(Microsoft PowerPoint - Statik \(Vize Sonras\375\))
advertisement
KAFES SİSTEMLER Mühendislik Yapıları a) Kafesler: İki-kuvvet elemanlarından (uçlarından birleştirilen doğrusal elemanlar) oluşurlar. b) Çerçeveler: En az bir birçok kuvvetin etkisindeki eleman içerenler c) Makineler: Hareketli parçalar içeren yapılardır. Kuvvet iletimi ve dönüşümü için projelendirilirler. (Mekanizmalar: dönüşüm yoktur, verim yoktur) Kafesler Makineler, Mekanizmalar Kafes Yapısı (Çatı) Çerçeveler Kafes Yapısı (Köprü) Çatı Kafesi Köprü Kafesi Diğer Kafesler KAFES SİSTEMLER KAFES; doğru eksenli çubukların, mafsallarla birbirlerine bağlandığı ve yüklerin sadece mafsal noktalarına etkidiği kabul edilen çok parçalı taşıyıcı sistemlerdir. Geniş açıklıkları geçmek için gövdeli çubuklar kullanılırsa, büyük kesit alanları nedeniyle taşıyıcı sistem ağırlaşmakta ekonomik olmaktan çıkmakta. Köprü ve çatı gibi projelerde kafes tercih edilmesi hafif olmasındadır. Doğru eksenli kafes sistem çubukları sadece basınç ya da çekme kuvveti aktarırlar !!!!! KAFES SİSTEMLER Kafes sistemin çubukları yalnız uç noktalarından birbirine bağlanmıştır, hiçbiri düğüm noktalarından ileri geçmez. KAFES SİSTEMLER Çubukların birleşim (mafsal) noktaları kaynaklı, bulonlu ya da perçinli olabilir ve bu mafsal noktalarına da düğüm noktası denir. Kafesteki bir bağlantı levhasına perçin, bulon ya da kaynak ile sabitlenmiş çubuk elemanların oluşturduğu bir düğüm noktasında, tüm çubukların eksenleri tek bir noktada kesişiyorsa, burada mafsal koşulu genellikle sağlanır. KAFES SİSTEMLER Çekme Basma • Kuvvetler çubuğu çekmeye çalışırsa, çekme etkisi altındadır, basmaya çalışırsa basma etkisi altındadır. KAFES SİSTEMLER Çubuklar perçinli yada kaynaklı birleştirilmişlerse de, çubukların mafsallı (pinli) birleştirildiği kabul edilir; yani bir çubuğun her iki ucuna etkiyen kuvvetler bir tek eksenel kuvvet olur ve moment meydana gelmez. Böylece kafes sistem çubuğuna uygulandığı kabul edilen kuvvetler, çubuğun her iki ucundaki münferit kuvvetlerdir. Buna göre çubuk yalnız normal kuvvet etkisindeki bir eleman olarak ele alınabilir ve kafes bir mafsallar ve normal kuvvet etkisindeki elemanlar grubu olarak kabul edilebilir. TAŞIYICI SİSTEMLER • Bu bölümde yalnız sisteme etkiyen dış kuvvetleri değil, sistemin çeşitli parçalarını bir arada tutan kuvvetleri de göreceğiz. Bu kuvvetler sistemin bütünü açısından iç kuvvetlerdir. • Şekilde AD, CF, BE kirişleri, A da mafsal ve DG kablosuyla mesnetlenmiştir. Dış kuvvetler W ağırlığı, A daki tepki bileşenleri, ve kablonun D de uyguladığı T kuvvetidir. • Parçaları bir arada tutan iç kuvvetler görülmemektedir. Fakat, elemanlar birbirinden ayrılırsa, üç kirişi bir arada tutan kuvvetlerin de gösterilmesi gerekir, çünkü bunlar parçalar bakımından dış kuvvetlerdir. • B de BE elemanının AD elemanına uyguladığı kuvvetin, aynı noktada AD nin BE ye uyguladığı kuvvete eşit ve zıt yönlü gösterilir. • Bu husus, temasta olan cisimlerin arasındaki etki ve tepki kuvvetlerinin aynı şiddette, aynı doğrultuda ve zıt yönde olduğunu ifade eden Newtonun 3. kanunudur. BASİT KAFESLER • En küçük Basit Kafes Sistem yanda görülen Üçgendir. • Bir basit kafes, temel bir üçgen kafese 2 çubuk ve bir bağlantı (düğüm) noktası eklenerek oluşturulabilir. • Yandaki üçgene BD ve CD gibi iki çubuk eklenerek daha büyük bir rijit kafes sistem elde edilebilir. Bu işlem istenildiği kadar tekrar edilebilir. BASİT KAFES SİSTEMLER Rijit bir kafes yük altında göçmez Rijit değil Rijit kafes BASİT KAFESLER • Bir basit kafeste, m=2n-3 eşitliği geçerlidir. Burada m eleman (çubuk) sayısı, n ise bağlantı (düğüm) noktası sayısıdır. m=2n-3 (İki boyutta) BASİT KAFESLER m=2n-3 BASİT KAFESLER • Bir basit kafes sitemin yalnız üçgenlerden yapılmasının gerekli olmadığına dikkat edilmelidir. • Diğer taraftan üçgenlerden yapılmış olsalar da rijit kafes sistemler daima basit kafes sitem değildir. m=2n-3 Kafeslerin Düğüm Noktaları Metodu ile Hesabı Bir kafes sistem statik olarak dengede ise, sistemdeki bütün düğüm noktaları da dengededir. Dengedeki sistemde, her bir düğüm noktası için Fx=0 ve Fy=0 denge şartları sağlanmalıdır. Düğüm Noktaları Metodu • Sistemin elemanlarını birbirinden ayırıp, her mafsal ve çubuk için bir SCD çizebiliriz. • Her çubuğa , her biri bir uçta, şiddet ve doğrultuları aynı yönleri zıt iki kuvvet etki etmektedir. • Bir çubuğun birleştirdiği iki mafsala uyguladığı kuvvetler, çubuk doğrultusunda eşit ve zıt yönlüdür. • Kafesin tamamı dengede olduğundan, her bir mafsal dengede olmalıdır. • Kafeste n tane mafsal varsa 2n sayıda bilinmeyenin çözülebileceği, 2n sayıda denklem yazılabilir. m=2n-3 • Bir basit kafes sistem durumunda, m=2n-3 yada 2n=m+3 dir ve mafsalların SCD ından bulunabilecek bilinmeyen sayısı m+3 dür. • Bu, mafsalların SCD ini göz önüne alarak, bütün çubuklardaki kuvvetlerle birlikte R1 tepkisinin iki bileşenin ve R2 tepkisinin bulunabileceğini gösterir. Özel Yükleme Durumları • Üç çubuğu birleştiren ve P yükünü taşıyan düğüm noktasını ele alırsak. Çubukların ikisi aynı doğrultudadır ve P yükü üçüncü çubuk boyunca etki etmektedir. Böylece, aynı doğrultudaki iki karşıt çubukta kuvvetlerin eşit ve diğer elemandaki kuvvetin P ye eşit olması gerekir. • Düğüm noktasına bir yük uygulanmadığında P=0 olur ve AC çubuk kuvveti sıfırdır. AC çubuğu “Sıfır Kuvvet” çubuğudur. Özel Yükleme Durumları Aynı doğrultuda iki elemanı birleştiren düğüm noktasında, denge için bu iki çubuktaki kuvvetlerin eşit olması gerekir. Yandaki durumda, her iki çubuktaki kuvvetler sıfır olmadıkça denge mümkün değildir, yani çubuklar sıfır-kuvvet çubukları olmalıdır. Sıfır Kuvvet Çubukları Sıfır kuvvet çubukları gereksiz değildir. Özel yükleme durumlarında, yükleme durumu değişince yük taşıyabilirler. Bu elemanlar, kafesin kendi ağırlığını taşıması ve kafesin biçimini koruması yönünden de gereklidir. Problem Şekildeki kafeste her bir çubuktaki kuvveti bulunuz, etkinin çekme mi basma mı olduğunu belirtiniz. B noktasında (düğümünde) Basma (C) Çekme (T) C noktasında (düğümünde) Çekme Basma A noktasında (düğümünde) Problem Şekildeki kafeste her bir çubuktaki kuvveti bulunuz. C düğüm noktası D düğüm noktası Problem Şekildeki kafeste her bir çubuktaki kuvveti bulunuz. Etkinin basma mı çekme mi olduğunu belirtiniz. Mesnetlerde oluşan tepkiler A düğüm noktası D düğüm noktası C düğüm noktası Basma Basma Çekme Çekme Basma Problem Şekildeki kafeste sıfır kuvvet çubuklarını bulunuz (düğüm noktası metoduyla) G düğüm noktası D düğüm noktası F düğüm noktası B düğüm noktası Uzay Kafes Sistemleri Bir çok doğrusal eleman, üç boyutlu bir biçim oluşturacak şekilde, uçlarından birbirine bağlandığı zaman elde edilen sisteme uzay kafes sistemi denir. En basit rijit uzay kafes sistem bir ABCD dörtyüzlüsünün kenarlarını oluşturacak şekilde uç noktalarından birbirine bağlanmış (dört noktada) altı eleman ihtiva eder (tetrahedron). Uzay Kafes Sistemleri • Bu biçime her defasında AE, BE ve CE gibi üç eleman ekleyip bunları ayrı düğüm noktalarına bağlayarak ve yeni bir düğüm noktasında birleştirerek basit uzay kafes sistem olarak tanımlanan daha büyük rijit bir sistem elde edilebilir. • n toplam düğüm noktası sayısı olduğuna göre, bir basit uzay kafes sisteminde toplam çubuk sayısı m=3n-6 olur. • Bir uzay kafesin tam bağlanması ve mesnetlerdeki tepkilerin statikçe belirli (izostatik) olması istenirse, mesnetler altı bilinmeyen tepki oluşturacak sabit ve kayıcı mafsalların bir kombinasyonu olmalıdır. • Uzay kafeste her düğüm noktasının mafsallı olduğu kabul edilir (kaynaklı olsa bile). Böylece çubuklara moment etki etmez ve çubuklar normal kuvvet elemanı olarak kabul edilir. • Her düğüm noktası için denge şartları ΣFx=0, ΣFy=0, ve ΣFz=0 Problem Şekildeki kafesteki çubuk kuvvetlerini düğüm noktaları metodunu kullanarak bulunuz Kafes Sistemlerin Kesim Metodu ile Hesabı Kafes statik olarak dengede ise, kafesin herhangi bir parçası da dengededir. Çekme Basma Kesim Metodu Kafesin bir parçasına üç denge denklemi uygulayabileceğimiz için, seçeceğimiz parça, kuvvetin bilinmediği en fazla üç çubuktan geçmelidir. Kesim Metodu Düğüm noktaları metodu bir kafesteki bütün çubukların bulunması istenirse uygundur fakat bir çubuk yada az sayıdaki çubuktaki kuvvetlerin bulunması istenirse kesim metodu daha uygundur. Örneğin BD çubuğundaki kuvveti bulmak isteyelim. Bunun için çubuğun B yada D ye uyguladığı kuvveti bulmalıyız. Düğüm noktaları metoduyla, B yada D yi serbest cisim olarak seçecektik. Bununla beraber sitemin birçok noktadan oluşan bir parçasını, aranan kuvvetin bu parçaya etkiyen bir dış kuvvet olması şartı ile serbest cisim olarak seçebiliriz. Kesim Metodu • Ek olarak, kafes parçası buna toplam üç bilinmeyen etkiyecek şekilde seçilirse, aranılan kuvvet bu kafes parçası için yazılacak denge denklemlerini çözerek bulunabilir. • Pratikte kullanılacak sistem parçası, kafesin üç çubuğunu kesen bir kesim yaparak, yani kafesi ikiye bölen fakat üçten fazla çubuk kesmeyen bir çizgi çizerek elde edilir. Bileşik Kafes Sistemler Birçok basit kafes sitemin rijit olarak bağlanması ile yapılan kafes sistemler bileşik kafes sistemler olarak bilinir. ABDF rijit kafes sistemi Fink rijit kafes sistemi Bir bileşik kafes sisteminde m=2n-3 bağıntısı gerçekleşir (kafes rijittir). Bir mafsal ve bir kayıcı mafsal, yada eşdeğer bir mesnet sistemiyle mesnetlenmiş bileşik kafesler izostatik, rijit ve tam bağlıdır (sistem göçmez ve oynak değildir). Bileşik Kafes Sistemler • Yandaki şekilde çubuk sayısı 2n-3 den fazladır. Elde edilen kafes sistem fazla rijittir ve dört BD, BE, CD, CE çubuğundan biri fazla bağdır. • Sistem A da bir mafsal ve F de bir kayıcı mafsalla mesnetlenmişse, toplam bilinmeyen m+3 olup bu 2n den (yazılabilecek bağımsız denklem) büyüktür, Kafes sistem statikçe belirsizdir (hiperstatik). Bileşik Kafes Sistemler Rijit değil m < 2n − 3 • Yandaki kafes sisteminde, m çubuk sayısı 2n-3 den küçüktür. Kafes rijit değildir ve kendi ağırlığı ile göçer. Fakat bunu mesnetlemek için iki mafsal kullanılırsa rijit olur ve göçmez. • Fakat, sistem mesnetlerden ayrılınca, rijitliğini kaybeder ve sistemin dengesi için yeterli değildir. Rijit m < 2n − 4 Problem Şekildeki kafeste GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz, türlerini belirtiniz. Problem Şekildeki kafeste CF çubuğundaki kuvveti ve türünü bulunuz. (düğümlerin pimli olduğunu kabul ediniz) Problem Şekildeki kafeste EB çubuğundaki kuvveti ve türünü bulunuz Problem Şekildeki kafeste FH, GH ve GI çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz ? ? ? Problem ? ? ? Problem ? ? ? Problem Şekildeki kafeste çubuklardaki kuvvetleri bulunuz. A noktası B noktası ÇERÇEVELER ÇERÇEVELER VE MAKİNELER • Çerçeveler ve Makineler üç yada daha çok kuvvetin etkilediği elemanları bulunan sistemlerdir. • Çerçeveler yükleri taşımak için projelenen, sabit, tam bağlı sistemlerdir. • Makineler, yükleri iletmek ve değiştirmek için projelenir; sabit olmayabilir ve hareketli parçaları ihtiva eder. ÇERÇEVE MAKİNE ÇERÇEVELERİN HESABI • Parçaları bir arada tutan iç kuvvetlerin bulunması için, elemanları birbirinden ayırmamız ve her bir bileşen için SCD çizmemiz gerekir. • C de bir çok kuvvet etkisinde iki eleman birleştirilmiştir. Problem Şekildeki çerçeve 50kg lik yükü taşımaktadır. A ve C mesnetlerindeki tepkileri bulunuz. Problem ACE ve BCD parçaları, C noktasındaki pimle ve DE bağlantı çubuğu ile birleştirilmiştir. Şekildeki yükleme durumunda DE çubuğunda oluşan kuvveti ve C piminde BCD parçasına karşı oluşan tepkileri bulunuz. ∑ Fy = 0 = Ay − 480 N A y = 480 N ↑ ∑ M A = 0 = − (480 N )(100 mm ) + B (160 mm ) B = 300 N → ∑ Fx = 0 = B + Ax Ax = −300 N ← 80 = 28.07° α = tan −1 150 ∑ M C = 0 = ( F DE sin α )(250 mm ) + (300 N )(6 0 mm ) + (480 N )(100 mm ) F DE = − 561 N ∑ F x = 0 = C x − FDE cos α + 300 N 0 = C x − (− 561 N ) cos α + 300 N ∑ F y = 0 = C y − FDE sin α − 480 N 0 = C y − (− 561 N ) sin α − 480 N FDE = 561 N C C x = −795 N C y = 216 N MAKİNELER MAKİNELER Makineler kuvvetleri iletmek ve dönüştürmek için tasarlanmış sistemlerdir. Bunlar ister basit aletler, isterse karışık mekanizmalar olsun, amaçları verilen kuvvetleri alınan kuvvetlere dönüştürmektir. Makineleri oluşturan, belli bir fonksiyonu yerine getiren elemanlara “Makine Elemanları” denir. MAKİNELER • Tel kesme makasının kollarına eşit ve zıt yönlü P ve –P kuvvetlerini uygularsak, tele eşit ve zıt yönlü Q ve –Q kuvvetleri etki eder. • Kuvvetlerin P şiddeti bilindiğinde alınan kuvvetlerin Q şiddetini bulmak için, P ve –P kuvvetlerini ve telin makasa uyguladığı –Q ve Q tepkilerini gösteren, makasın bir SCD ini çizeriz. • Makine rijit olmayan bir yapıdır. Bu nedenle, bilinmeyen kuvvetleri bulmak için, bileşen parçalarından birini serbest cisim olarak kullanırız. • Örnek olarak A noktasına göre moment yazılırsa, Q yu P cinsinden, tanımlayıp şu bağıntılar elde edilir. ∑M A = 0 = aP − bQ Q = a P b MAKİNELER Daha karışık makineler durumunda, birçok serbest cisim diyagramının kullanılması ve birçok iç kuvveti ihtiva eden denklemlerin çözülmesi gereklidir. Serbest cisimler giriş kuvvetlerini ve çıkış kuvvetlerine karşı olan tepkileri ihtiva edecek şekilde seçilmeli ve bilinmeyen kuvvetlerin sayısı, bağımsız denklem sayısını aşmamalıdır. Problem Problem Kablolardaki gerilmeleri ve 600N lik yükü taşıyabilecek P yükünü bulunuz. (makaralarda sürtünme yoktur) C makarası B makarası A makarası KİRİŞLER KESİT TESİRLERİ İç Kuvvet: Bir taşıyıcının dış yüklere karşı geliştirdikleri iç dirence “İç Kuvvet” denir. İç kuvvetler çubuğun x ekseni boyunca farklı şiddetlerde ve doğrultularda karşımıza çıkar. Kesit Tesiri: Çubuk ağırlık merkezine indirgediğimiz iç kuvvet ve moment büyüklükleri. (2 Boyut) (3 Boyut) İç Kuvvetler • AB doğru eksenli normal kuvvet elemanı F ve –F kuvvetlerinin etkisinde dengededir. • Şimdi elemanı C noktasından keselim, AC ve CB cisimlerinin dengesini sağlamak için AC ve F kuvvetine eşit ve zıt yönlü bir –F ve CB uygulamalıyız. • ABCD elemanı dengededir. • Elemanı J noktasında kesip JD ve AJ parçalarını SCD çizelim. • JD cismini alıp J ye, T nin düşey bileşenini dengeleyecek bir F kuvveti, T nin yatay bileşenini dengeleyecek bir V kuvveti ve T nin J ye göre momentini dengeleyecek bir M kuvvet çifti uygulayarak bir parçanın dengesinin sağlanabileceğini görürüz. • F kuvvetine normal kuvvet • V kuvvetine kesme kuvveti • M momentine de J deki eğilme momenti denir KİRİŞLER • Eleman boyunca uygulanan çeşitli yükleri taşıyabilecek şekilde projelendirilen yapı elemanına KİRİŞ adı verilir. • Birçok durumda yükler kiriş eksenine diktir ve bunlar kirişte kesme kuvveti ve eğilme momenti oluşturur. Yükler kiriş eksenine dik olmadığı zaman, normal kuvvetler de oluştururlar. • Kiriş hesabında genellikle normal kuvvetler ihmal edilir, zira kirişin kesme ve eğilmeye karşı koyması daha kritiktir. Kirişlerin Hesabı Kirişin hesabı iki kısımdan oluşur; • Kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri bulunur. • Hesaplanan kesme kuvvetleri ve eğilme momentlerini en iyi taşıyabilecek kesit seçimi (Mukavemet dersinde). Yük ve Mesnet Türleri Bir kiriş tekil veya yayılı yükler veya bu ikisinin karışımı olan yüklerin etkisi altında olabilir. Kirişler mesnetleme şekillerine göre sınıflandırılırlar. Mesnetler arası L uzaklığına açıklık denir. Kiriş Türleri Tam Bağlı (Statikçe Belirli, İzostatik) Mesnetlerde üç bilinmeyen bulunması durumunda tepkiler izostatik olur. Dış etkiler sonucu oluşan mesnet tepkisi, şekil değiştirme ve yer değiştirme denge denklemleri ile hesaplanabilen sistemlerdir. Bilinmeyen sayısı ve denklem sayısı eşittir. Basit kirişler bu tip sistemlere örnek olarak gösterilebilir. Fazla Bağlı (Statikçe Belirsiz, Hiperstatik) Bütün kesit zorlarını ve bunlara bağlı olarak şekil değiştirmelerin ve yer değiştirmelerin hesabı için denge denklemlerinin yeterli olmadığı sistemlere Hiperstatik Sistemler denir. Eksik Bağlı (Oynak) Bağ kuvvetleri sayısı, denge denklemleri sayısından az olan cisimlerdir. Yetersiz Bağlı Bilinmeyen bağ sayısı ile denge denklemlerinin sayısı birbirine eşit olmasına rağmen mesnet koşulları uygun bir şekilde seçilmemiş taşıyıcı sistemler olabilir. Kirişlerde Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti • Kirişin bir noktasındaki kesme kuvveti ve eğilme momentini bulmak istediğimizde. • Önce kirişi bir cisim olarak düşünüp mesnetlerindeki tepkileri (RA ve RB) buluruz. • C deki iç kuvvetleri bulmak için kirişi C de keseriz. AC ve CB parçalarının SCD çizeriz. • AC ye etkiyen kuvvetlerin düşey bileşenlerinin toplamını sıfıra eşit yazarak C deki V kesme kuvvetini buluruz. • AC ye etkiyen kuvvetlerin C ye göre moment toplamını sıfıra eşit yazarak C deki M eğilme momentini buluruz. Bir kirişte kesme kuvvetlerinin bulunmasında, V ve V’ iç kuvvetlerinin yukarıdaki gibi yönlendiğini kabul edeceğiz. V için elde edilen pozitif değer kabulün doğru olduğunu gösterir. Negatif değer, kesme kuvvetinin zıt yönde olduğunu gösterir. Problem Kirişteki 6kN lik yükün hemen solundaki B noktasında ve sağındaki C noktasındaki normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğme momentini bulunuz. Öncelikle Mesnetlerdeki Tepkiler Bulunur (9 kN serbest vektördür, istenilen yere konulabilir) Problem Kirişteki C noktasındaki normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğme momentini bulunuz. Problem Şekildeki çerçevede B noktasındaki normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğme momentini bulunuz. Öncelikle mesnet tepkileri bulunur CD çubuğu iki kuvvet etkisindeki bir çubuk olduğundan, denge denklemleri sadece AC çubuğuna uygulanır. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları Kesme kuvveti ve eğilme momentinin kirişin bir noktasındaki değerini, kirişin bir ucundan olan x uzaklığına göre çizerek gösterebiliriz. Bu grafiklere, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı denir. • Mesnetlerdeki tepkileri belirleriz. • Kirişi C noktasında kesip, AC parçasını ele alırsak, V = + P 2 M = + Px 2 • Kirişi E noktasında kesip EB parçasını ele alırsak, V =−P 2 M =+P(L−x) 2 • Yalnız tekil yükler altındaki bir kirişte, kesme kuvveti uygulama noktaları arasında sabittir ve eğme momenti doğrusal (lineer) değişir. Kesme kuvveti Eğme momenti Bu örnekte yük eğrisinin yatay bir doğru, kesme kuvveti eğrisinin eğik bir doğru ve eğilme momenti eğrisinin parabol olduğunu görüyoruz. Yük eğrisi eğik bir doğru (1. derece) olsaydı, kesme kuvveti eğrisi bir parabol (2. derece), ve eğilme momenti eğrisi kübik parabol (3. derece) olacaktı. Kesme ve eğilme momenti eğrileri yük eğrisinden sırasıyla bir ve iki daha yüksek derecede olacaklardır. Kesme Kuvveti ve Eğme Momentinin İşaretleri Örnekler Problem Kesme kuvveti tekil yükler arasında sabittir Eğilme momenti doğrusal olarak değişir. Problem Problem Şekildeki kirişte, kesme diyagramını çiziniz. kuvveti ve eğilme momenti ∑ Fy = 0 : − 20 kN − V1 = 0 V1 = −20 kN ∑ M 2 = 0 : (20 kN )(0 m ) + M 1 = 0 M1 = 0 V3 = 26 kN M 3 = −50 kN ⋅ m V4 = 26 kN M 4 = −50 kN ⋅ m V5 = 26 kN M 5 = −50 kN ⋅ m V6 = 26 kN M 6 = −50 kN ⋅ m Kayma kuvveti münferit yükler arasında sabittir ve Eğilme momenti doğrusal olarak değişir. Problem Problem KABLOLAR KABLOLAR Taşıyıcı olarak kullanılan kablolar, asma köprülerde, enerji nakil hatlarında, teleferiklerde, kulelerde gergi teli olarak karşımıza çıkar. Kabloda, eğilme mukavemeti ihmal edilir, kablo kuvveti de daima kablo teğeti yönündedir. Kablo hesabı iki varsayıma dayanır !!!! Esneklik Varsayımı: kablonun eğilme dayanımı yoktur. Uzamasızlık Varsayımı: kablo boyunda bir değişim olmaz. Kablolar Kablolar yükleme durumlarına göre ikiye ayrılır, (1) Münferit (Tekil) yükler taşıyan kablolar (2) Yayılı yükleyen taşıyan kablolar Tüm kablolar için geçerli olan iki not En büyük kablo kuvveti, eğimi en fazla olan kablo parçasında oluşur. Farklı eğimli kablo parçalarında oluşan kablo kuvvetlerinin yatay bileşenleri birbirlerine eşittir Münferit Yükler Etkisindeki Kablolar • Kablonun şeklini belirlemeye çalışırız (her bir yükün, A noktasından olan düşey uzaklığı) • Tüm kabloyu rijit cisim olarak düşün. • Mesnetlerdeki 4 bilinmeyeni çözemeyiz !! • Koordinatları bilinen D de kabloyu keseriz, AD parçasının statik dengesini göz önüne alırız. • Aşağıdaki ek denklemle bilinmeyenleri buluruz. ∑ M D = 0. Yüklerin etkidiği noktalardan kesimler yapılır, ve parçalar üstünde denge denklemleri yazılarak kablo kuvvetleri ile yüklerin koordinatları belirlenebilir. Yayılı Yük Etkisindeki Kablolar Münferit yükler taşıyan bir kablo için bir noktadaki iç kuvvet, kablo doğrultusundaki bir çekme kuvvetidir. Yayılı yük taşıyan kabloda kablo eğrisel bir biçim alır ve D noktasındaki iç kuvvet, eğrinin teğeti doğrultusunda etkiyen T çekme kuvveti olur. • Kablonun en alt C noktasından, bir D noktasına kadar olan parçasını alırsak, cisme etkiyen kuvvetler C de yatay konumdaki T0 çekme kuvveti, ve D de kablonun D noktasındaki teğeti doğrultusunda etkiyen T çekme kuvveti. • Kuvvetler üçgenini çizersek: T cos θ = T 0 T = T 02 + W 2 T sin θ = W tan θ = W T0 • T çekme kuvvetinin yatay bileşeni her noktada aynıdır ve T nin düşey bileşeninin en alt noktada ölçülen yükün W şiddetine eşittir • Çekme en aşağı noktada minimum, A ve B noktalarında maksimumdur. Problem Şekildeki kabloda, her bir parçadaki (bölümdeki) gerilmeyi bulunuz. Problem SÜRTÜNME SÜRTÜNEN YÜZEYLER Yüzeyler iki sınıfa ayrılır: Cilalı yüzey Pürüzlü yüzey Sürtünme Sıvı sürtünmesi Kuru sürtünme SÜRTÜNME KUVVETİ VE SÜRTÜNME KATSAYISI İki cisim arasında temas yüzeyi pürüzlü ise, A cisminin SCD Şekildeki gibi olur. İki yüzey arasındaki etkileşim kuvveti R, yüzey normali ile bir açı yapar. R iki bileşene ayrılabilir. O zaman temas yüzeyine dik N bileşenine normal kuvvet, temas yüzeyine teğet ve hareketin tersi yönündeki Fs bileşenine sürtünme kuvveti denir. Sürtünme Kuvveti: İki yüzey birbiri ile temasta iken, biri ötekine göre hareket zorlanınca ortaya çıkan, hareketle zıt yönlü ve sürtünen yüzeylere teğet olan kuvvete verilen addır. Sürtünme kuvveti ısı biçiminde enerji kaybına neden olur. A cismi dengede ise, denge denklemleri şöyledir; R yi bileşenlerine ayırmakta kullanılan açıya sürtünme açısı denir. Bilinmesi gereken, sürtünme kuvvetinin şiddeti için daima bir üst sınır vardır. Bazı durumlarda sürtünmeden kaçınılırken, bazı durumlarda yararlanılmaya çalışılır. Örneğin bir makine çalışırken sürtünme elde edilir. Son olarak integrali hesaplanırsa, Bu bağıntı, sabit silindirik tambura sarılı kayış ya da halat ile fren kayışı için tam kayma hareketinin başlayacağı sırada kullanılmalıdır. Burada radyan cinsinden kullanılan açı >2 olabilir, örneğin halat direğe n kere sarılıysa, = 2 n olur. Eğer kayış, halat, fren kaymıyorsa ya da kayma başlangıcında değilse denklem kullanılamaz. Kayışlı transmisyonlar sıklıkla V biçimindedirler (V kayışı). Hareket halindeki kayışta çekme kuvveti T2 , direnen kayış kuvveti T1 ve kasnak ile kayış arasındaki statik sürtünme katsayısı s ise kayış kuvvetleri arasındaki ilişki; yazılabilir. Burada kayış yanaklarındaki sürtünmeyi gözeten ilişki, Sürtünme Sürtünme, birbiriyle izafi hareket yapan iki katı yüzeyin harekete ya da hareketin ihtimaline göstermiş oldukları dirençtir. En genel olarak: • Kuru, • Sıvı, • Yarı-sıvı • Kayma-Yuvarlanmalı Kuru Sürtünme Bağıl hareket yapan iki kuru parça temas yüzeylerinde meydana gelen sürtünme türü olup, parçalar birbirleri üzerinde yüzey pürüzleri üzerinde kayar. • Aşınma: Sürtünen yüzeylerde malzemenin, mekanik etkilerle istenmeyen bir şekilde kopması ve ana parçalardan ayrılmasıdır. • Daha önceki bölümlerde, birbiriyle temasta olan yüzeylerin sürtünmesiz (cilalı) veya pürüzlü oldukları kabul edilmişti. • Sürtünmesiz (cilalı) olmaları durumunda yüzeylerden birinin diğerine uyguladığı kuvvet normal oluyordu ve yüzeyler birbirine göre serbestçe hareket edebiliyordu. • pürüzlü olmaları halinde ise yüzeylerin birbirine göre hareketini engelleyen teğetsel kuvvetlerin ortaya çıktığı kabul ediliyordu. • Kuru sürtünme (Coulomb sürtünmesi) ve Sıvı sürtünmesi olmak üzere iki tür sürtünme vardır. • Sıvı sürtünmesi yağlanmış mekanizmalarda (yüzeylerde) dikkate alınır. • Sıvı sürtünmesi sıvının çeşitli hızlarda hareket eden sıvı tabakaları arasında ortaya çıkar. Sıvıların borulardan akımı ve hareketli sıvılara batmış cisimlerle uğraşan problemklerde sıvı sürtünmesi önem taşır. • Biz şimdilik yağlanmamış yüzeyler boyunca birbiriyle temas eden rijit cisimlerle ilgileneceğiz. Kuru Sürtünme Kanunları. Sürtünme Katsayıları • Şekildeki cisme etki eden kuvvetler, cismin ağırlığı (W) ve zeminin tepkisidir (N). • Cisme yatay P kuvveti etki ederse, cismin dengede sabit durması için zemin tepki kuvvetinin yatay bileşeni (F) gerekir, buna “statik sürtünme kuvveti” denir. • P büyüdükçe, F de maksimum bir değere kadar büyür (Fm). Fm = µ s N • P yi daha da arttırırsak cisim harekete başlar ve F daha düşük bir değere (Fk) düşer (Fk: kinetik sürtünme kuvveti). Fk = µ k N • Max. Statik sürtünme katsayısı: Fm = µ s N • Kinetik sürtünme katsayısı: Fk = µ k N µ k ≅ 0.75µ s Maksimum statik sürtünme kuvveti ve kinetik sürtünme kuvveti • Normal kuvvetle orantılıdır • Temas yüzeyinin tipi ve şartlarına bağlıdır • Temas alanından bağımsızdır • Sürtünme yok, (Px = 0) • Hareket yok, (Px < Fm) • Hareket başlangıcı, (Px = Fm) • Hareket, (Px > Fm) SÜRTÜNME AÇISI • Bazı hallerde N normal kuvveti ile F sürtünme kuvveti yerine bileşkeleri olan R yi koymak daha uygundur. • Sürtünme yok • Hareket yok tan φ s = • Hareket başlangıcı Fm µ s N = N N tan φ k = • Hareket yok Fk µ k N = N N tan φ k = µ k tan φ s = µ s • Sürtünme yok • Hareket • Hareket başlangıcı • Hareket Kuru Sürtünme ile İlgili Problemler • Etki eden kuvvetler biliniyor • Etki eden kuvvetler biliniyor • Statik sürtünme katsayısı biliniyor • Statik sürtünme katsayısı biliniyor • Hareket başlangıcı • Hareket başlangıcı • Statik sürtünme katsayısını bul • Kuvvetlerden birinin şiddeti veya yönünü bul • Cisim hareket eder mi ? Problem Problem Çözüm KAMALAR • Kamalar, büyük blokları ve ağır yükleri kaldırmada kullanılan basit makinelerdir. • Bu yükler kamaya yükün ağırlığından çok daha küçük yükler uygulayarak kaldırılabilir. • Kamalar uygun şekil verilmek suretiyle, sürtünme kuvveti nedeniyle yük altında sıkıştırılınca yerlerinde kalırlar. Sürtünme kamanın dışarı kaymasını engeller. • Amacımız yükü kaldırmak için gereken minimum yükü bulmaktır. KAMALAR • Blok • Kama ∑ Fx = 0 : − N1 + µ s N 2 = 0 ∑ Fy = 0 : − W − µ s N1 + N 2 = 0 veya r r v R1 + R2 + W = 0 ∑ Fx = 0 : − µ s N 2 − N 3 (µ s cos 6° − sin 6° ) +P=0 ∑ Fy = 0 : − N 2 + N 3 (cos 6° − µ s sin 6°) = 0 veya r r r P − R2 + R3 = 0 H W T S H L W F= τ= T 2T = D/2 D F 2T = A DLW Kare-Dişli Vidalar • Kare dişli vidalar, kriko, pres ve diğer mekanizmalarda çok kullanılır. Bunların hesabı eğik bir düzlem üzerinde kayan bir blok hesabına benzer. • Q kuvvetinin momenti P kuvvetinin momentine eşittir. Q = Pa r Kare-Dişli Vidalar • Yukarı doğru hareket başlangıcı φs >θ, φs > θ , Kare-Dişli Vidalar Disli yüksekliği l, çapı 2r, açısı θ, Eksenel kuvvet W, döndürme momenti M Mil Yatakları. Dingil Sürtünmesi • Mil yatakları dönen millere ve dingillere yatay mesnet sağlamak için kullanılır. Basınç yatakları ise mil ve dingillere eksenel mesnet sağlar. • Mil yatağı tamamen yağlanmışsa sürtünme direnci dönme hızına, dingille yatak arasındaki boşluğa ve yağın viskozitesine bağlıdır. • Kısmen yağlanmış mil ve yataklar bir çizgi boyunca doğrudan temasta kabul edilebilir. Mil Yatakları. Dingil Sürtünmesi • Bir yatağa etki eden kuvvetler, tekerleğin ve milin W ağırlıkları, hareketi sürdürmek için gereken M kuvvet çifti, ve yatağın R tepkisi (bileşkesi). • Bu kuvvet düşey W ye eşit ve zıt yönlüdür. Fakat milin O merkezinden geçmez; R kuvveti O nun sağında ve O ya göre momenti kuvvet çiftinin M momentini dengeleyecek şekilde belirli bir uzaklıkta bulunur.Mil ile yatak arasında temas en alçak A noktasında olmaz, B noktasında yada şekil düzlemini B de kesen bir doğru boyunca olur. • Bu fiziksel olarak, tekerlek harekete başladığı zaman, milin kaymaya başlayıncaya kadar yatak içinde tırmandığı gerçeği ile açıklanır. • Grafik çözüm için, R (tesir çizgisi) sürtünme çemberine teğet olmalıdır. M = Rr sin φ k r f = r sin φ k ≈ Rrµ k ≈ rµ k Basınç Yatakları. Disk Sürtünmesi Dönen millere ve dingillere eksenel mesnet sağlamak için kullanılırlar. İki türde olurlar: (1) Uç yatakları ve (2) Boyun (Bilezik) yatakları. Boyun yataklarında birbirine değen halka biçimli iki alan arasında sürtünme oluşur. Uç yatakları durumunda bütün dairesel alanlarda yada mil ucunun içi boş olduğu zaman halka biçiminde alanlar boyunca sürtünme oluşur. Basınç Yatakları. Disk Sürtünmesi Dönen içi boş mil durumu: Bir M kuvvet çifti mili sabit bir hızla döndürmekte ve bir P kuvveti bunun sabit yatakla temasını sağlamaktadır. Yatakla mil arasındaki değme iç yarıçapı R1 ve dış yarıçapı R2 olan halka bir alan boyunca olur. ∆A alanlı elemana uygulanan normal kuvvet ∆N=P∆A/A olur. Milin dengesi, uygulanan kuvvet çiftinin M momentinin ∆F sürtünme kuvvetlerinin momentlerinin toplamına eşit olmasını gerektirir. ∆M = r∆F = rµ k ∆N = rµ k = rµ k P∆A ( π R22 − R12 P ∆A A M = ) π ( µk P R22 2π R2 ∫ ∫ − R12 0 R1 = 23 µ k P ) r 2 drdθ R23 − R13 R22 − R12 Basınç Yatakları. Disk Sürtünmesi Değme R yarıçaplı bir tam çember boyunca olduğu zaman M = 23 µ k PR Buna göre M değeri mille yatak arasındaki değmenin mil ekseninden 2R/3 uzaklıkta bulunan bir tek noktada yer alması durumu için elde edilen değerin aynısı olur. Tekerlek Sürtünmesi, Yuvarlanma Direnci Tekerleğin kullanımı ağır yüklerin küçük gayretlerle hareket ettirilmesini mümkün kılar. Herhangi bir anda tekerleğin yere değen noktasının yere göre bağıl hareketi olmadığı için, tekerlek yükün yere dolaysız değmesi durumunda ortaya çıkacak büyük sürtünme kuvvetlerini yok eder. Bununla beraber tekerlek kusursuz değildir ve biraz direnç vardır. Bu direncin iki nedeni vardır. (1) Dingil sürtünmesi ve kenardaki sürtünmenin bileşik etkisi. (2) tekerlekle yer arasında yalnız bir noktada değil, belirli bir alanda değme sonucunu doğuran, tekerlek ve yerin şekil değiştirmesi gerçeğinden bir direnim (mukavemet) ortaya çıkar. Tekerlek Sürtünmesi, Yuvarlanma Direnci • Sürtünme yok ideal durum • Sürtünme • Tekerleğin ve zeminin olmadığında tekerlek deformasyonu B de bir tepki kayar. kuvveti oluşturur. W nin B deki momentini dengelemek için P gerekir. Pr = Wb b = yuvarlanma direnci katsayısı • r=tekerlek yarıçapı KAYIŞ SÜRTÜNMESİ Sabit bir silindirik tamburun üzerinden geçen bir kayışı göz önüne alalım. Kayış sağa doğru kaymak üzere bulunduğu anda kayışın iki tarafındaki T1 ve T2 çekme kuvvetleri arasında mevcut bağıntıyı bulmak istiyoruz. Kayıştan ∆θ açısı ile belirlenen küçük bir PP’ elemanını çıkarırız. P deki kuvvet T, P’ deki T+∆t ile gösteririz. İki yandaki kuvvetlerden başka cisme etkiyen kuvvetler, tamburdan gelen tepkinin ∆N normal bileşeni ile ∆F sürtünme kuvvetidir. KAYIŞ SÜRTÜNMESİ ∑ Fx = 0 : (T + ∆T ) cos ∆θ ∆θ − T cos − µ s ∆N = 0 2 2 ∑ Fy = 0 : ∆N − (T + ∆T ) sin ∆θ ∆θ − T sin =0 2 2 ∆T ∆θ ∆T sin (∆θ 2) cos − µ s T + ∆θ 2 2 ∆θ 2 dT − µ sT = 0 dθ ln T2 = µsβ T1 or T2 = e µs β T1 Problem Problem
