˙Istatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden Geçirilmesi

İstatistik I
Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
Geçirilmesi
Hüseyin Taştan∗
Ağustos 13, 2006
İçindekiler
P
İşlemcisi
1 Toplama
Q
2 Çarpım
İşlemcisi
2
6
3 Türev
3.1 Türev Kuralları . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Sabit Fonksiyon Kuralı . . . . . .
3.1.2 Üslü Fonksiyonların Türevi . . .
3.1.3 Toplam Kuralı . . . . . . . . . .
3.1.4 Çarpım Kuralı . . . . . . . . . . .
3.1.5 Oran Kuralı . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Zincir Kuralı . . . . . . . . . . .
3.2 İkinci ve Daha Yüksek Dereceden Türev
3.3 Kısmi Türev . . . . . . . . . . . . . . . .
∗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü.
Mail: Hüseyin Taştan
İktisat Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Yıldız Kampüsü, Beşiktaş, İstanbul Turkey
e-mail: tastan@yildiz.edu.tr
Web-site: http://www.yildiz.edu.tr/∼tastan/
c 2005-6, Hüseyin Taştan
°
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
8
8
9
9
10
11
12
13
4 İntegral
4.1 Belirsiz İntegral . . . . . . . . .
4.1.1 İntegral Kuralları . . . .
4.1.2 Kısmi İntegral . . . . . .
4.1.3 İkameli İntegral . . . . .
4.2 Belirli İntegral . . . . . . . . . .
4.2.1 Belirli İntegral Kuralları
1
Toplama
P
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
15
16
17
17
İşlemcisi
P
Uzun toplama işlemlerini kısa yoldan göstermek için toplama,
(Yunan
alfabesinden büyük harf Sigma), notasyonu kullanılabilir. Örneğin xi ’nin
i = 1’den 5’e kadar toplamını şöyle yazabiliriz:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =
5
X
xi
i=1
Burada i sadece tamsayı değerler alabilen toplama indeksidir. Yukarıdaki
örnekte 1’den 5’e kadar değerler almaktadır. xi toplama işleminin uygulanacağı kısımdır ve aslında i’nin bir fonksiyonu olarak düşünülebilir.
Aşağıdaki örneklerde görüleceği gibi toplama indeksi için farklı harfler
kullanılabilir. Ayrıca toplama indeksinin sonu açık ya da kapalı olabilir.
Örnek 1.1 x’in 1’den n’e kadar toplamı
n
X
xi = x1 + x2 + x3 + . . . + xn
i=1
Örnek 1.2 y’nin 0’dan ∞’a kadar toplamı
∞
X
yk = y0 + y1 + y2 + . . .
k=0
Özellik 1.1 a herhangi bir sabit sayı olmak üzere,
5
X
axi = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + ax5
i=1
= a(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )
5
X
= a
xi
i=1
2
Bu katsayı toplama işlemiyle indekslenmiş de olabilir:
5
X
ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5
i=1
Toplama notasyonu üslü işlemler için de kullanılabilir.
n
X
aj xj = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn
j=1
Özellik 1.2 Toplanan terimlerde sabit bir sayı eklenebilir ya da çıkarılabilir:
5
X
(xi + c) = (x1 + c) + (x2 + c) + (x3 + c) + (x4 + c) + (x5 + c)
i=1
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 5c
5
X
=
xi + 5c
i=1
Yukarıdaki örnekte eşitliğin sol tarafındaki c sabitinin toplama işleminin
içinde, en sondaki 5c teriminin ise toplama işleminin dışında yer aldığına
dikkat ediniz. Aşağıda buna benzer başka bir örnek verilmektedir:
Örnek 1.3
n
X
(xi − µ) = (x1 − µ) + (x2 − µ) + (x3 − µ) + . . . + (xn − µ)
i=1
= x1 + x2 + x3 + . . . + xn − nµ
n
X
=
xi − nµ
i=1
Yukarıdaki örnekte nµ artık toplama işleminin dışındadır.
Özellik 1.3
n
X
(Xt + Yt ) =
t=1
à n
X
!
Xt
+
à n
X
!
Yt
t=1
t=1
Örnek 1.4 Özellik 1.1, 1.2 ve 1.3’ü kullanarak aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:
n
X
(axi + byi − c) = (ax1 + by1 − c) + (ax2 + by2 − c) + . . . + (axn + byn − c)
i=1
= a(x1 + x2 + x3 + . . . + xn ) + b(y1 + y2 + y3 + . . . + yn ) − nc
à n
! Ã n !
X
X
=
a
xi + b
yi − nc
i=1
i=1
3
Örnek 1.5 Ortalaması µ olan ve büyüklüğü N olan bir anakütlenin gözlem
değerlerini x1 , x2 , x3 , . . . , xn ile gösterelim. k herhangi bir sabit sayı olsun.
Buna göre
N
N
X
X
2
(xi − k) =
(xi − µ)2 + N (k − µ)2
i=1
i=1
olduğunu ispatlayın.
Cevap: Toplam terimlerine anakütle ortalamasını ekleyip çıkarırsak
N
N
X
X
2
(xi − k − µ + µ) =
((xi − µ) + (µ − k))2
i=1
i=1
olur. Parantez içindeki terimlerin binom açılımına toplama işlemcisinin kuralları uygulanırsa
N
X
N
X
¡
¢
(xi − µ)2 + 2(xi − µ)(µ − k) + (µ − k)2
((xi − µ) + (µ − k))2 =
i=1
i=1
N
X
(xi − µ)2 + 2(µ − k)
=
i=1
N
X
N
X
(xi − µ) + N (µ − k)2
i=1
(xi − µ)2 + N (k − µ)2
=
i=1
bulunur. Burada µ anakütle ortalamasını gösterdiğinden ortalamadan sapmaların toplamının 0 olmasından faydalanıldı. Yani
N
N
N
N
X
X
X
1 X
(xi − µ) =
xi − N µ =
xi − N
xi = 0.
N i=1
i=1
i=1
i=1
Bazı durumlarda gösterimde basitlik amacıyla toplama işlemi
X
X
xi ya da
xi
i
şeklinde de yazılabilir. Böyle durumlarda genellikle toplama indeksinin nerede
başlayıp nerede bittiği kontekst içinde anlaşılır. Örneğin N gözlemli bir
anakütlenin ortalaması
1 X
1 X
xi =
xi
µ=
N i
N
olarak yazılabilir. Burada toplama işleminin i = 1’den i = N ’ye kadar olduğu
açıktır.
4
Çift toplama işlemi
Örnek 1.6
2 X
3
X
xi yj = (x1 y1 ) + (x2 y1 ) + (x1 y2 ) + (x2 y2 ) + (x1 y3 ) + (x2 y3 )
i=1 j=1
Bu örnek genelleştirilebilir:
n X
m
X
xi yj = (x1 + x2 + . . . + xn )(y1 + y2 + . . . + ym )
i=1 j=1
= (x1 + x2 + . . . + xn )
= x1
à m
X
!
yj
Ã
+ x2
j=1
=
m
X
à m
X
!
yj
j=1
m
X
!
yj
+ . . . + xn
j=1
x1 y j +
j=1
m
X
x2 y j + . . . +
j=1
m
X
xn y j =
j=1
à m
X
!
yj
j=1
n
m
XX
xi y j
i=1 j=1
Yukarıdaki işlemde toplama indeksinin sırasının bir önemi yoktur:
n X
m
X
xi yj =
i=1 j=1
m X
n
X
xi yj
j=1 i=1
Bundan hareketle n tane x’in toplamının karesi
à n
!2
X
xi
= (x1 + x2 + . . . + xn )2
i=1
=
n X
n
X
xi xj
i=1 j=1
olarak yazılabilir.
Örnek 1.7
2 X
3
X
(xi +yj ) = (x1 +y1 )+(x2 +y1 )+(x1 +y2 )+(x2 +y2 )+(x1 +y3 )+(x2 +y3 )
i=1 j=1
5
Alıştırma 1.1
N X
M ³
X
xi
i=1 j=1
yj ´
+
=
N
M
Ã
N
MX
xi
N i=1
!
Ã
+
M
N X
yj
M j=1
!
olduğunu gösteriniz.
Alıştırma 1.2 X ve Y ortalamaları sırasıyla µx ve µy olan iki anakütleyi
temsil etsin. Bu anakütledeki gözlem değerlerini x1 , x2 , . . . , xN ve y1 , y2 , . . . , yN
ile gösterelim. Buna göre
N
N
1 X
1 X
(xi − µx )(yi − µy ) =
x i y i − µx µy
N i=1
N i=1
olduğunu gösteriniz.
2
Çarpım
Q
İşlemcisi
Çok miktarda sayının birbirleriyle çarpımını kısa yolda göstermek istersek
çarpım notasyonunu kullanabiliriz:
x1 x2 x3 x4 x5 =
5
Y
xi
i=1
Daha genel olarak,
n
Y
xi = x1 x2 x3 . . . x n
i=1
Özellik 2.1 a herhangi bir sabit sayı olmak üzere,
n
Y
axi = ax1 · ax2 · ax3 · . . . · ax4
i=1
= a n x1 x2 x3 . . . x n
n
Y
n
= a
xi
i=1
Özellik 2.2 C herhangi bir sabit sayı olmak üzere,
n
Y
C xi = C x1 · C x2 · C x3 · . . . · C xn
i=1
= C x1 +x2 +x3 +...+xn
Pn
= C i=1 xi
6
Örnek 2.1
n
Y
exi = ex1 · ex2 · ex3 · . . . · exn
i=1
= ex1 +x2 +x3 +...+xn
Pn
= e i=1 xi
Özellik 2.3 ln doğal logaritma olmak üzere,
à n
!
Y
ln
exi
= ln (ex1 · ex2 · ex3 · . . . · exn )
i=1
³ Pn ´
= ln e i=1 xi
=
n
X
xi
i=1
Özellik 2.4 a bir sabit olmak üzere,
n
Y
aexi = ex1 · ex2 · ex3 · . . . · exn
i=1
= an ex1 +x2 +x3 +...+xn
Pn
= an e i=1 xi
Özellik 2.5 ln doğal logaritma ve a bir sabit olmak üzere,
à n
!
n
Y
X
xi
ln
ae
= n ln a +
xi
i=1
i=1
Alıştırma 2.1 Yukarıdaki özelliği ispatlayınız.
Alıştırma 2.2 a, b, ve c sabit sayılar olmak üzere
à n
!
n
Y 1
X
n
−b(xi −c)
√ e
ln
= − ln(a) − b
(xi − c)
2
a
j=1
i=1
olduğunu ispatlayınız.
3
Türev
y = f (x) olarak verilen bir fonksiyonun türevi
dy
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
dx ∆x→0
∆x
olarak tanımlanır. ∆x x’teki değişim ifade etmektedir.
f0 =
7
3.1
3.1.1
Türev Kuralları
Sabit Fonksiyon Kuralı
y = f (x) = k şeklinde tanımlanan bir sabit fonksiyonun türevi 0’dır:
f0 =
3.1.2
dy
=0
dx
Üslü Fonksiyonların Türevi
y = f (x) = xn ise
Örnek 3.1 y = x5 ’in türevi
dy
= nxn−1
dx
dy
= 5x4
dx
dir.
Bu kural genelleştirilebilir. c bir sabit sayı olmak üzere y = cxn ’in türevi
dy
= cnxn−1
dx
olur.
Örnek 3.2 y = 3x2 ’nin türevi
dy
= 6x
dx
dir.
Örnek 3.3 y = 4x−3 ’ün türevi
dy
= −12x−4
dx
dir.
e tabanına göre üslü fonksiyonların türevi: örneğin y = ex ise
dy
= ex
dx
y = eax ise
dy
= aeax
dx
8
Örnek 3.4 y = 2e−3x ’in türevi
dy
= −6e−3x
dx
dir.
x
y = ax ise bunun y = eln(a ) = e(ln a)x olarak yazılabileceğinden hareketle
dy
= ln ae(ln a)x = (ln a)ax
dx
olur.
Örnek 3.5 y = 2x ’in türevi
dy
= ln 2eln 2x = 2x ln 2
dx
dir.
3.1.3
Toplam Kuralı
u ve v x’in türevleri alınabilen iki fonksiyonu olmak üzere y = u + v verilsin.
Bu durumda y’nin x’e göre türevi
dy
d
du dv
=
(u + v) =
+
dx
dx
dx dx
olur.
Örnek 3.6 y = x3 + 7x2 − 5x + 4 veriliyor.
dy
’i
dx
bulun.
dy
d 3
d
d
d
=
(x ) + (7x2 ) − (5x) + (4)
dx
dx
dx
dx
dx
2
= 3x + 14x − 5
3.1.4
Çarpım Kuralı
u ve v x’in türevleri alınabilen iki fonksiyonu olmak üzere y = uv şeklinde
tanımlanan bir fonksiyonun türevi
d
dv
du
dy
=
(uv) = u + v
dx
dx
dx
dx
9
Örnek 3.7 y = (x2 + 1)(x3 + 3)’ün türevini bulun.
dy
d
d
= (x2 + 1) (x3 + 3) + (x3 + 3) (x2 + 1)
dx
dx
dx
= (x2 + 1)(3x2 ) + (x3 + 3)(2x)
= 5x4 + 3x2 + 6x
Bu kural tümevarımla genelleştirilebilir. Örneğin y = uvw’nun türevi
d
(uvw) = (uvw)0 = u0 vw + v 0 uw + w0 uv
dx
olur.
Yine u x’in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere y = un şeklinde
yazılan bir fonksiyonun türevi
d n
du
(u ) = nun−1
dx
dx
Örnek 3.8 y = (x2 − 3x + 5)5 ise
dy
= 5(x2 − 3x + 5)4 (2x − 3)
dx
olur.
Örnek 3.9 y = (x2 + 1)3 (x3 − 1)2 ise
dy
= 3(x2 + 1)2 (2x)(x3 − 1)2 + 2(x3 − 1)(3x2 )(x2 + 1)3
dx
olur.
3.1.5
Oran Kuralı
y = uv ’nin x’e göre türevi
− u dv
y ³ u ´ v du
dy
=
= dx 2 dx
dx
dx v
v
dir.
Örnek 3.10 y =
x2 +1
’in
x2 −1
türevini bulun.
(2x)(x2 − 1) − (x2 + 1)(2x)
4x
dy
=
=− 2
2
2
dx
(x − 1)
(x − 1)2
10
3.1.6
Zincir Kuralı
y = g(x) ve x = f (t) verilsin. Burada y = g(f (t)) yazılabileceğine dikkat
ediniz. Bu durumda y’nin t’ye göre türevi
dy
dy dx
=
dt
dx dt
olur.
Örnek 3.11 y = x3 + 5x − 4, x = t2 + t veriliyor. dy
’nin t = −1’deki
dt
değerini bulun.
¯
¯
dy ¯¯
= (3x2 + 5)(2t + 1)¯t=−1 = −5.
¯
dt t=−1
Alıştırma 3.1 Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulun.
1
y = (x2 + 1)5
2
y=
3
y=
2x + 5
3x − 2
3
(2x − 2)3
4
y=
2x + 1
x2 − 1
5
1
y = (1 − x2 )− 3
6
y=√
7
y = x2
1
2x − 1
p
(1 − x2 )
Alıştırma 3.2 Aşağıdaki fonksiyonlarda y’nin t’ye göre türevlerini bulun.
1
y = x2 ,
x = 2t − 5
11
2
y = x4 ,
x=
√
3
t
3
y = x−1 ,
x = t2 − 3t + 8
4
y = 5x−1/2 ,
3.2
x = 2t2 − 3t−1 + 1
İkinci ve Daha Yüksek Dereceden Türev
y = f (x) verilsin. y’nin 1. türevi
f0 =
ikinci türevi,
d
f =
dx
µ
00
üçüncü türevi,
f
000
d
=
dx
µ
dy
dx
dy
dx
¶
d2 y
dx2
d2 y
dx2
=
¶
=
d3 y
dx3
olarak tanımlanır. Benzer şekilde daha yüksek dereceden türevler de tanımlanabilir.
Örnek 3.12
y = x4 − 2x3 + 3x2 + 1
Yukarıda verilen fonksiyonun 1. türevi
f0 =
dy
= 4x3 − 6x2 + 6x
dx
f 00 =
d2 y
= 12x2 − 12x + 6
dx2
2. türevi,
3. türevi,
f 000 =
d3 y
= 36x − 12
dx3
ve 4. türevi
f 0000 =
d4 y
= 36
dx4
olur.
12
3.3
Kısmi Türev
Aşağıdaki gibi birden fazla bağımsız değişkenden oluşan bir fonksiyonu düşünelim:
y = f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn )
Bu fonksiyonun herhangi bir değişkene göre türevi, diğer değişkenler sabitken,
aşağıdaki gibi tanımlanır:
f1 ≡
∂y
f (x1 + ∆x1 , x2 , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn )
= lim
∂x1 ∆x1 →0
∆x1
Kısmi türev alırken şimdiye kadar gözden geçirdiğimiz türev kuralları uygulanabilir. Ancak dikkat edilmesi gereken nokta, bir değişkene göre türev
alınırken diğer değişkenlerin sabit kabul edilmesidir.
Örnek 3.13
y = f (x1 , x2 ) = 2x31 + 3x1 x2 + 4x32
Yukarıda verilen fonksiyonun kısmi türevlerini bulun.
Cevap:
f1 =
∂y
= 6x21 + 3x2
∂x1
f2 =
∂y
= 3x1 + 12x22
∂x2
Kısmi türevlerin de ikinci ya da daha yüksek dereceden türevleri tanımlanabilir.
Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyonun ikinci türevlerini alalım.
Örnek 3.14 2. türev:
f11
∂ 2y
=
= 12x1
∂x21
f12 =
∂2y
=3
∂x1 ∂x2
f22 =
∂ 2y
= 24x2
∂x22
f21 =
∂2y
=3
∂x2 ∂x1
13
4
İntegral
4.1
Belirsiz İntegral
Türevi
dy
= f (x)
dx
olan bir fonksiyunun belirsiz integrali y = F (x) olarak tanımlanır. Belirsiz
integral f (x)’in primitif fonksiyonu ya da antitürevi olarak da tanımlanabilir.
Herhangi bir sabit sayı c için
d
d
F (x) =
[F (x) + c]
dx
dx
= f (x)
olduğundan, f (x)’in belirsiz integrali
Z
f (x)dx = F (x) + c
olarak yazılır.
Belirsiz integralin türevi integrali alınan fonksiyona eşittir:
Z
d
f (x)dx = f (x)
dx
Benzer şekilde
4.1.1
Z
d
F (x)dx = F (x) + c
dx
İntegral Kuralları
k sabit bir sayı olmak üzere
Z
Z
kf (x)dx = k
f (x)dx
İki fonksiyonun toplamının x’e göre integrali
Z
Z
Z
[f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx
k1 , k2 , . . . , kn sabit sayılar olmak üzere daha genel olarak
Z
Z
Z
Z
[k1 f1 (x)+k2 f2 (x)+· · ·+kn fn (x)]dx = k1 f1 (x)dx+k2 f2 (x)dx+· · ·+kn fn (x)dx
Bazı önemli integral alma kuralları şunlardır:
14
1. k −1’e eşit olmayan sabit bir sayı olmak üzere
Z
1
xk dx =
xk+1 + c
k+1
2. k = −1 durumunda:
Z
3.
Z
1
dx = ln |x| + c
x
ekx dx =
4.
Z
k x dx =
4.1.2
1 kx
e +c
k
1 x
k +c
ln k
Kısmi İntegral
u ve v x’in türevleri alınabilen iki fonksiyonu olmak üzere y = uv şeklinde
tanımlanan bir fonksiyonun türevinin
dy
d
dv
du
=
(uv) = u + v
dx
dx
dx
dx
olduğunu biliyoruz. Bunun gibi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilen
fonksiyonların da integrallerini almak gerekebilir. Çarpımların türevi türevlerin
çarpımına eşit olmadığı gibi, çarpımların integrali de integrallerinin çarpımına
eşit olmayabilir.
Yukarıdaki türevi diferansiyel formda yazarsak
d(uv) = udv + vdu
buluruz. Buradan
udv = d(uv) − vdu
Öyleyse
Z
Z
udv = uv −
vdu
dir.
R
Örnek 4.1 Bulun: xex dx
u = x ve dv = ex dx dersek du = dx ve v = ex olur. Buradan
Z
Z
x
x
xe dx = xe − ex dx
= xex − ex + c
= ex (x − 1) + c.
15
Alıştırma 4.1
Z
x2 ex dx =?
Alıştırma 4.2
Z
xe−x dx =?
Alıştırma 4.3
Z
x ln xdx =?
Alıştırma 4.4
Z
x3 e−x dx =?
4.1.3
İkameli İntegral
Z
Örnek 4.2
R
du
f (u) dx =
dx
Z
f (u)du = F (u) + c
2x(x2 + 1)99 dx integralini bulalım.
u = x2 + 1 dersek
Z
du
dx
= 2x ve du = 2xdx olur. Buradan
Z
1 100
2
99
2x(x + 1) dx =
u99 du =
u +c
100
1
=
(x2 + 1)100 + c.
100
bulunur.
R
2
Örnek 4.3 xe−x dx integralini bulalım. u = −2x2 olsun. 1. türevden
du = −4xdx olur, buradan da
Z
Z
1
1
−x2
xe dx =
− eu du = − eu + c
4
4
1
2
= − e−2x + c.
4
bulunur.
Alıştırma 4.5
Z
ln x
dx =?
x
16
Alıştırma 4.6
Z
Alıştırma 4.7
Z
4.2
1 −y2
ye dy =?
2
1 1/x2
e dx =?
x3
Belirli İntegral
f (x) ve F (x) fonksiyonlarının [a, b] aralığında tanımlı, sürekli olduklarını ve
d
F (x) fonksiyonunun birinci türevinin f (x) olduğunu düşünelim: dx
F (x) =
f (x). Bu durumda f (x)’in belirli integrali şöyle tanımlanır:
Z
b
a
f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a)
Yukarıdaki tanım integral hesaplamasının birinci temel teoremi olarak da
isimlendirilir. İkinci temel teorem şöyle yazılır:
Z x
F (x) =
f (t)dt
a
Ayrıca,
d
d
F (x) = f (x) =
dx
dx
Z
x
f (t)dt
a
dır. Bu ilişkiler sürekli rassal değişkenlerin dağılımlarında sıklıkla kullanılmaktadır.
4.2.1
Belirli İntegral Kuralları
1. k bir sabit sayı olmak üzere,
Z b
Z b
kf (x)dx = k
f (x)dx
a
2.
Z
a
Z
b
[f (x) ± g(x)]dx =
a
Z
b
a
g(x)dx
a
3. Eğer [a, b] aralığında f (x) ≥ 0 ise
Z
b
f (x)dx ±
b
f (x)dx ≥ 0
a
17
4. Eğer [a, b] aralığında f (x) ≤ g(x) ise
Z
Z
b
b
f (x)dx ≤
g(x)dx
a
a
5. a ≤ b ≤ c olmak üzere
Z b
Z c
Z c
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx
a
b
6.
Z
a
Z
b
a
f (x)dx = −
f (x)dx
a
7. a = b ise
Z
b
Z
b
a
f (x)dx =
f (x)dx = 0
a
a
8.
Z
Z
∞
b→∞
a→−∞
−∞
Z
∞
b
f (x)dx = lim
a
9.
Z
b
f (x)dx ve
f (x)dx = lim
a
Z
b
2
e−x dx =
√
f (x)dx
a
π
−∞
Örnek 4.4
R2
0
(x2 − 5x)dx =?
Z
2
0
¯2
¯2
x3 ¯¯
5 2 ¯¯
(x − 5x)dx =
− x
3 ¯0 2 ¯0
22
= − .
3
2
R1
2
Örnek 4.5 0 2xex dx integralini bulalım.
u = x2 dersek, du = 2xdx olur, buradan integral kolayca hesaplanabilir.
Z 1
Z 1
x2
2xe dx =
eu du
0
0
¯1
x2 ¯
= e ¯ = e − 1.
0
18
Örnek 4.6 Aşağıda tanımlanan fonksiyonun reel sayılar doğrusu üzerindeki
integralinin 1 olduğunu gösterin.
1
2
1
f (x) = √ e− 2b2 (x−a)
b 2π
İkameli integral yöntemini kullanarak u =
1
√
dx bulunur. Yerine koyarsak:
b 2
Z
∞
−∞
(x−a)
√
b 2
Z ∞
1
1 − 12 (x−a)2
2
√ e 2b
dx = √
e−u du
π −∞
b 2π
1 √
= √
π
π
= 1
buluruz (bkz. 8 nolu kural).
Alıştırma 4.8
Z
∞
2
xe−ax dx =?
−∞
Alıştırma 4.9
tanımlayalım. Buradan du =
Z
∞
xae−ax dx =?
0
19