, Ac sonlu
,A =
, ∂A =
Ac , Ac sonlu

X, A sonsuz

X,
di§er haller
dir.
Ödevler 1:
1.
Z+ × [0, 1)
2.
<A , A üzerinde sralama ba§nts ve <B , B üzerinde sralama ba§nts
olsun. Her zaman A×B üzerinde bir sralama ba§nts var mdr? Varsa
üzerinde sözlük sralama ba§ntsn tayin ediniz.
cevab do§rulaynz.
10
3.
R
deki tüm topolojileri belirleyiniz ve aralarnda kyaslaynz.
4.
A◦ ⊂ A ⊂ A
5.
∂A = A − A◦ = A ∩ Ac
6.
X=Z
ve
oldu§unu gösteriniz.
X=R
oldu§unu gösteriniz.
üzerinde sonlu tümleyenler topolojisine göre
A⊂X
kümesinin içini, kapan³n ve snrn belirleyiniz.
7. A³a§daki
R2
alt kümelerinin içini ve snrn bulunuz.
• A = {(x, y) : y = 0}
• B = {(x, y) : x > 0, y 6= 0}
• C =A∪B
• D = {(x, y) : x ∈ Q}
• E = {(x, y) : 0 < x2 + y 2 ≤ 1}
8.
X = [0, 1] × [0, 1]
kümesi üzerinde sözlük sralama ba§nts var olsun.
A³a§daki kümelerin kapan³n belirleyiniz.
1
• A = {( , 0) : n ∈ Z+ }
n
1 1
• B = {(1 − , ) : n ∈ Z+ }
n 2
• C = {(x, 0) : 0 < x < 1}
1
• D = {(x, ) : 0 < x < 1}
2
1
• E = {( , y) : 0 < y < 1}
2
11
Bölüm 2
Süreklilik ve Homeomorzma
2.1
Topolo jik Süreklilik
Tanm:
olsun.
X
Y 'nin
,
Y
iki topolojik uzay olmak üzere
tüm açk alt kümelerin
f
f : X → Y
bir fonksiyon
altnda ters görüntüleri
X
açk alt
kümeler ise f fonksiyonu süreklidir denir.
Teorem:
f :X→Y
bir fonksiyon olsun. A³a§daki ifadeler denktir:
1.
f :X→Y
2.
V ⊂Y, Y
de açk ise
3.
F ⊂Y, Y
de kapal ise
4.
B⊂Y
içim
5.
B⊂Y
için
f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
6.
A⊂X
için
f (A) ⊂ f (A).
fonksiyonu süreklidir.
de açktr.
f −1 (F ), X
de kapaldr.
f −1 (B ◦ ) ⊂ (f −1 (B))◦ .
7. Herhangi bir
f (U ) ⊂ V
f −1 (V ), X
x ∈ X
olacak
f (x) in herhangi bir kom³ulu§u V ⊂ Y için
³ekilde X uzaynda x noktasnn bir U kom³ulu§u
ve
vardr.
(1), (2), (3), ve (7) birbirlerinin denk oldu§u kolayca gösterilebilir.
(2) ⇒ (4) : f −1 (B ◦ ) açk ve f −1 (B ◦ ) ⊂ f −1 (B) oldu§undan f −1 (B ◦ ) ⊂
−1
(f (B))◦ .
(4) ⇒ (2) : B , Y 'de açk olsun. O zaman B ◦ = B dir. Di§er taraftan
−1
f (B) = f −1 (B ◦ ) ⊂ (f −1 (B))◦ ⊂ f −1 (B). Dolasyla f −1 (B), X 'de açktr.
(3) ⇔ (5) : (2) nin (4)'e denkli§ine benzer gösterilir.
spat:
12
(3) ⇒ (6) : f (A) ⊂ f (A) oldu§undan A ⊂ f −1 (f (A)). Di§er taraftan,
(3)'den f −1 (f (A)), X 'de kapaldr. Böylece A ⊂ f −1 (f (A)) ⇔ f (A) ⊂ f (A).
(6) ⇒ (5) : (6) ve f (f −1 (B)) ⊂ B den dolay f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂
B.
f (x) = −x fonksiyonu R üzerindeki standart topolojiye göre sürekDi§er taraftan K-topolojisine ne de alt limit topolojisine göre f sürekli
Örnek:
lidir.
degildir.
f : X → Y bir fonksiyon olsun. E§er X üzerindeki topoloji diskret
topoloji ve Y üzerindeki topoloji herhangi bir topoloji ise f fonksiyonu sürek-
Örnek:
lidir.
f : (X, τF ) → (Y, τF ) süreklidir. ⇐⇒ Sonlu tümleyenler kümesinin
Örnek:
ters görüntüsü sonlu tümleyenler kümesi yada bo³ kümedir.
⇐⇒
Her sonlu kümenin ters görüntüsü sonlu yada
Önerme:
X
herhangi bir küme,
τ
ve
0
τ X
X
dir.
τ den daha ince olmas için gerek ve yeter ³art IX
IX (x) = x birim fonksiyonunun sürekli olmasdr.
nun
0
(⇐:) IX : (X, τ ) → (X, τ ) sürekli
0
IX (U ) = U ∈ τ oldu§undan τ ⊂ τ 'dur.
spat:
0
(⇒:) τ ⊂ τ
olsun.
U ∈τ
0
olsun.
−1
IX
(U ) = U
alalm.
τ
: (X, τ ) → (X, τ ),
üzerinde birer topoloji olsun.
0
0
U ∈ τ
0
U ∈τ
oldu§undan
ve
ise
−1
IX
(U ) =
IX
fonksiyonu süreklidir.
Önerme:
ki sürekli fonksiyonun bile³kesi de süreklidir.
0
0
00
f : (X, τ ) → (Y, τ ) ve g : (Y, τ ) → (Z, τ )
00
olsun.g ◦ f : (X, τ ) → (Z, τ ) fonksiyonu sürekli midir?
spat:
fonksiyonlar sürekli
U
kümesinin Z de açk oldu§unu varsayalm. g fonksiyonu sürekli oldu§un−1
dan g
(U ) kümesi Y de açktr. f fonksiyonun süreklili§inden dolay f −1 (g −1 (U )),
X de açktr. O halde f −1 (g −1 (U )) = f −1 ◦ g −1 (U ) = (g ◦ f )−1 (U ), X de açktr. Süreklilik tanmndan dolay
g◦f
fonksiyonu süreklidir.
13
Önerme (Pasting Lemma):
A ⊂ X, B ⊂ X, X = A ∪ B
ve
A
ile
B
ayn karakterli (ikiside açk küme yada ikiside kapal) kümeler olsun. olsun.
f : A → Y ve g : B → Y fonksiyonlar sürekli
f (x) = g(x) ise h : X → Y fonksiyonu süreklidir.
spat:
Fonksiyon
ve her
x ∈ A∩B
için
h:X→Y
(
f (x), x ∈ A,
h(x) =
g(x), x ∈ B ,
iyi tanmldr çünkü her x ∈ A ∩ B için f (x) = g(x). V , Y 'de açk alt küme
−1
−1
olsun. O zaman h (V ) = f
(V ) ∪ g −1 (V ) dir. f ve g sürekli oldu§un−1
dan, f
(V ) ve g −1 (V ), sarasyla A ve B de açktr. Açklarn birle³imi açk
−1
oldu§undan, h (V ), X de açktr. Dolsyla h süreklidir.
Örnek:
R
reel saylar kümesi olsun.
R
üzerindeki topoloji do§al metrik
tarafndan üretilen topoloji ve
(
x x > 0,
f (x) =
0 x < 0,
³eklinde tanmlansn.
f
fonksiyonunun süreklili§ini pasting lemmadan yarar-
lanarak gösteriniz.
A = {x : x > 0} ve B = {x : x 6 0} kümelerini ele alalm. R=
A ∪ B ve A ile B kümesi R de kapal alt kümelerdir. f |A : A → R fonksiyonu
f |A (x) = IA (x) oldu§undan ve birim fonksiyon sürekli oldu§undan süreklidir. f |B : B → R fonksiyonu g |B (x) = 0 oldu§undan ve sabit fonksiyon
sürekli oldu§undan süreklidir. O halde pasting lemmadan dolay f fonksiyonu
Çözüm:
süreklidir.
Teorem:
yeter ³art
f : X → Y ve g : X → Z sürekli fonksiyonlar olmas için gerek ve
h : X → Y × Z , h(x) = (f (x), g(x)) ³eklinde tanml fonksiyonun
sürekli olmasdr.
(⇒) : f : X → Y ve g : X → Z sürekli fonksiyonlar olsun. V × W ,
Y × Z 'de açk olsun. h−1 (V × W ) = f −1 (V ) ∩ g −1 (W ) açktr cünkü f ve g
spat:
süreklidir.
(⇐) : f = π1 ◦ h ve g = π2 ◦ h süreklidirler çünkü π1 , π2
14
ve
h süreklidirler.
h : R → S 1 ⊂ R2 , h(t) = (cos 2πt, sin 2πt) ³eklinde tanmlanan
h fonksiyonu f : R → R, f (t) = cos 2πt ve g : R → R, g(t) = sin 2πt
Örnek:
fonksiyonlar sürekli oldu§undan süreklidir.
X ve Y birer topolojik uzay olmak üzere f : X → Y
∀U ⊂ X açk (kapal) için f (U ), Y de açk (kapal)
Tanm:
bir fonksiyon
olsun.
ise
f
ye açk
(kapal) dönü³üm denir.
0
f : (X, τ ) → (Y, τ )
Önerme:
0
1.
Z , (Y, τ )
2.
W, X
nün alt uzay ise
in alt uzay ise
f, g : X → R
Önerme:
1.
f ·g
2.
f ∓g
f |W : W → Y
fonksiyonu süreklidir.
fonksiyonu süreklidir.
sürekli iki fonksiyon olsun.
süreklidir.
∀c ∈ R
2.2
00
f : (X, τ ) → (Z, τ )
süreklidir.
3. ff /g süreklidir.
4.
sürekli fonksiyon olsun.
için
c·f
(g 6= 0)
süreklidir.
Topolo jik Denklik(Homeomeorzm)
birer topolojik uzay olmak üzere f : X → Y fonksiyonu
−1
sürekli ve bijektif olsun. f 'nin tersi f
: Y → X sürekli ise f fonksiyonuna
Tanm:
X
ve
Y
homeomorzm fonksiyonu denir.
k uzaylar denir.
Önerme:
X≈Y
X
ve
Y
topolojik uzaylarna da homeomor-
³eklinde gösterilir.
Homeomorzma ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
spat:
•
Homeomorzma ba§nts yansmaldr. Çünkü
1X : (X, τ ) → (X, τ )
birim dönü³ümü homeomorzmadr.
•
Homeomorzma ba§nts simetriktir.
−1
homeomorzma olsun. O halde f
: Y → X sürekli ve
−1 −1
bijektif fonksiyonu için (f
) fonksiyonu da süreklidir. Bu durumda
−1
f
: Y → X fonksiyonu da homeomorzmadr. Yani X ≈ Y iken
f : X → Y
Y ≈X
oldu§undan homeomorzma ba§nts simetriktir.
15
•
Homeomorzma ba§nts geçi³melidir.
X ≈ Y
f : X → Y ve g : Y → Z
homeomorzma fonksiyonlar vardr. h = g ◦ f : X → Z fonksiyonu
−1
süreklilik ve bijektiik özelliklerinden dolay sürekli ve bijektiftir. h
−1
−1
fonksiyonu da f
ve g
fonksiyonu sürekli oldu§undan süreklidir. Bu
durumda h homeomorzma fonksiyonudur ve X ≈ Z dir.
ve
Y ≈ Z
olsun. Bu durumda
O halde homeomorzma ba§nts yansmal, simetrik ve geçi³me özelliklerini sa§lad§ndan denklik ba§ntsdr.
Örnekler:
1.
d−c
f : [a, b] → [c, d], ∀t ∈ [a, b] için f (t) = c + b−a
· (t − a)
tanmlanan f fonksiyonu homeomorzma fonksiyonu mudur?
f
Çözüm 1:
³eklinde
fonksiyonunun birebir, örten, sürekli ve tersinin de sürekli
oldu§unu göstermeliyiz.
• ∀t1 , t2 ∈ [a, b] için f (t1 ) = f (t2 ) olsun. Bu durumda;
d−c
d−c
· (t1 − a) = c + b−a
× (t2 − a) ⇒ t1 = t2 dir.
c + b−a
O halde
f
fonksiyonu birebirdir.
• ∀w ∈ [c, d] için f (t) = w olacak biçimde ∃t ∈ [a, b] varmdr?
d−c
· (t − a) ⇒ t = a + b−a
· (w − c) ∈ [a, b]
f (t) = w ⇒ w = c + b−a
d−c
O halde t ∈ [a, b] oldu§undan f fonksiyonu örtendir.
• f
fonksiyonunun süreklili§ini
R
nin altuzay topolojisini olu³tu-
rarak gösterebilece§imiz gibi bilinen sürekli fonksiyon özelliklerinden
yararlanarakta gösterebiliriz. Ohalde; sürekli fonksiyonlarn çarpm
ve toplam sürekli oldu§undan
−1
f
fonksiyonu süreklidir.
f −1 (t) = a +
b−a
× (t − c)
d−c
³eklinde tanmlanan ters fonksiyonun süreklili§ini sürekli fonksiy-
• f
: [c, d] → [a, b], ∀t ∈ [c, d]
için
onlarn çarpm ve toplam sürekli oldu§undan söyleyebiliriz. Yani
f −1 fonksiyonu süreklidir.
O halde
2.
(−1, 1) ≈ R
Çözüm 2:
göstermek
f
fonksiyonu homeomorzmadr.
oldu§unu gösteriniz.
R üzerindeki standart topolojiye göre (−1, 1) ≈ R oldu§unu
için (−1, 1) ile R arasnda bir tane homeomorzma fonksiy-
onu in³a etmemiz yeterlidir. O halde;
f : R → ( −π
, π ), ∀t ∈ R için t → f (t)
2 2
16
= tan t
³eklinde tanmlanan
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
−1
1
“ekil 2.1:
3.
f (x) = tan(x)
fonksiyon homeomorzma fonksiyonudur. Ayn zamanda h :
( −π
, π ), ∀t ∈ (−1, 1) için t → h(t) = π2 t ³eklinde tanmlanan
2 2
onu da homeomorzma fonksiyonudur.
(−1, 1) →
h fonksiy-
Homeomorzma ba§nts denklik ba§nts oldu§undan ve
( −π
, π ), ( −π
, π ) ≈ R oldu§undan (−1, 1) ≈ R dir.
2 2
2 2
(−1, 1) ≈
S 1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 +x22 = 1} , K = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 |+|x2 | = 1}
kümeleri verilsin.
1
f : S −→ T
(x1 , x2 ) → f (x1 , x2 ) = (
³eklinde tanmlanan
f
x2
x1
,
)
|x1 | + |x2 | |x1 | + |x2 |
fonksiyonu homeomorzmamdr?
Çözüm 3:
• f fonksiyonu iyi tanmldr: V
(x1 , x2 ) = (y1 , y2 ) ⇒ x1 = y1 x2 = y2 dir. O halde;
x2
y1
y2
x1
f (x1 , x2 ) = (
,
)=(
,
)
|x1 | + |x2 | |x1 | + |x2 |
|y1 | + |y2 | |y1 | + |y2 |
f (x1 , x2 ) = f (y1 , y2 ) oldu§undan f iyi tanmldr.
• f fonksiyonu 1-1 dir :
f (x1 , x2 ) = f (y1 , y2 ) ⇒ (
x1
x2
y1
y2
,
)=(
,
)
|x1 | + |x2 | |x1 | + |x2 |
|y1 | + |y2 | |y1 | + |y2 |
17
V
x1
y1
x2
y2
=
=
|x1 | + |x2 |
|y1 | + |y2 |
|x1 | + |x2 |
|y1 | + |y2 |
⇒ (x1 , x2 ) = (y1 , y2 )
O halde f fonksiyonu 1-1 dir.
⇔
• f fonksiyonu örtendir :
V
x1
x2
= w1
= w2
f (x1 , x2 ) = (w1 , w2 ) ⇒
|x1 | + |x2 |
|x1 | + |x2 |
w2
w1
, x2 = p
⇒ x1 = p 2
2
w1 + w2
w12 + w22
1
O halde (x1 , x2 ) ∈ S var oldu§undan f örtendir.
• f fonksiyonu süreklidir :
x1
x2
f1 =
ve f2 =
fonksiyonlar
|x1 | + |x2 |
|x1 | + |x2 |
dan f = (f1 , f2 ) fonksiyonu süreklidir.
sürekli oldu§un-
• f −1 fonksiyonu süreklidir :
w1
w2
f −1 (w1 , w2 ) = ( p 2
,p 2
) için
2
w1 + w2
w1 + w22
w1
w2
−1
f1−1 = p 2
ve f2
= p 2
fonksiyonlar
2
w1 + w2
w1 + w22
−1
gesinde sürekli oldu§undan f
fonksiyonu süreklidir.
O halde
f
tanm böl-
fonksiyonu homeomorzma fonksiyonudur.
1
−1
1
1
−1
1
−1
−1
“ekil 2.2: Çember kareye homeomorftur
4.
X1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 , x2 ) 6= (0, 0)}, X2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 :
x21 + x22 = 1} ve X3 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 − x23 = 1} uzaylar
arasnda homeomorzma olanlar bulunuz.
Çözüm 4:
X1 , X2
ve
X3
uzaylar arasndaki homeomorzma fonksiy-
onlarn tanmlayalm.
18
f : X1 → X2 ,
x2
x1
,p 2
, 1/2 × log(x21 + x22 ))
f (x1 , x2 ) = ( p 2
2
w22
x1 + x2
w1 + p
p
g : X2 → X3 , g(x1 , x2 , x3 ) = (x1 1 + x23 , x2 1 + x23 , x3 )
f ve g fonksiyonlarnn homeomorzma oldu§unu gösteriniz.
X1 ≈ X2 ≈ X3 dir.
5. A³a§daki harer kendi aralarnda homeomorftur.
{C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z}, {A, R}, {E, F, T, Y }, {H, K}
Önerme:
• A, X
f : X −→ Y
de kapal
homeomorzma,
⇔ f (A), Y
A⊂X
olsun.
de kapaldr.
• f (A) = [f (A)].
• f (A◦ ) = [f (A)]◦ .
spat:
• (⇒:) A ⊂ X kapal olsun. O halde f homeomorme oldu§undan,
f (A), Y de kapaldr.
(⇐:) f (A), Y de kapal olsun. f homeomorzma oldu§undan f −1 (f (A)),
X 'de kapaldr. Yani A, X 'de kapaldr.
• f (A) = [f (A)] ⇔ f (A) ⊂ [f (A)](?) ∧ [f (A)] ⊂ f (A)(?)
~ [f (A)] ⊂ f (A)
∀A ⊂ X için A ⊂ A ⇒ f (A) ⊂ f (A) ⇒ f (A) ⊂ f (A)
f kapal fonksiyon oldu§undan A ∈ KX için f (A) ∈ KY dir. O halde
f (A) = f (A) dr.
⇒ [f (A)] ⊂ f (A)
~ f (A) ⊂ f (A)
Y uzaynda f (A) y kapsayan kapal küme K 0 olsun. Yani f (A) ⊂ K 0
−1
olsun. Bu durumda A ⊂ f
(f (A)) ⊂ f −1 (K 0 ), f −1 sürekli oldu§un−1
dan f
(K 0 ) kapaldr. O halde; A, A y kapsayan en küçük kapal küme
−1
oldu§undan A ⊂ A ⊂ f
(K 0 ) dür. f (A) ⊂ f (f −1 (K 0 )) ⊂ K 0 ve seçilen
K 0 kapals f (A) seçilebilece§inden f (A) ⊂ f (A) dr.
• f (A◦ ) = [f (A)]◦ ⇔ f (A◦ ) ⊂ [f (A)]◦ ∧ [f (A)]◦ ⊂ f (A◦ )
~ f (A◦ ) ⊂ [f (A)]◦
19
∀A ⊂ X
için
A◦ ⊂ A
kapsad§ en büyük
olmak zorundadr.
f (A◦ ) ⊂ f (A) dr. f (A) ⊂ Y nin
◦
◦
◦
açk küme [f (A)] oldu§undan; f (A ) ⊂ [f (A)]
~ [f (A)]◦ ⊂ f (A◦ )
dr. O halde
olsun. O
X kompakt, Y Hausdor ve f : X −→ Y
zaman f homeomorzmadr.
spat:
f −1
Teorem:
sürekli, bijektif fonksiyon
in sürekli oldu§unu göstermemiz gereklidir. Yani
veya açk dönü³üm oldu§unu göstermeliyiz.
C, X
f
nin kapal
te kapal olsun. O zaman
C , X de kompakttr çünkü kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakttr. f (C), Y de kompakttr çünkü kompakt uzayn sürekli dönü³üm altnda
görüntüsü kompakttr. Housdor uzaynn kompakt alt uzay kapal oldu§undan,
f (C), Y
de kapaldr.
Ödevler :
1.
X
ve
Y
iki topolojik uzay olmak üzere
f : X → Y
herhangi bir
fonksiyon olsun. A³agdakiler denktir:
• f
açk dönü³ümdür.
• X 'in
• X 'e
her alt kümesi
ait her
³ekilde
2.
X
ve
Y
f (x)
x
A
için,
f (A◦ ) ⊆ (f (A))◦ .
noktasnn kom³ulu§u
M
noktasnn bir
N
için,
M ⊆ f (N )
olacak
kom³ulu§u vardr.
iki topolojik uzay olmak üzere
f : X → Y
herhangi bir
fonksiyon olsun. A³agdakiler denktir:
• f
kapal dönü³ümdür.
• X 'in
3.
X
her alt kümesi
A
için,
f (A) ⊆ f (A).
sonlu olamayan bir küme ve üzerinde sonlu tümleyen topolojisi var
olsun.
Y
Housdor olmak üzere
f :X→Y
sürekli ise
f
sabit oldu§unu
gösteriniz.
4.
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun. f 'nin gra§i Γ(f ) = {(x, y) ∈
X × Y : y = f (x)}, X × Y 'nin kapal alt kümesi oldu§unu gösteriniz.
Γ(f ), X × Y 'de kapal ise f sürekli olur mu? Cevabnz açklaynz.
5. Açk (kapal) dönü³ümlerin bile³kesi açk (kapal) oldu§unu gösteriniz.
20
6.
X
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun.
{x ∈ X : f (x) = x}, X 'de kapal oldu§unu gös-
Housdor uzay olmak üzere
Sabit nokta kümesi
teriniz.
7. A³a§daki uzaylarn homeomorf olduklarn gösteriniz.
• R2 ≈ S = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, 1), y ∈ (0, 1)}
• R2 ≈ E = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, 1)}
• R2 ≈ D = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 ) < 1}
• R2 ≈ B = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0}
8.
Cr ⊂ R (0, r) merkezli ve r > 0 yarçapl çember olsun. n ∈ Z+
∪Cn uzay ∪C 1 uzayna homeomorf mudur? Açklaynz.
n
21
için,
Bölüm 3
Topolojik Özellikler
Homeomorzm altnda de§i³meden kalan (invaryant) özelliklere topolojik
özellikler denir. E§er
X
ve
Y
topolojik uzaylar arasnda bir homeomorzma
fonksiyonu bulunabiliyorsa bu iki uzay ayn topolojik özelliklere sahiptirler.
Örne§in; 3 boyutlu uzayda üçgen prizma, küp, küre yüzeyleri topolojik olarak
ayn özelliklere sahiptirler. 2 boyutlu uzayda ise üçgen, daire ve kare topolojik
olarak ayn özelliklere sahiptirler.
3.1
T0
Ayrma Aksiyomlar
Aksiyomu:
Tanm:
X
topolojik uzaynn her farkl
x, y
elemanlar için bunlardan en
az birisinin di§erini içermeyen bir kom³ulu§u vardr. Sembolik olarak;
"∀x, y
∈ X, x 6= y
için
∃N ∈ N (x) : y ∈
/N
veya
∃M ∈ N (y) : x ∈
/M
"
³eklinde ifade edilir.
T0
T1
aksiyomunu sa§layan uzaya
T0
uzay ad verilir.
Aksiyomu:
Tanm:
X
topoljik uzaynn her farkl
x, y
elemanlar için bunlardan her-
birisinin di§erini içermeyen bir kom³ulu§u vardr.
"∀x, y
T1
∈ X, x 6= y
için
∃N ∈ N (x) : y ∈
/N
aksiyomunu sa§layan uzaya
T1
ve
∃M ∈ N (y) : x ∈
/M
uzay ad verilir.
22
"
T2
Aksiyomu(Hausdor Aksiyomu) :
X
Tanm:
topolojik uzaynn her farkl
x, y
elemanlar için bu noktalarn
ayrk birer kom³ulu§u vardr.
"∀x, y
T2
T3
∈ X, x 6= y
için
(∃N ∈ N (x), ∃M ∈ N (y)) : (N ∩ M = ∅)
aksiyomunu sa§layan uzaya
T2
"
uzay yada Hausdor uzay ad verilir.
Aksiyomu (Victoria Aksiyomu) :
K , X uzaynn kapal bir alt kümesi ve x ∈ X de, x ∈
/ K olan bir
K kümesi ile x noktasnn birbirinden ayrk iki kom³ulu§u vardr.
"∀K ∈ K ve x ∈
/ K için ∃N1 ∈ N (K) ve ∃N2 ∈ N (x) : N1 ∩ N2 = ∅"
T3 aksiyomunu sa§layan uzaya regüler uzay denir. Bir regüler uzay ayn
zamanda T1 aksiyomunu da sa§lyorsa bu uzaya T3 uzay denir.
Tanm:
nokta ise
T4
Aksiyomu (Urysohn Aksiyomu) :
X
Tanm:
uzaynn birbirinden ayrk
K1
ve
K2
gibi herhangi iki kapal alt
kümesinin ayrk iki kom³ulu§u vardr.
"∀K1 , K2
∈ K, K1 ∩ K2 = ∅ için (∃N1 ∈ N (K1 )) ve (∃N2 ∈ N (K2 )) iken
N1 ∩ N2 = ∅ "
T4 aksiyomunu sa§layan uzaya normal uzay denir. Bir normal uzay T1
aksiyomunu da sa§lyorsa bu uzaya T4 uzay denir.
3.2
Metriklenebilirlik
Tanm:
Verilmi³ bir
metri§i varsa bu
3.3
X
(X, τ )
topolojik uzay için bu uzay do§uran bir
d
topolojik uzayna metrize edilebilir denir.
Ba§lantllk
Tanm:
X
topolojik uzay bo³ olmayan ayrk açk iki kümenin birle³imi
olarak yazlamyorsa
X
uzayna ba§lantldr denir. Ayrk açk iki kümenin
birle³imi ³eklinde yazlyorsa bu uzaya ba§lantszdr denir.
3.4
Kompaktlk
Tanm:
uzay
g
X
topolojik uzaynn açk alt kümelerinin snf
g
olsun. E§er
nin elemanlarnn birle³imi ³eklinde ifade edilebiliyorsa
23
g
snfna
X
X
uzaynn açk örtüsü denir.
bir alt örtüsü varsa
X
X
topolojik uzaynn her
uzayna kompakt uzay denir.
24
g
açk örtüsünün sonlu
Bölüm 4
Identikasyon Uzay ve Bölüm
Topolojisi
(X, τ ) bir topolojik uzay, Y
Tanm:
dönü³üm olsun.
0
−1
τ = {V ⊂ Y : p (V ) ∈ τ }, Y
• p−1 (∅) = ∅ ∈ τ
ve
herhangi bir küme ve
p:X→Y
örten
üzerinde bir topolojidir.
p−1 (Y ) = X ∈ τ
oldu§undan
∅, Y ∈ τ 0
dür.
• V1 , V2 ∈ τ 0
−1
−1
olsun. Bu durumda p (V1 ), p (V2 ) ∈ τ dur. τ topoloji
−1
−1
−1
−1
oldu§undan p (V1 )∩p (V2 ) ∈ τ dir. Bu durumda p (V1 )∩p (V2 ) =
−1
0
p (V1 ∩ V2 ) oldu§undan V1 ∩ V2 ∈ τ dür.
• {Vi }i∈I
τ0
Y
olsun. Bu durumda
[
[
p−1 ( Vi ) = p−1 (Vi )
i∈I
oldu§undan
i∈I
[
Vi ∈
i∈I
dür.
üzerindeki
τ0
topolojisine identikasyon topolojisi ve
p
dönü³ümüne de
identikasyon dönü³ümü denir.
Lemma:
(V
⊂ Y, Y
p:X→Y
de açktr.
örten dönü³üm olsun.
⇔ p−1 (V ) ⊂ X , X de açktr.)
⇐⇒ p
identikasyon
dönü³ümüdür.
(V
⊂ Y, Y
de kapaldr.
⇔ p−1 (V ) ⊂ X , X
de kapaldr.)
⇐⇒ p
identi-
kasyon dönü³ümüdür.
X = {1, 2, 3}, Y = {a, b}, τ = {∅, {1}, {1, 2}, {1, 3}, X},
τ ∗ = {∅, {a}, Y } ve p : X → Y dönü³ümü p(1) = a, p(2) = b, p(3) = c
Örnek:
³eklinde tanmlansn.
p−1 (∅) = ∅ ∈ τ , p−1 ({a}) = {1, 3}
(Y, τ ∗ ) bir identikasyon uzaydr.
∈ τ , p−1 (Y ) = X ∈ τ
25
Teorem:
Açk veya kapal olan sürekli, örten
p:X→Y
dönü³ümü identi-
kasyon dönü³ümüdür.
(⇒) V , Y de açk olsun. p sürekli oldu§undan p−1 (V ), X de açktr.
(⇐) p−1 (V ), X de açk olsun. p örten dönü³üm oldu§undan p(p−1 (V )) = V
dir. p açk dönü³üm oldu§undan da V , Y de açktr.
O halde Lemmadan dolay p identikasyon dönü³ümüdür.
spat:
Örnek:
p : R → S 1 , p(t) = (cos 2πt, sin 2πt)
dönü³ümünün identikasyon
dönü³ümü oldu§unu teoremden yararlanarak gösterelim.
p
dönü³ümü,
p1 : R → R, p1 (t) = cos 2πt
ve
p2 : R → R, p2 (t) = sin 2πt
fonksiyonlar sürekli oldu§undan süreklidir.
x = cos 2πt, y = sin 2πt, ∀(x, y) için ∃t
1
y
y
= tan 2πt ⇒ t =
arctan ∈ R
x
2π
x
O halde p dönü³ümü örtendir.
var m? Yani
p
örten mi?
p([0, 1]) = S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} ve benzer ³ekilde R nin kapal alt
kümelerinin p altndaki görüntüsü kapal oldu§undan p dönü³ümü kapaldr.
Teorem gere§ince verilen
p
dönü³ümü kapal, örten ve sürekli dönü³üm
oldu§undan identikasyon dönü³ümüdür.
Önerme:
p:X→Y
identikasyon dönü³ümü olsun. Herhangi bir
Z
uzay
için;
k◦p:X →Z
sürekli
⇔k:Y ⇒Z
süreklidir.
(⇐) k ◦ p : X → Z sürekli olsun. W ⊂ Z açk için, (k ◦ p)−1 (W ) =
p−1 (k −1 (W ), X de açktr. O halde k −1 (W ), Y de açktr. Bu durumda k
spat:
süreklidir.
(⇒) k : Y ⇒ Z
sürekli ve
W ⊂Z
(k ◦ p)−1 (W ) = p−1 (k −1 (W )) k
açktr. O halde k ◦ p süreklidir.
açk olsun.
ve
26
p
sürekli oldu§undan
(k ◦ p)−1 (W )
Tanm:
p−1 (V ) =
[
p−1 (y) formundaki kümeye saturated küme denir. X
y∈V
in alt kümesi
A
nn saturation u
p−1 ◦ p(A) =
[
p−1 (y)
dir.
y∈p(A)
Önerme:
1.
p:X→Y
2. Tüm
3.
p:X→Y
sürjektif dönü³üm olsun. A³a§dakiler denktir.
identikasyon dönü³ümdür.
V ⊂Y
p:X →Y
için
p−1 (V )
açk (kapal)
⇔ V, Y
de açk (kapal)
sürekli dönü³üm ve saturated açk (kapal) kümeleri satu-
rated açk (kapal) kümelere dönü³türür.
Sonuç 1:
Bir bijektif sürekli dönü³üm identikasyon dönü³ümdür.
⇐⇒ Bu
dönü³üm homeomorzma dönü³ümüdür.
Sonuç 2:
ki identikasyon dönü³ümün bile³keside identikasyon dönü³ümüdür.
Önerme:
p:X→Y
identikasyon dönü³ümü ve
saturated alt kümesi olsun.
p/A : A → p(A)
A
da
X
in açk (kapal)
identikasyon dönü³ümdür.
B ⊂ Y de açk ve p : X → Y identikasyon dönü³üm olsun.
U ⊂ B ⇒ p−1 (U ) ⊂ p−1 (B) de açktr. O halde p−1 (U ) X de açktr.
nedenle U , Y de açktr.
spat:
Bu
Tanm:
X herhangi bir küme, R de X üzerinde bir denklik ba§nts olsun.
R ba§nts X kümesinin bölüntüsünü R denklik snfna dönü³türür. Denklik
snarnn kümesini X/R ile gösterelim. p : X → X/R, p(x) = [x] (x in denklik snf) dönü³ümü tanmlansn. X/R üzerinde zayf (kaba) topoloji tanml
ise p süreklidir ve p ye R denklik ba§nts ile tanmlanm³ bölüm dönü³ümü
denir. X/R tarafndan elde edilen topolojiye bölüm topolojisi denir. X/R
uzayna da bölüm uzay denir.
dentikasyon dönü³ümü için söylenen tüm özellikler bölüm dönü³ümü
için de geçerlidir.
Teorem:
p : X → Y identikasyon dönü³ümü ve R, X üzerinde
(xRx0 ⇔ p(x) = p(x0 )) X/R , Y ye homeomorftur.
ba§nts olsun.
27
denklik
X
spat:
p
q
/Y
=
{
{{
{
{{
{{ p̂
p̂ : X/R → Y, p̂([x]) = p(x)
X/R
• p̂ bijektif midir?
p̂([x]) = p̂([x0 ]) ⇒ p(x) = p(x0 ) ⇔ xRx0 ⇒ [x] = [x0 ]
p̂ 1-1 dir.
∀y ∈ Y için ∃[x] ∈ X/R vardr ki p̂([x]) = y ve p identikasyon oldu§undan ∃x ∈ X vardr. Yani p̂ örtendir.
• p̂−1
sürekli midir?
q=k◦p
q
/Z
>
~
~
p ~~
~
~~ k
X
/ X/R
=
{{
p {{{
{ −1
{{ p̂
X
Y
Y
q = p̂−1 ◦ p süreklidir ⇔ p̂−1
−1
O halde p̂
süreklidir.
• p̂ sürekli midir?
p = p̂ ◦ q sürekli ⇔ p̂
O halde p̂ süreklidir.
Örnek:
süreklidir.
sürekli
Dikdörtgene homeomorf, küreye homeomorf, do§ruya homeomorf
olan bölüm uzaylarn ve dönü³ümlerini bulunuz.
Çözüm:
• (x1 , y1 )R1 (x2 , y2 ) ⇔ ax1 +by2 −c = ax2 +by2 −c p1 : R×R → R×R/R1 ,
A:
p1 (x, y) = ax + by − c bölüm dönü³ümüdür
A ya yani do§ruya homeomorftur.
ve bölüm uzay
R × R/R1 ,
• (x1 , y1 )R2 (x2 , y2 ) ⇔ M ax | (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) |= k
p2 : R × R → R × R/R2 , p2 (x, y) = M ax | x − y |
ve bölüm uzay R × R/R2 kareye homeomorftur.
28
bölüm dönü³ümüdür
• (x1 , y1 )R3 (x2 , y2 ) ⇔ x21 + y12 = x22 + y22
ba§nts tanmlansn.
p3 : D2 → D2 /R3 , p3 (x, y) = x2 + y 2 bölüm dönü³ümüdür
2
uzay D /R3 , C ye yani küreye homeomorftur.
ve bölüm
Özellikler:
1. Ba§lantl uzayn bölüm uzay da ba§lantldr.
2. Yol ba§lantl uzayn bölüm uzay da yol ba§lantldr.
3. Kompakt uzayn bölüm uzay da kompakt uzaydr.
X bir topolojik uzay, I = [0, 1]
X × I/X × {1} ³eklinde tanmldr.
Tanm:
koni
olsun.
X
topolojik uzay üzerinde
Teorem:
1.
f :X→Y
örten dönü³üm olsun.
2.
f :X→Y
g:Y →Z
bölüm dönü³ümü olsun.
3.
dönü³ümü sürekli
f : X → Y
açk dönü³üm ise
⇔g◦f :X →Z
f
bölüm dönü³ümüdür.
fonksiyonu süreklidir.
x ∼ x0 ⇔ f (x) = f (x0 )
durumda X/∼ bölüm uzay
bölüm dönü³ümü olsun. Ayrca
olacak ³ekilde
Y 'ye
f
∼
ba§nts tanmlansn. Bu
homeomorftur.
spat:
1.
f : X → Y
örten ve açk dönü³üm olsun. V , Y 'nin herhangi bir alt
−1
kümesi olsun. f
(V ), X de açk ise f 'nin örtenli§inden f (f −1 (V )) = V
ve f açk dönü³üm oldu§undan V , Y de açktr.
f −1 (V ), X de açk iken V , Y de açk ve V , Y de açk iken
f −1 (V ), X
de açk oldu§undan dolay;
V, Y
de açk
⇔ f −1 (V ), X
de açk ko³ulu sa§land§ndan
f
bölüm
dönü³ümüdür.
2.
f : X → Y bölüm dönü³ümü olsun.
(⇒:)g : Y → Z sürekli dönü³üm olsun. g
ve
f
dönü³ümleri sürekli
oldu§undan ve süreklilik bile³ke i³lemi altnda korundu§undan
29
g◦f :
X→Z
fonksiyonu süreklidir.
(⇐:)g ◦ f : X → Z sürekli olsun. W , Z de açk olsun. g ◦ f sürekli
−1
oldu§undan (g ◦ f ) (W ), X de açktr.
−1
g (W ) = f ((g ◦ f )−1 (W )) = f (f −1 (g −1 (W ))) dir. f bölüm dönü³ümü
−1
−1
ve (g ◦ f ) (W ), X de açk oldu§undan f ((g ◦ f ) (W )), X de açktr.
−1
O halde g
(W ), X de açktr.
g
Yani
3.
dönü³ümü süreklidir.
f :X →Y
bölüm dönü³ümü olsun ve
x ∼ x0 ⇔ f (x) = f (x0 )
ile
∼
ba§nts tanmlansn.
f˜ : X/∼ → Y , f˜([x]) = f (x)
dönü³ümü homeomorzmamdr?
• f˜([x]) = f˜([x0 ]) ⇒ f (x) = f (x0 ) ⇔ x ∼ x0 [x] = [x0 ] ⇒ f
fonksiy-
onu birebirdir.
• f
³ekilde
³ekilde
•
∀y ∈ Y için f (x) = y olacak
∃x ∈ X vardr. Bu durumda f˜([x]) = f (x) = y olacak
∃x ∈ X ve [x] ∈ X/∼ oldu§undan f fonksiyonu örtendir.
bölüm dönü³ümü oldu§undan
X
p
f
/Y
{=
{
{{
{{
{{ f˜
X/∼
f˜−1 = p ◦ f −1
O halde
sürekli
X
p
sürekli
⇔ f˜−1
⇔ f˜ sürekli
sürekli
f˜ homeomorzmadr.
X = [0, 1], Y = S 1
Örnek:
f :
f˜ ◦ p = f
f
/ S1
=
z
zz
z
zz
zz f˜
olsun.
X/0∼1
ile
Y
homeomork midir?
f : X → S 1 , f (t) = e2πti
ve
p
dönü³ümleri bölüm
X/∼
dönü³ümüdür.
O halde
f˜ : X/∼ → S 1 , f˜(t) = f (t) = e2πti
f˜ homeomorzmadr.
I = [0, 1], f : I × I → S 1 × S 1 = T, f (s, t) = (e2πsi , 1 − t)
(s, 0)R1 (s, 1); (0, t)R1 (1, 1 − t) olsun.
Örnek:
30
ve
I ×I
p
f
/T
:
vv
v
v
vv
vv
vv f˜
I × I/R1
f˜ : I × I/R1 → T, f˜([s], [t]) = f (s, t) = (e2πsi , 1 − t)
dönü³ümü homeo-
morzmadr.
Teorem:
∼
Hausdor topolojik uzay
X
üzerinde bir denklik ba§nts ol-
sun.
X/∼
Hausdor uzaydr.
⇔ G∼ = {(x, y) : x ∼ y, x, y ∈ X}
ba§ntsnn
gra§i kapaldr.
(⇐:) [x], [y] ∈ X/∼ ve [x] 6= [y] olsun. (x, y) ∈ X × X noktas
G∼ = {(x, y) : x ∼ y, x, y ∈ X} kapal ba§ntsnn gra§i d³nda kalmaktadr. (x, y) noktasn içeren U × V ⊂ X × X kom³ulu§unu seçelim. U × V ⊂
X × X − A, A = {(x, y) : x ∼ y, x, y ∈ X}
spat:
p : X → X/∼ bölüm
p(U ) ∩ p(V ) = ∅ midir?
p
dönü³ümünü alalm.
dönü³ümü bölüm dönü³ümü oldu§undan
[x] ∈ p(U )
p(U )
ve
ve
p(V )
[y] ∈ p(V )
iken
açktr.
Varsayalm ki p(U ) ∩ p(V ) 6= ∅ olsun. O halde;
[w] ∈ p(U ) ve [w] ∈ p(V ) ; u ∼ w, v ∼ w olacak ³ekilde u ∈ p(U ) ve v ∈ p(V )
vardr. (u, v) ∈ U × V dir. Fakat U × V ∩ A 6= ∅ idi. Çeli³ki. Varsaymmz
yanl³.
O halde
p(U ) ∩ p(V ) = ∅
yani
X/∼
Hausdor uzaydr.
(⇒:) X/∼ Hausdor uzay olsun. G∼ nin kapal oldu§unu göstermek için
X × X − G∼ nin açk oldu§unu göstermeliyiz. (x, y) ∈ X × X − G∼ alalm.
[x] 6= [y] olsun. X∼ Hausdor oldu§undan ∃U[x] ve ∃V[y] öyleki U ∩ V = ∅
−1
−1
vardr. x ∈ p (U[x] ) açk ve y ∈ p (V[y] ) açktr.
(x, y) ∈ p−1 (U[x] ) × p−1 (V[y] ) ⊂ X × X − G∼
nin açktr.Yani G∼ kapaldr.
31
dir. Dolaysyla
X × X − G∼
X = [0, 1] × [0, 1]
(0, t) ∼ (1, t) ba§nts ile olu³turalm.
X × I/(0,t)∼(1,t) ≈ S (S silindir)
Örnek (Silindir Olu³turma):
kare alalm. Bölüm uza-
yn
p
k
k
e
f
f=e
b
d
a
c
h
l
a=c
b=d
g
h=g
Örnek (Tor Olu³turma):
X = [0, 1] × [0, 1]
(0, t) ∼ (1, t) ve (s, 0) ∼ (s, 1)
X/∼ ≈ T ≈ S 1 × S 1
ba§nts ile olu³turalm.
k
f
k
e
f=e
b
d
a
c
h
l
a=c
b=d
g
h=g
Örnek (Mobius Olu³turma):
(0, t) ∼ (1, 1 − t)
X/∼ ≈ Mb
yn
kare alalm. Bölüm uzayn
X = [0, 1] × [0, 1]
ba§nts ile olu³turalm.
32
kare alalm. Bölüm uza-
X = [0, 1] × [0, 1] kare alalm.
(s, 0) ∼ (1 − s, 1) ba§nts ile olu³turalm.
Örnek (Klein “i³esi Olu³turma):
(0, t) ∼ (1, t)
X/∼ ≈ Kb
uzayn
ve
Örnek (Pro jektif Düzlem Olu³turma):
X = S2
Bölüm
alalm. Bölüm uzayn
2
∀x ∈ S için x ∼ −x ba§nts ile olu³turalm.
S 2 /x∼−x ≈ RP 2 reel projektif düzlem.
S n /x∼−x ≈ RP n reel projektif uzay.
Tanm (Bir Uzayn Süspansiyonu):
Bu bölüm uzayna
X
X × I −→ X × I/X×{0,1} =
P
X
in süspansiyonu denir.
Xx{0}
Xx{1}
Ödevler 4:
1. Bölüm dönü³ümü olup kapal veya açk olmayan dönü³ümler bulunuz.
2.
X = [0, 1] ∪ [2, 3] ⊂ R
³eklinde tanmlansn.
Y = [0, 2] ⊂ R ve p : X → Y
(
x
x ∈ [0, 1]
p(x) =
x − 1 x ∈ [2, 3]
ve
dönü³ümü
p dönü³ümü açk dönü³üm müdür? Kapal dönü³üm
müdür? Bölüm dönü³ümü müdür? Açklaynz.
3. ki bölüm dönü³ümünün çarpmnn bölüm dönü³ümü olmad§n gösteriniz.
4.
R2
5.
g : R2 → R, g(x, y) = x + y 2
üzerindeki denklik ba§nts (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇔
2
³eklinde tanmlanm³tr. R /R bölüm uzay mdr?
ve
x1 + y12 = x2 + y22
f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y 2
dönü³ümlerinin bölüm dönü³ümü olup olmad§n açklaynz.
6.
[
1
1 2
) + y 2 = ( )2 }, Y =
Cn ve X = C1 × Z+
n
n
n∈Z+
x y
g : X → Y, g(x, y, n) = ( , ) ³eklinde tanml dönü³üm bölüm
n n
Cn = {(x, y) : (x −
olsun.
dönü³ümü müdür?
33
7.
CX : X üzerinde koni, (x, t)R(x0 , t0 ) ⇔ (x, t) = (x0 , t0 ) veya x, x0 ∈ X
0
ve t = t = 1 ba§nts tanmlansn.
(
(x, t) t 6= 1
f
/ CX f˜(x, t) = f (x, t) =
³eklinde tanmX ×I
9t
(x,
1)
t
=
1
t
t
t
p
ttt
ttt f˜
X × I/R
lanan f˜ fonksiyonunun homeomorzma oldu§unu gösteriniz. p dönü³ümü
bölüm dönü³ümü müdür?
34
Bölüm 5
Ekli Uzaylar
Tanm:
X ve Y topolojik uzaylar ve A ⊂ X kapal altuzay olsun. Ayrca
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun. x ∼ f (x), ∀x ∈ X olsun. X ∪ Y /x∼f (x)
bölüm uzayna Y nin X e eklenmi³ uzay denir ve X ∪f Y ile gösterilir.
X = [0, 1], Y = {∗} ve A = {0, 1} ⊂ X noktalarn alalm. f :
A → Y, f (x) = ∗ sabit fonksiyonu süreklidir. x ∼ f (x) yani 0 ∼ ∗, 1 ∼ ∗
denk klalm. O halde [0, 1] ∪f {∗}/0∼∗,1∼∗ dir. Geometrik olarak aral§a bir
Örnek:
nokta ekleyerek elde edilen ekli uzay çember olur.
X = D2 ve Y = {∗} nokta alalm. S 1 = ∂D2 ⊂ D2
D2 ∪f {∗} ≈ S 2 yani içi bo³ küreye homeomorftur.
Örnek:
Örnek (Silindir Dönü³ümü):
I = [0, 1]
X
ve
Y
herhangi iki topolojik uzay ve
olsun.
X × {0}
X ×I
X × I ∪f Y
f
/
/
Y
X × I ∪f Y
ekli uzaya silindir dönü³ümü denir ve
gösterilir.
35
X × I ∪f Y ≈ Mf
ile
XxI
Y
“ekil 5.1: Silindir dönü³ümü
Örnek (Koni Dönü³ümü):
X × {1}
/
/X
X ×I
Cf
f
{∗}
× I ∪f Y = Cf
dönü³ümüne koni dönü³ümü denir.
Xx{1}
XxI
“ekil 5.2: Koni dönü³ümü
36
Bölüm 6
Ba§lantl Uzaylar
X = A ∪ B ayrk açklarn bir(A ∩ B = ∅) X e ba§lantl olmayan (ba§lantsz) uzay denir. A ve B ye de X in ayranlar denir. E§er X uzaynn ayranlar yoksa X uzayna ba§lantl uzay denir.
X
Tanm:
bir topolojik uzay olsun. E§er
le³imi ³eklinde yazlabiliyorsa
Teorem:
X
uzay ba§lantldr.
⇔ X = A∪B
A ∩ B 6= ∅
iken
veya
A ∩ B 6= ∅
Teorem:
A³a§daki önermeler denktir:
1.
X
ba§lantl uzaydr.
2.
X
in kapal va açk alt kümeleri
3.
X
in ayrlm³ alt kümeleri yoktur.
4.
X =⇒ {0, 1}
X
ve
∅
dir.
her sürekli fonksiyon sabittir.
spat:
• (1 ⇒ 2) X
C , X in hem açk hem de kapal
X − C de hem açk hem de kapaldr. Bu
durumda X = C ∪ (X − C) yazabiliriz. X i ayrk birle³imler ³eklinde
yazamayaca§mzdan bu kümelerden biri ∅ olmaldr. Bu durum da C =
∅ yada X − C = ∅ olmaldr. O halde C = ∅ yada X = C dir. O halde
hem açk hem de kapal kümeler ∅ ve X dir.
ba§lantl uzay olsun.
alt kümesi olsun.O halde
• (2 ⇒ 3) X
in hem açk hem de kapal kümeleri
X
ve
∅ olsun. X = A∪B
ayrk kümelerin birle³imi ³eklinde yazlsn. O halde;
A∩B = ∅ =⇒ A∩B = ∅ oldu§undan A = A dr. Benzer ³ekilde B = B
37
A ve B kümeleri hem açk hem de kapaldr. O
A = ∅, B = X yada A = X, B = ∅ dir. Yani X in ayrlm³ alt
dir. O halde
halde ya
kümeleri
yoktur.
• (3 ⇒ 4) X in ayrlm³ alt kümeleri var olmasn. Varsayalm ki f : X =⇒
{0, 1} fonksiyonu sabit fonksiyon olmasn. Bu durumda f fonksiyonu
örten ve sürekli alabiliriz. E§er f sabit fonksiyon de§ilse;
f −1 ({0}) ⊂ X ve f −1 ({1}) ⊂ X kümeleri açktr. O halde f −1 ({0}) ∪
f −1 ({1}) = X dir. Yani f −1 ({0}) ve f −1 ({1}) X in ayrk kümeleridir.
Hipotezle çeli³ti. O halde f sabittir.
• (4 ⇒ 1) f : X =⇒ {0, 1}
sabit fonksiyon olsun. Varsayalm ki
X
X = U1 ∪ U2 ayrk açk birle³imi
f (U1 ) = 0 ve f (U2 ) = 1 dr. Yani f sabit de§ildir.
halde X ba§lantl uzaydr.
ba§lantl uzay olmasn. Bu durumda
olsun. Bu durumda
Hipotezle çeli³ki. o
I = [0, 1]
Örnek:
ba§lantldr.
I ba§lantl olmasn. Bu durumda [0, 1] = U ∪ V
U ve V ayranlar vardr. c = sup{[0, 1] ∩ U }, c < 1 aksi halde
c = sup{[0, 1] ∩ V } olsun. [0, 1] = U ∪ V oldu§undan c ∈ U veya c ∈ V dir.
E§er c ∈ U açk ise (c − ε, c + ε) ⊂ U olacak ³ekilde ε > 0 vardr.
c+ε
c+ε
∈ U ve
> c olamaz. Çeli³ki.
Fakat
2
2
E§er c ∈ V açk ise (c − δ, c + δ) ⊂ V olacak ³ekilde δ > 0 vardr.
c−δ
c−δ
∈V, (
, c) ∩ U = ∅ Bu durumda c supremum olamaz. Çeli³ki.
2
2
O halde varsaymmz yanl³tr. Yani I kümesi ba§lantldr.
Varsayalm ki
Çözüm:
olacak ³ekilde
Teorem:
f :X →Y
sürekli ve
X
ba§lantl olsun. Bu durumda
f (X)
de
ba§lantldr.
f (X) ba§lantsz olsun. Yani f (X) in ayranlar var
olsun. Bu durumda f (X) = U ∪ V , U ∩ V = ∅ dir. f sürekli oldu§un−1
dan f
(U ) ve f −1 (V ) kümeleri X de açk ve U ∩ f −1 (U ) 6= ∅ oldu§undan
f −1 (U ) 6= ∅ dir. Benzer ³ekilde f −1 (V ) 6= ∅ dir.
spat:
Varsayalm ki
(U ∩ f (X)) ∪ (V ∩ f (X)) = X
f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) = X
38
x ∈ f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) ⇒ f (x) ∈ U ∩ f (X)
ve
f (x) ∈ V ∩ f (X)
(U ∩ f (X)) ∪ (V ∩ f (X)) = ∅
f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) = ∅
O halde
X
ba§lantl de§ildir. Çeli³ki.
Varsaymmz yanl³tr. O halde
Sonuç:
f (X)
ba§lantl uzaydr.
Ba§lantllk bir topolojik özelliktir.
Örnekler:
• X = [−1, 0) ∪ (0, 1]
alt uzay ba§lantl de§ildir.
• X = {−1, 1} ve τ = {∅, X} olsun. X
oldu§undan X ba§lantldr.
• R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
de
∅ ve X
hem açk hem de kapal
oldu§undan ba§lantl de§ildir.
• X = [−1, 1] kümesinin A = [−1, 0] ve B = (0, 1] ayrk kümeleri için
6 ∅ oldu§undan X kümesi ba§lantldr.
A ∩ B = [−1, 0] ∩ [0, 1] = {0} =
• Q kümesi ba§lantl de§ildir.
p, q ∈ Q ve Y ⊂ Q kümesi p ve q
yu içeren alt küme olsun. ki rasyonel
p < a < q irrasyonel
saysn alalm. Y ∩ (a, ∞) ve Y ∩ (−∞, a) kümeleri Y de açktr. Y =
(a, ∞) ∪ (−∞, a) ayrk açklarn birle³imi ³eklinde yazlabildi§inden Y
ba§lantl de§ildir. O halde Q ba§lantl de§ildir.
say arasnda bir irrasyonel say var oldu§undan
• X = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y =
de§ildir.
Önerme:
Y ⊂ X, Y
ayranlar olsun. Bu durumda
Y ∩ A ve Y ∩ B , Y
Y ∩ B = ∅ dir. O halde;
Y ∩A=∅⇒Y ⊂B
Y ∩ B = ∅ ⇒ Y ⊂ A dr.
spat:
Y ⊂ A ∪ B olacak
Y ⊂ A veya Y ⊂ B dir.
ba§lantl ve
1
}
x
kümesi ba§lantl
³ekilde
nin ayranlar ise bunlardan biri
39
A
ve
B, X
in
Y ∩ A = ∅ yada
(Yj )j∈J , X in ba§lantl alt uzay ailesi olsun. Ayrca ∀j ∈ J için Yj
Y
ayrk
olmayacak ³ekilde bir j0 ∈ J var oldu§unu varsayalm. O zaman
[ j0
Yj ba§lantldr.
Teorem:
ve
j∈J
spat:
Y =
[
Yj
nin ba§lantl oldu§unu göstermeliyiz. Varsayalm ki
Y,
j∈J
X in iki ayrk alt kümelerinin birle³imi ³eklinde yazlabilsin. Yani Y = A ∪
B, A ⊂ X, B ⊂ X; A ∩ B = ∅ olsun. Bu durumda bir önceki önermeden
herbir Yj , A veya B tarafndan kapsanmaktadr. Yani Yj ⊂ A veya Yj ⊂ B
dir. Burda Yj0 ⊂ A oldu§unu varsayalm. Dolaysyla ∀j ∈ J için Yj ⊂ A
dr. Fakat Yj ile Yj0 ayrk alt kümelerdir elde edildi. Hipotezle çeli³ti§inden
dolay Y = A dr. O halde Y ba§lantldr.
Sonuç:
1. Ba§lantl (ortak noktaya sahip) altuzaylarn kolleksiyonunun birle³imi
ba§lantldr.
2.
A, X
in ba§lantl alt kümesi olsun.
A⊂B⊂A
ise
B
ba§lantldr.
A, X in ba§lantl alt kümesi ve A ⊂ B ⊂ A olsun. Varsayalm ki B = C ∪ D ³eklinde B nin ayranlar C ve D var olsun. A
ba§lantl oldu§undan A ⊂ C veya A ⊂ D dir. A ⊂ C oldu§unu varsayalm. O zaman A ⊂ C ve C ∩ D = ∅ oldu§undan B ∩ D = ∅ dir. Çeli³ki.
O halde B ba§lantldr.
spat2:
Teorem:
X
ve
Y
ba§lantl uzaylar ise
X ×Y
de ba§lantldr.
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X ×Y alalm. X ×{y1 }∪{x2 }×Y alt kümesini göz
X × {y1 } ve {x2 S
} × Y ba§lantl kümelerdir ve ortak noktalar
(x2 , y1 ) dir. O halde; X × Y = (X × {y1 }) ∪ ({x2 } × Y ) dir. Sonuçtan dolay
X × Y uzay ba§lantldr.
spat:
önüne alalm.
Teorem:
X
lineer sral uzay ve
C, X
konvekstir.
40
in alt uzay olsun.
C
ba§lantl ise
X in bir alt kümesi olsun. ∀a, b ∈ X için
C ye konveks alt küme denir. Varsayalm ki C konveks olmasn. O halde X de a < x < b noktalar için a, b ∈ C fakat x 6∈ C dir.
Bu durumda (−∞, x) ve (x, +∞) kümeleri X de açklardr. Bu durumda
C ⊂ (−∞, x) ∪ (x, +∞) ayrk açklar tarafndan kapsanmaktadr. O halde C
ba§lantl de§ildir. Çeli³ki. Bu durumda C konvekstir.
spat:
C
[a, b] ⊂ C
lineer sral uzay
ise
Tanm(Lineer Continium):
özelliklere sahip ise
1.
L
2.
x<y
L
L
basit sral bir küme olsun.
a³a§daki
en küçük üst snr özelli§ine sahip olmaldr.
ise
L
Teorem:
tldr. Ayrca
Sonuç:
R
x<z<y
olacak ³ekilde bir
sralama topolojisine sahip
L
ve
L
z
vardr.
lineer continium ise
L
ba§lan-
deki aralklarda ba§lantldr.
R
deki her aralk ba§lantldr ve
topolojisine sahiptir. O halde
R
<
ba§ntsna göre sralama
lineer continiumdur.
X ba§lantl ve Y sral
a, b ∈ X ve f (a) < r < f (b)
Teorem (Ara De§er Teoremi):
üzere
L
ye lineer continium denir.
f :X →Y
olacak ³ekilde bir
sürekli olsun.
c∈X
küme olmak
ise
f (c) = r
vardr.
X bir topolojik uzay olsun. Herhangi iki x0 , x1 ∈ X için f (0) = x0
f (1) = x1 olacak ³ekilde f : [0, 1] → X sürekli fonksiyonu varsa X e yol
Tanm:
ve
ba§lantl uzay denir.
S 1 yol ba§lantl uzaydr. Çünkü;
w : I → S 1 , w(t) = (cos 2πt, sin 2πt) sürekli
Örnek:
Teorem:
f : X → Y
sürekli ve
X
fonksiyondur.
yol ba§lantl uzay ise
f (X)
de yol
ba§lantl uzaydr.
X yol ba§lantl uzay olsun. Tanmdan dolay w : [0, 1] → X , w(0) =
w(1) = x1 olacak ³ekilde sürekli fonksiyon vardr.
I w /X f /Y
spat:
x0
ve
(f ◦ w)(0) = f (w(0)) = f (x0 ) = y0
(f ◦ w)(1) = f (w(1)) = f (x1 ) = y1
O halde f (X) yol ba§lantldr.
41
X
Teorem:
yol ba§lantl ise ba§lantldr.
X yol ba§lantl olsun. Varsayalm ki X ba§lantl olmasn. Bu durumda X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ ve X yol ba§lantl oldu§undan sürekli bir
f : I → X fonksiyonu vardr ve
I = f −1 (X) = f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) dir. Ayn zamanda f −1 (A) ∩
f −1 (B) = ∅ dir. Çeli³ki. O halde X uzay ba§lantldr.
spat:
X
Teorem:
Not:
ve
Y
yol ba§lantl ise
X ×Y
de yol ba§lantldr.
Ba§lantl bir uzay yol ba§lantl olmayabilir. Örne§in;
1
X = {(x, y) : −1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(x, sin ) : x ∈ R}
x
uzay ba§lantl fakat yol
ba§lantl de§ildir.
Örnek:
X = I ×I
üzerinde sözlük sralama topolojisi var olsun.
X
uzay
ba§lantl fakat yol ba§lantl de§ildir.
X = I ×I
α : [0, 1] → X
∀x0 , x1 ∈ Xα(0) = x0 , α(1) = x1 var m?
Varsayalm ki X yol ba§lantl olsun. O zaman ∀x0 , x1 ∈ Xα(0) = x0 , α(1) =
x1 olacak ³ekilde bir α : [0, 1] → X sürekli fonksiyon vardr. α([0, 1]), X deki
lineer continium teoreminden dolay ba§lantldr.
sürekli fonksiyon var m?
tüm noktalar içerir.
∀x ∈ I = [0, 1] için Ux = α−1 ({x} × (0, 1)) ⊂ [0, 1] açklarn ters görüntüsüde
açktr. O Halde ∀x ∈ I için Ux in içerdi§i qx ∈ [0, 1] noktasn seçelim. ∀x
için Ux açk kümeleri ayrktr.
Uz = α−1 ({z} × (0, 1)) ⇒ Ux ∩ Uz = ∅
[0, 1] yl ba§lantl de§ildir. Çeli³ki. O halde X yol ba§lantl olamaz.
Ödevler 6:
1.
Πα∈I Xα
2.
Aα , X
ba§lantl ise
Xα
ba§lantldr. Gösteriniz.
[ A, X in ba§lantl
A ∪ ( Aα ) ba§lantldr.
uzaynn ba§lantl alt kümeler kolleksiyonu ve
alt uzay olsun.
∀α
için
A ∩ Aα 6= ∅
ise
α∈I
Gösteriniz.
3.
X
X
sonlu bir küme ve üzerinde sonlu tümleyenler topolojisi var olsun.
ba§lantldr. Gösteriniz.
42
Bölüm 7
Kompakt Uzaylar
[ X
Tanm :
X =
ise
g olsun. E§er
E§er g nin bir alt
topolojik uzayn açk alt kümelerinin bir snf
g
snfna
X
uzaynn açk örtüsü denir.
G∈g
kümesi
X
X
Tanm :
varsa,
X
uzayn örterse bu alt kümeye
X
topolojik uzaynn her açk
g
in bir açk alt örtüsü denir.
örtüsünün sonlu bir alt örtüsü
uzayna kompakt uzay denir.
Örnek:
• [0, 1]
• S1
•
aral§ kompakttr.
kompakttr.
Her diskret kompakt uzay sonludur.
• R
kompakt de§ildir.
Önerme:
Y ⊂X
olsun. A³a§dakiler denktir:
1.
Y
kompakttr.
2.
Y
yi içeren
X
in alt açk kümeler kolleksiyonunun sonlu alt kolleksiyonu
vardr.
3.
Y
ile arakesiti
∅
olan,
X
in açk alt kümeler kolleksiyonunun sonlu alt
kolleksiyonu vardr.
43
spat:
• (1 ⇒ 2) {Uj : j ∈ J}, X
in açk alt kümeler kolleksiyonu ve
[
Y ⊂
Uj
j∈J
olsun.
{Y ∩ Uj : j ∈ J}, Y nin açk örtüsüdür. Y
kümenin
[ sonlu alt örtüsü vardr.
Y =
Y ∩ Uj , J 0 sonlu indeks kümesi
kompakt oldu§undan bu
j∈J 0
Y ∩ Uj ⊂ Uj , ∀j ∈ J 0
O halde
oldu§undan
Y ⊂
[
Uj
elde edildi.
j∈J 0
• (1 ⇐⇒ 2)
De Morgan kuralndan denklik gösterilebilir.
• (2 ⇒ 1) {Vj : j ∈ J}, Y nin açk alt\örtüsü olsun.[
Uj
Vj = Y ∩ Uj , Uj ⊂ X açk ve Y ⊂
Uj ⇒ Y ⊂
j∈J 0
j∈J
⇒Y =Y ∩
[
Uj =
Y
[
Vj
j∈J 0
kompakttr.
Kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar kompakttr.
Teorem:
spat:
Y ∩ Uj =
j∈J 0
j∈J 0
O halde
[
X
Y, X
kompakt ve
Fj , X in kapal alt
Fj = ∅ dir. X kompakt oldu§un-
de kapal alt uzay olsun.
Y∩
kümelerinin kolleksiyonu olmak üzere
\
j∈J
dan
∅=
\
Fj ∩ Y = Y ∩
j∈J 0
Fj
oldu§udan
Y
de kompakttr.
j∈J 0
f :X →Y
Teorem:
\
sürekli ve
X
kompakt uzay olsun. O halde
f (X)
de
kompakt uzaydr.
Uj , Y
f −1 (Uj ), X in
spat:
f[
(X) i örtsün.
X =
f −1 (Uj ) dir.
nin açk alt kümeler kolleksiyonu olsun ve
açk alt kümeleri
f
sürekli oldu§undan
j∈J
X
kompakt oldu§undan
X=
[
f
−1
(Uj )
dir. (J
0
sonlu indeks kümesi)
j∈J 0
f (X) = f (
[
j∈J 0
f −1 (Uj )) =
[
f (f −1 (Uj )) ⊂
[
j∈J 0
j∈J 0
44
(Uj )
[
⇒ f (X) ⊂
(Uj )
j∈J 0
⇒ f (X)
in sonlu açk alt örtüsü vardr. Yani
X
Teorem:
Hausdor uzay olsun.
X
f (X)
kompakttr.
in her kompakt alt kümesi kapaldr.
Ayrk kompakt alt uzayn ayrk açk kom³uluklar vardr.
X
Sonuç:
1.
X
kompakt Hausdor uzay olsun. A³a§dakiler vardr:
in alt kümesi
C
nin kompakt olmas için gerek ve yeter ³art
C
nin
kapal olmasdr.
2.
A
ve
B, X
de ayrk kapal alt kümeler ise
Lemma:
X
U
A ⊂ U
ve
V
açklar vardr.
kompakt
Y
Hausdor olmak üzere
³ekilde ayrk
ve
B ⊂ V
f : X → Y
olacak
fonksiyonu
sürekli olsun. A³a§dakiler vardr:
1.
f
kapal dönü³ümdür.
2.
f
surjektif ise
3.
f
injektif ise
f
embeddingdir.
4.
f
bijektif ise
f
homeomorzmadr.
f
kapal dönü³ümdür.
spat:
1.
C, X
de kapal bir alt küme olsun.
X
kompakt oldu§undan ve kom-
pakt uzayn kapal alt uzay kompakt oldu§undan
C, X
de kompak-
ttr.Kompakt uzayn sürekli fonksiyon altndaki görüntüsü kompakt
oldu§ndan
f (C),Y
de kompakttr.
Y
kompakt alt uzay kapal oldu§undan
Hausdor ve Hausdor uzayn
f (C), Y
de kapaldr. O halde
f
kapal dönü³ümdür.
2. Herhangi bir kapal yada açk sürjektif dönü³üm bölüm dönü³ümü oldu§undan bu ko³ullar altnda
f
bölüm dönü³ümüdür.
45
Tanm:
f : X → Y injektif sürekli dönü³üm olsun. X
f ye embedding denir.
alt uzay topolo-
jisine sahipsa
3.
f
injektif, sürekli ve
X
kompakt uzay alt uzay topolojisine sahip
oldu§undan embeddingdir.
4.
f
dönü³ümü kapal, sürekli ve bijektif oldu§undan homeomorzmadr.
Lemma (Tube):
X bir topolojik uzay Y kompakt topolojik
X olsun. {x0 } × Y nin herhangi bir kom³ulu§u N ⊂ X × Y
U × Y ⊂ N olacak ³ekilde x0 n bir U kom³ulu§u vardr.
için
{x0 } × Y ⊂ Uy × Vy ⊂ N olacak ³ekilde bir çarpm
Y = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vk olacak
³ekilde Yi ∈ Y vardr.(Yi ∈ Vi ) Her bir Vi için
x0 × y1 ⊂ U1 × V1 ⊂ N
x0 × y2 ⊂ U2 × V2 ⊂ N
spat:
∀y ∈ Y
x0 ∈
{x0 } ⊂
uzay ve
için
kom³ulu§u vardr.
Y
kompakt oldu§undan
...
x0 × yk ⊂ Uk × Vk ⊂ N
U = U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Uk dr.
Lemma:
X
X
topolojik uzay sonlu olmayan kapal diskret alt uzay içeriyorsa
kompakt de§ildir.
spat:
X
kompakt olsayd kompakt uzayn diskret kapal alt uzay kompakt
ve sonlu olaca§ndan hipotezle çeli³ir. O halde
X
kompakt olamaz.
. . . ⊂ Cn ⊂ . . . ⊂ C\
2 ⊂ C1 bir kompakt uzaynkapal bo³tan farkl
Cn 6= ∅ dir.
kümeleri olsun. O zaman
Lemma:
alt
n∈N
spat:
\
Cn = ∅
olsun. Bir
n∈N
için
Cn = ∅
Çeli³ki. O halde
n∈N
\
Cn 6= ∅
n∈N
dir.
Teorem (Tychono ):
(Xj )j∈J
kompakt uzaylar kolleksiyonu olsun.
Πj∈J Xj
kompakttr.
Lemma:
X
C de X in bo³tan
C ⊂ [m, M ], m, M ∈ C dir.
lineer sral uzay olsun.
uzay olsun. O zaman
46
farkl kompakt alt
C nin maksimum eleman olmasn. O zaman C ⊂ ∪c∈C (−∞, c) dir.
C kompakt oldu§undan
C ⊂ (−∞, c1 ) ∪ (−∞, c2 ) ∪ . . . ∪ (−∞, ck ) ⊂ (−∞, c)
Burada c = max{c1 , . . . , ck } ve c ∈ C idi. O halde c ∈ (−∞, c) dir. Çeli³ki.
O halde C nin maksimal eleman vardr. Benzer ³ekilde minimal de göster-
spat:
ilebilir.
Lemma:
Dolaysyla
X
X
X
Sonuç:
lineer sral uzay ve en küçük üst snr özelli§ine sahip olsun.
deki her kapal aralk kompakttr.
lineer sral ve
C, X
in bo³tan farkl alt uzay olsun.
1.
C
kompakt ve ba§lantl ise
2.
X
lineer continium ise 1.sonucun ters yönü de mevcuttur.
Teorem (Henri-Borel):
ve yeter ³art
C
C
C ⊂ Rn
kapal aralktr.
alt kümesinin kompakt olmas için gerek
nin kapal ve snrl olmasdr.
(⇒:) C ⊂ Rn alt kümesinin kompakt olsun. Dolaysyla C nin
{(−R, R)n : R > 0} açk örtüsü vardr. C ⊂ (−R, R)n olacak ³ekilde R > 0
alalm. C snrldr. Kompakt Hausdor uzay kapal oldu§§undan C de ka-
spat:
paldr.
(⇐) C
kapal ve snrl olsun. O halde
C ⊂ [−R, R]
olacak ³ekilde kapal
aralk vardr. Kapal aralklar kompakt oldu§undan ve kompakt uzaylarn
kapal alt uzaylar kompakt oldu§undan
C
Teorem (Ekstrem De§er Teoremi):
sral uzay olmak üzere
f :X→Y
kompakttr.
X 6= ∅
toolojik uzay ve
Y
lineer
sürekli fonksiyon olsun.
1.
X kompakt ise ∀x ∈ X
m, M ∈ X vardr.
2.
X ba§lantl ve kompakt ise f (x) = [f (m), f (M )] olacak ³ekilde m, M ∈
X vardr.
spat:
vardr.
için
f (X) ⊆ [a, b] olur. ∀x ∈ X
f (m) = a ve f (M ) = b
Tanm:
X
f (m) ≤ f (x) ≤ f (M )
için
olacak ³ekilde
f (m) ≤ f (x) ≤ f (M ) m, M ∈ X
in her sonlu olmayan alt kümesinin bir limit noktas varsa
elimit nokta kompakttr denir.
47
X
Tanm:
X
deki herhangi bir dizinin yaknsak alt dizisi varsa
X
e dizisel
kompakttr denir.
Teorem:
X
Teorem:
X birinci saylabilir ve limit nokta kompakt ise dizisel kompakttr.
topolojik uzay kompakt ise limit nokta kompakttr.
48
Bölüm 8
Simpleksler
x0 , x1 , . . . , xn ∈ Rn olsun. Herhangi ti skalerleri için t0 .a0 +t1 .a1 . . .+
tn , an = 0 ve t0 + t1 + . . . + tn = 0 =⇒ t0 = t1 + . . . tn = 0 oluyorsa
{a0 , a1 . . . , an} kümesi geometrik olarak lineer ba§msz denir.
Tanm :
Tek noktal küme daima geometrik olarak lineer ba§mszdr.
Not1 :)
{a0 , a1 , . . . , an } geometrik olarak lineer ba§msz ⇐⇒ a1 − a0 , a2 −
a0 . . . an − a0 vektörleri lineer ba§mszdr.
Not2 :)
Rn
Sonuç :
deki farkl iki nokta, geometrik olarak lineer ba§msz küme
olu³turur.
{a0 , a1 , . . . , an } geometrik olarak lineer ba§msz
olsun. Bu nokPn
talar tarafndan gerilen n_ düzlem (n_plane),x =
i=0 ti .ai olacak ³ekilde
P
x ∈ Rn deki tüm x noktalarn içerir. ( ni=0 ti = 1), ai noktalar geometrik
olarak lineer ba§msz oldu§undan, ti ler x eleman tarafndan tek türlü bePn
lirlenir. P düzlemi denilince, x = a0 +
i=0 ti .(ai − ao ) ³eklindeki x lerin
Tanm :
kümesi göz önüne alnacaktr.
{a0 , a1 , . . . , an } geometrik olarak ba§msz ve w, {a0 , a1 , . . . , an } noktarafndan olu³tutrulan düzlem d³nda kalyorsa; {w, a0 , a1 , . . . , an }
Not3 :
talar
geometrik olarak ba§mszdr.
Tanm :
A,
I = [0, 1]
için
Euclide uzaynn bir alt kümesi olsun.
(1 − t)x + ty ∈ A
oluyorsa
49
A
∀
ayrk
x, y ∈ A
ya an uzay denir.
,
t∈
{a0 , a1 , . . . , an } sral n lisi Rn nin alt kümesi olsun.
a1 −a0 , a2 −a0 . . . , an −a0 vektörleri Rn de lineer ba§mszz ise {a0 , a1 , . . . , an }
An Ba§mszlk :
kümesi an ba§mszdr denir.
{p0 , p1 , . . . , pm } Rn de an ba§msz ve A da
Pnbu noktak
lar tarafndan gerilen an uzay olsun. T : A → R , k ≥ 1, T (
i=0 ti .pi ) =
Pn
Pn
i=0 ti .T (pi ),
i=0 ti = 1 ³eklinde tanmlanan dönü³üme An dönü³üm denir.
An Dönü³üm :
Not4 :
x=
PTn an dönü³ümü geometrik
Pn olarak lineer
Pn ba§msz kümesini
t
.a
=⇒
T
(x)
=
T
(
t
.a
)
=
i=0 i i
i=0 i i
i=0 ti .T (ai )
Not5 :
T
an dönü³ümü,
n_
düzlemi;
n_
düzleme ta³r.,{a0 , a1 , . . . , an }
geometrik ba§msz noktalar tarafndan gerilen
T (P ), {T (a0 ), T (a1 ), . . . , T (an )}
korur.
n_
düzlem olsun.
tarafndan gerilen bir düzlemdir.
{a0 , a1 , . . . , an } ∈ Rn de geometrik lineer ba§msz küme olsun.
{a0 , a1 , . . . , an } noktalar tarafndan gerilen kümeye n-Psimpleks P
denir ve
[a0 , a1 , . . . , an ] ³eklinde gösterilir. [a0 , a1 , . . . , an ] = {x = ni=0 ti .ai , ni=0 ti =
1,ti ≥ 0 , i = 1, 2, . . . , n} Buradaki ti says x noktasnn barycentrik (a§rlk
Tanm :
merkezi) koordinatdr.
{p0 , p1 , · · · , pm }, Rn de an ba§msz olsun. {p0 , p1 , · · · , pm } kümesi
tarafndan gerilen konveks kümeye m-simpleks denir. [p0 , p1 , · · · , pm ] ile gösterilir ve pi ler kö³elerdir.
Tanm :
Örnekler :
s
0 − simpleks, p0
tarafndan gerilen kümedir.
p0
Dolaysyla
0−
simpleks sadece nokta olacaktr.
1 − simpleks , p0 ve p1 tarafndan gerilen kümedir.
p1
Yani x = t0 .p0 +t1 .p1 , (t0 +t1 = 1, t1 = t0 = 1/2) do§ru parças tarafndan
p0
gerilen kümedir.
50
p2
@
@
@
@
@
p0
Yani
2 − simpleks, p0 , p1 , p2
tarafndan gerilen kümedir.
p1
x = t0 .p0 +t1 .p1 +t2 .p2 , (t0 +t1 +t2 = 1, t0 = t1 = t2 = 1/3) üçgendir.
p3
@
@
@
@
p0 H H
@ 3 − simpleks
p2
HH H
,
p0 , p1 , p2 , p3
tarafndan gerilen kümedir.
p1
A, Rn 'nin alt kümesi olsun ∀x, y ∈ A için bu noktalar birle³tiren
n
parças A içinde bulunuyorsa, A ya R nin konveks alt kümesi denir.
Tanm :
do§ru
Tanm :
∀x, y ∈ A
için
t0 .x + (1 − t0 ).y ∈ A ⇔
A konveks kümedir.
Örnekler :
•
Daire bir konveks kümedir.
•
Küre bir konveks küme de§ildir.
•
Kare, üçgen, düzlem bir konveks kümedir.
Not6 :
4n , Rn
deki, konveks kümelerin arakesitidir ve dolaysyla
Rn '
nin
kompakt konveks alt kümesidir.
Not7 :
Verilen
4n
için, sadece ve sadece bir tek geometrik ba§msz nok-
talar kümesi vardr.
Tanm :
4
n
a0 , a1 , . . . , an
noktalarna
4n
simpleksinin kö³eleri, n saysna da
simpleksinin boyutu denir.
• {a0 , a1 , . . . , an } noktalar tarafndan gerilen herhangi simplekse 4n simn
pleksinin yüzü denir ve 4 simpleksineden farkl yüzede has yüz denir.
51
•
Öz alt yüzlerin birle³imine
4
simpleksinin snr denir ve
Bd4n
olarak
gösterilir.
• 4n
n
n
simpleksinin içi Int(4 )=4
• Int(4n )
³eklinde tanmlanr.
bazen açk simpleks olarakda adlandrlr.
• a0 , a1 , a2 , a3 ,
• −4n
− Bd4n
4n
3- simpleksinin
kö³eleri denir.
simpleksinin boyutu 3'tür. Noktalar, do§rular, ve üçgen yüzleri
öz alt yüzleridir.
• [P0 , P1 , · · · , Pm ]
m-simpleks olsun.
[P0 , P1 , · · · , Pin , Pi+1 , Pm ] = {
Pi 'nin
m
X
j=0
[P0 , P1 , · · · , Pm ]
tj pj |
ters yüzü
m
X
tj = 1,
tj ≥ 0}0 dir.
j=0
m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imidir.
Yardmc Teorem :
n
Int(4 ), p düzleminde açk ve konvekstir.
Konveks uzayn alt uzay konveks olmak zorunda de§ildir. Örne§in
qP
n
1
n
2
konveks ama S konveks de§ildir. x ∈ R olsun. kxk =
j=0 xj
Uyar! :
2
R
B n = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1}
birim n- yuvar olarak adlandrlr.
S n = {x ∈ Rn : kxk = 1}
birim n- küre olarak adlandrlr.
B0,
bir noktal uzay,
B2,
içi dolu çember (disk)dir.
B3,
içi doluküredir.
BdB
n
B 1 ,[-1,1]
kapal aralktr.
= S n.
n-simpleks
Bn
birim n yuvara homeoemorftur. Bu
n
homeomorzm n-simpleksin snrn, n- küreye S e ta³r.
Yardmc Teorem :
52
8.1
SIMPLICIAL KOMPLEKSLER
[v0 , v1 , . . . , vq ] bir q-simpleks olsun. Bu simplekslerin kö³elerinin
V er(S) = {v0 , · · · , vq } ile gösterilir.
S=
Tanm 1:
kümesi
0
0
bir simpleks olsun. E§er V er(S ) ⊂ V er(S) ise S ne S sim0
0
pleksinin yüzü denir. E§er V er(S ) ( V er(S) ise S ne S simpleksinin has
S
Tanm 2:
yüzü denir.
Sonlu simplicial kompleks
Tanm 3:
K
a³a§daki özellikleri sa§layan sim-
plekslerin kolleksiyonudur.
i.
ii.
sK
ise
s, tK
s
nin yüzü de
K
ya aittir.
ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin
ortak yüzüdür.
Tanm :
K
bir simplicial komplex olsun.K 'ya ait tüm simplekslerin bir-
le³imine bu simplicial compleksin underlying uzay (geometrik realizasyonu)
denir.
|K| =
Tanm :
bir
X
K
X
S
s∈K
h : |K| → X homeomorf olacak ³ekilde
(K, h) ikilisine X in üçgenle³tirilmesi denir.
bir topolojik uzay olsun.
simplicial complex var ise
e de polyhedron denir.
53
Bölüm 9
Homotopi
f, g : X → Y sürekli iki fonksiyon ve I = [0, 1] olsun. ∀x ∈ X için
H(x, 0) = f (x) ve H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde öyle bir H : X × I → Y
sürekli fonksiyonu varsa f fonksiyonu g fonksiyonuna homotopiktir ve H ye
Tanm:
homotopi fonksiyonu denir.
x0 , x1 ∈ X
Tanm:
f :I→X
noktalar için
sürekli fonksiyon varsa,
f (0) = x0 ve f (1) = x1 olacak ³ekilde
f ye x0 dan x1 e giden bir yol denir.
bir
f, g : I → X yol olsunlar. Ayrca ba³langç noktalar f (0) = g(0) =
x0 ve biti³ noktalar f (1)=g(1) = x1 olsun. H(s, 0) = f (s), H(s, 1) = g(s),
H(0, t) = x0 ve H(1, t) = x1 olacak ³ekilde öyle bir H : I × I → X sürekli
fonksiyonu varsa f ve g ye yol homotopik fonksiyonlar denir ve ' p ile gösTanm:
terilir.
Lemma:
spat:
1.
'
'p
ve
'
ba§ntlar birer denklik ba§ntsdr.
ba§ntsnn denklik ba§nts oldu§unu gösterelim.
' ba§nts yansmaldr:
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun. O zaman; H : X×I → Y, H (x,t)=f (x)
fonksiyonu da süreklidir. Ayrca H(x, 0) = f (x) ve H(x, 1) = f (x)
ko³ullar sa§lanr. Buradan f ' f dir.
54
2.
' ba§nts simetriktir:
f ' g olsun. O zaman;
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x)
olacak ³ekilde
H : X ×I → Y
sürekli
fonksiyonu vardr.
F : X ×I → Y ,F (x, t) = H(x, 1−t) sürekli fonksiyonunu tanmlayalm.
F (x, 0) = H(x, 1) = g(x) ve F (x, 1) = H(x, 0) = f (x)sa§land§ için ve
H sürekli oldu§undan F de sürekli oldu§u için g ' f dir.
3.
' ba§nts geçi³melidir: h, g, f : X → Y
f ' g ve g ' h olsun. O zaman
H(x, 0) = f (x),
olacak ³ekilde
H :X ×I →Y
sürekli fonksiyonlar olsunlar.
H(x, 1) = g(x)
sürekli fonksiyonu ve
G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x)
olacak ³ekilde sürekli fonksiyonu vardr.
K : X × I → Y,
K(x, t) =
H(x, 2t),
G(x, 2t − 1),
0 ≤ t ≤ 1/2
1/2 ≤ t ≤ 1
sürekli fonksiyonunu tanmlayalm.
K(x, 0) = H(x, 0) = f (x) ve K(x, 1) = G(x, 1) = h(x) ³artlar sa§lanr.
Ayrca H ve G sürekli oldu§u için Pasting Lemma dan K fonksiyonu
da süreklidir. Böylece f ' h dir.
Örnek:
f, g : X → R2
sürekli fonksiyonlarn göz önüne alalm. Bunlar
homotop fonksiyonlar mdr?
Çözüm:
H : X×I → R2 ,
H(x, t) = (1 − t).f (x) + t.g(x) t ∈ I dönü³üm-
2
sürekli fonksiyonlarn toplam ve çarpm sürekli oldu§undan sürek-
lidir ve
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x) ³artlarn sa§lar. Buna göre f ' g dir.
leri
R
Tanm:
arasndaki
f
f, g : I → X f (1) = g(0) özellikli X de iki
∗ i³lemini ³u ³ekilde tanmlarz:
f (2s),
0 ≤ t ≤ 1/2
(f ∗ g)(s) =
g(2s − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1
fonksiyonunun homotopi snfn
[f ]
ile gösteririz.
55
yol olsun.
[f ∗ g] = [f ] ∗ [g]
f
ile
dir.
g
∗
Teorem:
i³lemi a³a§daki özellikleri sa§lar:
1. Yol homotopi snar üzerinde iyi tanmldr.
2.
3.
([f ] ∗ [g]) ∗ [h] = [f ] ∗ ([g] ∗ [h])
(Birle³me özelli§i vardr).
ex0 , ex1 :I→X sabit yol ve f:I→X f(0)= x0 , f(1)= x1 özellikli bir yol ol[f ] = [f ] ∗ [ex1 ] , [ex0 ] ∗ [f ] = [f ] ( Birim eleman vardr fakat tek
sun.
de§ildir.)
4.
[ex0 ] = [f ] ∗ f ,
Ayrca
∗
f ∗ [f ] = [ex1 ]
(ters eleman özelli§i vardr.)
i³lemi bu özellikleri sa§lad§ndan yol homotopi snar üzerinde
gruboid yaps olu³turur.
spat:
1.
f1 ' g1
f 1 ' g1
f1 ∗ f2 ' g1 ∗ g2 midir?
H(x, 0) = f1 (x), H(x, 1) = g1 ko³ullarn sa§layan
öyle bir sürekli H : I × I → X fonksiyonu vardr.
f2 ' g2 oldu§undan G(x, 0) = f2 (x), G(x, 1) = g2 ko³ullarn sa§layan
öyle bir sürekli G : I × I → X fonksiyonu vardr.
O halde f1 ∗ f2 ' g1 ∗ g2 oldu§unu göstermek için F (x, 0) = f1 ∗
f2 , F (x, 1) = g1 ∗ g2 ko³ullarn sa§layan öyle bir F : I × I → X
sürekli fonksiyonu bulmalyz. H ve G fonksiyonlarndan yararlanarak
F fonksiyonunu olu³turalm.

1

H(2x, t)
x ∈ [0, ]
2
F (x, t) =
1

G(2x − 1, t) x ∈ [ , 1]
2
Tanmlad§mz F fonksiyonu pasting lemma ve H ve G fonksiyonve
f2 ' g2
olsun. Bu durumda
oldu§undan
larnn süreklili§inden dolay süreklidir. stenilen ko³ullarda sa§lad§ndan dolay
2.
∗
i³lemi yol homotopi fonksiyonlar üzerinde iyi tanmldr.
[f ] ∗ ([g] ∗ [h]) = ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] oldu§unu göstermeliyiz. Bu durumda
f ∗ (g ∗ h) ' (f ∗ g) ∗ h oldu§unu göstermeliyiz.

4s
t+1


f(
)
s ∈ [0,
]


4
 t+1
t+1 t+2
H : I × I → X, H(s, t) = g(4s − t − 1) s ∈ [
,
]

4
4



h( 4s − t − 2 ) s ∈ [ t + 2 , 1]
2−t
4
56
³eklinde tanmlad§mz fonksiyon
f, h, g
sürekli oldu§undan ve pasting
lemmadan dolay süreklidir.


f (4s)
H(s, 0) = g(4s − 1)


h(2s − 1)


f (2s)
H(s, 1) = g(4s − 2)


h(4s − 3)
O halde
s ∈ [0, 1/4]
s ∈ [1/4, 1/2] , H(s, 0) = (f ∗ g) ∗ h(s)
s ∈ [1/2, 1]
s ∈ [0, 1/2]
s ∈ [1/2, 3/4] , H(s, 1) = f ∗ (g ∗ h)(s)
s ∈ [3/4, 1]
f ∗ (g ∗ h) 'p (f ∗ g) ∗ h
dir. Yani
∗
i³leminin birle³me özelli§i
vardr.
3.
[f ] = [f ] ∗ [ex1 ]
midir?⇔
f 'p f ∗ ex1 midir?

2−t
2s

f (
) s ∈ [0,
]
2−t
2
H : I × I → X, H(s, t) =
2−t

x1
s∈[
, 1]
2
H fonksiyonu pasting lemma ve f ile sabit fonksiyonun süreklili§inden
dolay süreklidir ve H(s, 0) = f (s), H(s, 1) = f ∗ ex1 oldu§undan [f ] =
[f ] ∗ [ex1 ] dir.
Benzer ³ekilde di§er birim elemann varl§ da gösterilebilir.
4.
[f ] ∗ [f ] = [ex0 ]
mdr?
⇔ f ∗ f 'p ex0
f : I → X , f (t) = f (1 − t)
mdr?
³eklinde tanmldr.
(
f (2ts)
s ∈ [0, 1/2]
H : I × I → X, H(s, t) =
f (2t(1 − s)) s ∈ [1/2, 1]
³eklinde tanmlad§mz
ve
H(s, 0) = f (0) = ex0
H
ve
fonksiyonu f sürekli oldu§undan süreklidir
H(s, 1) = f ∗f (s) oldu§undan [f ]∗[f ] = [ex0 ]
dir.
Benzer ³ekilde di§er ters eleman da gösterilebilir.
f, f 0 : X → Y ve g, g 0 : Y → Z
g ' g 0 olsun. O halde g ◦ f ' g 0 ◦ f 0 dür.
Lemma:
57
sürekli fonksiyonlar ve
f ' f0
ve
f ' f 0 oldu§undan F : X × I → Y sürekli fonksiyonu F (x, 0) =
f (x), F (x, 1) = f 0 (x) ko³ullarn sa§lar.g ' g 0 oldu§undan H : Y × I → Z
0
sürekli fonksiyonu H(x, 0) = g(x), H(x, 1) = g (x) ko³ullarn sa§lar.g ◦ f '
0
0
g ◦ f oldu§unu göstermek için ' ba§ntsnn denklik ba§nts oldu§undan
0
0
0
0
0
0
yararlanaca§z. g◦f ' g◦f ve g◦f ' g ◦f oldu§unu gösterirsek g◦f ' g ◦f
spat:
oldu§unu göstermi³ oluruz.
g
/Y
/Z
• X ×I
G : X × I → Z, G(x, t) = g ◦ F (x, t) ³eklinde tanmlanan fonksiyon F
ve g sürekli oldu§undan süreklidir. G(x, 0) = g ◦ F (x, 0) = g ◦ f (x) ve
G(x, 1) = g ◦ F (x, 1) = g ◦ f 0 (x) oldu§undan g ◦ f ' g ◦ f 0 dir.
F
f 0 ×1
/Y ×I
/Z
• X ×I
0
G◦(f ×1) : X ×I → Z sürekli fonksiyonu G◦(f 0 ×1)(x, 0) = g◦f 0 (x) ve
G ◦ (f 0 × 1)(x, 1) = g 0 ◦ f 0 (x) ko³ullarn da sa§lad§ndan g ◦ f 0 ' g 0 ◦ f 0
G
dir.
O halde
g ◦ f ' g0 ◦ f 0
Tanm:
∀x, y ∈ X
ve
dir.
α, β ∈ I = [0, 1], α.t+β.(1−t) ∈ X
ise X e konvekstir
denir.
Lemma:
X
ve
Y
topolojik uzay olmak üzere
[X, Y ], X den Y ye giden
[X, I] nn bir tek eleman
dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesi olsun.
vardr.
Y
yol ba§lantl ise
[I, Y ]
nin bir tek eleman vardr.
spat:
• f, g : X → I sürekli iki fonksiyon olsun.
H : X × I → I, H(x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) ³eklinde tanml sürekli
fonksiyon H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x) ko³ullarn sa§lad§ndan f '
g dir. O halde; [f ] = [g] dir. Yani [X, I] nn bir tek eleman vardr.
• Y
∀y0 , y1 ∈ Y için α : I → Y sürekli
α(0) = y0 , α(1) = y1 dir. H : I ×I → Y fonksiyonu
H(s, t) = α(st) ³eklinde tanmlanrsa α ' ey0 oldu§undan [I, Y ] nin tek
yol ba§lantl olsun. Bu durumda
fonksiyonu vardr ve
eleman vardr.
58
Ödevler6:
1. A³a§dakilerden hangileri yol homotoptur.
2.
• h : I → R2 − {0},
h(s) = (cosπs, 2sinπs)
• f : I → R2 − {0},
h(s) = (cosπs, sinπs)
• g : I → R2 − {0},
h(s) = (cosπs, −sinπs)
f, g : X → R2
sürekli fonksiyonlar birbirine homotop mudur?
59
Bölüm 10
Temel Gruplar
X
Tanm:
eren
X
bir topolojik uzay ve
x0 ∈ X
deki yollara kapal yol (loop) denir.
topi snarnn kümesi
∗
olsun.x0 da ba³layp
xo
x0
da sona
daki kapal yollarn yol homo-
i³lemi altnda grup yaps in³a eder. Bu gruba
homotopi grubu ya da temel grup ad verilir.
Π1 (X, x0 )
1.
ile gösterilir.
Örnekler:
1.
X = R Π1 (R, x0 ) bulalm. f , x0 da kapal yol olsun. Π1 (R, x0 ) =
{[g] : g ' f, f, g : I → Xf (0) = g(0) = x0 , f (1) = g(1) = x1 }
H : I × I :→ R, H(s, t) = (1 − t).f (s) + t.ex0 (s) sürekli fonksiyonunu
tanmlayalm. g = ex0 alnrsa Π1 (R, x0 ) = {[e0 ]} = {0} a³ikar gruptur.
2.
X
3.
X =D2
4.
X=
5.
X =[0, 1] =⇒ Π1 (X, x0 )={0}
Konveks
Tanm:
=⇒ Π1 (X, x0 )={0}
(Disk)
{*}
=⇒ Π1 (X, x0 )={o}
=⇒ Π1 (X, x0 )={0}
α, X
uzaynda
x0
dan
x1
e giden bir yol olsun.
α̂ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ) , α̂ ([f ]) = [ᾱ] ∗ [f ] ∗ [α]
1.
α̂
iyi tanmldr.
2.
α̂
homomorzmadr.
3.
α̂ 1 − 1
4.
α̂
dir.
örtendir.
60
spat:
1.
α̂
iyi tanmldr:
[f ] = [g]
f 'p g
alalm. Bu
demektir.
⇒ ᾱ ∗ f 'p ᾱ ∗ g
⇒ ᾱ ∗ f ∗ α 'p ᾱ ∗ g ∗ α
⇒ [ᾱ ∗ f ∗ α] = [ᾱ ∗ g ∗ α]
⇒ [ᾱ] ∗ [f ] ∗ [α] = [ᾱ] ∗ [g] ∗ [α]
⇒ α̂ ([f ]) 'p α̂ ([g])'dir.
2.
α̂
grup homomorzmasdr:
α̂ ([f ] ∗ [g]) = α̂ ([f ∗ g]) = [ᾱ] ∗ [f ∗ g] ∗ [α]
= [ᾱ ∗ f ∗ g ∗ α] = [ᾱ ∗ f ∗ α ∗ ᾱ ∗ g ∗ α]
= [ᾱ ∗ f ∗ α] ∗ [ᾱ ∗ g ∗ α] = α̂ ([f ]) ∗ α̂ ([g])
3.
α̂,
1-1 ve örtendir:
α̂ 1-1
⇔ α̂
nn sol tersi var ve α̂ örten
ermelerini göz önüne ald§mzda
α̂
⇔ α̂'nn
sa§ tersi var ön-
nn sa§ ve sol terslerinin oldu§unu
göstermek yeterli olacaktr.
X0
β,
te
x1 'den x0 'a
giden yol olmak üzere,
β̂ : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0 ) ,
β̂ ([g]) = β̄ ∗ [g] ∗ [β]
dönü³ümünü tanmlayalm.
β̂ ◦ α̂ ([f ]) = β̂ (α̂ ([f ])) = β̂ ([ᾱ ∗ f ∗ α]) = β̄ ∗ ᾱ ∗ f ∗ α ∗ β
= [e ∗ f ∗ e] = [f ] = 1π1 (X,x0 ) ([f ])
β̂ ' nın , α̂' nn sol tersi oldu§unu görürüz.
α̂ ◦ β̂ ([g]) = α̂ β̂ ([g]) = α̂ β̄ ∗ g ∗ β = ᾱ ∗ β̄ ∗ g ∗ β ∗ α
Buradan
= [e ∗ g ∗ e] = [g] = 1π1 (X,x1 ) ([g])
Buradan da
β̂ '
nn ,
α̂'
nn sa§ tersi oldu§unu görürüz.
61
α̂ izomorzmadr. X
Sonuç:
Π1 (X, x0 )
dir.
Tanm:
X
yol ba§lantl olsun.
topolojik uzay yol ba§lantl ve
x0 , x1 ∈ X
ise
Π1 (X, x0 ) = 0
Π1 (X, x1 ) =
ise
X
uzayna
basit ba§lantl uzay denir.
Lemma:
Basit ba§lantl uzayda ba³langç ve biti³ noktalar ayn olan iki
yol homotoptur.
X de ba³langç ve biti³ noktalar
ayn olan iki yol olsun. (f (0) = g(0) = x0 ), (f (1) = g(1) = x1 ), f 'p
g oldu§unu gösterece§iz. f ∗ g −1 , x0 noktasnda bir kapal yoldur. X basit
−1
ba§lantl oldu§undan f ∗ g
'p ex0 dr. O halde;
−1
g 'p ex0 ∗ g 'p (f ∗ g ) ∗ g 'p f ∗ ex1 'p f
spat:
X
basit ba§lantl uzay, f ve g de
elde edilir.
h : (X, x0 ) → (Y, y0 sürekli dönü³üm olsun.
h∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ), h∗ ([f ]) = [h ◦ f ] ³eklinde tanmlanan
Tanm:
dönü³üme
h
tarafndan olu³turulan homomorzma dönü³ümü denir.
• h∗ dönü³ümü iyi tanmldr:
[f ] = [g] ⇒ f 'p g ⇒ h ◦ f 'p h ◦ g ⇒ h∗ ([f ]) = h∗ ([g])
• h∗ homomorzmdir:
h∗ ([f ] ∗ [g]) = [h ◦ (f ∗ g)] = [h ◦ f ] ∗ [h ◦ g] = h∗ ([f ]) ∗ h∗ ([g])
Teorem:
1.
h : X → Y, k : Y → Z
[k ◦ h]∗ = k∗ ◦ h∗ dir.
2.
1:X →X
sürekli fonksiyonlar olsun. Bu durumda
birim dönü³üm ise
1∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 )
birim homomorzmadr.
spat:
1.
(k ◦ h)∗ ([f ]) = [(k ◦ h) ◦ f ] = k∗ ([h ◦ f ]) = k∗ ◦ h∗ ([f ])
2.
1∗ ([f ]) = [1 ◦ f ] = [f ]
62
dönü³ümü
Teorem:
h:X→Y
homeomorzm ise
h∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) dönü³ümü
izomorzmadr.
h homeomorzma olsun. h sürekli oldu§undan h∗
−1
tersi var ve süreklidir. Buna h
= k diyelim.
spat:
h'n
(h ◦ k)∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Y, y0 )
ve
homomorzmadr.
(k ◦ h)∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 )
ise
(h∗ ◦ k∗ ) ([f ]) = (h ◦ k)∗ ([f ]) = [h ◦ k ◦ f ] = [1Y ◦ f ] = [f ] = (1Y )∗ ([f ])
ve
(k∗ ◦ h∗ ) ([g]) = (k ◦ h)∗ ([g]) = [k ◦ h ◦ g] = [1X ◦ g] = [g] = (1X )∗ ([g])'
dir.
Buna göre
h∗ '
nn sa§ ve sol terini bulmu³ oluruz.. Dolayyla
örtendir. Buradan da h izomorzma belirtir.
63
h∗
1-1 ve
Bölüm 11
Ayn Homotopi Tipine Sahip
Uzaylar
f : X → Y sürekli dönü³üm olsunlar. g ◦ f ' 1X ve f ◦ g ' 1Y
olacak ³ekilde g : Y → X sürekli dönü³ümü varsa X ve Y ayn homotopine
sahiptir denir ve ' ile gösterilir.
Tanm:
Teorem:
'
ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
spat:
1. (Yansma)
X'X
1:X→X
ve
birim dönü³üm olsun.
10 ◦ 1 = 1 =⇒ 10 ◦ 1 ' 1
2. (Simetri)
dönü³üm vardr.
h ◦ k ' 1X
h=g
k=f
olacak ³ekilde
10 : X → X
vardr.
X'X
X ' Y =⇒ Y ' X
X ' Y =⇒ g ◦ f ' 1X
ve
1 ◦ 10 = 1 =⇒ 1 ◦ 10 ' 1
f ◦ g ' 1Y
h:Y →X
olacak ³ekilde
alrsak
3. (Geçi³me)
ve
Y 'X
X'Y
ve
olacak ³ekilde
g:Y →X
sürekli
sürekli dönü³üm olsun.
k ◦ h ' 1Y
ve
k : X → Y
sürekli fonksiyonu var mdr.?
gerçeklenir.
Y ' Z =⇒ X ' Z
X ' Y =⇒ g ◦ f ' 1X ve f ◦ g ' 1Y olacak ³ekilde g : Y → X
sürekli dönü³üm vardr. Y ' Z =⇒ h ◦ k ' 1Y ve k ◦ h ' 1Z olacak
64
k : Z → Y sürekli dönü³üm vardr. k, g, f, h fonksiyonlar sürekli
k ◦ f = m : X → Z ve g ◦ h = n : Z → X sürekli
fonksiyonlarn m◦n ' 1Z ve n◦m ' 1X olacak ³ekilde tanmlayabiliriz.
(k ◦ f ) ◦ (g ◦ h) = k ◦ (f ◦ g) ◦ h = (k ◦ 1Y ) ◦ h ' 1Z ve
(g ◦ h) ◦ (k ◦ f ) = g ◦ (h ◦ k) ◦ f = (g ◦ 1Y ) ◦ f ' 1X oldu§undan X ' Z
³ekilde
oldu§u için
dir.
O halde yukarda tanmlanan
'
ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
Örnekler:
1.
h:X→Y
homeomorzma ise
X
ve
Y
ayn homotopi tipine sahiptir.
h bir homeomorzma ise h ◦ k = 1Y ve k ◦ h = 1X
k : Y → X bir sürekli fonksiyon mevcuttur.
h ◦ k = 1Y =⇒ h ◦ k ' 1Y
2.
X R'nin
ve
olacak ³ekilde
k ◦ h = 1X =⇒ k ◦ h ' 1X
konveks alt kümesi olsun.X ile
{∗}
(tek noktal uzay) ayn
homotopi tipine sahiptir.
h : X → { ∗ } sürekli fonksiyonunu ele alalm (h sabit fonksiyon oldu§u
için süreklidir.)k : { ∗ } → X sürekli fonksiyonu tanmlayalm:
k{ ∗ } = { ∗ } olsun. Buradan h ◦ k : { ∗ } → X → { ∗ },h ◦ k = 1{ ∗ } =⇒
h ◦ k ' 1{ ∗ }.
k ◦ h ' 1X
nasl tanmlarz?
H : X ×I → X
sürekli fonksiyonunu
X
konveks oldu§u için ³u ³ekilde
tanmlyabiliriz:
H(x, t) = (1 − t).(k ◦ h)(x) + t.1X (x)
3.
S1
ile
R2 − {0}
ayn homotopi tipine sahiptir.
x
sürekli fonksiyonunu tanmlayalm.
h : R2 − {0} → S 1 , h(x) = kxk
1
2
k : S → R − {0}, k(x) = x kapsama fonksiyonunu ele alalm. (Kapsama fonksiyonu süreklidir.) k ◦ h ' 1R2 ve h ◦ k ' 1S 1 oldu§unu
gösterelim.
S1
k/
R2 − {0}
h
/
S1
x
H : R2 − {0} × I → R2 − {0}, H(x, t) = (1 − t).x + t. kxk
fonksiyonunu
tanmlarsak k ◦ h ' 1R2 oldu§unu kolayca görebiliriz. Benzer ³ekilde
h ◦ k ' 1S 1 dir.
65
X
Teorem:
ve
Y
yol ba§lantl olsun.
X
ve
Y
ise bu uzaylarn temel gruplar izomorftur. Yani
spat:
X
Y
ve
ayn homotopi tipine sahip
π1 (X, x0 ) ' π1 (Y, y0 )
dir.
uzaylar yol ba§lantl ve ayn homotopi tipine sahip olsun.g
:
X → Y sürekli ve f , Y de k da X de birer kapal yol olsun olsun. g ◦ h ' 1Y
h ◦ g ' 1X olacak ³ekilde h : Y → X sürekli dönü³ümü vardr.
g∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 )
ve
h∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 )
g∗ ◦ h∗ ([f ]) = g∗ ([h ◦ f ]) = [g ◦ h ◦ f ] = [(g ◦ h) ◦ f ] = [1Y ◦ f ] = [f ]
g∗ ◦ h∗ ([f ]) = 1Π1 (Y,y0 ) ([f ])
g∗ ◦ h∗ = 1Π1 (Y,y0 )
O halde
g∗
birebirdir.
(g ◦ h)∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Y, y0 )
(h ◦ g)∗ [k] = [h ◦ g ◦ k] = [(h ◦ g) ◦ k] = [1X ◦ k] = [k]
h∗ ◦ g∗ ([k]) = 1Π1 (X,x0 ) ([k])
h∗ ◦ g∗ = 1Π1 (X,x0 )
h∗
nn sa§ tersi vardr dolaysyla
Tanm:
1X
h∗
örtendir.
(birim dönü³üm) sabit dönü³üme homotop ise
X 'e
büzülebilir
uzay denir.
Teoremler:
1. Bir uzayn büzülebilir olmas için gerek ve yeter ³art bu uzayn
tek noktal uzay ile ayn homotopi tipine sahip olmasdr..
2. Büzülebilir uzay basit ba§lantldr.
3. De§er kümesi büzülebilir olan iki dönü³üm homotoptur.
4. X büzülebilir ise
1X
sabit dönü³ümüne homotoptur.
66
{∗}
spat
1.
(⇒:) X
büzülebilir uzay olsun.g
Sabit dönü³ümümüz
1=h:{∗}→X
C∗ = g : X → { ∗ } birim dönü³ümümüz
g ◦ h = 1{∗} ve h ◦ g ' 1X
olsun. Buradan
g : X → {∗}
h : { ∗ } → X sürekli
fonksiyonumuz vardr ki h ◦ g ' 1X ve g ◦ h ' { ∗ }. h ◦ g(x) = h(x) = c
sabit ve h ◦ g ' 1X oldu§u için X büzülebilirdir.
(⇐:) X
ve
{∗}
:X →{∗}
ayn homotopi tipine sahip olsun.
sürekli fonksiyonumuz olsun.Hipotezden öyle bir
67