˙ILER˙I˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK VE YOˇGUN MADDE F˙IZ˙IˇG˙INDE

IARS
KURAMSAL YOǦUN MADDE FİZİǦİ SERİSİ
İLERİ İSTATİSTİK MEKANİK VE
YOǦUN MADDE FİZİǦİNDE UYGULAMALARI
ÇALIŞTAYI DERS NOTLARI
13-29 AǦUSTOS 2007
Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik
Araştırma Enstitüsü
( ITAP )
Atatürk Üniversitesi
ERZURUM
ÖNSÖZ
i
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
İÇİNDEKİLER
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÖLÜM BİR - SPİNTRONİK
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ii
3
GİRİŞ: SPİN’İN TARİHÇESİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Zeeman Etkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Stern-Gerlach Deneyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
SPİN 1/2’NİN KUANTUM MEKANİĞİ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.1
Schrödinger Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.2
Dirac Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.3
Pauli Matrisleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.4
Zaman BağımlıSpin Mekaniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
MANYETİK ÖZELLİKLER
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3.1
Manyetizma Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3.2
Diyamanyetizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3.3
Paramanyetizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
MAKROSKOPİK MANYETİZMA: FERROMANYETİZMA . . . . . .
42
1.4.1
Manyetostatik Dipol Etkileşmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.4.2
Değiş-Tokuş Enerjisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.4.3
Heisenberg Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.4.4
Band Ferromanyetizması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
SPİNTRONİK AYGITLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.5.1
Datta-Das spin-FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.5.2
Spin-Yörünge Etkileşmeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
BÖLÜM İKİ- YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I 62
2.1
MADDE VE RADYASYON ETKİLEŞMESİ . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1.1
Klasik Optik Salınım Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1.2
Yarı Klasik Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.1.3
İkinci Kuantizasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
ii
BÖLÜM ÜÇ- YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II 86
3.1
GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2
GEREKLİ ELEKTROMANYETİK TEORİ BİLGİLERİ . . . . . . . .
87
3.2.1
Boyuna ve Enine Tepkiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.2.2
Boyuna Alanlara Tepki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.3
KRAMERS-KRONIG BAĞINTILARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.4
TEPKİ ve İLİNTİ FONKSİYONLARININ İLİŞKİSİ . . . . . . . . . . .
96
3.4.1
96
3.5
ÖRGÜLERİN DİELEKTRİK FONKSİYONU . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5.1
3.6
3.7
Akım-Akım İlinti Fonksiyonu: Kubo Formulü . . . . . . . . . . .
Clausius-Mossotti Modeli: (CM Modeli) . . . . . . . . . . . . . 102
YÜZEY PLAZMON POLARİTONLARI (YPP) . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.1
Plazmonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.2
Metal Nanoparçacıklar Çevresinde Yerel Alan Baskınlaşması . . 109
3.6.3
Yüzey Plazmon Polaritonları: Klasik Yaklaşım . . . . . . . . . . 110
3.6.4
Deri Kalınlıǧı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6.5
İnce Filmlerde Yüzey Plazmon Polaritonları . . . . . . . . . . . . 114
YEREL YÜZEY PLAZMONLARI (YYP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
iii
SPİNTRONİK
R. Tuǧrul SENGER
BİLKENT ÜNİVERSİTESİ
DERS ASİSTANI :
Hasan ŞAHİN (Bilkent Üniversitesi)
DERS NOTU ASİSTANI :
Hasan ŞAHİN (Bilkent Üniversitesi)
1
Bu ders notlarının hazırlanmasında, Delaware Üniversitesi’nde Prof. I. Appelbaum
tarafından verilen Magnetism & Spintronics dersinin notlarından yararlanılmıştır.
Yazarın izniyle Türkçeye çevrilen kısımların İngilizce özgün haline
http://www.ece.udel.edu/ãppelbau/ELEG667-06/
adresinden ulaşılabilir.
2
BÖLÜM BİR
SPİNTRONİK
1.1
GİRİŞ: SPİN’İN TARİHÇESİ
Elektronların spini tamamen kuantum mekaniksel bir özellik olduğundan kuantum mekaniğinin
doğuşundan önce yapılmış bazı tarihsel deneylerde spin etkileri kendilerini göstermesine rağmen
deneylerin yapıldığı dönemde spin tam olarak tanımlanamamıştır. Bu deneylerden en dikkate
değer olan ikisi Zeeman etkisi ve Stern-Gerlach deneyleridir.
1.1.1
Zeeman Etkisi
İlk olarak 1896 yılında gözlenen Zeeman etkisi, bir atoma ait olan enerji spektrumundaki
tayf çizgilerinin manyetik alan etkisi ile birden fazla çizgiye ayrılmaları olayıdır. Bu deneyde bir
cam tüp içerisine konan seyreltik gazın atomlarına yüksek gerilim uygulanır ve iyonize olarak
uyarılan elektronlara ait keskin spektral çizgiler bir spektrometre ile gözlenebilir hale gelir.
Spektroskopi
Resimde gösterilen Czerny-Turner spektrometresine bakılacak olursa, ışık demeti B deki
dar yarıklardan içeri girip genişleyerek C aynasından D’de bulunan girişim ızgarasına doğru yol
alırlar. Girişimi oluşturan ızgara, bir ayna üzerine özel yöntemlerle çizilmiş çok sık çiziklerden
meydana gelmiştir. Bu ızgaradan yansıyan ışık demetleri dalga boylarına göre farklı farklı
açılarda yansıyarak F de bulunan yarıklardan geçip G dedektörüne ulaşacaklardır.
Sonuç
olarak D’deki girişim ızgarasınının döndürülmesi ile G de bulunan dedektör tarafından her dalga
boyundaki ışık yoğunluğunun tespit edilmesi mümkün olacaktır. Örneğin, alttaki resimde 500V
gerilim altındaki Hidrojen tüpünden yük boşalması esnasında yayılan ışık görülmektedir. Işığın
spekturumu bir spektrometre ile ayrılmış olarak keskin çizgiler halinde görülmektedir.
3
4
Keskin Çizgilerin Sebebi
1913’e değin açıklanamamış olan spekturumdaki bu keskin çizgilerin varlığı 1922 yılı nobel ödülünü Niels Bohr’a kazandırmıştır. Klasik fizik öğretisinden gelen Bohr’un, 1908 Nobel
ödüllü Rutheford’dan ve 1906 nobel ödüllü J.J. Thomson’ın çalışmalarından öğrendiği gibi atomun çekirdeğinde bir pozitif yük ve bunun etrafında ise negatif yüklü elektronlar bulunuyordu.
Dolayısıyla Bohr bir klasik çözüm önererek, elektrostatik ve merkezkaç kuvvetlerin birbirini dengelediği tek elektronlu Hidrojen atomu üzerine yoğunlaşmıştır. Buna göre bir yörünge üzerinde
hareket eden elektronun bu denge hali için:
mv 2
e2
= 2
r
r
(1.1.1)
5
eşitliğini yazabiliriz. Bununla yörünge yarıçapı icin :
r=
e2
mv 2
(1.1.2)
elde edilecektir. Atomun toplam enerjisi ise
E = kinetik + potansiyel =
1
e2
mv 2 + (− )
2
r
(1.1.3)
olarak bulunur. Yarıçap r için elde ettiğimiz değeri burada kullanarak
1
E = − mv 2
2
(1.1.4)
bulunur. Bu enerjinin negatif olduğuna dikkat edilmelidir. Artık sadece izinli v hızlarını bulmaya ihtiyacımız var.
Bohr’un düşüncesine göre elektronun yörüngesinin kararlı olabilmesi için L açısal momentumu kuantumlu olmalıydı. Bu koşul olmadığında ivmelenen elektronun ışıma yaparak çekirdeğe
düşmesi gerekiyordu. Kuantumlanma koşulu
L = mvr = n~
(1.1.5)
ile verilir. Burada n sıfırdan büyük bir tamsayıdır. Eldeki r için olan ifadeyi kullanarak
L = mv
e2
e2
=
= n~
2
mv
v
ve sonuç olarak hızı
v=
e2
n~
(1.1.6)
(1.1.7)
elde edilmiş olur.
Bunun toplam enerji denkleminde kullanılması ile:
1
e2
me4
E = − m( )2 = − 2 2 .
2
n~
2n ~
(1.1.8)
bulunur.
Taban durumun enerjisi
−
me4
= −13.6eV
2~2
(1.1.9)
6
olarak elde edilir. Bu değer Rydberg’in adı ile anılır. Aşağıdaki şekilde kuantum sayısı n’nin
diğer değerlerine karşılık gelen durumlar gösterilmiştir.
Energy
Vacuum level
V(x)
nucleus
distance
Burada türetilenler ile atomik emisyonun spektroskopik özelliklerini açıklamak mümkündür:
Buna göre atomdan ışığın yayılması süreci bir elektronun yüksek enerjili bir durumdan düşük
enerjili bir duruma geçmesi ile gerçekleşmektedir. Yayılan ışığın enerjisi ve dolayıyla frekansı
iki durum arasındaki enerji farkına bağlıdır.
Zeeman Etkisinin Gözlenmesi
Mıknatıslanmış bir yüzeyden yansıtılan ışığın polarizasyonunda görülen değişim ile yani Kerr
etkisi ile ilgilenen Peter Zeeman deney düzeneğini bir manyetik kaynağın yanına kurarak aldığı
ölçümlerde keskin spektral çizgilerin bulanıklaşmaya başladığını gözlemledi. Yüksek manyetik
alan ve çözünürlükler kullanarak derinlemesine bir inceleme ile spektral çizgilerin aslında birden
fazla çizgiye ayrıştığını farketti.
Bazen çizgiler üçlü gruplara ayrılırken genelde ise daha fazla sayıda çizgiye ayrışıyordu.
Manyetik alan doğrultusu boyunca elde edilen çizgilerde merkezi çizgi yok oluyordu. Zeeman
gibi Hollandalı olan arkadaşı Henrick Lorentz bu ayrılmaların teorisini ortaya koyan ilk kişi
olmuştur. İvmelenen yüklü parçacıkların ışıma yapacağını bilen Lorentz atomik emisyonun
kaynağını m kütleli, e yüklü ve k yay sabitine sahip bir salınıcı olarak ele aldı. Böylece B
manyetik alanına dik düzlemdeki lineer salınımlar saatin dönme yönünde ve zıt yöndeki dairesel
7
hareketlerin koherent üstüste gelmeleri olarak düşünülebiliyordu.
~
F~ = e~v × B,
(1.1.10)
biçimindeki Lorentz kuvveti etkisiyle birbirlerine zıt yönlerdeki yörüngesel hareketler için manyetik
alandan dolayı zıt yönlü bir kuvvet oluşacaktır. Lorentz, yay kuvveti artı Lorentz kuvvetinin
merkezkaç kuvvetine eşit olması gerektiğini düşünerek:
kr ± evB =
mv 2
r
(1.1.11)
biçimindeki bir eşitliği ele almıştır. Burada + saatin dönme yönü ve − ise bunun tersi olan
dönme yönü içindir.
Yüklü parçacık yörüngesini bir ν frekansı ile tamamladığına göre hızı
v = 2πrν.
(1.1.12)
biçiminde ifade ederek bunun denklemde kullanılması ile
kr ± e2πrνB =
m(2πrν)2
r
(1.1.13)
8
elde edilir ve bunu biraz daha düzenleyerek frekans için
eνB
k
±
= ν2.
4π 2 m 2πm
(1.1.14)
eşitliğine ulaşılır. Biliyoruz ki manyetik alan yokluğunda m kütleli bir cisim
1
ν0 =
2π
r
k
m
(1.1.15)
doğal frekansı ile salınım yapar. Bunun kullanılması ile
ν2 ∓
eB
ν − ν02 = 0.
2πm
(1.1.16)
biçimindeki ikinci derece denkleme ulaşılır. Bu denklemin çözümleri:
ν=
eB
± 2πm
±
q
eB 2
( 2πm
) + 4ν02
2
(1.1.17)
ile verilir.
Ele aldığımız problemde yörünge yarıçapının manyetik alandan bağımsız olması kabulüne
dayanarak elde ettiğimiz çözümler düşük manyetik alanlar için oldukça yaklaşık çözümlerdir.
Sonuç olarak B küçük ise B 2 ihmal edilebilirdir. Buna göre düşük manyetik alanlarda çözüm
ν = ν0 ±
şeklinde olacaktır.
eB
4πm
(1.1.18)
9
Manyetik alana dik yöndeki salınımlardan dolayı oluşan ν0 frekanslı spektral çizginin ikiye
ayrıldığı açıkça görülmektedir. B manyetik alan doğrultusu boyunca olan salınımlar ise kartezyen
çarpımdan da görülebileceği gibi manyetik alan varlığından etkilenmez. İvmelenen yüklü parçacık
hareketine paralel doğrultuda ışıma yapmayacağı için bu kaymaya uğramayan spektral çizgi
manyetik alan boyunca yapılan ölçümlerde açığa çıkmayacaktır. Teoriyi ortaya koyan Lorentz,
1902 nobel fizik ödülünü Zeeman ile paylaşmıştır.
Lorentz tarafından yapılan açıklama üçlü spektral ayrılmalar dışında anormal Zeeman yarılması
olarak bilinen diğer spektral ayrılmaları açıklamakta ise yetersizdir.
Kuantum Mekaniğine Giden Yol
Yüzyılı aşan deneyimlerimizden biliyoruz ki Lorentz teorisinin eksiği kuantum mekaniğine
dayanmamasıdır. Bu bölümde Zeeman etkisinin kuantum mekaniksel açıklamasında kullanılacak
manyetik moment olgusu ve bunun manyetik alan ile etkileşmesini ele alınacaktır. Şekildeki gibi;
B
l1
l2
I
l1
l2
~ manyetik alanında I akımı taşıyan bir akım ilmeği ele alalım. Akım elemanları üzerindeki
bir B
Lorentz kuvveti
~
F~ = I~l × B
(1.1.19)
l2 uzunluğundaki her iki kısım için eşit ve ters yönlüdür. Bununla birlikte diğer kısımlar üzerine
etkiyen Lorentz kuvveti ilmek üzerinde
~τ = ~r × F~
(1.1.20)
10
ile verilen bir tork meydana getirecektir. Lorentz kuvveti manyetik alana dik olduğundan tork
aşağıdaki gibi yazılabilir.
l2
l2
τ = (Il1 B) sin(θ) + (Il1 B) sin(θ) = Il1 l2 Bsin(θ)
2
2
(1.1.21)
Burada l1 l2 terimi ilmek alanını verir ve bu alanın akım ile çarpımı ise µ, manyetik momentin
büyüklüğünü verecektir. Manyetik moment ilmek düzlemine dik olan bir vektör ile gösterilir.
Buna göre bir manyetik alan içindeki manyetik momente uygulanan tork
~
~τ = µ
~ ×B
(1.1.22)
µB sin(θ)dθ = −µB cos(θ)
(1.1.23)
şeklinde yazılabilir. Sistemin enerjisi ise
Z
E=
Z
τ dθ =
olarak elde edilir ve bunun
~
E = −~
µ·B
(1.1.24)
skaler çarpımına karşılık geldiği açıktır.
Yörüngesel Moment
Üstte verilen bilgiler çekirdek etrafındaki yörüngesel hareketi ile bir akım ilmeği oluşturduğu
farzedilen elektronun sahip olduğu manyetik momentinin anlaşılması için temel olarak kullanılacaktır.
Yörünge alanı πr2 ve akım ise ν saniyede geçen −e elektron yükü ile verilir. Buna göre
yörüngesel açısal momentum
£
¤
µ = πr2 eν = −e πr2 ν
(1.1.25)
olarak hesaplanır. Bohr modelinde, açısal momentum ~’ın katları ile kuantumlaştığından kritik bir rol oynamaktadır. Yörüngesel hareket yapan elektronun hızı 2πrν olduğundan, açısal
momentum
£
¤
L = mvr = m(2πrν)r = 2m πr2 ν
(1.1.26)
ile verilebilir. Her iki parantez içerisindeki terimlerin aynı olduğu açıkça görülmektedir. Buna
11
göre manyetik momentin açısal momentuma oranı,
µ
−e
=
L
2m
(1.1.27)
olacaktır. Böylece manyetik alan ve açısal momentum arasındaki ilişki basitce
µ
µ=
e~
2m
¶
L
~
(1.1.28)
olarak verilebilir. Parantez içerisindeki terim µB ile gösterilen Bohr magnetonudur. Yaklaşık
olarak değeri 5.8 × 10−9 eV/gauss olan µB atomik ölçekte temel manyetik moment büyüklüğü
olarak bilinir.
Zeeman Etkisi Yeniden
Bu bölümde Zeeman etkisini bir manyetik alan ile manyetik momentin etkileşmesi açısından
ele alarak biraz daha farklı bir bakış açısı ortaya koyacağız.
Atomik manyetik momentin
büyüklüğü bir Bohr magnetonu kadar ise atomun maksimum enerji değişimi
~ = ± e~ B = h eB = ±hν
∆E = ±~
µ·B
2m
4πm
(1.1.29)
kadar olacaktır. Burada frekans terimi:
ν=
eB
.
4πm
(1.1.30)
Fakat elde edilen bu ifade tam da Lorentz tarafından öngörülen gibidir. Ayrıca bu, açısal
momentum için hareket denkleminden de açıkça görülmektedir. Lineer dinamikte p~ momentum
olmak üzere F~ = m~a = m~v˙ = d~p olduğunu biliyoruz. Dönme hareketi için benzer olarak
dt
~
dL
= ~τ
dt
(1.1.31)
~ açısal momentumdur. Bu durumda hareket denklemi ise
yazabiliriz, burada L
~
~
~
dL
~ = − eL × B
~ = eB × L
~ =ω
~
=µ
~ ×B
~ ×L
dt
2m
2m
(1.1.32)
olur. Elde edilen denklem lineer bir kuvvet etkisindeki mekaniksel olarak dönme (spin) hareketi
12
yapan cismin hareket denkleminin benzeri olup ω açısal frekansında Larmor presesyonu hareketidir. ω = 2πν olduğundan
ν=
eB
4πm
(1.1.33)
yazabiliriz. Artık bazı kuantum mekaniksel sonuçları yazabilecek durumdayız. Biliyoruz ki,
Bohr’un söylediği gibi sadece toplam açısal momentum değil, aynı zamanda momentumun herhangi bir eksen üzerindeki izdüşümü de kuantumlanmıştır. İzdüşüm kuantum sayılarının alacağı
değerler açısal momentum kuantum sayısının değeri ile bunun negatif büyüklüğü aralığındadır.
Yukardaki şekilde açısal momentum kuantum sayısı 1 dir ve z ekseni üzerine olası izdüşümleri
~ ifadesi sadece kesikli değerler alarak atomik
ise ml = 1, 0, −1 ile belirlenir. Sonuç olarak, −~
µ·B
enerji seviyelerinde kaymalara yolaçacaktır. Kuantum mekaniğinden varılan bir diğer sonuç ise
enerji seviyeleri arasındaki geçişlerde yayılan foton tarafından bir açısal momentum kuantumunun taşınacağıdır. Bu ”seçim kuralının” bir sonucudur. Seçim kuralı ile enerji seviyeleri arası
geçişler ∆l = ±1 olacak biçimde sınırlandırılmıştır. Buna göre normal Zeeman etkisini üstteki
diyagramı kullanarak açıklayabiliriz: Manyetik alanın moment ile etkileşmesi bir ayrışmaya yol
açmaktadır. Genel olarak l açısal momentum kuantum sayılı bir durum (l, l − 1, ... 1 − l, −l)
= 2l + 1 duruma ayrılacaktır ve enerjideki kayma miktarı ise
µB Bml
(1.1.34)
kadar olacaktır. Burada ml izdüşüm kuantum sayısıdır. Sadece ∆ml = −1, 0, 1 olan foton
salınımlı geçişler izinlidir ve buna göre foton enerjisi
∆E = E0 + µB B,
E0 ,
E0 − µB B
(1.1.35)
13
büyüklüğünde olacaktır. Bu sonuç triplet durum için elde edilmiştir ve daha genel olan anormal
Zeeman etkisini açıklamakta yeterli değildir. Bunu açıklamak için ise açısal momentumun bir
diğer kaynağı olan spin olgusunu ortaya koymak zorundayız.
Anormal Zeeman Etkisi
Anormal Zeeman etkisini açıklamak amacı ile Uhlenbeck ve Goudsmit elektrona ait bir
tür içsel özelliğin açısal momentumunun kaynağı olabileceğini öne sürmüşlerdi. Elektronun bu
açısal momentumununun izdüşüm değerleri sadece ±~/2 değerlerini alarak, elektronun µB /2
kadarlık manyetik momente sahip olmasını gerektirir. Daha sonra ise Thomas tarafından relativistik denklemlerin çözülmesi ile bu ”spin” manyetik momentinin manyetik alan ile etkileşme
enerjisinin
E=2
µB
B
2
(1.1.36)
olması gerektiği hesaplanmıştır. Buradaki 2 katsayısı spin g-faktörü olarak bilinir. Yörüngesel
g-faktörü ise 1 dir. Bu durumda hem spin hem yörünge açısal momentumu olan bir elektronun
g-faktörü ne olmalıdır? Acaba basitçe aşağıdaki gibi yazabilir miyiz?
E = gL µL B + gS µS B
(1.1.37)
Ne yazık ki cevap hayır. Farklı g-faktörlerinin sonucu olarak yörüngesel ve spin açısal momentum vektörleri manyetik alan altında farklı presesyonlara sahip olacaklardır ve vektörlerin
toplama işlemi verildiği gibi basitçe yapılamayacaktır.
14
Problemin çözümü için korunumlu bir nicelik olan
~ +S
~
J~ = L
(1.1.38)
toplam açısal momentumu tanımlayabiliriz. Böylece spin ve yörünge açısal momentumlarının
J~ üzerine olan izdüşümlerini kullanabiliriz. Buna göre etkileşme enerjisi
µB
~ + gS S)
~ ·B
~ = µB (L
~ + 2S)
~ ·B
~ = µB
E=
(gL L
~
~
~
Ã
~ + 2S)
~ · J~
(L
J
!Ã
~
J~ · B
J
!
(1.1.39)
olarak yazılabilir. Buradaki son terim manyetik alan vektörünün J~ üzerine izdüşümüdür ve −J
ve J arasındaki kuantumlu değerleri alır. Buna göre
~ = Jz B
J~ · B
(1.1.40)
yazılabilir. Böylece
E=
~ + 2S)(
~ L
~ + S)J
~ z µB
~ ·L
~ µz
(L
L2 + 2S 2 + 3S
B
=
B
2
2
J
~
J
~
(1.1.41)
içerisinde
~ + S)
~ 2 = L2 + 2 S
~ ·L
~ + S2
J 2 = (L
(1.1.42)
~ ·L
~ = J 2 − L2 − S 2 .
S
(1.1.43)
ve
15
eşitliklerini kullanarak etkileşme enerjisini
E=
L2 + 2S 2 + 32 (J 2 − L2 − S 2 ) µz
3J 2 − L2 + S 2 µz
B
=
B.
J2
~
2J 2
~
(1.1.44)
şeklinde yazabiliriz.
J 2 , L2 ve S 2 hesabı
Bulunduğmuz noktada J 2 , L2 , S 2 niceliklerinin hesaplanmasına ihtiyaç duymaktayız. İyi
bilindiği üzere
J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2
(1.1.45)
olduğundan, herhangi bir izdüşümün ortalama değerini alarak
J 2 = 3 < Jz2 >
(1.1.46)
şeklinde normu elde edebiliriz. Bu ortalamayı hesaplamak için izdüşüm kuantum sayısının olası
2j + 1 değeri üzerinden toplama yapmalıyız:
<
Jz2
Pj
2 0 x2 2
(j~)2 + ((j − 1)~)2 ...((1 − j)~)2 + (−j~)2
>=
=
~
2j + 1
2j + 1
(1.1.47)
Toplamın 6j (j + 1)(2j + 1) olacağını kullanarak
< Jz2 >=
1
j(j + 1)~2
3
(1.1.48)
ve
J 2 = j(j + 1)~2
(1.1.49)
elde ederiz.
Sonuç
Sonuç olarak izlenen yol geneldir ve L ve S’nin her ikisi için de uygulanabilirdir. Buna göre
E=
3j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1) µz
B,
2j(j + 1)
~
(1.1.50)
16
veya biraz daha düzenleyerek
·
¸
j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
E = 1+
µB mJ B.
2j(j + 1)
(1.1.51)
biçiminde yazılabilir.
Burada parantez içerisindeki terimlerin etkin g-faktörü olduğuna dikkat edilmelidir. İlk
olarak, kuantum mekaniğini kullanmaksızın, Landé tarafından deneysel sonuçlara dayanılarak
ortaya konduğundan Landé g-faktörü olarak bilinir. Burada s = 1/2, ve sistemin bulunduğu
duruma göre j = l + s, l + s − 1, ...1 − l − s, −(l + s) değeri alır.
Yukarıdaki denklem anormal Zeeman etkisini tümüyle açıklar. Farklı l ve j değerlerine sahip
enerji durumlarının manyetik alan içerisinde farklı büyüklüklerde ayrışacağını gösterir. Açıkça
görülmektedir ki, anormal Zeeman etkisinde gözlenen üçten fazla çizgiye ayrışmanın sebebi spin
olgusudur.
17
1.1.2
Stern-Gerlach Deneyi
Manyetik Alanda Klasik Momentler
Bir manyetik momentin manyetik alandaki enerjisi klasik olarak
~
E = −~
µ · B,
(1.1.52)
ile verilir. Bu manyetik momenti, konuma bağlı olarak değişen manyetik alan içerisinde hareket
ettirerek üzerinde bir kuvvet meydana getirebiliriz:
F =−
dB
dE
= +µ ·
.
dz
dz
(1.1.53)
Eğer bu manyetik moment L uzunluğunda bir bölgede v hızı ile hareket ediyor ise bu bölgede
manyetik alan boyunca sapma miktarı:
d=
1 2
1F
at =
2
2m
µ ¶2
µ ¶2
L
µ dB L
=
v
2m dz v
(1.1.54)
olacaktır.
Klasik manyetik momentler için konuşulacak olursa, momentlerinin yönelim dağılımı rastgele
olacaktır. Oysa biliyoruz ki kuantum mekaniksel olarak momentlerin dağılımının bir eksen
üzerine izdüşümü kuantize değerler almaktadır.
18
Deney
“Günümüzde neredeyse tüm ders kitapları, Stern-Gerlach yarılmasının elektron
spininin varlığını ortaya koyduğunu belirtir, ama aslında deney sırasında keşfettikleri
şeyin spin olduğunu deneyi yapanların bile bilmediğinden bahsedilmez” - Bretislav
Friedrich and Dudley Herschbach, http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html
1921 yılında Otto Stern ve Walter Gerlach bir gümüş atomları demetinin yüksek değişime
sahip bir manyetik alandan geçerkenki ayrılmalarını ölçerek Bohr modelini kanıtlamayı düşünmüşlerdi.
Bohr tarafından önerilmiş olan kuantumlu açısal momentum değerlerine karşılık gelen kuantumlu manyetik momentler gözlenebileceğini öngörmüşlerdi. Fakat, bu meşhur deneyin aslında
yanlış bir teori kullanılarak ve yanlış bir yorumla yapılmış olması şaşırtıcıdır: onların düşüncesine
göre nötr gümüş atomları l = 1 açısal momentumuna sahiptir (yanlış!!), ve manyetik alan
yönünde gözlenen ikiye yarılma m = −1 ve m = +1 izdüşüm kuantum sayısı sahip durumlara
karşılık gelirler (oysaki bu varsayım altında m = 0 durumları da gözlenmeliydi !!!). Neyseki 1920’lerin sonunda Stern-Gerlach deneyinin sonuçları, Uhlenbeck ve Goudsmith’in spin
hipotezini destekleyecek şekilde yeniden yorumlanmıştır. Stern ve Gerlach’ın kabulünün aksine
gümüş atomları tam dolu olan bir 4d (l = 2)kabuğuna ve 5s durumunda bir tek elektrona
sahiptir: [Kr]4d10 5s1 . 5s kabuğundaki elektron için l = 0 olduğundan atomun yörünge açısal
momentumu YOKTUR. Ancak, elektronun S = 1/2~ değerine sahip bir içsel açısal momentumu
(spin) VARDIR, ve bu da ms = ±1/2 değerleri ile atomların zıt iki yönde ayrılmalara sebep
olur.
S=
~
,
2
mS = ±
µS = −gs µB
1
2
S
~
(1.1.55)
(1.1.56)
burada gS = 2 dir. Demek ki polarize olmayan nötr atomlardan oluşmuş bir demet manyetik
alan değişimine sahip bir bölgeden geçirilerek uzaysal olarak polarize edilebilir.
19
1.2
SPİN 1/2’NİN KUANTUM MEKANİĞİ
Buraya kadarki kısımda spinin, elektronun bir içsel manyetik momenti olarak deneylerde
ortaya çıktığından bahsettik ve şimdi ise spinin varlığını öngören teoriyi inceleyeceğiz. Elektron spini göreli kuantum mekaniğin bir sonucu olarak ortaya çıktığından incelemeye göreli
Schrödinger denklemi olarak bilinen Dirac denklemi ile başlayacağız.
1.2.1
Schrödinger Denklemi
Klasik Dalga Denklemi
Göreli olmayan Schrodinger denklemini bir boyutlu düzlem dalgaların
Ψ(x, t) = ei(kx−ωt) .
(1.2.1)
şeklindeki genel formunu kullanarak elde edebiliriz. Burada dalga sayısı k = 2π/λ ve açısal
frekans ω = 2πν ile verilir. Elektromanyetik dalgalar gibi klasik dalgalar için λν = c olduğundan
dağınımm bağıntısı
ω = kc
(1.2.2)
20
ve buradan
Ψ(x, t) = ei(kx−kct)
(1.2.3)
olduğu görülür. Burada c ışık hızıdır. Dalga denklemi kısmi diferansiyel denklemdir ve x ve t
için birkaç kere türevinin alıması ile
ve t ye göre:
d
Ψ = ikΨ
dx
(1.2.4)
d2
Ψ = −k 2 Ψ
dx2
(1.2.5)
d
Ψ = ikcΨ
dt
(1.2.6)
d2
Ψ = −k 2 c2 Ψ.
dt2
(1.2.7)
d2
1 d2
Ψ = 2 2Ψ
2
dx
c dt
(1.2.8)
elde edilir. Bunların eşitlenmesi ile
klasik dalga denklemine ulaşılır.
Madde Dalgaları
Madde dalgaları için de Broglie hipotezi gereğince farklı bir dağınım bağıntısı sözkonusudur
p = ~k
(1.2.9)
E = ~ω.
(1.2.10)
1
1 2
mv 2 =
p
2
2m
(1.2.11)
ve Einstein yasası gereğince
Klasik mekanikten bilinen p = mv ile
E=
21
yazılabilir. De Broglie ve Einstein öngörülerinin uygulanması ile
~ω =
1 2 2
~ k
2m
(1.2.12)
ω=
1
~k 2 .
2m
(1.2.13)
elde edilir ki bu madde dalgaları için aradığımız dağınım bağıntısıdır. Bu bize düzlem dalga
çözümlerini verecektir;
~k2
ve bunun ikinci derece türevi ile
Ψ(x, t) = ei(kx− 2m t)
(1.2.14)
d2
Ψ(x, t) = −k 2 Ψ
dx2
(1.2.15)
elde edilir. Burada açıkça görülüyor ki, klasik mekanikten farklı olarak, zamana göre birinci
derece türev ile
d
~k 2
Ψ(x, t) = −i
Ψ
dt
2m
elde edip
−
(1.2.16)
1 d2
2m d
Ψ(x, t) = i 2 Ψ(x, t)
2
2
k dx
~k dt
(1.2.17)
~2 d2
d
Ψ(x, t) = i~ Ψ(x, t)
2m dx2
dt
(1.2.18)
ve bununla dalga denklemini
−
şeklindeki zamana bağlı Schrödinger denklemine dönüştürmüş oluruz. Bu denklem
E=
p2
2m
(1.2.19)
bağıntısının kuantum mekaniksel ifadesi olup
d
dt
(1.2.20)
~ d
.
i dx
(1.2.21)
E → i~
ve
p→
operatörlerini kullanarak enerji ve momentum için
E → i~
d
Ψ = ~ωΨ
dt
(1.2.22)
22
ve
p→
~ d
Ψ = ~kΨ.
i dx
(1.2.23)
sonuçlarına ulaşılır. Potansiyel teriminin de eklenmesi ile Schrödinger denklemi
·
¸
~2 d2
d
−
+ V (x) Ψ(x, t) = i~ Ψ(x, t)
2
2m dx
dt
(1.2.24)
biçiminde olacaktır. Bu denklem
Etoplam =
p2
+ V (x) = Ekinetik + Epotansiyel
2m
(1.2.25)
eşitliğinin kuantum mekaniksel karşılığıdır.
Değişkenlerin Ayrılması
Zaman bağımlı denklemimizde yer alan x ve t değişkenlerini değişkenlere ayırma metodu
ile ayırabiliriz. Bunu yaparken dalga fonksiyonu uzaysal ve zamansal iki dalga fonksiyonunun
çarpımı olarak farzedilir:
Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t).
(1.2.26)
Böylece Schrodinger denklemi
·
−
¸
~2 d2
d
+
V
(x)
ψ(x)φ(t) = i~ ψ(x)φ(t).
2m dx2
dt
(1.2.27)
olacaktır. Buna göre türevler değişkenlerden sadece biri üzerine etki edeceğinden terimleri
ψ(x)φ(t) ile bölerek
−
~2 ψ(x)00
φ̇(t)
+ V (x) = i~
.
2m ψ(x)
φ(t)
(1.2.28)
elde edebiliriz. Burada tırnaklar konum, noktalar ise zamana göre türevleri temsil etmektedir.
Bu noktada denklemin sol tarafı sadece konuma ve sağ tarafı ise sadece zamana bağlı olduğu
için herbirinin bir sabite, enerji özdeğeri E’ye, eşit olacağını söyleyebiliriz. Böylece birbirinden
bağımsız
i~φ̇(t) = Eφ(t).
ve
−
~2
ψ(x)00 + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m
(1.2.29)
(1.2.30)
23
denklemlerini elde ederiz. Birincisinin çözülmesi ile
φ(t) = e−
iEt
~
(1.2.31)
elde edilir ki E/~ = ω olduğundan bu çözüm sürpriz değildir.
İkinci denklem ise zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir ve basitce bir özdeğer denklemi olarak yazılabilir:
Hψ = Eψ.
(1.2.32)
Burada H diferansiyel operatörüne tarihsel nedenlerle Hamiltonyen adı verilir.
1.2.2
Dirac Denklemi
Schrödinger denklemi
[−
~2 d2
d
+ V (x)]Ψ = i~ Ψ
2m dx2
dt
(1.2.33)
elde edilirken varsayılan E = p2 /2m ile enerjinin momentumla
E=
p
(mc2 )2 + p2 c2
(1.2.34)
biçiminde ilişkili olduğunu söyleyen görelilik teorisi arasında uyumsuzluk görünmektedir.
(Tamamen farklı gibi görünmelerine rağmen son yazılan ifade göreli olmayan durumlara da
indirgenebilmektedir:
r
2
E = mc
1+
p2 c2
p2 c2
p2
2
2
=
mc
(1
+
+
.
.
.)
≈
mc
+
m2 c4
2m2 c4
2m
(1.2.35)
Göreli olmayan limit için kinetik enerji terimi durgun kütle enerjisinden oldukça küçüktür ve
sistemin dinamiği bununla belirlenir.)
Enerjinin
p
(mc2 )2 + p2 c2 Ψ = i~
d
Ψ
dt
(1.2.36)
şeklindeki göreli formu ile göreli Schrodinger denklemini elde etme girişimi, uzay ve zamanın
özdeş ele alınması gerektiğini söyleyen göreli dinamiğe aykırı düşüyor gibi görünmektedir. Ancak
kök içerisindeki terimin tam kare bir ifade olması durumunda uzay ve zaman birbirine denk
24
olarak ele alınabilecektir. Dirac’ın katkısı bunun nasıl yapılacağını göstermekti:
m2 c4 + p2 c2 = (α0 mc2 +
3
X
αj pj c)2 .
(1.2.37)
j=1
Burada j ile x, y, z uzaysal koordinatları gösterilmektedir. Bunun olabilmesi için koşul:
αi2 = 1, i = 0, 1, 2, 3
(1.2.38)
αi αj + αj αi = 0, i 6= j
(1.2.39)
ve
durumlarının sağlanmasıdır. Clifford cebiri olarak bilinen bu koşullar skaler nicelikler tarafından
sağlanamaz. Ancak, bu koşullar en basit temsili 4 × 4 olan dört adet matrisle sağlanabilir:


I
0
0
I
0
σj
σj
0
α0 = 

αj = 

(1.2.40)


(1.2.41)
Burada, I 2 × 2 birim matris olmak üzere, σj ’lar 2 × 2’lik “Pauli matrisleridir”. Bunlar 4 × 4’lük
Dirac Hamiltonyen operatörünü (matrisini) oluştururlar
α0 mc2 +
3
X
αj pj c
(1.2.42)
j=1
Benzer şekilde dalga fonksiyonu ψ de 4 bileşnli bir spinör halini alır (vektör benzeri yapılar
olan spinörlerin sadece dönme dönüşümü özellikleri vektörden farklıdır).
Dalga spinörünün 2 bileşeni elektrona ait olan 2 spin durumuna ait dalga genliği olarak
yorumlanırken diğer 2 bileşen ise o zamanlar henüz keşfedilmemiş olan pozitron içindir. Carl
Anderson 1932 yılında bu parçacığı keşfederek dört yıl sonra Nobel ödülünü almıştır. Dirac ise
1933 yılında Schrödinger ile birlikte Nobel ödülüne layık görülmüştür.
25
1.2.3
Pauli Matrisleri
Eğer sadece elektronla ilgileniyorsak, farklı spin durumlarına karşılık gelen iki bileşeni incelememiz yeterlidir. Bunun için ilk olarak Pauli matrislerinin elemanlarını türetmemiz gerekir.
Genel bir Hamiltonyen



H11
H12
H21
H22

(1.2.43)
ve bunun sağladığı Schrödinger denklemini (Hψ = Eψ) ele alırsak :


 
H11
H12
H21
H22
·

ψ1

=E·
ψ2

ψ1

ψ2
(1.2.44)
Bu denklemin bariz olmayan çözümleri için

det 

H11 − E
H12
H21
H22 − E
=0
(1.2.45)
eşitliğinin sağlanması gerekir. Bunu açacak olursak
(H11 − E)(H22 − E) − H21 H12 = 0
(1.2.46)
E 2 − (H11 + H22 )E + (H11 H22 − H21 H12 ) = 0
(1.2.47)
elde edilir. Bu ikinci derece denklemin çözümü ise:
E=
−b ±
√
(H11 + H22 ) ±
b2 − 4ac
=
2a
H11 + H22
E=
±
2
r
p
(H11 + H22 )2 − 4(H11 H22 − H21 H12 )
2
(H11 + H22 )2
− (H11 H22 − H21 H12 )
4
(1.2.48)
(1.2.49)
26
H11 + H22
E=
±
2
r
2 + 2H H
2
H11
11 22 + H22
− H11 H22 + H21 H12
4
H11 + H22
±
E=
2
r
2 − 2H H
2
H11
11 22 + H22
+ H21 H12
4
H11 + H22
E=
±
2
r
(H11 − H22 )2
+ H21 H12
4
(1.2.50)
(1.2.51)
(1.2.52)
olarak elde edilir.
Düzgün Manyetik Alandaki Elektrona Kısa Bir Bakış
Düzgün manyetik alan içerisindeki spinli elektronun enerjisini
E = ±gS
µB
B = ±µB B.
2
(1.2.53)
olarak elde etmiştik. Buna göre, z ekseni (düzgün manyetik alanın yönü) üzerine izdüşümü
+1/2~ ve −1/2~ değerleri alan ve enerji özdeğerleri −µB B ve µB B olan birbirine dik iki dalga
fonksiyonu tanımlarsak

ψyukarı = 

1
0

 , ψaşağı = 

0

(1.2.54)
1
sağlamaları gereken matris denklemleri


ve
H12
H21
H22




H11

1
0

H11
H12
H21
H22

 = −µB B 

0
1


1

 = µB B 

0
(1.2.55)

0
1

(1.2.56)
biçiminde olacaktır. Bu eşitlikler ancak ve ancak H11 = −µB B and H22 = µB B değerleri için
sağlanır.
27
Pauli Spin Matrisleri (Devam)
Yukarıda elde edilen sonuç enerji denkleminde ilk terimin sıfır olmasını gerektirir. Buna
göre
E2 =
(H11 − H22 )2
+ H21 H12 .
4
(1.2.57)
olacaktır. Elimizdeki keyfi manyetik alan B = Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ biçiminde ise biliyoruz ki,
ile
¡
¢
E 2 = µ2B Bx2 + By2 + Bz2 .
(1.2.58)
(H11 − H22 )2
+ H21 H12 = µ2B (Bx2 + By2 + Bz2 )
4
(1.2.59)
sonucunu verir. Ayrıca H11 ve H22 için ±µB B olduğunu bildiğimizden:
(H11 − H22 )2
(−µB B − (+µB B))2
+ H21 H12 =
+ H21 H12
4
4
(1.2.60)
µ2B Bz2 + H21 H12 = µ2B (Bz2 + Bx2 + By2 ).
(1.2.61)
H21 H12 = µ2B (Bx2 + By2 ).
(1.2.62)
sonucuna ulaşılır. H operatorünün Hermityen olması gerekliliğinden dolayı enerji özdeğerlerini
reel sayılara sınırlayacak çözüm:
H12 = µB Bx ∓ iBy
(1.2.63)
†
H21 = H12
= µB Bx ± iBy
(1.2.64)
olacaktır. Buna göre,

H = −µB 


= −µB Bz 

Bz
Bx − iBy
Bx + iBy
−Bz

1
0
0
−1

 + Bx 

0 1
1 0

(1.2.65)

 + By 

0
−i
i
0

(1.2.66)
28
~
= −µB (σx Bx + σy By + σz Bz ) = −µB ~σ · B
(1.2.67)
elde edilir. Buradaki σ’lar 2 × 2 Pauli spin matrisleridir ve kuantize olmuş spinin manyetik
alanın kartezyen bileşenleriyle nasıl etkileştiğini gösterirler.
1.2.4
Zaman Bağımlı Spin Mekaniği
Bu kısımda z ekseni boyunca düzgün ve x ekseni boyunca alternatif olarak değişen bir
manyetik alan içerisinde yer alan spinin mekaniğini inceleyeceğiz. Önceki hesaplardan bilindiği
üzere Hamiltonyen
~
− µ~σ · B
(1.2.68)
olup, manyetik alan ise B = B ẑ + A cos ωtx̂ şeklinde alınmıştır. Böylece

H = −µ 

B
0
0
−B

+

0
A cos ωt
A cos ωt
0

 = −µ 

B
A cos ωt
A cos ωt
−B
.
(1.2.69)
Şimdi yapılması gereken bu Hamiltonyeni Schrödinger denkleminde kullanarak spin durumunun zamana göre değişimini elde etmektir:
HΨ = i~
d
Ψ.
dt
(1.2.70)
Bunu denklemi çözerken bir tahminde bulunarak


Ψ=
C1 (t)e−iω1 t
C2 (t)e−iω2 t

(1.2.71)
biçimindeki çözümleri aramak uygun olacaktır. Buna göre γ = −µA ve E1,2 = ±µB B ise,


 
E1
γ cos ωt
γ cos ωt
E2
·

C1 (t)e−iω1 t
C2 (t)e−iω2 t


C1 (t)e−iω1 t
d
 = i~ 

dt C2 (t)e−iω2 t
(1.2.72)
29
Bu matris gösterimi iki adet çiftlenmiş diferansiyel denklem verecektir. Bunlar:
ve
£
¤
γ cos ωtC2 e−iω2 t + E1 C1 e−iω1 t = i~ C10 e−iω1 t − iC1 ω1 e−iω1 t
(1.2.73)
¤
£
γ cos ωtC1 e−iω1 t + E2 C2 e−iω2 t = i~ C20 e−iω2 t − iC2 ω2 e−iω2 t
(1.2.74)
İlk olarak ~ω1 = E1 and ~ω2 = E2 ile her iki denklemdeki ikinci terimlerin yok olacağı
¡
¢
görünmektedir. Böylece cos ωt = 12 eiωt + e−iωt yazarak
ve
¢
γC2 ¡ iωt
e + e−iωt e−iω2 t = i~C10 e−iω1 t
2
(1.2.75)
¢
γC1 ¡ iωt
e + e−iωt e−iω1 t = i~C20 e−iω2 t
2
(1.2.76)
elde edilir. ω0 = ω2 − ω1 kullanılırsa
ve
¢
γC2 ¡ iωt
e + e−iωt e−iω0 t = i~C10
2
(1.2.77)
¢
γC1 ¡ iωt
e + e−iωt eiω0 t = i~C20
2
(1.2.78)
´
γC2 ³ i(ω−ω0 )t
e
+ e−i(ω+ω0 )t = i~C10
2
(1.2.79)
´
γC1 ³ i(ω+ω0 )t
e
+ e−i(ω−ω0 )t = i~C20
2
(1.2.80)
bulunur, ve tekrar dağıtarak,
ve
ω ≈ ω0 koşulunu sağlayan rezonans durumları ile ilgilendigimiz için e±i(ω−ω0 )t terimlerinin
bire yakınsayacağı görülmektedir. Fakat e±i(ω+ω0 )t terimi ise hızlı salınımlar yapacaktir. Buna
göre
ve
γC2 i(ω−ω0 )t
e
= i~C10
2
(1.2.81)
γC1 −i(ω−ω0 )t
e
= i~C20
2
(1.2.82)
30
denklemlerinden C2 için
C2 =
2i~ −i(ω−ω0 )t 0
e
C1
γ
(1.2.83)
olduğuna ulaşılır ve bunun sonraki denklemde kullanılması ile
i
2i~ h 00 −i(ω−ω0 )t
γC1 −i(ω−ω0 )t
e
= i~
C1 e
− i(ω − ω0 )C10 e−i(ω−ω0 )t
2
γ
(1.2.84)
bulunur. Sadeleştirildiğinde
C1 = −
4~2
(C100 − i(ω − ω0 )C10 )
γ2
(1.2.85)
elde edilir. Bu biraz daha düzenlenecek olursak
C100 − i(ω − ω0 )C10 +
γ2
C1 = 0
4~2
(1.2.86)
denklemine ulaşılır. Bu C1 ’e lineer bağlı ikinci derece bir diferansiyel denklemdir. Bu denklem,
RLC devrelerinde ve sürtünmeli yüzeyde harmonik harakette oldugu gibi elektronik ve fizikte
sıklıkla karşılaşılan
I 00 +
R 0
1
I +
I=0
L
LC
(1.2.87)
X 00 +
η 0
k
X + X=0
m
m
(1.2.88)
ve
ile aynı formdadır.
Rezonans
Rezonans durumunda iken, ω = ω0 . Damping terimi kaybolacak ve
C100 +
γ2
C1 = 0
4~2
sonuç olarak
C1 = cos
Dolayısıyla
i~C20 =
γ
t.
2~
γ
γ
cos t,
2
2~
(1.2.89)
(1.2.90)
(1.2.91)
31
ve integrasyon ile C2 elde edilebilir.
Z
C2 = −i

ve ”aşağı” 
ile verilir.
(1.2.92)


Spini “yukarı” 
γ
γ
γ
cos tdt = −i sin t
2~
2~
2~
1
0
 durumunda bulma olasılığı
C1∗ C1 = cos2
γ
t
2~
(1.2.93)
C2∗ C2 = sin2
γ
t
2~
(1.2.94)

0
1
 durumu icin
Görüldüğü gibi, rezonans durumunda, elektron spini yukarı ve aşağı durumlar
arasında salınım yapacaktır.
32
1.3
MANYETİK ÖZELLİKLER
İlk iki bölümde, tek parçacık sistemlerinde yörünge açısal momentumu ve spin kaynaklı
manyetik momentler üzerinde durulmuştur. Bu bölümde ise birbirleri ile etkileşmeyen çok
sayıda manyetik momentin oluşturduğu sistemlerdeki makroskopik manyetizma incelenecektir.
1.3.1
Manyetizma Türleri
Kısaca manyetizma; maddenin bir manyetik moment kazanmasıdır. Katı haldeki malzemelerde, dış manyetik alana verdikleri tepkiye göre sınıflanan pek çok manyetizma türü vardır.
Manyetik malzemenin dış alana tepkisi açısından diyamanyetik, paramanyetik ve ferromanyetik
davranış sözkonusu olabilmektedir. M makroskopik cismin kazandığı manyetik moment moment
ve H dış manyetik alan olmak üzere tanımlayacağımız bir χ manyetik alınganlık parametresi
χ=
M
H
(1.3.1)
ile bu temel manyetizma türleri birbirlerinden ayrı olarak ortaya konabilir.
Burada kullanılan H dış manyetik alan büyüklüğü ve B madde içerisindeki net manyetik
alandır. Bunlar arasında ilişki
B = µ0 (H + M ) = µ0 (1 + χ)H = µH
(1.3.2)
ile verilmektedir. Burada µ0 serbest uzayın manyetik geçirgenlik katsayısı olarak bilinir.
χ manyetik alınganlığının aldığı değerler üzerinden malzemelerin manyetik davranışlarını
sınıflandırabiliriz: Paramanyetizma (χ > 0), Diyamanyetizma (χ < 0), Ferromanyetizma (χ →
∞), ve Antiferromanyetizma.
1.3.2
Diyamanyetizma
Lenz yasası, malzemelerin üzerinde meydana gelecek ani manyetik akı değişikliklerine karşı
~ ×E
~ = − dB~ biçiminde verilen Farakoyacak biçimde davranış sergileyeceğini söylemektedir. 5
dt
day yasasının bir sonucu olan Lenz yasasına dayanarak tüm maddelerin diyamanyetik davranış
33
M
ferropara-
H
dia-
sergilemesi gerektiğini düşünebiliriz. Her ne kadar her madde diyamanyetik özelliğe sahip olsa
da çoğu kez diğer manyetik özellikler yanında küçük kalması dolayısı ile etkin manyetik davranış
olarak ortaya çıkmazlar. Diyamanyetizmanın etkin olarak gözlenmesi için maddenin çok düşük
sıcaklıklara ya da yüksek manyetik alanlara maruz kalması gerekmektedir.
Diyamanyetizma, malzemelere manyetik akıyı dışarlama özelliği katması dolayısı ile de ilgi
çekici görünmektedir. Bir manyetik moment ve manyetize olmuş cisim arasındaki kuvveti
hesaplayacak olursak
F =−
dE
d
dM
dH
= − (−M · H) =
H +M
dx
dx
dx
dx
(1.3.3)
Cisimden uzaklaştıkça manyetik alanın şiddeti zayıfladığına ( dH
dx < 0) ve M mıknatıslanması H
manyetik alanıyla orantılı (M = χH) olduğuna göre: χ < 0, M < 0.
F =
dM
dH
dH
H +M
= 2χH
> 0.
dx
dx
dx
(1.3.4)
Böylece F > 0 olduğundan moment bir yukarı itme kuvvetine maruz kalır.
Bu etkiyi dört tane kalıcı mıknatıs üzerine konacak grafit yada NdFeB bazlı bileşikler ile
gözlemlemek mümkündür. Mıknatıslar merkezde bir mininmum manyetik alan oluşturacak
biçimde düzenlenirler. Grafit örneği diyamanyetik özelliği ve Lenz yasası gereğince mıknatısların
üzerinde havada asılı kalır.
34
1.3.3
Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Paramanyetizmanın ilk olarak anlaşılması 19. Yüzyılda Langevin tarafından Boltzman’ın
kurduğu temel istatistik yasalarının manyetizmaya uygulanması ile gerçekleşmiştir. Paramanyetik
malzemenin birbirleri ile etkileşmeyen çok sayıda manyetik momentten meydana geldiğini farzeden Langevin, uygulanacak bir dış alan etkisi ile bu manyetik momentlerin minimum enerji
~ dış manyetik
ilkesi gereğince alan boyunca düzenleceklerini ortaya koymuştur. Buna göre, H
alanındaki µ
~ manyetik momentinin dipol enerjisi
~
E = −~
µ · H.
(1.3.5)
olduğundan, manyetik dipollerden oluşmuş bir sistemin ortalama manyetik momenti, alan
boyunca ortalama moment ve içerdiği manyetik moment sayısının çarpımına eşttir:
M = N µ < cos θ > .
(1.3.6)
Boltzman’ın istatistik mekaniğine göre moment doğrultularının dağılımına göre sistemin bir
− E
~ olduğundan
µ·H
E enerjili durumda olma olasılığı e kB T faktörüne bağlıdır. Buna göre E = −~
bir momentin bir θ açısında bulunma olasılığı
µH cos θ
e kB T sin θdθ
P (θ) = R µH cos θ
e kB T sin θdθ
(1.3.7)
35
ile verilir. Burada payda tüm durumlar üzerinden olasılık toplamını içeren normalizasyon
faktörüdür. sin θ terimi faz uzayının manyetik alan eksenine yaklaştıkça küçülmesini göstermektedir.
Açılar cinsinden verilen bu olasılık bağıntısını sistemde manyetik alan doğrultusuna göre faklı
farklı açılarda bulunan momentlerin cos θ değerlerinin ortalamasını hesaplamakta kullanabiliriz:
Rπ
< cos θ >=
Burada x = cos θ ve α =
µH
kB T
0
µH cos θ
e kB T cos θ sin θdθ
.
R π µH cos θ
e kB T sin θdθ
0
(1.3.8)
değişimlerini kullanarak
R1
< cos θ >= R−1
1
eαx xdx
−1
eαx dx
(1.3.9)
elde edilir. Paydaki integral
Z
1
−1
d αx
d
e dx =
dα
dα
Z
1
eαx dx =
−1
ve payda
Z
1
−1
d eα
1
1
( ) = (eα + e−α ) − 2 (eα − e−α )
dα α
α
α
eαx dx =
1 α
(e − e−α )
α
(1.3.10)
(1.3.11)
olarak hesaplandığında
< cos θ >=
1 α
α (e
+ e−α ) − α12 (eα − e−α )
1
= coth(α) −
1 α
−α )
α
(e
−
e
α
(1.3.12)
sonucuna ulaşırız. Bu ise iyi bilinen Langevin fonksiyonudur. α << 1 iken L(α) kuvvet serisine
açılırsa (α =
µH
kB T
).
36
L(α) = α/3 − α3 /45 + ...
(1.3.13)
Böylece yüksek sıcaklıklar ya da düşük manyetik alanlar için Langevin fonksiyonu yaklaşık
olarak
L(α) ≈ α/3
(1.3.14)
ile verilebilir ve sistemin mıknatıslanması için
µH
α
M = µN = µN
=
3
3kB T
µ
¶
µ2
N
H
3kB T
(1.3.15)
yazılabilir. M = χH olduğunun kullanılması ile manyetik alınganlık
χ=N
µ2
C
=
3kB T
T
(1.3.16)
olarak ifade edilir. Bu sıcaklığa ters bağlantılı oluş, Pierre Curie’nin manyetizma üzerine yaptığı
doktora çalışmaları sebebiyle, Curie yasası olarak bilinmektedir.
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
Biliyoruz ki klasik manyetik momentler sürekli değerler alabilirken, spin gibi kuvantum
mekaniksel nicelikler ise bir açısal momentum kuvantumlanmasının sonucu olarak ortaya çıkarlar.
Paramanyetizmanın kuantum teorisi ile anlaşılması için basit bir sistem olan spin sisteminin incelenmesi uygun görünmektedir. Bu biçimdeki bir sistemde sadece bir yukarı bir de aşağı
özdurum sözkonusu olacaktır. Mikroskopik manyetik momentlerin ortalama değerini verecek
olan Boltzman istatistiği yalnızca bu iki durumun enerjilerini içeren toplam ile gerçekleştirilecektir.
Toplamdaki herbir terim bir manyetik moment durumu ile bu durumun doldurulma olasılığının
çarpımı olarak yazılır:
µH
M = N < µ >= N
−µH
µe kB T + (−µ)e kB T
µH
e kB T + e
µH
M = Nµ
−µH
e kB T − e kB T
e
µH
kB T
− kµHT
+e
B
= N µ tanh
− kµHT
(1.3.17)
B
µH
= N µ tanh α.
kB T
(1.3.18)
37
yüksek sıcaklıklarda ya da düşük manyetik alanlarda tanh α ≈ α olduğu kullanılarak
µ2
)H
kB T
(1.3.19)
M
µ2
C
=N
= .
H
kB T
T
(1.3.20)
M = N µα = (N
bir kez daha Curie yasasına ulaşırız:
χ=
Yörüngesel açısal momentumu J > 1/2 ele alarak problemi çözecek olursak bu kez daha
fazla durum olacağından toplama daha fazla terim gelecektir. Genel bir J açısal momentumlu
durum için problemi genelleyecek olursak mıknatıslanmayı
M = N kB T
d(ln Z)
dH
(1.3.21)
şeklinde ve
Z=
j
X
e−ηmJ .
(1.3.22)
−j
olmak üzere yazabiliriz. Burada Z bölüşüm fonksiyonu, ve η = gµB H/kB T ’dir. İfadeyi yazarken
d
dx
ln Z =
1 dZ
Z dx
olduğu kullanılmıştır.
J tamsayı ise
Z=
j
X
−ηmJ
e
=
j
X
e
−ηmJ
0
−j
+
j
X
eηmJ − 1
(1.3.23)
0
olarak yazabiliriz. Her iki seride tekrar edilen mJ = 0 terimi en sonda çıkarılmıştır. Bu
terimlerin herbiri aşağıdaki gibi verilen yakınsak serilerdir
1 − xN +1
.
1−x
(1.3.24)
1 − e−η(j+1)
1 − eη(j+1)
+
−1
1 − e−η
1 − eη
(1.3.25)
eηj (1 − eη ) + e−ηj (1 − e−η )
(1 − eη ) + (1 − e−η )
(1.3.26)
1 + x + x2 + ... + xN =
Buna göre
Z=
elde edilir. Biraz cebir kullanarak
Z=
38
ve
Z=
sinh η(j + 1)
.
sinh η/2
(1.3.27)
formuna indirgenebilir.
Benzer işlemler buçuklu açısal momentum değerleri (J=3/2, 5/2,...) için tekrarlanırsa
Z=
j
X
e−ηmJ = e−η/2 (1 + e−η + ... + e−η(j−1/2) ) + eη/2 (1 + eη + ... + eη(j−1/2) ).
(1.3.28)
−j
Bununla
Z = e−η/2
1 − e−η(j+1/2)
1 − eη(j+1/2)
+ eη/2
−η
1−e
1 − eη
(1.3.29)
elde edilir ve biraz cebir ile aynı sonuca ulaşılır.
Artık hesaplanan Z’yi mıknatıslanma ifadesinde kullanabiliriz. Buna göre η = gµB H/kB T
olduğunu hatırlayarak
dH =
kB T
dη
gµB
(1.3.30)
ve türevin sonucu olarak
M = N kB T
1
sinh(η(j+1)
sinh(η/2)
(j + 1/2) cosh η(j + 1/2) sinh η/2 − 1/2 cosh η/2 sinh η(j + 1/2)
sinh2 η/2
(1.3.31)
bulunur. Sadeleştirilmesi ile:
M = µN [(j + 1/2) coth η(j + 1/2) − 1/2 coth η/2] = µN BJ (η)
(1.3.32)
elde edilir. Burada BJ (η) J. mertebe Brillouin fonksiyonudur.
Ayrıca Brillouin fonksiyonu α nın kuvvet serisine açılırsa
BJ (α) =
[(J + 1)2 + J 2 ](J + 1) 3
J +1
α−
α
3J
90J 3
(1.3.33)
Görüldüğü gibi J = 1/2 iken seri tanh α açılımı ile aynıdır. Dahası α → ∞ iken terimler
Langevin fonksiyonu L(α) ile aynı olur.
39
Böylece düşük alanlarda veya yüksek sıcaklıklar için sadece ilk terimi kullanarak
χJ = N
g 2 J(J + 1)µ2B
3kB T
(1.3.34)
yazabiliriz.
Bant Elektronları Paramanyetizması
Aşağı ve yukarı spin durumları bir manyetik alan altında Zeeman enerjisi ±µH kadar ayrışır.
Ortaya çıkan net manyetik moment eşlenmemiş spin sayısıyla orantılı olacaktır
M=
µB
(N↑ − N↓ ).
2
(1.3.35)
Sıfır mutlak sıcaklık yaklaşımı ile aşağı ve yukarı spin durumlarının sayılarını analitik olarak
belirlemek için tüm durum yoğunlukları üzerinden bir toplam alabiliriz:
" Z
#
Z EF
EF
µB
M=
−
D(E − µB H)dE +
D(E + µB H)dE .
2
µB H
−µB H
(1.3.36)
Bunun dönüştürülmesi ile
" Z
#
Z EF +µB H
EF −µB H
µB
−
D(E)dE +
D(E)dE
M=
2
0
0
µB
M=
2
"Z
Z
0
M=
#
EF +µB H
D(E)dE +
EF −µB H
(1.3.37)
D(E)dE
(1.3.38)
0
µB
F +µB H
intE
EF −µB H D(E)dE
2
(1.3.39)
elde edilir. Manyetik alan küçük iken durum yoğunlukları integrasyon aralığı boyunca sabit
olarak ele alınabilir. Böylece integral daha da basitleşerek
M = µB D(EF )[EF + µB H − (EF + µB H)] = 2µ2B HD(EF ).
(1.3.40)
40
EF
EF
+µ
−µ
haline gelir. Böylece manyetik alınganlık için
χ=
M
= µ2B D(EF )
H
(1.3.41)
biçiminde verilen Pauli paramanyetizması hesaplanmış olur.
Durum Yoğunlukları
Fermi enerjisi civarıda durum yoğunluğu D(EF ) nedir? Bunu anlamak için serbest elektron
gazı sistemine daha ayrıntılı bakalım. Bir potansiyelin yokluğunda üç boyutta Schrödinger
denkleminin çözümü
E=
~2 2
(k + ky2 + kz2 )
2m x
(1.3.42)
ile verilir. Sıfır sıcaklık yaklaşımı ile bu durumlar Pauli dışarlama ilkesi uyarınca doldurulacaktır. (E = 0 yani kx = ky = kz = 0) olduğu en düşük enerjili durumdan itibaren daha üst
seviyelere sırayla tüm elektronlar yerleştirilir ve dolu olan en üst seviye Fermi enerjisidir. Sıfır
sıcaklık yaklaşımı genel olarak metaller için doğrudur çünkü EF >> kB T .
~k uzayında Fermi yüzeyi (boş ve dolu durumlar arasındaki sınır), yarıçapı
küredir
kx2 + ky2 + kz2 =
2mEF
.
~2
q
2mEF
~2
olan bir
(1.3.43)
Küre içerisindeki tüm durumların toplanması ile gerçek uzaydaki parçacık yoğunluğuna ulaşmak
41
mümkündür:
N
=n=2
V
Z Z Z
sphere
d3 k
=2
(2π)3
Z
kF
4πk 2
0
dk
(2π)3
(1.3.44)
Parçacık yoğunluğunu k uzayındaki bir toplam yerine enerjiler üzerinden bir toplam yazmak
istersek
Z
EF
n=2
D(E)dE.
(1.3.45)
0
Bu değişimi yapmak için toplanan terimler
4πk 2
dk
= D(E)dE.
(2π)3
(1.3.46)
~2 2
k
2m
(1.3.47)
denklemi ile eşitlenir. Enerji için
E=
olduğuna göre
r
k=
ve burdan dk için
m
dk = 2 =
~ k
2mE
,
~2
r
m −1/2
E
2~2
(1.3.48)
(1.3.49)
olduğu bulunur. Yerine koyarak
4πk 2
dk
1 2m 3/2 1/2
=
(
) E dE.
(2π)3
2π 2 ~2
(1.3.50)
elde edilir. ~k uzayındaki integrale göre durum yoğunluğu hesaplanacak olursa
Z
kF
n=2
4πk 2
0
ve Fermi enerjisi
EF =
dk
kF3
=
(2π)3
3π 2
~2 2
k ,
2m F
(1.3.51)
(1.3.52)
olarak tanımlandığı için bunu
n=
· √
¸
2 m 2mEF
kF3
=
EF .
3π 2
3
~3 π 2
(1.3.53)
olarak yazabiliriz. Parantez içerisindeki terimin Fermi enerjisindeki durum yoğunluğu olduğuna
dikkat edilmelidir. Buna göre
D(EF ) =
3 n
2 EF
(1.3.54)
42
ve Pauli paramanyetizmasının formu da
χ=
3µ2B
2EF
(1.3.55)
biçiminde olacaktır.
Landau tarafından türetilen diamanyetik katkı ise bunun 1/3’ü kadardır. Diyamanyetik
katkı negatif olduğuna göre serbest elektron gazının toplam paramanyetik alınganlığı
χ=
µ2B
.
EF
(1.3.56)
olarak hesaplanmış olur.
1.4
MAKROSKOPİK MANYETİZMA: FERROMANYETİZMA
Paramanyetik malzemeler manyetik alınganlıkları sıcaklığa göre 1/T biçiminde değişen
malzemelerdir. Sıfır dereceye soğutulan madde içerisindeki dalgalanmalar kaybolur ve mutlak
düzenin getirdiği bir sonsuz manyetik alınganlık ortaya çıkar.
Ferromanyetik malzemelerde ise bu manyetik düzen daha yüksek sıcaklık değerlerinde de
sürdüğü gibi, dış manyetik alanın yokluğunda da manyetik düzenlerini korumaya devam ederler. Bahsedilen bu özellikler deneysel olarak, sıcaklığa göre manyetik alınganlığın tersi ve
mıknatıslanmadaki histerezis grafiklerinde görünmektedir.
1/χ
para-
ferro-
T
TC
43
1.4.1
Manyetostatik Dipol Etkileşmesi
Bu kısımda ”sıfırdan yüksek sıcaklıklarda madde içerisindeki düzenlenimi sağlayan nedir”
sorusu ile ilgileneceğiz. Malzemedeki düzenlenim ile en yakın komşular arasında bir
E = −βµ1 µ2 cos θ
(1.4.1)
çiftlenim enerjisi sözkonusu olacaktır. Burada β > 0 ferromanyetik durum içindir ve tersi ise
antiferromanyetik durum için kullanılacaktır. Bu etkileşmenin büyüklüğü kB TC mertebesinde
olmalıdır.
Birbirlerine yakın momentler arasındaki manyetostatik enerjinin bu düzenli durumun oluşmasını
sağlayıp sağlayamayacağına bakalım. Bir momentin oluşturduğu manyetik alanın diğer bir momentle etkileşmesine ait manyetostatik enerji
~ =µ
Edipol-dipol = −~
µ·B
~1 ·
µ
~2
µ2
→≈ B
3
r
a3
(1.4.2)
olarak yazılabilir. Burada a momentler arası uzaklığı veren örgü sabitidir. CGS birim sisteminde, µB =
e~
2mc
olup, karakteristik moment mesafesi birkaç Bohr yarıçapı kadardır.
Bohr yarıçapı merkezkaç kuvvetinin Coulomb kuvvetine eşitlenmesi
mv 2
e2
e2
= 2 ⇒ r0 =
r0
r0
mv 2
(1.4.3)
ve yörüngede dolanan elektronun açısal momentumunun kuantumlanması ile
L = mvr = n~ ⇒ v =
yörünge yarıçapı için
r0 =
~
.
mr0
~2
e2 m2 r02
⇒
r
=
0
m~2
e2 m
(1.4.4)
(1.4.5)
elde edilir. Bulunan Bohr yarıçapı ifadesini manyetostatik enerjinin üst sınırını belirlemek amacı
ile kullanabiliriz
Edipol-dipol
¡ e~ ¢2
· 2 ¸4
µ2B
e8 m
e
= 3 = ¡ 2mc
=
=
mc2
¢
3
4
2
2
~
r0
~
c
~c
2
(1.4.6)
e m
Parantez içerisindeki terim, α ≈
1
137 ,
ince yapı sabiti olup, elektronun durgun kütle enerjisi mc2
44
511 keV alınırsa
·
Edipol-dipol
Elde edilen bu değer TC =
E
kB
1
=
137
¸4
5.11 × 105 eV ≈ 1meV.
(1.4.7)
≈ 10K, sıcaklığına karşılık gelir. Bu sıcaklık 1000K civarlarındaki
gözlenen Curie sıcaklıklarına kıyasla oldukça küçüktür. Bu durumda aradığımız mekanizmanın
temelinde manyetostatik etkileşmenin olduğunu söyleyemeyiz. Bunun anlaşılması için elektrostatik enerjinin manyetostatik olandan çok daha büyük olduğunu göz önüne alarak, spin
serbestlik derecesinin elektrik yüküyle Pauli dışarlama ilkesi yoluyla olan bağlantısını incelemek, ve spin değiş-tokuş enerjisi olarak bilinen mekanizmaya bakmak gerekmektedir.
1.4.2
Değiş-Tokuş Enerjisi
Etkileşmekte olan iki elektronlu, örneğin Helyum atomu gibi, basit bir sistemi ele alalım.
Hamiltonyen
H = H1 + H2 + H12
(1.4.8)
şeklinde olacaktır. Burada H1 birinci elektronun, H2 ise ikinci elektronun çekirdek ile Coulomb
etkileşme terimleri, ve H12 ise iki elektron arasındaki itici etkileşme terimidir.
Pauli Dışarlama İlkesi
Problemi ele alırken çözümün ne olacağı üzerinden düşünmek hesaplamaları kolaylaştıracaktır.
Bunu yapmak için 1 ve 2 numaralı elektronların ayırdedilemez oluşarı dolayısıyla 1 ve 2 yi ölçme
olasılığının 2 ve 1’i ölçme olasılığına eşit olacağını gözönünde bulunduracağız:
kΨ(1, 2)k2 = kΨ(2, 1)k2 .
(1.4.9)
Burada 1 ve 2 etiketi ait oldukları elektrona ait, spin kuantum sayısı dahil, tüm kuantum
sayılarını içermektedirler. Buna göre
Ψ(1, 2) = ±Ψ(2, 1)
(1.4.10)
olcaktır. Burada + ya da − işaretli oluş parçacığın doğası ile ilgilidir. Buna göre elektron gibi
Fermi istatistiğine uyan parçacıklar, yani Fermiyonlar, için − ve Bosonlar için + kullanılacaktır.
Dirac denkleminden de bilindiği gibi Fermiyonlar buçuklu spinlere sahip olurken bozonlar tam
45
sayı spin değerleri alırlar. Bu spin istatistiği teoremi olarak bilinir.
Parçacık değiş-tokuşu etkisi ile gelen asimetriyi aşağıaki dalga fonksiyonu ile basitçe elde
edebiliriz:
1
Ψ(1, 2) = √ (ψα (1)ψβ (2) − ψα (2)ψβ (1))
2
(1.4.11)
1 ve 2 nin değiştirilmesi ile
1
Ψ(1, 2) = √ (ψα (2)ψβ (1) − ψα (1)ψβ (2)) = −Ψ(2, 1).
2
(1.4.12)
elde edilir. Açıkça görülüyor ki tüm kuantum sayıları aynı iken dalga fonksiyonu sıfır olmaktadır.
Bu Pauli dışarlama ilkesidir.
Antisimetri
Sonuç olarak görünüyor ki toplam dalga fonksiyonu parçacık değiş-tokuşu altında antisimetrik olmalıdır. Eğer dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı simetrik ise spin dalga fonksiyonu
antisimetrik olmak zorundadır, yada tam tersi de düşünülebilir.
Eğer φ1 (r1 ) ve φ2 (r2 ) sırasıyla 1 ve 2 nolu tek-parcacık dalga fonksiyonları ise buna göre
parcacık çiftinin dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı
1
ΨS = √ [φ1 (r1 )φ2 (r2 ) + φ1 (r2 )φ2 (r1 )]
2
(1.4.13)
şeklinde bir simetrik fonksiyon ya da
1
ΨA = √ [φ1 (r1 )φ2 (r2 ) − φ1 (r2 )φ2 (r1 )]
2
(1.4.14)
olan bir antisimetrik fonksiyon olabilir. Bu dalga foksiyonlarına karşılık gelen enerjiler Hamiltonyenin
köşegen matris elementlerinin hesaplanması,
HΨ = EΨ → Ψ∗ HΨ = Ψ∗ EΨ = EΨ∗ Ψ
ve integrali alınarak:
Z
Z
Ψ∗ HΨdr1 dr2 = E
elde edilir.
(1.4.15)
Ψ∗ Ψdr1 dr2 = E
(1.4.16)
46
Böylece H1 , H2 ve H12 . terimlerini içeren integrallerin alınması gerektiği açıktır. Ilk iki
terimin sadece r1 ve r2 koordinatlarına açıkça bağımlı olması birçok terimin sıfır olmasını gerektirecektir. Örneğin:
1
2
Z
∗
[φ1 (r1 )φ2 (r2 ) ± φ1 (r2 )φ2 (r1 )] H1 (r1 ) [φ1 (r1 )φ2 (r2 ) ± φ1 (r2 )φ2 (r1 )] dr1 dr2
Z
1
=
2
Z
1
+
2
Z
1
±
2
Z
1
±
2
(1.4.17)
φ1 (r1 )∗ φ2 (r2 )∗ H1 (r1 )φ1 (r1 )φ2 (r2 )dr1 dr2
(1.4.18)
φ1 (r2 )∗ φ2 (r1 )∗ H1 (r1 )φ1 (r2 )φ2 (r1 )dr1 dr2
(1.4.19)
φ1 (r1 )∗ φ2 (r2 )∗ H1 (r1 )φ1 (r2 )φ2 (r1 )dr1 dr2
(1.4.20)
φ1 (r2 )∗ φ2 (r1 )∗ H1 (r1 )φ1 (r1 )φ2 (r2 )dr1 dr2
(1.4.21)
H1 sadece r1 ’e bağımlı olduğu için, r2 integralini ayrı hesaplamak mümkündür:
1
±
2
Z
Z
∗
φ2 (r2 ) φ1 (r2 )dr2 φ1 (r1 )∗ H1 (r1 )φ2 (r1 )dr1 ±
Z
Z
1
φ1 (r2 )∗ φ2 (r2 )dr2 φ2 (r1 )∗ H1 (r1 )φ1 (r1 )dr1
2
(1.4.22)
(1.4.23)
Dalga fonksiyonlarının ortogonal olması sebebi ile r2 içeren integral sıfır olacaktır. Benzer durum H2 integrali için de geçerli olacak ve çapraz terimler sıfır olacaktır. Bununla birlikte H12 terimi hem r1 hem de r2 ’ye bağlı olduğundan hesaplama aynı biçimde kolay olmayacaktır. Çapraz terimlerin sıfır olmaması dolayısı ile simetri ve antisimetrinin getirdiğ ek terimler
sözkonusu olacaktır. Bu terimler değiş-tokuş integralleri olarak bilinirler ve enerjiyi şu şekilde
yazmak mümkündür.
E = E1 + E2 + E12 ± J.
(1.4.24)
Burada J değiş-tokuş integrali olarak bilinir. + işareti dalga fonksiyonunun uzaysal olarak
simetrik, - işareti ise antisimetrik olduğu duruma karşılık gelmektedir.
Değiş-Tokuş “Kuvveti”
Bu kısımda değiş-tokuş etkisinin spin etkileşme enerjisini nasıl değiştirdişini inceleyeceşiz.
47
J < 0 olduğunu farzederek başlayalım. ‘Buna göre simetrik uzaysal dalga fonsiyonu en düşük
enerjili duruma karşılık gelecektir. Uzaysal ve spin dalga fonksiyonlarının çarpımlarının parçacık
değiş-tokuşu altında antisimetrik olması gerekliliğinden dolayı spin dalga fonksiyonunun:
|↑1 ↓2 > − |↓1 ↑2 >
(1.4.25)
şeklinde antisimetrik olacağını söyleyebiliriz. Eğer spinlerden biri, mesela 1, ters çevrilecek
olursa oluşacak yeni durum
|↓1 ↓2 > − |↑1 ↑2 >
(1.4.26)
olacaktır. Bu spin dalga fonksiyonu parçacık değiş-tokuşu altında simetriktir. Buna göre toplam
dalga fonksiyonu asimetrisini sağlamak için uzaysal dalga fonksiyonunu antisimetrik olmalıdır.
Bu ise enerjinin
E = E1 + E2 + E12 + J
(1.4.27)
E = E1 + E2 + E12 − J
(1.4.28)
değerinden
değerine yükseleceği anlamına gelir (J < 0 olduğunu unutmayalım). Fark 2J kadardır. J’nin
büyüklüğü eV mertebesindeki elektrostatik etkileşmeler ile belirlendiğinden sistemin bu değiştokuş kuvvetinin üstesinden gelebilmesi için çok fazla miktarda enerjiyi dışardan temin etmesi
gerekmektedir.
1.4.3
Heisenberg Modeli
Değiş-tokuş etkileşmesi, Curie sıcaklığının yüksek değerlerini açıklamaktadır. Şimdi ise
iki spin arasındaki etkileşmenin Hamiltonyenini olabilecek en basit halde yazarak değiş-tokuş
etkileşmesini yalın haliyle anlamaya çalışacağız:
~1 · S
~2
H = JS
(1.4.29)
etkileşme Hamiltonyeni ve
~1 = σx1 x̂ + σy1 ŷ + σz1 ẑ S
~2 = σx2 x̂ + σy2 ŷ + σz2 ẑ
S
(1.4.30)
ile verilmektedir. Burada σlar 2 × 2 Pauli spin matrisleridir. Klasik bakış açısı ile açıkça,
J < 0 iken, spinler aynı yöndeyken daha düşük enerjili durum gerçekleşeceği için, sistemin
~1 · S
~2 çarpımını nasıl hesaplayferromanyetik durumu tercih edeceğini söyleyebiliriz. Asıl soru S
48
acağımızdır ? ⊗ sembolü ile gösterilen tensör çarpımını kullanarak A ve B gibi 2 × 2 matrisler
için

A⊗B =

a11 B
a12 B
a21 B
a22 B

(1.4.31)
yazabiliriz. Ve buna göre
~1 · S
~2 = J [σx1 ⊗ σx2 + σy1 ⊗ σy2 + σz1 ⊗ σz2 ]
H = JS
(1.4.32)
ile


H = J 

0 1
1 0
0 0

 0 0

H = J 
 0 1

1 0

⊗
0 1

1 0




0 1
+
0
0
−i
i
0
0
0
⊗
−1
 

1 0 
  0 0 1
+

0 0 
  0 1 0
0 0
−1 0 0



0
−i
i
0

1
 

0 
  0
+

0 
  0
0
0
+
0
−1
0
0


1
0
0
−1
0
0


⊗


1
0
1



 0
0 


 = J 


 0
−1 0 

0 1
0
0
0

−1
(1.4.33)
0
0
−1
2
denkleminin çözülmesi yeterli olacaktır.
(1.4.35)
Bu basit özdeğer probleminin çözümü aşağıdaki özvektörleri verecektir.

0
 
1


0
 
0

  
  
  
  
1 
 1   0  1  1   0
√ 
, , √  ,
  
 
2
2
 −1   0 
 1   0
0
0
0
1









0 


2 −1 0 

0
0 1
(1.4.34)
elde edilir. Bu Hamiltonyenin enerji seviyelerini hesaplak için zamandan bağımsız Schrödinger
HΨ = EΨ
0
(1.4.36)
49
Durumların Belirlenmesi
Tensör çarpımının bilinen kurallarını kullanarak iki cisim durumunu tek cisim durumu
bileşenleri ile yazabiliriz:

0

    




1
1
0
0
1
1 

√ 
 = √   ⊗   − 

2
2
0
1
1
 −1 
0
 
1
  
 0 
  
 =
 0 
 
0
 
0
    
 


1
0
0
1
1  
1
√   = √   ⊗   + 

2
2
0
1
1
 1 


⊗

1
0


1

0

⊗

⊗
(1.4.37)

1

0
(1.4.38)

1

(1.4.39)
     
 0 
   0   0 
⊗
 =
 0 
1
1
 
1
(1.4.40)
0
0

0

Şu tanımlamaları yaparak



1
0

 → k ↑>, 

0
1
 → k ↓>
(1.4.41)
spin yukarı ve spin aşağı diyeceğimiz elemanları kullanıp bir singlet (Stoplam = 0) durumunu
k ↑↓> −k ↓↑>
(1.4.42)
olarak yazabiliriz ve üçlü S=1 durumu ise
k ↑↑>, k ↑↓> +k ↓↑>, k ↓↓>,
olacaktır.
(1.4.43)
50
N Parçacık Sistemi
N tane moment içeren bir örgü için 2 parçacık problemini
H=J
X
i, j 6= iSi · Sj
(1.4.44)
Şeklinde genelleyebiliriz. Bunu daha da basitleştirmek amacı ile en yakın komşu etkileşmlerini
ele alarak
H=J
X
i, δSi · Si+δ
(1.4.45)
yazılabilir. Hamiltonyene bir dış manyetik alanın yol açacağı Zeeman terimini de eklersek
H=
X
"
X
iSi · J
#
~
Si+δ − µ
~i · H
(1.4.46)
δ
olur.
Si =
µi
gµB
olduğundan
H=−
X
~ ef f
µ
~i · H
(1.4.47)
i
yazabiliriz. Burada etkin alan:
Hef f = H −
J X
Si+δ .
gµB
(1.4.48)
δ
Burada en yakın komşular üzerinden yapılan hesaplarda herbir elemanın aynı ortalama
katkıyı yapacağını farzedeceğimiz ortalama alan yaklaşımını kullanıyor olacağız. Böylece
Hef f = H −
Jz
Jz
< Si+δ >= H − 2 2 M = H + wM
gµB
g µB
(1.4.49)
yazabiliriz. Burada w = − g2Jz
. Böylece bir Hef f etkin manyetik alanı içerisinde yer alan etkµ2
B
ileşmeyen momentleri ele almış olacağız. Benzer uygulama etkileşmeyen momentlerden oluşan
paramanyetik malzemelerin bir dış alandaki durumları için de incelenmişti (H → H + wM ).
51
Ferromanyetik Durum (T < TC )
Spin 1/2 için,
M = N µ tanh α
ve
α=
(1.4.50)
µ(H + wM )
.
kB T
(1.4.51)
H = 0 olduğunu farzedip ikinci mertebeye kadar seri açıldığında
M = N µ tanh α ≈ N µ(α −
elde edilir ve bu bize
M = N µ(M γ −
şeklinde yazmayı sağlayacaktır. γ =
µw
kB T
M=
1
Nµ
M 3γ3
)
3
(1.4.52)
(1.4.53)
olmak üzere sonuç olarak:
r
elde edilir. γ =
α3
)
3
3
1
(γ −
)
γ3
Nµ
(1.4.54)
olduğunda sıfır manyetik alan altında mıknatıslanma yok olacaktır. Bu ise
kritik Curie sıcaklığını verir
N µ2 w
kB
(1.4.55)
1 1/2
3
(1 −
)
γ
N γµ
(1.4.56)
TC =
TC Civarında
Bulduğumuz
√
M=
ifadesinde yukarıdaki TC tanımının kullanılması ile
√
M=
olduğu görülür.
3
T 1/2
(1 −
)
γ
TC
(1.4.57)
52
Paramanyetik Durum (T > TC )
Yüksek sıcaklıklarda α << 1, tanh α teriminin seri açılıp ilk teriminin alınması ile
M = N µα
(1.4.58)
yazabiliriz. Bunun 1.4.51 denkleminde yazılması ile
kB T M
H
−
2
Nµ w
w
(1.4.59)
kB T
H
)=−
N µ2 w
w
(1.4.60)
H
N µ2 /kB
C
=
H=
H
kB T
T − wN µ2 /kB
T − TC
w(1 − N µ2 w )
(1.4.61)
M=
elde edilir. Bu H 6= 0 iken çözülebilir:
M (1 −
M =−
Böylece,
χ=
C
T − TC
(1.4.62)
bulunur.
Bu sonuç Curie yasası ile oldukça benzerdir fakat ferromanyetik değiş-tokuş enerjisi dolayısıyla
gelen bir moleküler w alanı ile düzeltilmiştir. Bu Curie-Weiss yasası olarak bilinir.
1.4.4
Band Ferromanyetizması
Weiss modeli gereğince ferromanyetik ve paramanyetik durumlar için manyetik momentin
değeri aynı ve Bohr manyetonun tam sayı katları olmalıdır fakat deneysel sonuçlar bu biçimde
değildir. Birincil olarak bunun sebebi manyetik momente katkı yaparak ferromanyetik oluşu
saplayan elektronların örgü üzerinde lokalize olmamalarıdır. Bundan dolayı daha doğru bir
model bant yapısı gözönüne alınarak yapılabilir. Bu modelleme için Pauli paramanyetizmasında
yapılanın benzeri olarak serbest elektron gazı ele alınabilir. Tek ihtiyacımız olan moleküler
alanın etkisini de hesaba dahil etmektir.
53
w=0
1/χ
M
1/χ
kT/EF
Aşağı ve yukarı spinli elektronları sayı yoğunluğu
Z
N↑/↓ =
0
∞
D↑/↓ (E)f↑/↓ (E)dE
(1.4.63)
3 N
E 1/2
4 E 3/2
(1.4.64)
ile verilir, burada
D↑/↓ (E) =
F
54
ve
f↑/↓ (E) =
1
.
e(E−EF ±µ(H+wM ))/kB T + 1
(1.4.65)
M = µ(N↑ − N↓ ),
(1.4.66)
şeklindedir. Manyetizasyon
ile verildiği için manyetizasyon için nonlineer bir denklem elde edilir. Ve dahası integrallerin
analitik sonucu yoktur. Bununla birlikte farklı manyetik alan değerleri için mıknatıslanmayı
numerik olarak çözebiliriz. w = 0 olduğu durumda Pauli paramanyetizması söz konusu demektir. Bu bize sıcaklık ile neredeyse değişmeyen sabit bir alınganlık değeri verecektir. Moleküler
alan dahil olduğunda mıknatıslanma eğrisi aşağılara çekilir. Eğer eğri sıcaklık eksenini keserse
kesişim noktası TC Curie sıcaklığını belirleyecektir. Paramanyetik durumda alınganlığın aldığı
değerler TC üzerindeki sıcaklıklarda geçerli olur. TC sıcaklığı altında iken ferromanyetizma
sözkonusu olur ve bir manyetik alanın yokluğundaki mıknatıslanma hesaplanabilir.
SPIN
SPIN
1950’lerin başında ilk olarak Stoner tarafından ortaya konan bu modele göre bir ferromanyette bir spin türüne ait enerji bantları tümden kayarak (yani enerji ekseninde ve şekil
değiştirmeden kayarak) malzemede spin kutuplaşması ve kalıcı mıknatıslanmayı sağlarlar. Onyıllar
sonra yapılan temel ilkelere dayalı hesaplar bu görüşü desteklemiştir. Özellikle Fermi seviyesinin
d-bantlarında yeraldığı malzemelerde (Ni, Co, Fe gibi) ferromanyetizma ortaya çıkar. Fermi seviyeleri çok daha yukarıda yer alan Zn ve Cu gibi malzemeler ise ferromanyetik değildir çünkü
kayan bu bantlar tamamen doludur.
55
1.5
SPİNTRONİK AYGITLAR
Spinin işlevsel olarak kullanımını sağlayacak aygıtların tasarımı temel olarak, spin etkilerinin baskın olarak ortaya konabileceği yeni malzemelerin geliştirilmesi, spin kutuplu akımların
oluşturulup manyetik ve elektrik alanlarla kontrol edilebileceği yapıların tasarımını gerektirmektedir. Bu bölümde örnek olarak Datta-Das spin-FET tranzistöründen bahsedilecektir.
1.5.1
Datta-Das spin-FET
Ferromanyetik bir malzemede elektronların yukarı ve aşağı spin durumlarındaki dağılımı eşit
değildir. Dolayısıyla bir ferromanyet-yarıiletken ekleminden akım geçirdiğimizde yarıiletkene
giren elektronlar spin kutuplu olacaktır. Yarıiletken içinde spin durumlarının korunum süreleri
yeterince uzun ise diğer uca taşınan elektronlar hala çoğunlukla belli bir spin durumunda
olacaktır. Yarıiletkenin diğer ucuna da bir ferromanyetik malzeme eklediğimizde, elektronların yarıiletkenden ferromanyetik elektroda geçişleri ferromanyetiğin mıknatıslanma yönüyle
uyumlu olmaları durumunda çok daha kolay olacaktır.
Böylece FM-Yİ-FM şeklindeki bir
yapının elektriksel direncinin FM tabakalar aynı mıknatıslanma yönünene sahipse düşük, ters
mıknatıslanma yönüne sahiplerse yüksek olacağı tahmin edilebilir. ’Dev manyetodirenç’ (GMR)
etkisi denilen bu özellik spintroniğin günümüzde kazandığı önem ve yaygınlığının temelinde
56
yatan en önemli bulgudur. Nitekim 2007 yılı fizik Nobel ödülü bu etkiyi ilk olarak keşfeden
Albert Fert ve Peter Grünberg’e verilmiştir.
1990 yılında Datta ve Das tarafından bir spin tranzistörü modeli önerilmiştir. Şekilde
görüldüğü gibi iki ferromanyetik elektrot arasına yerleştirilmiş bir yarıiletken üzerinden geçen
akım elektronların spin özelliğini kullanarak ve uygulanan bir kapı potansiyeli ile açılıp kapanabilmektedir.
Önerilen modelin çalışma ilkesi aynı yönde mıknatıslanmış ferromanyetik tabakaların birinden
yarıiletkene belli bir spin durumunda giren elektronların, uygulanan elektrik alan altında yarıiletken
boyunca hareket ederken diğer ferromanyetik tabakaya varıncaya kadar spin durumlarını döndürerek
FM tabakaya geçişlerini engellemek üzerine kurulmuştur. Bu durum tranzistörün kapalı haline
denk gelmektedir. Kapı potansiyel farkı uygulanmadığında, yani elektrik alan kapatıldığında ise
giren ve çıkan elektronların spin durumları değişmediğinden daha yüksek bir akım geçecektir.
Bu ise tranzistörün açık halidir.
Elektron spinlerinin elektrik alan altında yarıiletkenden geçerken nasıl etkilendiklerini anlamak için 1960 yılında Rashba tarafından önerilen spin-yörünge etkileşmesini incelemeliyiz.
57
1.5.2
Spin-Yörünge Etkileşmeleri
Bir atomun yörüngesinde bulunan elektron çekirdeğin oluşturduğu elektrik alan altında
hareket etmektedir. Bu durum elektronun referans sisteminden bakıldığında sanki çekirdek
elektronun etrafında dönüyormuş olacağından elektronun bulunduğu noktada bir etkin manyetik
alan oluşturacaktır. Probleme Bohr modeli çerçevesinde yaklaşacak olursak, elektronun hissedeceği
manyetik alan
E=
µ0 I
2r
(1.5.1)
olacaktır. Burada r elektronun çekirdeğe uzaklığı, I ise göreli olarak dönen çekirdeğin oluşturduğu
dairesel akımdır.
Akımı birim zamanda geçen yük olarak yazarsak
I=
dQ
Ze
=
dt
2πr/v
(1.5.2)
µ0 Zev
4πr2
(1.5.3)
bulunur. Buna göre manyetik alan
B=
yazılabilir. Yörüngesel açısal momentumun
olduğunun kullanılması ile
L = mvr
(1.5.4)
~
~ = µ0 ZeL
B
4πmr3
(1.5.5)
elde edilir.
Elektronun spin manyetik momenti bu manyetik alan ile etkileşecektir. Bu noktada spin
manyetik momentini yazacak olursak
µB ~
S.
~
(1.5.6)
~
Hs-o = −~
µs · B
(1.5.7)
µ
~ s = −g
Buna göre spin yörünge etkileşme enerjisi
58
olur ve bunun
~
~ ·L
S
r3
(1.5.8)
ile orantılı olduğu açıktır.
Bilinen bazı bağıntıları kullanarak Hs-o terimini elektrik alan cinsinden yazmak mümkündür.
Etkin manyetik alanın
µ0 Zev
4πr2
(1.5.9)
1
²0 µ0
(1.5.10)
Ze v
4π²0 r2 c2
(1.5.11)
B=
olduğunu ve ışık hızının
c2 =
ile verildiğini kullanarak
B=
~ olduğundan
elde edebiliriz. Bu ifadede birinci kesir |E|
~
~
~ = − ~v × E = − p~ × E
B
2
2
c
mc
(1.5.12)
e
~ ve dolayısıyla µ
~ = ~ ~σ , µ
~ = − 2m
gS
~ = −µB ~σ eşitliklerinin kullanılması
formunda yazılabilir. S
2
ile görelilik etkisi ile paydaya gelen fazladan bir 2 terimi ile birlikte
~ = µB ~σ · (E
~ × p~)
Hs-o = −~
µ·B
2mc2
(1.5.13)
sonucuna ulaşılabilir. Sonuç olarak Rashba spin-yörünge etkileşme terimi b bir sabit olmak
üzere
b ~
Hs-o = − (E
× p~) · ~σ
~
(1.5.14)
şeklindedir.
2 Boyutlu Elektron Gazında Rashba Etkisi
Bir katı içerisinde haraket eden elektronun bu biçimde bir etkileşmeye uğraması sonucu
manyetik alan yokluğunda bile spin yarılmaları meydana gelecektir. Datta-Das tranzistörüne
dönecek olursak, ince bir film şeklindeki yarıiletken tabakada elektronlar iki boyutlu bir elektron
~ = E ẑ elektrik alanı altında p~ mogazı oluştururlar. Elektron gazını x − y düzleminde seçerek E
~ × p~) · ~σ Rashba etkileşmesinin
mentumuna sahip elektronun dinamiğine baktığımızda Hs-o ∼ (E
59
formu
~ × p~ = E(px ŷ − py x̂)
E
(1.5.15)
~ × p~) · ~σ = E(p
~ x σy − py σx ) = E(~
(E
p × ~σ )z
(1.5.16)
ve
olduğundan, α Rashba parametresi olmak üzere spin yörünge etkileşme enerjisini
Hs−o = −
α(E)
(~
p × ~σ )z
~
(1.5.17)
şeklinde ifade edebiliriz. Burada etkileşmenin şiddetinin elektrik alanla kontrol edilebileceği
açıkça görülmektedir.
1 Boyutlu Elektron Gazında Rashba Etkisi
Elektrik alan altında spin durumlarının hareketini açıkça görebilmek için bir boyutta Rashba
~ = Ey ŷ. Hamiltonyen:
spin yörünge etkileşmesini inceleyelim. Elektrik y yönünde olsun, E
H=
p2
b ~
− (E
× p~) · ~σ .
2m ~
(1.5.18)
d
Bir boyutta p~ = (−i~ dx
)x̂ olduğundan
H=−
b
~2 d2
−
2m dx2
~
Daha açık yazacak olursak
H=−
µ
¶
~ × (−i~ d )x̂ · ~σ .
E
dx
(1.5.19)
~2 d2
d
− ibEy σz
2m dx2
dx
(1.5.20)
denklemine ulaırız. Burada biliyoruz ki

σz = 

1
0
0
−1
.
(1.5.21)
Hamiltonyende birinci terimin 2 × 2 birim matrisiyle çarpıldığını bilerek, matris formunda

H=
elde edilir.
2

2
d
~ d
− 2m
dx2 − ibEy dx
0
0
~ d
d
− 2m
dx2 + ibEy dx
2
2
.
(1.5.22)
60
Buna göre dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı olarak
1
ψk (x) = √ eikx
L
(1.5.23)
seçildiğinde yukarı ve aşağı spin durumları


1
1
ψ↑,k = √ eikx   ,
L
0


0
1
ψ↓,k = √ eikx  
L
1
(1.5.24)
olacaktır. Buna göre enerji özdeğerleri Es,k = hψs,k |H|ψs,k i ise
E↑,k =
~2 k 2
~2 2
+ bEy k =
(k + 2kR k),
2m
2m
kR =
bEy m
~2
(1.5.25)
ve aşağı spinler için enerji benzer şekilde
E↓,k =
~2 2
(k − 2kR k)
2m
(1.5.26)
olarak elde edilecektir. Bu sonuç spin-yörünge etkileşmeleri dolayısı ile spin dejenereliğinin
ortadan kalkacağını açıkça göstermektedir.
YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I
Mauro F. PEREIRA
SHEFFIELD HALLAM UNIVERSITY
DERS ASİSTANI :
Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi)
DERS NOTU ASİSTANI :
Ebru BAKIR (Gaziantep Üniversitesi)
61
BÖLÜM İKİ
YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I
2.1
MADDE VE RADYASYON ETKİLEŞMESİ
2.1.1
Klasik Optik Salınım Modeli
Optiksel Alınganlık
Elektriksel alan etkisiyle -e yüklü bir parçacık denge konumundan x kadar yerdeǧiştirdiǧinde
oluşan elektriksel dipol moment ve mikroskopik polarizasyonu aşaǧıdaki gibi yazabiliriz.
+
E
…….
d
Şekil 2.1: Doǧrusal polarize olmuş elektriksel alanın dielektrik malzemenin makroskobik polar-
izasyonu etkilemesi
d = ex.
P=(
P
N ex
)=(
) = n0 ex
L3
V
(2.1.1)
(2.1.2)
Burada V = L3 hacmi, n0 ise elektron yoǧunluǧunu temsil etmektedir. -e yüklü parçacıǧın
salınım denklemi, sönümlü salınıcı için kullanılan Newton denklemi yardımı ile şöyle yazılabilir;
m0
d2 x
dx
+ 2m0 γ
+ m0 ω02 x = −eε(t).
dt2
dt
(2.1.3)
Bu ifadede γ, m0 ve ω0 sönüm katsayını,kütle ve rezonans frekansını göstermektedir. Genellikle elektriksel alanı komplex bir alan olarak düşünüp, fiziksel sonuç hesaplandıǧında gerçel
62
63
kısmını almak uygundur. Ansatz yerdeǧiştirme ile elektriksel alanın gerçel kısmı alındıǧında;
x = x0 eiωt
ε = ε0 cos ωt → ε0 eiωt
(2.1.4)
ve denklem (2.1.4), denklem (2.1.3)’de yerine yazıldıǧında aşaǧıdaki eşitlik kolayca elde edilebilir.
m0 (−ω 2 + 2iγω + ω02 )x0 = −eε0
(2.1.5)
Denklem (2.1.5) x0 için çözülür ve polarizasyon denkleminde kullanılır ise,
µ
x0 =
−eε0 /m
ω02 − ω 2 + 2iγω
µ
P = n0 ex0 =
¶
,
−e2 ε0 /m
2
ω0 − ω 2 + 2iγω
¶
n0 .
(2.1.6)
P(ω) = x(ω)ε(ω)
(2.1.7)
Etkin rezonans frekansı ω002 = ω02 − γ 2 , denklemini kullanarak denklem (2.1.6) eşitliǧinin paydasını rezonans ve rezonans olmayan titreşim terimlerine ayırır isek,
1
2ω00
1
.
−
= 2
02
0
0
ω − ω + iγ
ω − ω − iγ
ω − ω0 + 2iγω − γ 2
Bu eşitlik denklem (2.1.7) ile karşılaştırıldıǧında optiksel alınganlık aşaǧıdaki gibi bulunur,
− x(ω) =
2ω00
−n0 e2
=
02
2
2
ω − ω0 + 2iγω − γ
2m0 ω002
2
Optiksel alınganlıǧı, plasma frekansı ωp`
=
2
ωp`
x(ω) =
8ω002
µ
µ
4πn0 e2
m0 ,
1
1
−
ω − ω00 + iγ
ω + ω00 + iγ
¶
.
(2.1.8)
ile tekrar yazarsak,
1
1
−
0
ω − ω0 + iγ
ω + ω00 + iγ
¶
elde edilir. Etkin frekansla deǧişen alınganlık, ω = −iγ ± ω00 noktasında tekil olur. Bu ilişki
sadece biçimsel olarak kompleks frekans, ω = ω 0 + iω 00 , ile saǧlanabilir. Denklem (2.1.8) den
görülebildiǧi gibi, x(ω) alt yarı kompleks frekans düzleminde kutupludur, örneǧin ω 00 < 0 için.
Ancak tüm üst yarı düzlemde gerçel fonksiyondur. Alınganlıǧın bu özelliǧi nedensellik ilkesi ile
64
ilişkilendirelebilir. Nedensellik t anındaki polarizasyonun, P(t), sadece daha önceki zamanda
uygulanmış,
ε(t − τ ) alanından etkilendiǧini söyler, örneǧin τ ≥ 0. Alanla, polarizasyon
arasındaki en genel doǧrusal ilişki denklemi aşaǧıdaki gibi gösterilir,
Z
t
dt0 χ(t, t0 )ε(t0 ) .
P(t) =
(2.1.9)
−∞
Burada P(t) ve ε(t − τ ) gerçel deǧerlerdir, dolayısıyla χ(t)’de gerçeldir. Cevap fonksiyonu
χ(t, t0 ) sistemin önceki zamanlarda uygulanmış alanların oluşturduǧu etkilerin hafızasını tanımlar.
Nedensellik ilkesi gelecek zamanda uygulanacak ε(t0 ) alanının, t anındaki polarizasyon P(t)’ye
etki edemeyeceǧini söyler. Aşaǧıdaki gibi yeni zaman deǧişkenleri tanımlayalım.
T=
t + t0
and τ = t − t0
2
(2.1.10)
Eǧer sistem dengede ise hafıza fonksiyonu χ(T, τ ) sadece zaman farkı τ 0 ’ya baǧlı olur ve
polarizasyon aşaǧıdaki gibi yazılır.
Z
Z
t
0
P(t) =
0
∞
0
dt χ(t − t )ε(t ) =
−∞
dτ χ(τ )ε(t − τ ).
(2.1.11)
0
Fourier dönüşümü ile bu denklem daha basit yazılabilir;
Z
∞
f (ω) =
Z
dtf (t)eiωt
∞
, f (t) =
−∞
−∞
Z
Z
∞
∞
dt
P(ω) =
Z
Z
∞
dt
−∞
Z
∞
=
0
dτ χ(τ )ε(t − τ )eiωτ ,
0
−∞
=
dω
f (ω)e−iωt
2π
∞
dτ χ(τ )ε(t − τ )eiω(t−τ )e
iωτ
,
0
Z
dτ χ(τ )eiωτ
∞
−∞
dtε(t − τ )eiω(t−τ ) .
(2.1.12)
65
Nedensellik gereǧi τ < o, χ(τ ) < 0
Z
χ(ω) =
∞
dτ χ(τ )eiωτ ,
0
P(ω) = χ(ω)ε(ω).
Yine P(t) ve ε(t) gerçel olduǧu için χ(t)’de gerçeldir.
χ∗ (t) = χ(t)
Z
Z
∞
∗
dωχ (ω)e
iωt
−∞
Z
∞
=
Z
∞
dωχ(ω)e−iωt ,
−∞
dωχ∗ (−ω)e−iωt =
−∞
∞
dωχ(ω)e−iωt ,
−∞
χ∗ (ω) = χ(ω) , χ0 ( − ω) − iχ00 (−ω) = χ(ω) + iχ00 (ω).
ve
χ0 (−ω) = χ0 (ω)
−χ00 (−ω) = χ00 (ω)
ω 00 ≥ 0 durumunda χ(ω) analitik bir fonksiyondur, ve τ → 0 durumunda da e−iω
00
τ
integral-
lenen fonksiyonu sıfıra gitmesi için zorlar. χ(ν) gerçel frekanslar için analitiktir, Cauchy ilişkisi
kullanılarak tekrar yazıldıǧında
Z
∞
χ(ω) =
−∞
dν
χ(ν)
,
2πi ν − ω − iδ
(2.1.13)
δ pozitif ve ölçülemeyecek kadar küçük (infinitesimal) bir sayıdır. İntegral, Dirac identity
kullanılarak çözülebilir.
lim
δ→0
Z
∞
χ(ω) = P
−∞
1
1
= P + iπδ(ω),
ω − iδ
ω
π
dν χ(ν)
+
2πi ν − ω 2π
Z
∞
dνδ(ν − ω)χ(ν),
−∞
66
Z
∞
dν χ(ν)
(−i).
π ν−ω
χ(ω) = P
−∞
Gerçel ve sanal kısımlar eşitlendiǧinde;
Z
0
∞
χ (ω) = P
−∞
Z
00
dν χ00 (ν)
,
π ν−ω
∞
χ (ω) = −P
−∞
dν χ0 (ν)
.
π ν−ω
(2.1.14)
İntegrali iki kısma ayırır isek,
Z
0
0
dν χ00 (ν)
+P
π ν−ω
χ (ω) = P
−∞
Z
0
∞
dν χ00 (ν)
π ν−ω
ve χ00 (ω) = −χ00 (−ω) ilişkisi kullanıldıǧında aşaǧıdaki eşitlikler bulunur,
Z
Z ∞
−dν χ00 (−ν)
dν χ00 (ν)
P
=P
π ν+ω
−∞ π −ν − ω
0
µ
¶
Z ∞
1
1
dν 00
χ (ν)
+
.
χ0 (ω) = P
π
ν−ω ν+ω
0
0
Z
0
χ (ω) = P
0
∞
dν 00
χ (ν)
π
µ
2ν
ν 2 − ω2
¶
(2.1.15)
Bu eşitlik Kramers-Kronig baǧıntı olarak adlandırılır. Eǧer tüm pozitif frekans deǧerlerinde
sanal kısım biliniyor ise, χ(ω)’nın gerçel kısmıhesaplanabilir.
Soǧurma ve Kırılma
Yerdeǧiştirme alanıD(ω), polarizasyon P(ω) ve elektrik alanı ε(ω) ile aşaǧıdaki gibi ifade
edilebilir.
D(ω) = ε(ω) + 4πP(ω) = [1 + 4πχ(ω)]ε(ω) = ²(ω)ε(ω)
(2.1.16)
67
Optiksel dielektrik fonksiyonu ²(ω)’da optiksel alınganlıktan elde edilebilir,
2
ωp`
²(ω) = 1 + 4πχ(ω) = 1 −
2ω00
µ
1
1
−
0
ω − ω0 + iγ
ω + ω00 + iγ
¶
.
(2.1.17)
ωp` , elektron plazmasında ortalama yoǧunluǧu n0 olan plazma frekansıdır.
2
ωp`
=
4πn0 e2
m0
(2.1.18)
Basitleştirme: Sadece ”Rotating Wave” yaklaşımını, ω0 À γ ve dolayısıyla da ω00 ' ω0
alalım.
²0 (ω) = 1 −
²00 (ω) =
2
ωp`
ω − ω0
0
2ω0 (ω − ω0 )2 + γ 2
2
ωp`
2γ
2ω00 (ω − ω0 )2 + γ 2
(2.1.19)
(2.1.20)
Optiksel Dielektrik Fonksiyonunun Taşıdıǧı Fiziksel Bilgiler: Dielektrik
Ortamda Yayılan Işın Demeti
~
~ = 1 ∂D
∇×B
c ∂t
(2.1.21)
~
1 ∂B
c ∂t
(2.1.22)
∇ × ~ε = −
~ = H(µ
~ = 1)
optik frekanslarda, B
2~
~ =−1 ∂ D
∇ × ∇ × ~ε = −∇ × H
c2 ∂t2
~ = 0 olur.
∇ × ∇ × = ∇(∇ · ) − ∆ baǧıntısını ile enlemsel elektrik alanı ∇ · E
∆ε(r, t) −
~ t)
1 ∂ 2 D(r,
=0
2
c
∂t2
⇓
(2.1.23)
68
F ourier T ransf ormu
∆ε(r, ω) +
ω2 0
ω 2 00
²
(ω)ε(r,
ω)
+
i
² (ω)ε(r, ω) = 0
c2
c2
(2.1.24)
k(ω) dalga sayısıyla yayılan düzlem dalgaları ve z yönündeki sönümlenme (extinction) katsayısı κ(ω) için şunları elde edebiliriz:
ε(r, ω) = ε0 (ω)ei[k(ω)+iκ(ω)]z
[k(ω) + iκ(ω)]2 =
ω2 0
[² (ω) + i²(r, ω)]
c2
(2.1.25)
Bu denklemin gerçel ve sanal kısımları eşitlendiǧinde:
k(ω)2 + κ(ω)2 =
2κ(ω)k(ω) =
ω2 0
² (ω),
c2
ω 2 00
² (ω),
c2
elde edilir.
Kırılma İndisi n(ω):
Ortamdaki dalga sayısı k(ω)’nın, vakum dalga sayısı k0 = ω/c’ye olan oranıdır.
ω
c
(2.1.26)
α(ω) = 2κ(ω)
(2.1.27)
k(ω) = n(ω)
Soǧurma Katsayısı:
Soǧurma katsayısı gerçek uzayda yoǧunluǧun azalmasını belirler.
I ∝ |ε|2 = |ε0 |2 e−αz
1/α → yoǧunluǧun e−1 kadar azaldıǧı mesafedir.
69
ω2 0
ω 2 2 α2
=
n
−
² (ω)
c2
4
c2
ω α
ω2
2 n = 2 ²00 (ω)
c 2
c
α=
n2 −
ω ²00
c n
c2 ω 2 ²002
= ²0
ω 2 4c2 ω 2
n4 − ²002 − n2 ²0 = 0
Kırılma indisi,
r
n=
1 0 p 02
[² + ² + ²].
2
(2.1.28)
ω 00
² (ω).
n(ω)c
(2.1.29)
Soǧurma katsayısı,
α(ω) =
Yarıiletkenler İçin Tipik Yaklaşımlar:
²00 (ω) ¿ ²(ω)
nb −→ nortam(background) ve n(ω) =
α(ω) =
ω²00 (ω)
4πω
=
χ(ω)
nb c
nb c
p
²0 (ω)
(2.1.30)
χ = χb + δχ0
n = (²b + 4πδχ0 )
n ∼ nb +
2π 0
δχ
nb
(2.1.31)
70
2.1.2
Yarı Klasik Teori
∂
ψ = Hψ
∂t
1³
e ´2 e 2
H=
p− A +
2
c
2r
i~
~ ve A’nın
~
E
ışıǧın yayılma yönüne dik olduǧunu kabul edelim. Coulomb ayarını (enlemsel ayar)
~ ·A
~ = 0 olur ve enlemsel klasik elektrik alan şöyle yazılabilir,
alırsak ∆
~ = − 1 ∂A .
E
c ∂t
Daha sonra elektrik dipole yaklaşımı ile alanın zamana baǧlı olduǧunu ve ortam içinde fazla
deǧişmediǧini kabul edelim.
A(r, t) ' A(0, t)
Şimdi birimsel (Unitary) bir operatör olan dönüştürme (Translational) operatörünü işlemlerimize
dahil ederek momentum p’yi
e
c A(0, t)’ye
çevireceǧiz.
e r
T = e−i c ~ A
,
ve dönüştürme operatörü birimsel bir operatör olduǧundan
TT† = I
|ψ 0 >= T |ψ >
i~
i~
i~T

−→ |ψ >= T † |ψ 0 >
∂
|ψ >= H|ψ >
∂t
∂ † 0
(T |ψ >) = HT † |ψ 0 >
∂t
∂ † 0
(T |ψ >) = T HT † |ψ 0 >
∂t

µ ∂T † ¶


† ∂ 
i~  T
+T
T
|ψ 0 >= T HT † |ψ 0 >
|{z} ∂t 
∂t


I
| {z }
m
71
∂
∂T †
∂T
TT† = 0 = T
+ T†
∂t
∂t
∂t
∂T
−
∂t}
| {z
i~(
T† +
∂
)|ψ 0 >
∂t
kolayca hesaplanabilir
e r
T = e−i c ~ A
⇒
i~
∂T
er ∂A
=−
= erE
∂t
c ∂t
µ
¶
∂
†
0
−erE + i~
|ψ 0 >= T HT
| {z } |ψ >
∂t
⇓


2

e 
 ie r A
 1 

 p − A + V  e c ~
2m |{z} c
⇓
"
1
2m
#
µ
¶2
e r
∂
e
−i~
− A + V ei c ~ A
∂r
c
Momentum operatörü, dönüşüm operatörüne uygulanarak şu sonuç elde edilebilir,
µ
¶
e r
∂
e
e
e
−i~
− A ei c ~ A = T † A|ψ 0 > +T † p|ψ 0 > −T † A|ψ 0 >= T † p|ψ 0 >
∂r
c
c
c
¶
µ
e
∂
− A T † p|ψ 0 >= T † p2 |ψ 0 >
−i~
∂r
c
T (HT † |ψ 0 >) = T T † p2 |ψ 0 >= p2 |ψ 0 >
ve denklem (2.1.32)’te yerine koyulursa,
µ
¶
µ 2
¶
∂
p
|ψ 0 >=
+ Vc |ψ 0 >
∂t
2m


2
∂ 0
p
i~ |ψ >= 
+ Vc − |{z}
er E |ψ 0 >
∂t
2m
d
|
{z
}
erE + i~
H0
(2.1.32)
72
d:dipole moment
H0 =
i~
2.1.3
p2
+ Vc − dE
2m
(2.1.33)
∂
|ψ >= H|ψ >
∂t
(2.1.34)
İkinci Kuantizasyon
Yarı klasik hamiltonyeni yazılır ise,
Hˆsc = Ĥo + ĤI
Ĥo =
(2.1.35)
p2
+V
2m
ĤI = −erE
Schrödinger denklemini klasik dalga denklemi olarak düşündüǧümüzde,
i~
∂ψ
− Hˆsc ψ = 0,
∂t
ve ψ ve ψ ∗ ifadelerini baǧımsız deǧişkenler olarak kabul edersek, Lagrange denklemini şöyle
yazabiliriz;
µ
¶
∂ψ
ˆ
L = ψ i~
− Hsc ψ .
∂t
∗
(2.1.36)
X ∂ δL
∂ δL
δL
=−
∗ −
∗ = 0
∂ψ
δψ
∂t δ ∂t
∂xi δ ∂ψ
∂x
i
ψ ∗ , t’den baǧımsız ve xi ile deǧişmediǧinden Lagrange denkleminin ψ ∗ ’a göre deǧişimi sıfır olur.
∂ψ
δL
= −i~
− Hˆsc ψ = 0
δψ ∗
∂t
Π=
δL
= i~ψ ∗
δ ∂ψ
∂t
Hamiltonyen Yoǧunluǧu
h=Π
h = i~ψ ∗
∂ψ
−L
∂t
∂ψ
∂ψ
− ψ ∗ i~
+ ψ ∗ Hˆsc ψ
∂t
∂t
73
1
ΠHˆsc ψ.
i~
h=
(2.1.37)
Fermiyonlar İçin İkinci Kuantizasyon
[ψ̂, ψ̂]+ = [ψ̂ † , ψ̂ † ] = 0
(2.1.38)
[ψ̂(r, t), Π̂(r0 , t)]+ = i~δ(r-r0 )
[ψ(rˆ0 , t), ψ̂(r0 , t)] = δ(r-r0 )
1
Π̂(r)Hˆsc ψ(r) = ψ † (r)Hˆsc ψ(r)
i~
Z
Z
Ĥ = ĥd3 r = ψ † (r)Hˆsc ψ(r)d3 r
ĥ =
İki parçacık durumu için;
Z
Ĥ =
1
d rψ (r)Hˆsc ψ(r) +
2
3
Z
†
d3 rd3 r0 ψ † (r0 )ψ † (r)V (r,r0 )ψ(r0 )ψ(r) .
Ĥsc = Ĥo + ĤI
Alan operatörlerini genişletirsek dalga fonksiyonları şöyle yazılabilir;
ψ(r) =
X
ank0 φnk0 (r)
(2.1.39)
nk0
ψ † (r) =
X
a†lk φ†lk (r).
(2.1.40)
lk
Z
~
d3 rψ † (r)(−erE)ψ(r)
ĤI =
ĤI = −
X
l,n,k,k0
Z
d3 rφ†lk (r)erφnk0 (r)
{z
}
|
dl,n,k,k0 ∼dln (k) (sadece direk gecisler)
~ a† ank0
E
lk
74
ĤI = −
X
~ ln (k)a† ank0
Ed
lk
l,n,k
• Bu kısımda serbest taşıyıcılar için hamiltonyeni bulmaya çalışılacaktır.
p2
+ Vo
2m
Ho =
(2.1.39) ve (2.1.40) denklemleri kullanalılarak
Ĥo = ψ † (r’)Ho ψ(r’),
Ĥo = −
Z
X
a†lk ank0
l,n,k,k0
d3 rφ†lk (r’)Ho φnk0 (r’) .
{z
}
|
Enk0 δln (k)δkk0
Direk geçişlerde k = k 0 ve l = n koşulları varsayıldıǧında,
Ho =
X
Enk a†lk ank0
n,k,
olarak elde edilir.
• Coulomb etkileşim teriminin çözülmesi ise biraz güçtür,
ψ † (r)ψ † (r’)V (r − r0 )ψ(r)ψ(r’)d3 rd3 r0
bu ifadede r ve r’ için dalga fonksiyonlarını aşaǧıdaki gibi kullanaım,
†
ψlk
=
1
X
a†nk1 φ†nk1 ,
nk1
†
ψlk
=
2
X
lk2
a†lk2 φ†lk2 ,
(2.1.41)
75
ψmk3 =
X
amk3 φmk3 ,
mk3
ψpk4 =
X
apk4 φpk4 .
pk4
X
Z
φ†nk1 (r)φ†lk2 (r’)V (r − r0 )φmk3 (r’)φpk4 (r)a†nk1 a†lk2 amk3 apk4 d3 rd3 r0
l,n,m,p,k1,k2,k3,k4

X
V
...

n
l
m
p
k1
k2
k3
k4
 a† a† amk3 apk4
nk1 lk2
Bu toplam ifadesi neredeyse her bilgiyi içerdiǧinden ve hesaplanması çok zor olduǧundan
bazı yaklaşımlar kullanmamız gerekmektedir. Bunlardan birisi sadece bir elektron ve bir boşluk
için problemi sınırlandırmaktır. Dolayısı ile artık elektron ve boşluk (deşik) için oluşturma ve
yoketme operatörlerini işlemlerimizde dahil etmemiz gerekmektedir.
Şekil 2.2: Bandlar arasıyarı-İletken optiǧi, elektron ve boşluk (deşik oluşumu)
Elektron oluşturma operatörü,
a†c = âe = α,
ve boşluk oluşturma operatörü,
†
a†vk = β−k
76
yazıldıǧında toplam Hamiltonyenimiz;
H
=
X
†
[Eek αk† 0 αk0 + Ehk β−k
0 β−k 0 ]
k0
−
X
†
∗
ε(t)[dcv αk† 0 β−k
0 + dcv β−k 0 αk 0 ]
k0
+
1 X
†
†
†
Vq [αk+q
αk† 0 −q αk0 αk + βk+q
βk†0 −q βk0 βk − 2αk+q
βk†0 −q βk0 αk ]
2 0
k,k q6=0
Bu denklemdeki ilk ifade, iletim bandındaki elektronun ve valans bandında bulunan boşluǧun
enerjilerini içermektedir. Momentum baǧımlılıǧını ihmal edilmiştir. İkinci ifade elektriksel alan
etkileşmesidir ve bu durumda iki durum sözkonusudur ya absorplama gerçekleşecek sonucunda
elektron-boşluk oluşacak yada ışık oluşacak ve elektron-boşluk birleşerek birbirini yok edecektir.
Son ifade ise coulomb etkileşmesidir. Tipik olarak bir yarı iletken 1 eV civarında yasak
enerji aralıǧına sahiptir, Coulomb etkileşmesi ise her olası durum gözönünde bulundurulduǧunda
meV mertebesindedir yani oldukça küçüktür. Bu ifadedeki oluşturma ve yoketme operatörleri,
toplam taşıyıcı sayısını deǧiştirmez sadece momentum ve enerjiyi elektronlar veya boşluklar
arasında tekrar daǧıtır. Elektron ve boşlukların yoǧunluklarını ve polarizasyonu operatörlerle
yazarsak;
nek = hαk† αk i
(2.1.42)
†
nhk = hβ−k
β−k i
(2.1.43)
Pk = hβ−k αk i
(2.1.44)
ve bu ifadeleri kullanarak elektronlar ve boşluklar için tüm hareket denklemlerini elde edebiliriz. Elde edilen hamiltonyen kullanılarak elektron ve boşlukların yoǧunlukları ve polarizasyon
elde edilebilir. Kuantum mekaniǧinde bütün operatörler zamandan baǧımsız olduǧu için ilk
olarak hamiltonyeni de zamandan baǧımsız yazmaya çalışacaǧız.
i~
∂
|ψ(t)i = Hψ(t)
∂t
|ψ(t)i = exp
−iHt
|ψo i
~
77
Polarizasyonu elde etmek için toplam hamiltonyeni, serbest taşıyıcıhamiltonyeni Ho elektriksel alan etkileşmesi hamiltonyeni HI ve coulomb etkileşmesi hamiltonyeni Hc toplamı şeklinde
yazabiliriz,
i~
∂Pk
= [Pk , H] = [Pk , Ho + HI + Hc ].
∂t
Bu ifadedeki polarizasyonun hamiltonyen ile komutasyonunu inceleyelim. İlk olarak serbest
taşıyıcıhamiltonyeninin polarizasyonla komutasyonu bakarsak,
[Pk , Ho ] = [β−k αk ,
X
†
[Eek αk† 0 αk0 + Ehk β−k
0 β−k 0 ]]
k0
ve buradan gelecek terimleri tek tek incelersek,
[β−k αk , αk† 0 αk0 ] = β−k αk αk† 0 αk0 − αk† 0 αk0 β−k αk
{z
}
|
−β−k αk† 0 αk0 αk = −β−k αk† 0 αk αk0
| {z }
[αk , αk† 0 ] = αk , αk† 0 − αk† 0 αk = δkk0
[β−k αk , αk† 0 αk0 ] = β−k αk αk† 0 αk0 − β−k (−δkk0 + αk , αk† 0 )αk0
k=k’
[β−k αk , αk† 0 αk0 ] = β−k αk
†
†
†
[β−k αk , β−k
0 β−k 0 ] = β−k αk β−k 0 β−k 0 − β−k 0 β−k 0 β−k αk
|
{z
}
†
αk β−k0 β−k β−k0
| {z }
†
†
†
[β−k , β−k
0 ] = β−k β−k 0 − β−k 0 β−k = δkk 0
†
†
†
[β−k αk , β−k
0 β−k 0 ] = β−k αk β−k 0 β−k 0 − αk (β−k β−k 0 − δkk 0 )β−k
(2.1.45)
78
k=k’
†
[β−k αk , β−k
0 β−k 0 ] = β−k αk
(2.1.46)
[Pk , Ho ] = (Eek + Ehk )Pk
(2.1.47)
elde edilir. İkinci olarak hamiltonyenin ikinci ifadesi olarak yazdıǧımız elektriksel alan etkileşmesi hamiltonyeninin polarizasyonla komutasyonu bakalım,
i~
∂Pk
= [Pk , HI ]
∂t
dipole k dan baǧımsız olduǧundan;
HI = −ε(t)dcv
X
†
αk† 0 β−k
0 + h1
k0
[Pk , HI ] = [β−k αk , −ε(t)dcv
X
†
αk† 0 β−k
0 + h1 ]
k0
yine buradan gelecek terimleri tek tek incelersek,
†
[β−k αk , αk† 0 β−k
0]
=
†
†
β−k αk αk† 0 β−k
0 − αk 0
†
αk
β−k
0 β−k
| {z }
†
β−k β−k
0 −δkk0
=
†
†
†
β−k αk αk† 0 β−k
αk† 0 β−k β−k
0 + αk 0 δkk 0 αk −
0 αk
{z
}
|
†
†
β−k αk0 αk β−k0
| {z }
†
αk α 0 −δ
kk0
k
=
†
αk† 0 αk + β−k β−k
0
†
[Pk , HI ] = ε(t)dcv (1 − αk† 0 αk − β−k β−k
0)
(2.1.48)
79
(2.1.42) ve (2.1.43) denklemlerini hatırlar isek,
i~
∂Pk
= [Pk , H] = (Eek + Ehk )Pk + dcv ε(t)(1 − nek − nhk )
∂t
ε(t) = ε(ω)eiωt
(2.1.49)
(2.1.50)
hP (k)i = P(k)
P (t) = P (ω)eiωt
(2.1.51)
Bu ifadeleri (2.1.49)’da yerine koyduǧumuzda polarizasyon ve alınganlık aşaǧıdaki gibi elde
edilir,
~ωP (ω) = (Eek + Ehk )ωP (ω) + dcv ε(ω)(1 − nek − nhk ),
χ(ω) =
P (ω)
dcv (1 − nek − nhk )
=
.
ε(ω)
ω − Eek − Ehk + iδ
(2.1.52)
Tam polarizasyon durumunda;
X d2 (1 − nek − nhk )
cv
χ(ω) =
ω − Eek − Ehk + iδ
(2.1.53)
k
Alt-Bandlar Arası Yarı-İletken Optiǧi
2 Band Modeli, Serbest Taşıyıcılar
H = Ho + HI
Bandların aşaǧıdaki şekilde olduǧu gibi parabolik olduklarını kabul edersek enerjilerini şöyle
yazabiliriz,
a†k0 −→ a bandında elektron oluşturur
80
Şekil 2.3: Alt-bandlar arası yarı-İletken optiǧi 2 Band Modeli
b†k0 −→ b bandında elektron oluşturur
Ho =
X
²a =
~2 k 2
+ Ea ,
2me
(2.1.54)
²b =
~2 k 2
+ Eb .
2me
(2.1.55)
(²a (k 0 )a†k0 ak0 + ²b (k 0 )b†k0 bk0 )
k0
HI = −
X
ε(t)(dab a†k0 bk0 + d∗ab b†k0 ak0 )
k0
na (k) = ha†k ak i
(2.1.56)
nb (k) = hb†k bk i
(2.1.57)
Pk = hb†k ak i
(2.1.58)
i~
∂Pk
= [Pk , H]
∂t
81
Serbest taşıyıcı hamiltonyeninden Ho ’dan gelecek terimler tek tek incelenir ise;
[b†k ak , a†k0 ak0 ] = b†k
ak a†k0
| {z }
ak0 − a†k0 ak0 b†k ak = δkk 0 b†k ak0
δkk0 +a†k0 ak
[b†k ak , b†k0 bk0 ] = −δkk 0 b†k0 ak
[Pk , Ho ] =
X
(²a (k 0 )δkk 0 b†k ak0 − ²b (k 0 )δkk 0 b†k0 ak
k0
k = k0
[Pk , Ho ] = (²a (k) − ²b (k))Pk
(2.1.59)
elde edilir. Benzer şekilde etkilesim hamiltonyeni HI ’dan gelecek ifadelere bakarsak,
[Pk , HI ]
[b†k ak , a†k0 bk0 ] =
b†k ak a†k0 bk0 − a†k0
bk 0 b†
| {z k}
ak
−b†k bk0 +δkk0
=
b†k ak a†k0 bk0 + a†k0 b†k bk0 ak − a†k0 δkk0 ak
=
b†k ak a†k0 bk0 + b†k
a† 0 ak
| k{z }
bk0 − a†k0 δkk0 ak
−ak a†k0 +δkk0
=
b†k ak a†k0 bk0 − b†k ak a†k0 bk0 + b†k δkk0 bk0 − a†k0 δkk0 ak
=
b†k δkk0 bk0 − a†k0 δkk0 ak
82
[b†k ak , b†k0 ak0 ] = 0
[Pk , HI ] = −dab ε(t)
X
δkk0 (b†k bk0 − a†k0 ak )
k0
k = k0
[Pk , HI ] = dab ε(t)(a†k0 ak − b†k bk0 )
(2.1.60)
elde edilir. Bulunan bu ifadeler toplam hamiltonyende yazılır ise,
i~
∂Pk
= (²a (k) − ²b (k))Pk + dab ε(t)(a†k0 ak − b†k bk0 )
∂t
(2.1.61)
bu eşitliǧin kuantum istatistiksel ortalamasını alırsak,
hi~
∂Pk
i = h(²a (k) − ²b (k))Pk i + hdab ε(t)(a†k0 ak − b†k bk0 )i.
∂t
(2.1.56),(2.1.57) ve (2.1.58) denklemleri kullanılarak eşitlik tekrar düzenlenir ise,
ε(t) = εo e−i(ωt+iδ)
(2.1.62)
Pk (t) = P (k)e−i(ωt+iδ))
(2.1.63)
~δ = Γ
(~ω + iΓ)P = (²a (k) − ²b (k))P (k) + dab εo (na (k) − nb (k))
χ=
P
εo
83
χk (ω)[~ω − ²a (k) + ²b (k) + iΓ] = dab (na (k) − nb (k))
χk (ω) =
dab (na (k) − nb (k))
~ω − ²a (k) + ²b (k) + iΓ
χ(ω) =
RX ∗
dab χk (ω)
V
k
χ(ω) =
1 X 2|dab |2 (na (k) − nb (k))
V
~ω − ²a (k) + ²b (k) + iΓ
k
Yukarıdaki ifademizin payında bulunan 2 çarpanı, alt-bandlar arasıgeçişlerdeki spin seçeneǧinden
kaynaklanmaktadır. V ile gösterdiǧimiz ifade ise hacim olup S.L’dir. Bu işlemlerde a ve
b alt-bandlarında kütlelerin aynı olduǧunu kabul edildi. (2.1.54) ve (2.1.55) denklemlerini
hatırlayarak bu eşitliǧi tekrar düzenleyelim.
χ(ω) =
2(na (k) − nb (k))
|dab |2 X
V
~ω − Ea (k) + Eb (k) + iΓ
k
=
X 2(na (k) − nb (k))
2|dab |2
~ω − Ea (k) + Eb (k) + iΓ
V
k
Alınganlık ifadesi aşaǧıdaki gibi elde edilir,
χ(ω) =
|dab |2 (Na − Nb )L
.
~ω − Ea (k) + Eb (k) + iΓ
(2.1.64)
Buradan alt-bandlar arası absorpsiyon (soǧurma) ifadesi için analitik bir ifade elde edebiliriz.
00
4πωχ (ω)
4πω
Γ(Na − Nb )
α(ω) =
=
nb c
nb cL ~ω − Ea (k) + Eb (k) + p2
(2.1.65)
84
Bu ifadeden de görülebildiǧi gibi eǧer alt band b’de üst band a’dan daha fazla taşıyıcı var
ise soǧurma , tam tersi üst band a’da alt band b’den daha fazla taşıyıcı var ise emisyon olur
ki bu durumda soǧurma ifadesi negatife gider yani kazanç durumu oluşur. Alt-bandlar arası
yarı-ıletken optiǧi bandların azçok aynı eǧime sahip olduǧu yani kütlelerin eşit olduǧu durumda
bandlar arasıoptik için asla elde edilemeyen analitik ifadeler elde edilebildiǧinden dolayıilginçtir.
Ayrıca bu ifademizdeki Γ deǧerinin birkaç mev olduǧu ve teorisi gözönünde bulundurulursa altbandlar arası yarı-İletken optiǧinin kuantum nokta veya kuyu geçislerinden daha fazla atomik
fiziǧe benzediǧi görülür.
YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II:
OPTİK ÖZELLİKLER VE DİELEKTRİK TEPKİ
Ceyhun BULUTAY
BİLKENT ÜNİVERSİTESİ
DERS ASİSTANI :
Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi)
DERS NOTU ASİSTANI :
Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi)
85
BÖLÜM ÜÇ
YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II :
OPTİK ÖZELLİKLER VE DİELEKTRİK TEPKİ
3.1
GİRİŞ
Yüzyılı aşkın bir süredir oturmuş bir konu olarak bilinen elektromanyetik kuramında, son
20 yılda hiç beklenmedik gelişmeler yaşanmakta. Bu da bize her zaman için sürprizlere açık
olmamız gerektiǧine dair en güzel bir hatırlatma. Esasen söz konusu gelişmeleri malzeme ortamına ait varsayımlarımızın ve sınırlarımızın aşılmasına borçluyuz. Önemli kilometre taşlarını
çok kabaca sıralayacak olursak, ilk önce periyodik yapılardaki fotonik bant aralıǧının kullanıma
açılması ve bunun fiber dalga kılavuzlarına kadar uygulamaya geçirilmesi, daha sonra Elektromanyetik olarak Etkilenmiş Saydamlık ile ışıǧın neredeyse durdurulması ve daha yakın bir
geçmişte ise sol elli malzemeler ile saǧ duyularımızı alt üst eden yansıma ilkelerine ve dalgaboyu
altı çözünürlüǧün elde edilmesine tanık olduk.
Bu denli klasik bir konuda yaşanan devrimlerden hareketle, bu ders notları, elektromanyetik
dielektrik tepki ve yüzey plazmon polaritonlarına basit bir giriş olarak hazırlanmıştır. İlk
olarak, homojen bir ortamın elektromanyetik tepkisinin boyuna ve enine şeklinde ayrıldıǧını
göreceǧiz (Dressel ve Grüner, 2002). Daha sonra Kramers-Kronig baǧıntısı ile tepki fonksiyonlarının Fourier dönüşümü sonrasında nedensellik ilkesi gereǧi sahip olması gereken kompleks
düzlemdeki analitik yapıyı anlayacaǧız. Bu bölümü, tepki fonksiyonlarının ilinti fonksiyonları ile
olan ilişkisi ve Kubo formülü ile tamamlayacaǧız (Dressel ve Grüner, 2002, Pines ve Nozières,
1999). Bundan sonra, homojen ortam modelinden çıkarak, örgülerin dielektrik fonksiyonunu
inceleyip, meşhur rasgele faz yaklaşımı (Ehrenreich ve Cohen, 1959, Adler, 1962, Wiser, 1963)
ve yerel alan düzeltme etkilerine (Gorobchenko ve diğer., 1989) deǧineceǧiz. Homojen olmayan
ortamları anlamak için önemli klasik bir yaklaşım olan Clausius-Mossotti modelini (Jackson,
1999) hem makroskopik hem de mikroskopik şekilde (Aspnes, 1982) türeteceǧiz. Bu kısım
bizi plazmonik, fotonik gibi güncel araştırmalarda çok sıkça kullanılan Maxwell-Garnett ve
Bruggeman Etkin Alan Yaklaşımlarına götürecek (Aspnes, 1982). En son olarak, yüzey plazmon polaritonları konusuna klasik yaklaşım altında bir giriş yapacaǧız (Maier ve Atwater, 2005,
Pitarke ve diğer., 2007, Zayats ve diğer., 2005).
Vurgulanmak istediǧimiz önemli bir nokta olarak, bu notlar, içerik olarak hiçbir özgün
deǧer taşımayan bir derleme niteliǧindedir ve yararlanılan kaynaklar, Kaynakça Bölümünde
sıralanmıştır. Bu Giriş Bölümünde en son olarak, Sayın Ümit Keleş’e özel teşekkürlerimizi
iletmek istiyoruz. El yazısı ile hazırlanan İngilizce notlardan, bu basılı Türkçe metnin elde
86
87
edilmesini, kendisinin titiz ve özverili çalışmalarına borçluyuz. Ayrıca, 2007 yılı Aǧustos ayında
Erzurum’da bu derslerin anlatıldıǧı Çalıştay’ın düzenlenmesine maddi ve manevi olarak destek
veren Atatürk Üniversitesi’ne ve Çalıştay’a katılan deǧerli genç fizikçi meslektaşlarımıza da
şükran ve teşekkürlerimizi belirtmek isteriz.
3.2
GEREKLİ ELEKTROMANYETİK TEORİ BİLGİLERİ
Bu çalışma boyunca Gauss birimlerini kullanacaǧız. Bu birim sistemi için boşlukta Maxwell
denklemlerini hatırlayarak başlayalım:
∇ · E(r, t) = 4πρ(r, t),
(3.2.1)
∇ · B(r, t) = 0,
(3.2.2)
1 ∂B(r, t)
= 0,
c
∂t
(3.2.3)
1 ∂E(r, t)
4π
=
J(r, t).
c ∂t
c
(3.2.4)
∇ × E(r, t) +
∇ × B(r, t) −
Ayrıca, yardımcı vektör potansiyelleri tanımlarsak:
B = ∇ × A,
E+
(3.2.5)
1 ∂A
= −∇Φ.
c ∂t
(3.2.6)
Yük korunumunu ifade eden süreklilik denklemi ise:
∂ρ
= −∇ · J.
∂t
(3.2.7)
Poisson denklemi ise yük yoǧunluǧunu skalar ve vektörel potansiyellerle ilişkilendirir:
∇ · E = 4πρ = −∇2 Φ −
1 ∂
(∇ · A).
c ∂t
(3.2.8)
Ampère yasası ve vektör eşitliǧi ∇ × (∇ × A) = −∇2 A + ∇(∇ · A) beraber kullanıldıǧında
vektör potansiyel A için dalga denklemi formu elde edilir:
∇2 A −
4π
1 ∂Φ
1 ∂2A
=− J+ ∇
+ ∇(∇ · A).
2
2
c ∂t
c
c ∂t
(3.2.9)
88
3.2.1
Boyuna ve Enine Tepkiler
Dalga vektörü q yönünde ilerleyen harmonik karakterli elektromanyetik dalgayı ele alalım:
E(r, t) = Eo ei(q·r−ωt) .
(3.2.10)
Bu formdaki dalga için ∇ türev işleminin sonucu dalgayı iq ile, ∂t için ise −iω ile çarpmaktır.
Bu formda verilen dalga boyuna ve enine bileşenlere ayrılabilir:
E = EL + ET = (q̂ · E)q̂ + (q̂ × E) × q̂.
(3.2.11)
Bu bilgi ışıǧında ∇ etkisi için iq ile çarpım uyarımız kullanılarak ∇ × EL = 0, ∇ · ET = 0
denklikleri gözlemlenebilir. Ayrıca bu durumda ∇ × E = ∇ × ET ve ∇ · E = ∇ · EL olduǧu da
gözlemlenir.
Benzer şekilde diǧer vektörler de boyuna ve enine bileşenlere ayrılabilir:
J = JL + JT ,
(3.2.12)
B = BL + BT ,
(3.2.13)
A = AL + AT .
(3.2.14)
Bundan sonraki kısımlarda Coulomb Ayarını kullanacaǧız. Bu durumda:
∇·A=0
⇒
q · (AL + AT ) = 0,
(3.2.15)
⇒
AL = 0,
(3.2.16)
yani vektör potansiyel sadece eninedir.
Süreklilik denklemini kullanırsak:
−
ρ=
∂ρ
= ∇ · (JL + JT ) = ∇ · JL ,
∂t
(3.2.17)
∂Φ
1
∇ · ∇Φ ⇒ ∇
= 4π JL .
4π
∂t
(3.2.18)
89
Eşitlikler 3.2.9, 3.2.15 ve bu son sonuç bir arada kullanıldıǧında:
∇2 A −
1 ∂2A
4π T
=−
J ,
c2 ∂t2
c
(3.2.19)
eşitliǧi elde edilir. Böylece JL sadece skaler potansiyele, JT ise vektörel potansiyele baǧlıdır.
Benzer şekilde:
E = −∇Φ −
1 ∂A
,
c ∂t
olduǧundan
E = EL + ET = −iqΦ −
(3.2.20)
iω
A,
c
(3.2.21)
bulunur. Burada ∇ · E = ∇ · EL = 4πρ olduǧundan ρ = 0 için EL kaybolur.
Bundan sonra kayıpsız dielektrik bir ortamda olduǧumuzu düşünelim ve dielektrik sabiti
tartışalım. İzotropik ve homojen bir ortam için boyuna ve enine dielektrik sabitler şu şekilde
verilebilir:
L
DL (q, ω) = ²L
R (q, ω)E (q, ω),
(3.2.22)
DT (q, ω) = ²TR (q, ω)ET (q, ω).
(3.2.23)
Böyle bir ortam için bileşenler birbirlerine karışmayan baǧımsız tepki fonksiyonlarıdır. Burada
R alt-indisi reel bileşeni ifade eder.
Eşitlik 3.2.21’in gösterdiǧi gibi boyuna dielektrik sabit, ortamın skaler potansiyel Φ’e verdiǧi
tepkiyi ifade eder. Bu her ek yükün, başlangıç elektriksel yük daǧılımının tekrar düzenlenmesine
yol açmasındandır. Enine dielektrik sabiti ise ortamın, elektromanyetik ışımanın varlıǧı ile
ilişkili vektör potansiyel A’ya tepkisini ifade eder.
Başlangıçta yazdıǧımız Maxwell denklemlerini (q, ω) uzayına dönüştürürsek:
i²L
R (q, ω)q · E(q, ω) = 4πρ(q, ω),
(3.2.24)
q · B(q, ω) = 0,
(3.2.25)
q × E(q, ω) =
iq × H(q, ω) = −
ω
B(q, ω),
c
iω
4π
D(q, ω) +
J(q, ω).
c
c
(3.2.26)
(3.2.27)
90
Kaynaksız bir ortam için J(q, ω) = 0, bu denklemlerle beraber kullanılırsa, şu eşitlik elde
edilebilir:
·
¸
c2 2
T
q − ²R (q, ω) q × [q × E(q, ω)] +²L
(q, ω) [q · E(q, ω)] q = 0.
|
{z
} R
{z
}
|
ω2
ET : enine bileşen
EL : boyuna bileşen
(3.2.28)
Aşikar olmayan çözümler için EL,T katsayılarının baǧımsız olarak sıfırlanması gerekir. Bu
durumda:
q2 −
ω2 T
² (q, ω) = 0|ω=ωT ,
c2 R
²LR (q, ω) = 0|ω=ωL ,
(3.2.29)
(3.2.30)
yazarsak işte bu frekans (ωT,L ) deǧerleri için enine ve boyuna yönlerde salınımlar sürdürülür.
Bu karakteristik ωT ve ωL frekansları, pozitif arka-plana göre rezonans frekansı ile hareket eden
elektrik yüklerini ifade ettiǧinden, enine ve boyuna plazma frekansları adını alırlar.
Ortamın ayrıca Ohm kuralına uyan iletkenlik gösterdiǧini de kabul edersek: Jcond = σR Etotal
ve Ampère yasasını boyuna ve enine bileşenlere ayırırsak BL = 0 olduǧundan boyuna bileşen
basitleşerek aşaǧıdaki şekli alır:
L
L
L
0 = −iω²L
R Etotal (q, ω) + 4π(Jext + Jcond ),
µ
¶
4πσR
L
⇒ iω ²L
+
i
EL
R
total (q, ω) = ωqΦtotal − 4πJind (q, ω).
ω
(3.2.31)
(3.2.32)
Eşitliǧin solundaki parantezin içini ²L
c olarak adlandırıp, ωqΦtotal olduǧunu görürsek aşaǧıdaki
ilişkiyi elde edebiliriz:
JL
ind (q, ω) =
iω
L
(1 − ²L
c )Etotal (q, ω).
4π
(3.2.33)
Benzer bir mantık T bileşeni için de uygulanabilir. Ancak bu durumda BTtotal 6= 0 olduǧundan
nihai sonucumuz biraz deǧişir:
JTind (q, ω)
·
µ
¶¸
c2 2
1
iω
L
(1 − ²c ) − 2 q 1 −
ETtotal (q, ω).
=
4π
ω
µR
(3.2.34)
Kolayca fark edebileceǧimiz üzere, q → 0 (uzun dalgaboyu limiti) her iki L ve T davranışı aynılaşır.
91
Bu beklenen bir durumdur; çünkü q = 0 durumunda L ve T bileşenleri anlamsızlaşır.
JL,T
ind (q → 0, ω) =
buradaki
3.2.2
¢ L,T
iω ¡
1 − ²L,T
Etotal (q, ω),
c
4π
(3.2.35)
iω
(1 − ²L,T
) = σcL,T (q, ω) kompleks iletkenlik olarak adlandırılır.
c
4π
Boyuna Alanlara Tepki
Dıştan ve boyuna elektrik alan EL uyguladıǧımızı düşünelim. Yazım sadeliǧi için toplam inL
disini kullanmayalım, EL
total → E . Yer deǧiştirme vektörü dış yük ile Gauss yasası aracılıǧı ile
ilişkilenir: ∇ · DL (r, t) = 4πρext .
DL varlıǧı yük yoǧunluǧunun düzenlenmesine ve Epol kutuplanmasına yol açar:
EL (r, t) = DL (r, t) + Epol (r, t).
(3.2.36)
∇ · Epol = 4πρind (r, t) olduǧundan,
∇ · E(r, t) = 4π [ρext (r, t) + ρind (r, t)] ,
(3.2.37)
eşitliǧi elde edilir. Daha sonra (r, t) → (q, ω) Fourier dönüşümünü uygularsak, harmonik form
için hatırlayacaǧımız üzere ei(q·r−ωt) , ∇ → iq,
∂
∂t
→ −iω olduǧundan
iq · DL (q, ω) = 4πρext (q, ω),
iq · EL (q, ω) = 4π [ρext (q, ω) + ρind (q, ω)],
|
{z
}
ρ(q, ω) ≡ ρtotal (q, ω) →
toplam perdelenmiş yük yoǧunluǧu
iq · Epol (q, ω) = 4πρind (q, ω),
(3.2.38)
(3.2.39)
(3.2.40)
yazılabilir. Doǧrusal tepki yaklaşımında, EL ve DL , dielektrik fonksiyon aracılıǧı ile ilişkilendirilebilir:
EL (q, ω) =
DL (q, ω)
,
²L
c (q, ω)
burada DL (q, ω) = EL (q, ω) + 4πP(q, ω) ayrıca kutuplanma için de P(q, ω) = −
(3.2.41)
1
Epol (q, ω)
4π
92
yazabiliriz.
L
Öte yandan elektriksel alınganlıǧı da P(q, ω) = χL
c,e (q, ω)E (q, ω), şeklinde taınımladıǧımız
için, bu durumda
⇒ χL
c,e (q, ω) =
²L
c (q, ω) − 1
,
4π
L
⇒ −Epol (q, ω) = 4πχL
c,e (q, ω)E (q, ω),
⇒ χL
c,e (q, ω) = −
yazılır. Benzer şekilde,
²L
c (q, ω) = 1 −
1 ρind (q, ω)
,
4π ρ(q, ω)
ρind (q, ω)
ρext (q, ω)
=
,
ρ(q, ω)
ρ(q, ω)
(3.2.42)
(3.2.43)
(3.2.44)
(3.2.45)
ve farklı şekilde ifade etmek istersek de,
1
ρind (q, ω)
=1+
,
²L
(q,
ω)
ρext (q, ω)
c
ya da
µ
ρind = ρext
1
²L
c −1
(3.2.46)
¶
,
(3.2.47)
yazabiliriz.
Formülasyonumuzu skaler potansiyele dayandırmak istersek, toplam perdelenmiş potansiyel
için:
Φ(q, ω) = Φext (q, ω) + Φind (q, ω),
(3.2.48)
ve burada −q 2 Φ(q, ω) = −4πρ(q, ω) = −4π [ρext (q, t) + ρind (q, ω)] , yazılabilir. Böylece elektriksel alınganlık:
χL
c,e (q, ω) = −
1 ρind (q, ω)
,
q 2 Φ(q, ω)
(3.2.49)
olarak bulunur. Bir başka tepki fonksiyonu ise χc , yoǧunluk tepki (Lindhard) fonksiyonudur :
χc (q, ω) ≡
q2
ρind (q, ω)
=
[1 − ²L
c (q, ω)],
Φ(q, ω)
4π
ya da
²L
c (q, ω) = 1 −
4π
χc (q, ω).
q2
Dikkat edersek χc , toplam perdelenmiş perturbasyona ρind = χL
c Φ, tepkiyi ifade eder.
(3.2.50)
(3.2.51)
93
Diǧer faydalı eşitlikler:
4πi ρind (q, ω)
,
q · EL (q, ω)
1
4πi ρind (q, ω)
=1−
.
²L
(q,
ω)
q · DL (q, ω)
c
²L
c (q, ω) = 1 +
(3.2.52)
L
Böylece, süreklilik denklemini kullanırsak ²L
c ve σc birbiriyle ilişkilendirilir:
²L
c (q, ω) = 1 +
4πi L
σ (q, ω).
w c
(3.2.53)
Önemli Notlar:
• Boylamasına ve dik dielektrik tepkilerin ayrıştırılabilmesi sadece izotropik ve manyetik
olmayan ortamlarda mümkündür. Anizotropik ortamda optik özellikler eksenlere göre
deǧiştirilebilir ve enine bir uyarımın boylamasına bir tepki bileşeni de oluşur. İzotropik
ve anizotropik ortamlar 9 bileşenli tensör, ²̄¯ aracılıǧı ile ifade edilir; ancak bazı elemanlar
baǧımlıdır.
• Dış manyetik alanın olmadıǧı durumlarda, tensörün reel ve sanal kısımları için Onsager
simetrisi yazılır: ²R,ij = ²R,ji ve ²I,ij = ²I,ji . Yani ²̄¯R ’nin köşegenleşmiş yazılabileceǧi
ana dielektrik eksenler bulunabilir. Ancak bu eksenler reel ve sanal kısımlar için farklıdır.
Sadece ortorombik ve üzeri örgü simetrilerde aynıdır.
• Yüzeylerin varlıǧı boyuna ve enine bileşenlerin karışmasına yol açar!
3.3
KRAMERS-KRONIG BAĞINTILARI
Kramers-Kronig baǧıntılarının temelinde nedensellik ilkesi yatmaktadır. Yani tepki her
zaman etkiden sonra gelir. Doǧrusal tepki altında, (r,t) uzayında genel bir yapı olarak:
Z
+∞
Z
+∞
χc (r, t) =
−∞
Gc (r, r0 , t, t0 )fc (r0 , t0 )dr0 dt0
(3.3.1)
−∞
yazılır. Burada fc bir etkidir, Gc tepki fonsiyonu ve χc yine tepkidir. Bulmak istediǧimiz tepki
fonksiyonu için, zaman homojen olduǧundan, zaman farkını kullanmak kolaylık saǧlar
Gc (r, r0 , t, t0 ) → Gc (r, r0 , t − t0 ).
(3.3.2)
94
Yerel yaklaşım altında ise
Gc (r, r0 , t, t0 ) = δ(r − r0 )Gc (t − t0 ),
yazabiliriz. Bu sayede:
Z
+∞
(3.3.3)
Gc (t − t0 )fc (t0 )dt0 ,
χc (t) =
(3.3.4)
−∞
şeklinde yazılır. Nedensellik, koşulu gereǧi tepki etkiden sonra gelmelidir:
Gc (t − t0 ) = 0,
sonuçta nedensellik altında
Z
t
t0 > t
(3.3.5)
Gc (t − t0 )fc (t0 )dt0 ,
χc (t) =
(3.3.6)
−∞
yazabiliriz. Daha sonra Fourier uzayına geçip Harmanlama özelliǧini kullanırsak:
·Z
Z
χc (ω) =
dteiωt
·Z
Z
0
=
|
χc (ω) =
¸
Gc (t − t0 )fc (t0 )dt0 ,
iωt0
0
dt fc (t )e
{z
}|
fc (ω)
·
0
iω(t−t0 )
Gc (t − t )e
{z
Gc (ω)
(3.3.7)
¸
dt ,
}
(3.3.8)
yazabiliriz. Burada Gc (ω): frekansa baǧlı genelleştirilmiş alınganlıktır. Reel kısmı, Gc,R (ω)
sinyalin zayıflamasını ve Gc,I (ω)’da dış etki ile tepki arasındaki faz farkını ifade eder.
Genel olarak Gc (ω)’nin iki türlü tekilliǧi vardır: Kollektif uyarımlarla ilgili kesikli kutuplar
ve sürekli bir frekans bölgsindeki uyarımlar için branch cut’lar (dal kesiǧi).
Nedensellik Gc (t − t0 ) = 0, t0 > t gereǧi olarak Fourier dönüşümün, Gc (ω) üst kompleks
düzlemde hiçbir tekilliǧinin olmaması gerekir. Yani:
I
c
Gc (ω 0 ) 0
dω = 0.
ω 0 − ωo
(3.3.9)
Rezidu ve Cauchy teoremleri aracılıǧı ile:
I
f (z)dz = 2πi
X
j
Resf (zj ),
(3.3.10)
95
Şekil 3.1: Kompleks düzlem ve Rezidu integrali.
Z
+∞
P
−∞
Gc (ω 0 ) 0
dω +
ω 0 − ω0
Z
c
Gc (ω 0 ) 0
dω +
ω 0 − ω0
Z
= 0,
(3.3.11)
C∞
C∞ katkısı Gc (ω)|C∞ → 0 için kaybolur. Böylece:
Z
+∞
P
−∞
Gc (ω 0 ) 0
dω = +iπGc (ωo ),
ω 0 − ωo
(3.3.12)
elde ederiz. Şimdi Gc (ω) = GR (ω) + iGI (ω) yerine yazarsak, Kramers-Kronig baǧıntılarını elde
ederiz:
1
GR (ω) = P
π
1
GI (ω) = − P
π
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
GI (ω 0 ) 0
dω ,
ω0 − ω
(3.3.13)
GR (ω 0 ) 0
dω ,
ω0 − ω
(3.3.14)
GR ve GI birbirlerinin Hilbert dönüşümleridir. Nedensellik sonucunda tepki fonksiyon gerçel
ve sanal kısımları (salınım ve kayıplara karşılık gelir) birbirlerini belirlerler.
Örnekler:
1) J = σc E Kompleks iletkenliǧin reel ve sanal kısımları arasında Kramers-
Kronig baǧıntısı olmalıdır.
σR (ω) =
1
P
π
Z
+∞
−∞
σI (ω 0 ) 0
dω ,
ω0 − ω
σI (ω) = −
1
P
π
Z
+∞
−∞
σR (ω 0 ) 0
dω
ω0 − ω
(3.3.15)
96
2) 4πP(ω) = [²c (ω) − 1] E(ω)
1
²R (ω) − 1 = P
π
Z
+∞
−∞
²I (ω)0 0
dω ,
ω0 − ω
1
²I (ω) = − P
π
Z
+∞
−∞
²R (ω)0 − 1 0
dω .
ω0 − ω
(3.3.16)
Alıştırma: 1) Fourier dönüşümü için harmanlama özelliǧini doǧrulayınız.
2) Gc (ω)’nın üst kompleks düzlemde hiçbir tekilliǧinin olmadıǧını gösteriniz.
(Nedensel olan bütün tepki fonksiyonları bu analitik yapıya sahip olmak zorundadır.)
3.4
TEPKİ ve İLİNTİ FONKSİYONLARININ İLİŞKİSİ
Önceki kısımda, ortamın, elektromanyetik alana tepkisini kavramsal olarak kompleks dielektrik fonksiyonun ya da iletkenliǧin frekans ve dalga vektöre baǧımlılıǧı üzerinden tartıştık.
Şimdi bu deǧişkenleri katının elektriksel durumlarına ilişkilendirelim.
Herhangi bir deney, bir sistemin dış bir etki tarafından uyarılmasına dayanır. Uyarıcı ve
sistem arasındaki etkileşim yeterince zayıfsa sistemin tepkisi doǧrusal tepki olarak adlandırılır.
Sistemin tepkisi sistemin içerisindeki parçacıkların ilintilerini yansıtacaǧından ilinti fonksiyonu
hakkında doǧrudan bilgi verir. Belirli koşullar altında çok parçacıklı sistemlerde ilinti fonksiyonu ve temel uyarım spektrumu arasında bir ilişki vardır ve karşılıklı geçişi saǧlar.
Genel bir durum için dış etki fiziksel bir nicelik A (yoǧunluk, akım, spin-yoǧunluǧu, vb.)
ile baǧıntılıdır. Biz başka bir B niceliǧinin bu etkiye doǧrusal tepkisini ölçmek istiyoruz. Bu
durum “B − A tepki fonksiyonu” ile ifade edilir.
3.4.1
Akım-Akım İlinti Fonksiyonu: Kubo Formulü
Çok parçacık sistemini elektromanyetik etki altında inceleyelim. Elektromanyetik alanı,
vektör ve skalar potansiyellerle (A, Φ) tanımlayacaǧız. İkinci kuantumlanmaya gitmeden yarıklasik yaklaşımda çalışacaǧız. Çok parçacık Hamiltonyeni:
H=
N X
M
N
i2 X
e
1
1 Xh
pi + A(ri ) +
Vjo (ri −Rj )+
2m i=1
c
2
i=1 j=1
N,N
X
i=1,i0 =1,i6=i0
N
X
e2
−
eΦ(ri ), (3.4.1)
|ri − ri0 | i=1
97
şeklinde yazılır. Öncelikle A’ya tepki, enine akım yoǧunluǧunu tartışarak başlayalım. Enine
akım yoǧunluǧunu yazarsak:
N
eX
J (r) = −
[vi δ(r − ri ) + δ(r − ri )vi ] .
2 i=1
T
Bir elektromanyetik alan varlıǧı altında: v =
eA
p
+
. Bu durumda:
m mc
N
JT (r) = −
(3.4.2)
N
e X
e2 X
[pi δ(r − ri ) + δ(r − ri )pi ] −
δ(r − ri )A(r)
2m i=1
mc i=1
(3.4.3)
yazılır. Burada birinci kısım paramanyetik, ikinci kısım ise diamanyetik akım olarak adlandırılır.
Etkileşimi ifade edersek:
Hint =
N
N
X
e X
[pi · A(ri ) + A(ri ) · pi ] − e
Φ(ri ),
2mc i=1
i=1
(3.4.4)
Enine alanlar için Φ ≡ 0 olur. Görüleceǧi üzere Hint ifadesini JT ve A cinsinden yazabiliriz.
Hint
1
=−
c
Z
JT (r) · A(r)d3 r
(3.4.5)
diamanyetik akım kısmı|A|2 terimine yol açar ki doǧrusal tepki rejiminde bu da ihmal edilebilir.
Bundan sonra akımın ve vektör potansiyelin harmonik uzamsal deǧişimi olduǧunu kabul edelim.
Bu durumda:
JT (r) = JTq eiq·r + h.c. ,
A(r) = Jq eiq·r + h.c. ,
(3.4.6)
1
yazılabilir. O halde, etkileşim Hamiltonyen yoǧunluǧu: HTint = − JTq · Aq yazılabilir.
c
Klasik elektromanyetik teoriden hatırlayacaǧımız üzere, ET alanı altında JT akım yoǧunluǧu
oluşur: JT = σET . Soǧurulan güç yoǧunluǧu için ise: P = JT · ET = σ T |ET |2 yazabiliriz.
Bundan sonraki aşamada Fermi Altın Kuralını kullanarak seviyeler arası geçiş sıklıǧını hesaplayacaǧız. |si ve |s0 i elektronik sistemin çok parçacık durumlarını ifade ederse, |si’den |s0 i’ye
geçiş oranı ifadesi:
Ws→s0 =
¯2
2π ¯¯ 0 T
hs |Hint |si¯ δ (ω − (ωs0 − ωs )) ,
~2
(3.4.7)
98
Şekil 3.2: Çok parçacık durumları arasında geçiş.
şeklindedir. Bu durumda:
1
hs0 |Hint |si = − hs0 |JTq |si · ATq ,
c
(3.4.8)
yazarak:
2π 0 T †
hs |Jq |sihs|JTq |s0 i|ATq |2 δ(ω − ωs0 + ωs ),
~2 c2
Z
1
eşitliǧini elde ederiz. Burada da δ(ω − ωs0 + ωs ) =
ei(ω−ωs0 +ωs )t dt yazabiliriz.
2π
Ws→s0 =
(3.4.9)
Tüm başlangıç ve bitiş durumları s, s0 üzerinden toplam geçiş oranı için
W =
X
Ws→s0 ,
(3.4.10)
s,s0
yazarsak
W =
Z
0
XX
†
1
dte−iωt hs0 |eiωs0 t JTq e−iωs t |sihs|JTq |s0 i|ATq |2 ,
2
2
~ c
s
s
(3.4.11)
elde ederiz. İşlemimizi sadeleştirmek için Ho |si = Es |si ⇒ eiHo t/~ ifadesini kullanırsak ve bu
durumda etkileşim resmine geçersek bu faz terimini operatöre transfer etmiş olacaǧız:
†
†
JTq (t) = eiHo t/~ JTq e−iHo t/~ ,
(3.4.12)
etkileşim resminde
W =
Z
†
1 XX
dths0 |JTq (t)|sihs|JT (t = 0)|s0 ie−iωt |ATq |2 ,
~2 c2 0 s
(3.4.13)
s
Z
†
1 X
W = 2 2
dte−iωt hs0 |JqT (t)JT (t = 0)|s0 i |ATq |2 ,
~ c
0
s
(3.4.14)
99
yazabiliriz. Güç yoǧunluǧu cinsinden ifade edersek:
P = ~ωW = |ATq |2
| {z }
³ c ´2
|E T |2
ω
ayrıca ET = −
X ω Z
†
dths|JTq (t = 0)JTq (t)|sie−iωt ,
2
~c
s
(3.4.15)
1 ∂AT
iω
→ ET = ATq olduǧundan yerine koyarsak:
c ∂t
c
P = |ETq |2
X 1 Z
†
dths|JTq (t = 0)JTq (t)|sie−iωt .
~ω
s
|
{z
}
σT
(3.4.16)
Böylece Kubo formülünü elde ederiz:
X 1 Z
†
σ =
dths|JTq (t = 0)JTq (t)|sie−iωt .
~ω
s
T
(3.4.17)
Alıştırma: Aynı işlemi aşaǧıdaki ilişkileri kullanarak boylamasına iletkenlik hesabı için
tekrarlayınız.
A → Φ,
−1
J→ρ,
c
Z
L
Hint
=
ρ(r) = −e
ρ(r)Φ(r)dr ,
N
X
i=1
δ(r − ri ) .
100
3.5
ÖRGÜLERİN DİELEKTRİK FONKSİYONU
Örgü yapısındaki katılarla ilgili daha fazla bilgi vermek istersek ilk önce şunu söyleyebiliriz,
genel bir ω frekansında elektronlar ve iyonlar beraber dielektrik kutuplanmaya katkıda bulunurlar.
²(q, ω) YYYYY
YYYYYY
YYYYYY ω>>ωLO or ωT O
YYYYYY
ω→0
YYYYYY
YYYY,
²
Sadece iyonlar uyarıma geri tepkide bulunuyor
İyonlarin ve elektronların katkısı var
²0 : Statik dielektrik fonksiyon
²∞ : Optik dielektrik fonksiyon
Lyddane-Sachs-Teller Baǧıntısı bu dielektrik fonksiyonları birleştirir; kübik örgüler için:
²0
ω2
= LO
,
²∞
ωT2 O
²(ω) =
ωT2 O ²0 − ω 2 ²∞
.
ωT2 O − ω 2
(3.5.1)
Daha önce de bahsettiǧimiz gibi ²(q, ω) esasında bir tensördür. Ancak izotropik serbestelektron gazı için boyuna ve enine tepkiler, ²L ve ²T yeterlidir. Diǧer bir deyişle, boyuna
(enine) akım, enine (boyuna) elektrik alan tarafından indüklenmez.
Uzun dalgaboyu limitinde (optik limit), limq→0 ²L (q, ω) = limq→0 ²T (q, ω) = ²(ω).
Katılarda boyuna ve enine elektromanyetik uyarımlar arasında ikili etkileşim olur. Bu durum
sadece yayılımın (q) bazı özel yüksek simetri yönlerinde olması halinde ortamdan kalkar.
Örgü yapısındaki katılarda, dielektrik tepki fonksiyonu ²−1 (r, r0 ; t−t0 ) için Fourier dönüşümü yaparsak ²−1 (r, r0 ; ω) elde ederiz.
Homojen elektron-gazı modelinde (jöle modeli) çok küçük öteleme deǧişmezliǧi ile beraber
101
düşünüldüǧünde tepki fonksiyonu ²−1 (|r − r0 |; ω) formundadır. Yani perturbasyon inceleme
noktaları arasındaki farka baǧımlıdır. Oysa ki, gerçek örgü katılarında elektron yoǧunluǧu
atomik boyutta homojen olmadıǧından tepki ²−1 (|r − r0 |; ω) şeklinde konumlara baǧlıdır ki bu
da mikroskopik ölçekte yerel alanlar kavramına yol açar.
Örgünün periyodik yapısını kullanarak tepkiyi şu şekilde ifade edebiliriz:
Z
Φ(r, ω) =
²−1 (r, r0 ; ω)Φext (r0 , ω)dr0
(3.5.2)
tepki fonksiyonunun Fourier dönüşümünü alırsak, ters uzayda birinci Brillouin bölgesi içindeki
her q için bir matris oluşur:
²−1 (r, r0 ; ω) =
0
1 X i(q+G)·r −1
e
²G,G0 (q, ω)e−i(q+G)·r ,
Ω
0
(3.5.3)
q,G,G
burada Ω, toplam hacimdir. q, birinci Brillouin bölgesi içindedir. G ve G0 ise ters uzay
0
i(q+G)·(r−r )
vektörleridir. Burada ²−1
ifadesini içerdiǧinden |r − r0 |
G, G köşegen elementler e
homojen tepkiyi oluşturur. Köşegen olmayan elementler G 6= G0 yerel alan katkılarını getirir.
Basit metallerin tepki fonksiyonları jöle modeli ile verilebileceǧi halde, bu etkiler kovalent
yarıiletkenler ve yalıtkanlar için daha önemlidir.
²G=0,G0 =0 (q, ω) ifadesi band-band geçişlerini içerir. ²00 (q, ω), ilk olarak Cohen ve Ehrenreich
tarafından rasgele faz yaklaşımı (RPA) altında hesaplanmıştır.
¯
¯2
4π 2 X [f (El,k−q ) − f (En,k )] ¯hl, k − q|e−iq·r |n, ki¯
²00 (q, ω) = 1 − 2
q Ω
El,k−q − En,k + ω + iα
(3.5.4)
n,l,k
(atomik-Hartree birimlerinde ifade edilmiştir.)
Daha sonra, Adler ve Wiser tüm dielektrik matrisi yine RPA yardımıyla formüle etmiştir:
²G,G0 (q, ω) = δG,G0 −
4π
2 X f (El,k−q ) − f (En,k )
hl, k − q|ei(q+G)·r |n, ki
0
El,k−q − En,k + ω + iα
|q + G| |q + G | Ω
n,l,k
0
×hn, k|e−i(q+G )·r |l, k − qi.
(3.5.5)
Düzgün elektron gaz daǧılımına dayanan jöle modelinde bile yerel alan etkilerine rast-
102
larız. Bu etkiler kuantum kökenli deǧiş-tokuş ve baǧlılaşım etkileridir. Belirli bir yoǧunluktaki
elektronlar, artı yüklü bir geri-planda ilerlerken elektriksel yükleri dolayısıyla (baǧlılaşım
boşlukları oluşturarak ) ve paralel spinli elektronlar arasındaki Pauli dışlama ilkesi dolayısıyla
(Pauli boşlukları oluşturarak) birbirlerini iterler. Komşu elektronların bu davranışları ikili
baǧlılaşım fonksiyonu g(r) ile verilebilir:
g(r) =
1
[g↑↓ (r) + g↑↓ (r)]
2
(3.5.6)
Bu durum, düzgün elektron-gazı için yerel alan düzeltmesi G(q, ω) gerektirir; bu düzeltme
RPA hesaplarımızın sıfırıncı mertebe kutuplanma eklentisi (Lindhard fonksiyonu) π 0 (q, ω) ile
geliştirilmesini gerektirir:
²RP A (q, ω) = 1 − Uc (q)π 0 (q, ω),
²LF C (q, ω) =
3.5.1
1 − Uc (q) π 0 (q, ω) [1 − G(q, ω)]
.
1 + Uc (q) π 0 (q, ω) G(q, ω)
(3.5.7)
(3.5.8)
Clausius-Mossotti Modeli: (CM Modeli)
Clausius-Mossotti İlişkisi: Makroskopik Türetim
Clausius-Mossotti modelinin amacı, makroskopik alanları, mikroskopik alanlarla dolayısıyla
da yerel alanlarla ilişkilendirmektir. Bir atomun oturduǧu noktadaki yerel elektrik alan Eloc
olsun. Düzgün basit kübik örgü noktasi Ri ’deki atom için kutuplanma, α olsun. Bu durumda
bu konumdaki atom için dipol momenti: pi = αEloc olarak yazılır. Ortamın dielektrik sabitinin
² olduǧunu kabul edersek, uygulanan düzgün E alanı, P dipole moment yoǧunluǧuna yol açar.
Buradaki ilişki:
,D = ² E
= E + 4πP.
(3.5.9)
şeklinde verilir.
Bu kısımdaki nihai amacımız atomik kutuplanma α ile ²’yi ilişkilendirmek. Bir dipolün
103
yakın çevresinde oluşturacaǧı elektrik alan:
µ
E(p, r) = −∇
p · r̂
r2
¶
=
3(p · r̂)r̂ − p
r3
(3.5.10)
şeklindedir. Bu çok hızlı azalan bir etkidir. Biz r0 yarıçaplı, r0 À a bir hayali küre düşünelim.
Burada a örgüsabiti olsun.
Şekil 3.3: Ortamdaki elektrik alanların ayrıştırılması.
Burada hayali küre içindeki dipoller olduǧu gibi hesaba katılır, dışarıdakiler ise makroskopik
olarak hesaba girer.
Eloc = Ex + Ed + Es + E0 .
(3.5.11)
E ≡ Ex + Ed makroskopik alanı teşkil eder. Burada E0 küre içi diplollerin etkisini ifade
eder. Öncelikle yüzeyden kaynaklanan elektrik alanı, Es bulalım. P · n̂ = P · (−r̂) olduǧundan
−P cos θ
dEs =
r̂da tüm yüzey üzerinden integre edersek:
r3
Z
2π
Z
π
Es = P
0
cos2 θ sin θdθ,
(3.5.12)
0
Z
π/2
⇒ Es = 2πP 2 ·
cos2 θ sin θdθ,
(3.5.13)
0
deǧişken deǧiştirerek integre edersek: u = cos θ, du = − sin θ,
Z
Es = 4πP
0
1
π
u2 du = 4 P,
3
(3.5.14)
sonucuna ulaşırız.
Simetri gereǧi, E0 ifadesi sıfırlar. Bunun nedeni küresel bölgede ve kübik örgü yapısında
104
Şekil 3.4: Yüzeyden kaynaklanan elektrik alanın hesaplanması.
dipol katkıların birbirlerini yok etmesidir. Sonuçta:
Eloc = E +
4π
P,
3
(3.5.15)
yazılır. Dipol momentleri için p = αEloc yazmıştık. Bunu makroskopik dipol moment yoǧunluǧu
ile ilişkilendirebiliriz, P:
P
, =
1
V
Z
d3 r r ρ(r)
Z
1
d3 r p(r),
=
V V
1 X
p,
=
V i i
V
⇒ P = np = nαEloc .
Burada n =
(3.5.16)
(3.5.17)
1
dipol yoǧunluǧuna karşılık gelmektedir. veriyor.
a3
Bu aşamada eşitlikler 3.5.15 ve 3.5.17, Eloc üzerinden birleştirilirse:
4π
²−1
nα =
3
²+2
Clausius-Mossotti ilişkisi
(3.5.18)
bulunur.
Alıştırma: 3.5.15 ve 3.5.17 eşitliklerini birleştirerek Clausius-Mossotti ilişkisini bulunuz.
105
Clausius-Mossotti İlişkisi: Mikroskopik Türetim
Yine bir örgü içerisinde her örgü noktasının atomik dipollerle dolu olduǧunu düşünelim.
Ayrıca yapı içerisinde henüz tam belirlenmemiş düzgün bir alanın, Eint uygulandıǧını varsayalım.
Ri yine bir örgü noktasını göstersin. Daha önceki tanımımız gereǧi de E(Ri ) = Eloc olur.
Uygulanan (mikroskopik düzeydeki) Eint alanına dipollerden de katkı gelir:
X
E(r) = Eint +
E(pi , r − Ri ),
(3.5.19)
i
toplam tüm örgü noktaları üzerinden alınır.
Benzer şekilde, dipol daǧılımı için:
p(r) =
X
X
pi δ(r − Ri ) =
i
αE(Ri )δ(r − Ri ),
(3.5.20)
i
yazılır. E(r) her nokta için çalışır, örneǧin örgü noktaları, Ri ve r = 0:
E(0) = Eloc = Eint +
0
X
E(αEloc , −Ri ),
(3.5.21)
i
burada r = 0’daki dipol katkısını ayırıyoruz. Basit kübik örgü için r = 0 konumu için simetri
sayesinde toplam içeren ifade sıfırlar.
E(0) = Eloc = Eint .
(3.5.22)
Böylece, yerel alan kavramı kullanılarak E(r) ve p(r) tekrar yazılırsa:
E(r) =
p(r) =
Eloc +
X
X
E(αEloc , r − Ri ),
i
αEloc δ(r − Ri ),
i
Eloc
=
(3.5.23)
Eint .
Şimdi de mikroskopik E(r) ve p(r) niceliklerinin hacim ortalamasını alarak, makroskopik E ve
P ifadelerini elde edelim:
P=
Burada p(r) =
P
i
1
V
Z
d3 rp(r).
(3.5.24)
V
αE0loc δ(r−Ri ) olur. Ayrıca, tanımı gereǧi E0loc örgü noktalarındaki alandır.
106
Yani, konuma baǧlı deǧildir ve ortalama gerektirmez. N =
P=
N
αEloc = nαEloc
V
P
i
δ(r − Ri ) alırsak:
(makroskopik yaklaşımda bulunanın aynısı).
(3.5.25)
Makroskopik E için:
Z
Z
3
d rE(p, r)
V
d3 r∇ (p · r̂) ,
¶
µ
I
p · r̂
2
n̂,
= − d r
r2
S
4π
= − p.
3
= −
V
(3.5.26)
Böylece,
⇒E
=
E
=
4π
nαEloc ,
3
4π
Eloc −
P
(makroskopik yaklaşımın aynısı),
3
Eloc −
(3.5.27)
yani beklediǧimiz gibi tekrar Clausius-Mossotti ilişkisini elde ettik.
Etkin Alan Yaklaşımları (EAY)
Yukarıda kullandıǧımız mikroskopik yaklaşımı, heterojen dielektrik ortamlarda etkin alan
yaklaşımları geliştirmek için kullanabiliriz.
Bir kübik yapının örgü noktalarında αa ve αb kutuplanmalarının olduǧunu farz edelim.
Mikroskopik alanlar yine aynı şekilde yazılır.
E(r) = Eint +
X
E(pi , r − Ri ),
p(r) =
i
X
αj E(Ri )δ(r − Ri ).
(3.5.28)
i,j=a,b
Daha önce yaptıǧımız gibi rasgele daǧılımı kullanarak : Eloc = E(0) = Eint . Hacim ortalaNb
Na
ve nb =
alırsak:
ması sonucunda, na =
V
V
P = (na αa + nb αb )Eloc ,
E = Eloc −
1
4π
²E = E + 4πP. eşitliǧimizi kullanarak ²² −
+ 2 = 3 (na αa + nb αb )
4π
P,
3
(3.5.29)
107
Bu ifadeyi farklı bir şekilde yazarsak, tüm örgü noktaları j ile doluyken n = na + nb olur
²j − 1
4π
nαj =
ifadesini kullanarak:
ve j = a, b için
3
²j + 2
²−1
²a − 1
²b − 1
= fa
+ fb
²+2
²a + 2
²b + 2
burada hacim kesiri: fi = ni /
P
j
nj ,
P
i
Lorentz-Lorenz EAY
(3.5.30)
fi = 1.
Heterojen malzemeler ışıǧın dalgaboyu ile kıyaslandıǧında küçük olmasına karşın kendi dilektrik özelliklerini sergileyecek büyüklüǧe sahip mikroskopik bölgeler içerebilir. Örneǧin, dielektrik sabiti ²a olan ra yarıçaplı küresel malzeme, ²b dielektrik sabitli ortama gömülsün. E0
alanı uygulaması altında mikroskopik çözüm:

3²b E ,


 ²a + 2²b 0
E(r) =
ve burada pa =



|r| < ra
(3.5.31)
E0 + E(pa , r), |r| > ra
²a − ²b 3
r E0 şeklindedir.
²a + 2²b a
Birim hacim başına dipol moment: Pj (r) =
²j − 1
E(r), j = a, b olur.
4π
Yine hacim ortalamalarını alarak ve ²E = E + 4πP eşitliǧimizi kullanarak ² makroskopik
deǧişkenler E ve P cinsinden ifade edilirse sonuçta
4π 3
ra
² − ²b
²a − ²b
= fa
, burada fa = 3
² + 2²b
² + 2²b
V
|
{z a
}
a fazı tarafından işgal edilen hacim oranıdır.
(3.5.32)
Maxwell-Garnell EAY
L-L ve M-G EAY ifadeleri ilişkilendirilirse:
²a − ²h
²b − ²h
² − ²h
= fa
+ fb
,
² + 2²h
²a + 2²h
²b + 2²h
(3.5.33)
burada ²h ev sahibi ortamın dielektrik fonksiyonudur. Ayrıca, L-L: ²h = 1 (boşluk), M-G:
²h = ²b . Bruggeman yaklaşımında ²h = ² etkin ortam geçirgenliǧi olarak alınır. Sonuçta
108
yukarıdaki eşitlikte sol taraf sıfırlar.
0 = fa
3.6
²a − ²
²b − ²
+ fb
²a + 2²
²b + 2²
Bruggeman EAY
(3.5.34)
YÜZEY PLAZMON POLARİTONLARI (YPP)
Yüzey plazmon polaritonları bir arayüzeye hapsolmuş ve arayüzey boyunca dalga benzeri
ilerleyen elektromanyetik uyarımdır. Arayüzeyden ortamların içine doǧru ilerledikçe genliǧi
üstel olarak azalır. Elektromanyetik alanın arayüzey boyunca baskınlaştırılması yüzey plazmon
polaritonlarının yüzey koşullarına çok duyarlı olması sonucunu doǧurur. Bunun uygulama
alanları arasında biyolojik ve kimyasal algılama, yüzey baskınlaştırılmış Raman spektroskopisi
ve ikinci harmonik üretim sayılabilir.
3.6.1
Plazmonlar
Bir serbest elektron için hareket denklemi
mẍ = −eEeiωt ,
(3.6.1)
χ(t) = χ0 eiωt ,
(3.6.2)
için
şeklinde bir çözüm vardır. İşlemlerimizi devam ettirirsek:
− mω 2 χ0 e−iωt = −eEe−iωt
buradan
−e/m
E
−ω 2
(3.6.3)
ne2 /m
E,
ω2
(3.6.4)
χ0 =
elde edilir. Hatırlayacaǧımız üzere:
p(t) = −eχ(t) =
e2 /m −iωt
Ee
,
−ω 2
P = np(t) =
bulunur.
E + 4πP = ²E,
ilişkisini kullanırsak
²=1−
4πne2 1
,
m ω2
(3.6.5)
(3.6.6)
109
q
burada ωp =
4πne2
m
elektron gazının plazma frekansıdır.
²(ω) = 1 −
ωp2
ω2
Drude (serbest elektron) geçirgenliǧi
1
ω2
ωp
= 2
=1+ 2
,
²(ω)
ω − ωp2
ω − ωp2
(3.6.7)
(3.6.8)
²−1 bir tepki fonksiyonudur, E = ²−1 D. Nedensel yani üst yarı-düzlemde analitik olmalıdır.
²−1 = 1 +
ωp2
(ω + i0+ )2 − ωp2
(3.6.9)
Fotonlarla melezleşen bütün madde dalgalarına polariton denir.
Örnek:
• egziton-foton: egziton polaritonları
• fonon-foton: fonon polaritonları
• plazma-foton: plazma polaritonları
Plazmonik: Plazma teknolojisi; dalgaboyu altı aygıtların üretilebilmesi plazmonik adı altında
yeni bir disiplinin oluşmasına yol açmıştır (Maier ve Atwater, 2005).
3.6.2
Metal Nanoparçacıklar Çevresinde Yerel Alan Baskınlaşması
Yerel alan baskınlaşma faktörü L, metal yüzeyine yakın bölgelerdeki yerel alan Eloc ve
uygulanan alanın oranından verilir:
L=
Eloc
,
Eo
(3.6.10)
aynı faktör şu şekilde de verilebilir:
L = LSP (ω)LLR .
(3.6.11)
• LSP : Yüzey plazmon rezonansı. Rayleigh sınırındaki küresel parçacık için soǧurma baskın
110
bölgede sadece çift kutup yüzey plazmon rezonansı katkısı vardır. LSP ise 1000’e kadar
çıkabilir.
• LLR : Paratoner etkisi. Küresel olmayan şekiller için frekansa çok az baǧlı, daha çok
geometriye baǧlıdır. Sivri yüzey çıkıntılarında paratoner etkisi oluşur. Yüzey yükünün
artışı elektrik alan çizgilerinin artışına böylece ek bir baskınlaşmaya yol açar. LLR en
fazla 100 civarında olur.
• Pürüzlü bir metal yüzeydeki optik işlemlerde en yüksek baskınlaşma, SERS’de gözlemlenmiştir.
Raman spektroskopisinden plazmon rezonansı L(ωexc )2 L(ωRS )2 ölçütündedir ve paratoner etkisi ile baskınlaşma faktörü: (1000)4 · 100 = 1014 deǧerine ulaşır.
3.6.3
Yüzey Plazmon Polaritonları: Klasik Yaklaşım
Şekil 3.5: z = 0 düzlemi ile ayrılmış ²1 ve ²2 dielektrik sabitli iki ortam.
Dielektrik fonksiyonları ²1 ve ²2 olan iki manyetik olmayan ortam z = 0 arayüzeyi ile
ayrılsın. i harfi farklı ortamları belirtmek üzere: z <0 ortamı için i = 1, z >0 ortamı için
i=2; dış kaynakların yokluǧunda (ρs = 0, J = 0), Maxwell denklemleri:
∇ × Hi = ²i
1 ∂Ei
,
c ∂t
(3.6.12)
111
∇ × Ei = −
1 ∂Hi
,
c ∂t
(3.6.13)
∇ · (²i Ei ) = 0,
(3.6.14)
∇ · Hi = 0.
(3.6.15)
Bu denklemlerin çözümleri iki ana sınıfta toplanabilir: elektrik alan E ya da manyetik alan
H’nin yüzeye paralel olması durumları sırasıyla s-kutuplu ya da p-kutuplu elektromanyetik
kipleri oluşturur. İdeal bir yüzey için, arayüzeyde ilerleyen dalga için elektrik alanın bir bileşeni
yüzeye dik olmalıdır (yani Ez ). Ancak bu durumda da elektrik alan yüzeye paralel olmadıǧından
s-kutuplu yüzey salınımları bulunamaz.
O halde manyetik alan H’nin arayüzeye paralel olduǧu ve dalga ilerleyişinin z = 0 yüzeyinde
olduǧu p-kutuplu durumu inceliyoruz. Dalga ilerleyişini x̂ yönünde alırsak bu durum için elektrik ve manyetik alan şöyledir:
Ei = (Eix , 0, Eiz )eKi |z| ei(qi x − ωt) ,
(3.6.16)
Hi = (0, Hiy , 0)eKi |z| ei(qi x − ωt) .
(3.6.17)
Bu alanları eşitlik 3.6.12, Ampère yasasında yerine koyarsak:
ẑ
∂Hy
∂Hy
²
− x̂
= −i ω(x̂Ex + ẑEz ),
∂x
∂z
c
ω
ω
κ1 H1y = −i ²1 E1x , κ2 H2y = i ²2 E2x ,
c
c
ω
iqi Hiy = −i²i Eiz , i=1,2 için.
c
Bu iki denklemin oranından
κ1
E1x
=
,
iq1
E1z
−
κ2
E2x
=
,
iq2
E2z
(3.6.18)
(3.6.19)
(3.6.20)
(3.6.21)
elde ederiz. Eşitlik 3.6.13, Faraday yasasını kullanarak:
∂Ex
∂Ez
1
−
= −i (−iω)Hy ,
∂z
∂x
c
∓ κEx − iqEz =
iω
Hy ,
c
(3.6.22)
(3.6.23)
112
burada 1. ortam için - ve 2. ortam için + işareti kullanılıyor.
µ
⇒
κ2
iq
−κ2i
¶
Ez =
+
qi2
iω
iω −ω²
Hy =
Ez ,
c
c cq
ω2
= 2 ²i 7→ κi =
c
(3.6.24)
r
qi2 − ²i
ω2
.
c2
(3.6.25)
Sınır koşullarını saǧlatırsak, ilk olarak Etan , Htan sürekli olmalı ve faz uyumundan q1 = q2 ≡ q:
E1x = E2x ,
⇒
H1y = H2y ,
κ1
κ2
H1y +
H2y = 0,
²1
²2
(3.6.26)
⇒ H1y − H2y = 0,
(3.6.27)
aşikar olmayan çözüm için determinant sıfır olmalıdır:
²1
²2
+
=0
κ1
κ2
r
Ayrıca, κ1 =
q2
ω2
− ² 1 2 , κ2 =
c
r
q 2 − ²2
Yüzey Plazmon Koşulu.
(3.6.28)
ω2
, yerine koyarsak, başka bir ifade şekli:
c2
q(ω) =
ω
c
r
²1 ²2
,
²1 + ²2
(3.6.29)
κ1 ve κ2 ’nin reel ve pozitif olmasıiçin ²1 (ω) ve ²2 (ω)’de reel ve belirli ω deǧerlerinde ters işeretli
olmalıdır.
ωp2
ω
şeklindeydi.
¿ c gecikmesiz ortam için κ1 = κ2 = q; bu
ω2
q
durumda gecikmesiz ortam yüzey plazmon koşulu: ²1 + ²2 = 0.
Hatırlarsak, ²(ω) = 1 −
Örnek: Boşluk içindeki yarı-sonsuz Drude metalini düşünürsek, 1. ortam metal ve 2. ortam
boşluk için:
ωp2
, ²2 = 1 burada ωp =
²1 = 1 −
(ω + i0+ )2
r
4πne2
m
(3.6.30)
bu durumda yüzey-plazmon koşulu,
s
ω
q(ω) =
c
ω 2 − ωp2
.
2ω 2 − ωp2
(3.6.31)
113
2.0
Isik Polariton - Üst Dal
1.5
=cq/
1/2
1
=1
p
1
1.0
/(1+
p
1
)
1/2
0.5
Yüzey Plazmon Polariton - Alt Dal
0.0
0
1
2
qc/
3
p
Şekil 3.6: YPP daǧılım eǧrisi: alt dal yüzey plazmon polaritonları ve üst dal ise katı içersindeki
ışık polariton daǧılımını göstermektedir.
3.6.4
Deri Kalınlıǧı
Alan yerelleşmesi κi parametresi ile ifade edilebilir:
s
ω
κi =
c
−²2i
²1 + ²2
(3.6.32)
bu ifade göz önüne alınarak e−κi |z| teriminin e−1 ’e ulaştıǧı derinliǧe deri kalınlıǧı denir:
1
`i =
. Yüzey plazmon polaritonları enine ve boyuna elektromanyetik alan bileşenlerine
κi
sahiptir. Dielektrik ortamda (i=2) oranları:
s
s
ωp2 − ω 2
E2z
q
−²1 (ω)
=i
=i
=i
E2x
κ2
²2
²2 ω 2
(3.6.33)
eşitliǧin son kısmı Drude metali için yazılmıştır. Enine bileşen q → 0 ve düşük frekanslarda
baskın yani saf elektromanyetik dalgalar yarı-sonsuz ortamda TEM dalga özelliǧi gösterir.
q’nun yüksek deǧerleri için ise hem enine hem de boyuna bileşenler karşılaştırılabilir deǧerlere
114
ulaşıyorlar, ve hatta frekansın ω → √
¯
¯
¯ E2x ¯
ωp
¯ = 1 dir.
deǧeri için ¯¯
E2z ¯
²2 + 1
Alıştırma: Bu analizi s-kutuplanmalı durum için tekrarlayın:
Ei = (0, Eiy , 0)e−κi |z| ei(qx − ωt) .
3.6.5
(3.6.34)
İnce Filmlerde Yüzey Plazmon Polaritonları
Şekil 3.7: x-yönünde ilerleyen p-kutuplu yüzey dalgasının incelenmesi.
x-yönünde ilerleyen p-kutuplu yüzey dalgası için H-alanı:


Aeiqx − κ1 z − iωt ,
z≥d








h
i
Hy (r, t) =
eiqx Beκm z + Ce−κm z e−iωt , 0 ≤ z ≤ d









Deiqx + κs z − iωt ,
z≤0
(3.6.35)
formundadır.
Aynı şekilde E alanlarını da yazıp, Maxwell denklemlerini ve sınır koşullarını saǧlatırsak
A, B, C, D katsayılarınıve κ1,m,s dalga sayıları elde edilir:
r
κ1 =
q 2 − ²1
³ ω ´2
c
r
, κm =
q 2 − ²(ω)
³ ω ´2
c
r
, κs =
q 2 − ²s
³ ω ´2
c
.
(3.6.36)
115
Ayrıca bu ince film için yüzey plazmon polaritonları daǧılım denklemi de:
·
²(ω) κ1
+1
²1 κm
¸·
¸ ·
¸·
¸
²(ω) κs
²(ω) κ3
²(ω) κs
+1 =
− 1 e−2κm d .
² s κm
²1 κm
²s κm
(3.6.37)
Saǧlama için d → ∞ alınırsa, iki ayrı yarı-sonsuz arayüzey sonucuna geçilir.
²(ω) κ1
+1=0
²1 κm
(metal-boşluk),
²(ω) κs
+1=0
²s κm
(metal-alttaş).
(3.6.38)
d’nin sonlu deǧerleri için her iki arayüzeyin biri diǧerinin farkında olmaktadır. Bu farkındalık
yüzey plazmon polaritonlarının daǧılım eǧrilerinin biçimini deǧiştirir.
Tam simetriyi saǧlamak için ²s = ²1 = 1 alırsak, ince film yüzey plazmon polariton daǧılım
ifadesi bir çift eşitliǧe ayrışır:
²(ω)
κ1
κm d
= − coth
,
κm
2
²(ω)
κ1
κm d
= − tanh
.
κm
2
(3.6.39)
Bunlar sırasıyla Ex (z − d2 ) ifadesinin çift ve tek kipli fonksiyonuna karşılık gelir. Çift kip daha
kısa ilerleme uzunluǧuna karşılık gelirken, tek kip çok uzun ilerleme uzunluǧuna sahiptir. Bunun
nedeni, çift kip için Ex orta düzlemde sonlu iken tek kip durumunda sıfırdır. (bkz. şekil 3.8)
Şekil 3.8: Kip ilerleme uzunluǧu karşılaştırması.
3.7
YEREL YÜZEY PLAZMONLARI (YYP)
Laplace denkleminin belirli sınır koşullar altında gecikmesiz (elektrostatik) yaklaşım ile
çözülmesi sonucu yerel yüzey plazmonlarının frekansı belirlenebilir. Gecikme etkilerinin ihmal edildiǧi elektrostatik yaklaşımın geçerli olması için sistemin karakteristik büyüklüǧü a
deǧerinin, yerel yüzey plazmonlarının dalgaboyu ile kıyaslandıǧında küçük olması gerekir: a ¿
λ.
116
R yarıçaplıve ²0 dielektrik sabitli ortam içine gömülmüş metalik küre durumunda, kürenin
içinde ve dışında Laplace denkleminin çözümleri:
<
Φ (r, θ, φ) =
∞ X̀
X
a`m r` Y`m (θ, φ), 0 ≤ r ≤ R,
(3.7.1)
`=0 m=−`
Φ> (r, θ, φ) =
∞ X̀
X
b`m
`=0 m=−`
1
Y`m (θ, φ), r ≥ R,
r`+1
(3.7.2)
¯
∂Φ ¯¯
sürekli olmalıdır . Bu sayede yerel
şeklinde elde edilir. Sınır koşulları gereǧi, Φ(R) ve ²
∂r ¯r=R
yüzey plazmonlarının daǧılım baǧıntısını elde ederiz:
²(ω) ` + 1
= 0.
+
²0
`
(3.7.3)
Hatırlayacaǧımız üzere ²(ω)’nın Drude metal durumu için elde ettiǧimiz eşitlik:
·
ω` = ωp
`
²0 (` + 1) + `
¸1/2
, ` = 1, 2, . . .
şeklindeydi.
Küçük kürelerde, dipol kipi ` = 1 önemlidir. Küre büyüklüǧü arttıkça çok kutuplu durumlar (` > 1) önem kazanır. Çok büyük küre (R → ∞, ` → ∞) durumunda ise yerel yüzey
plazmonlarının dielektrik-metal arayüzey durumuna yaklaşır:
ω∞ = √
ωp
.
²0 + 1
(3.7.4)
Yüzey plazmon polaritonları ile yerel yüzey plazmonlarını karşılaştırırsak:
• Daǧılım baǧıntısı yüzey plazmon polaritonları durumunda sürekli, yerel yüzey plazmonları durumunda ise kesikli olarak deǧerler alır.
• Yerel yüzey plazmonları, uyarıcı ışıǧın dalga vektöründen baǧımsız olarak uygun frekans
ve kutuplanma ile uyarılabilir. Yüzey plazmon polaritonları için ise uyarıcı ışıǧın frekans
ve dalga vektörü yüzey plazmon polaritonlarının deǧerleri ile uygun düşmelidir.
• Yerel yüzey plazmonları dar hacimli bir parçacık ya da eǧri yüzeyde sıkıştıǧından önemli
bir elektromanyetik alan baskınlaşması verir. Yerel yüzey plazmonlarının bu özelliǧi
117
onlara SERS, SHG, ve SNOM gibi alanlarda önem kazandırır.
Çeşitlemeleri:
• Metal parçacık dizileri (Maier ve Atwater, 2005):
• Kovuk yerel yüzey plazmonları: Parçacık ve kovuk yerel yüzey plazmonları frekans
2
2
+ ωbosluk
= ωp2
deǧerlerini ilişkisi: ωparcacik
• Aralık plazmonları:
Bu incelemelerin devamı olarak yüzey plazmon polaritonlarının optik uyarımı ve delik
dizilerinin geçirgenlik baskınlaşması gibi yüzey plazmon polaritonlarının getirdiǧi özgün olayların tartışması için bkz. (Zayats ve diğer., 2005).
118
KAYNAKLAR
Adler, S. L. (1962). Quantum theory of the dielectric constant in real solids. Phys. Rev.,
126(2):413–420.
Aspnes, D. E. (1982). Local-field effects and effective-medium theory: A microscopic perspective. American Journal of Physics, 50(8):704–709.
Dressel, M. ve Grüner, G. (2002). Electrodynamics of Solids. Cambridge.
Ehrenreich, H. ve Cohen, M. H. (1959). Self-consistent field approach to the many-electron
problem. Phys. Rev., 115(4):786–790.
Gorobchenko, V. D., Kohn, V. N., ve Maksimov, E. G. (1989). The Dielectric Function of
Condensed Systems. Elsevier.
Jackson, J. D. (1999). Classical Electrodynamics. Wiley, 3. edition.
Keldysh, L. V., Kirzhnitz, D. A., ve (Eds), A. A. M. (1989). The Dielectric Function of
Condensed Systems (Modern Problems in Condensed Matter Sciences, Vol. 24). Amsterdam:
North-Holland.
Maier, S. A. ve Atwater, H. A. (2005). Plasmonics: Localization and guiding of electromagnetic
energy in metal/dielectric structures. J. Appl. Phys., 98:011101.
Pines, D. ve Nozières, P. (1999). The Theory of Quantum Liquids. Perseus.
Pitarke, J. M., Silkin, V. M., Chulkov, E. V., ve Echenique, P. M. (2007). Theory of surface
plasmons and surface-plasmon polaritons. Reports on Progress in Physics, 70(1).
Wiser, N. (1963). Dielectric constant with local field effects included. Phys. Rev., 129(1):62–69.
Zayats, A. V., Smolyaninov, I. I., ve Maradudin, A. A. (2005). Nano-optics of surface plasmon
polaritons. Physics Reports, 408(3–4):131.

Download

˙ILER˙I˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK VE YOˇGUN MADDE F˙IZ˙IˇG˙INDE

Products

Support

˙ILER˙I˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK VE YOˇGUN MADDE F˙IZ˙IˇG˙INDE

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib