Trigonometrik fonksiyonlar* içeren veya gerektiren integral örnekler:

Ek.3. Trigonometrik ve Rasyonel integral örnekleri
Ek.3.1. Trigonometrik fonksiyonların integral örnekleri
1) 
dx
?
2(1  cos x)  sin x
x
2dt
2t
1 t2
Çözüm : tg  t  dx 
 sin x 
 cos x 
2
1 t2
1 t2
1 t2
2dt
2dt
2dt
2
2
1 t
1 t
1 t2



  1  t 2  1  t 2  2t
 4  2t

1 t2 
2t



21 

2
.


 1 t2
1 t2
1  t 2  1  t 2
1 t2




2dt
 4  2t
Π

2dt
 ln 2  t   c  ln 2  tg
dt
 2(2  t )   2  t
x
c
2
dx
?
0 1  sin x  cos x
x
dt
Çözüm : tg  t  x  2Arc tan t  dx  2
2
2
1 t
2)

2
sinx 
Π
2

0
Π
2t
1 t
2
 cos x 
dx

1  sin x  cos x 
1 t
2
2
1 t
2dt
1 t
1
2t
1 t
2
2dt
2

1 t
2
1 t
2

1 t
2
2
1  t  2t  1  t
1 t
2
2
2
dx
2 1 t
dt
x
0 1  sin x  cos x   2 . 2t  2dt   t  1  ln t  1  ln tg 2  1  c
1 t
Π
π
2
dx
x
0
2
0 1  sin x  cos x  ln tg 2  1  ln tg 2  1  ln tg 2  1
2
 ln tg
Π
 1  ln tg 0  1  ln 2  ln 1  ln 2  0  ln 2
4
3) Ι 
 8(cos x  1)  ?
 dx
 2dt
Çözüm : 
 dx

8(cos x  1)

1 t
 2dt
2
1 t
2

1 t 2
  1 t 2 1 t 2 

8
 1
8
2
2




1 t
1 t



 2dt
1
1
1
x
 8.2   8  dt  8 t  c  8 tg 2  c

497
2
4)
x .dx

3
2
?
(9  x )
Çözüm : x  3sinθ  dx  3cosθ.dθ
2
2
2
(9  x )  3cosθ ise
2

sin θ
 cos
2
x

θ
9x

2
x .dx
2
(9  x )
2
3

2

9sin θ.3cosθ.dθ
3
27.cos θ
2
2
dθ   tan θ.dθ   (sec θ  1)dθ   sec θ.dθ   dθ
2
 Arctan
4
5)  Tan x.d.x
x
c
3
integralin i hesaplayın ız.
2
Çözüm : u  Tanx  du  sec x.dx olur.
4
2
2
2
2
 Tan x.dx   Tan x.Tan x.dx   Tan x(sec x  1)dx
2
2
2
2
2
2
2
2
  Tan x.sec x.dx   Tan x.dx   Tan x.sec x.dx   (sec x  1)dx
2
2
  Tan x.sec xdx   sec x.dx   dx   u .du   du   dx
3
1 3
1
 u  u  x  c  Tan x  Tanx  x  c
3
3
Π
6) Ι 
2
1
 1  cos x dx  ?
Π
3
2
x
2
1 t
Çözüm : 1  yol : t  tan dersek  dx 
dt  cosx 
2
2
2
1 t
1 t

R
R
1 
2
x  için  t  tan 

1
1
3
6
2
3
dt
1

1

t
dt   2  
Ι  
2
t
1 t

1
1 t
R
R
x  için  t  tan  1 
31
2
3
2
4
1 t


2 x
2 x
2  yol : cosx  1  2sin
 1  cosx  2sin
olur.
2
2
π
2
dx
x
Ι 
 cotan
2 x
2
π 2sin
3
2
π
π
2
 1 3
3
498
1
1
3
 1 
3
x
dx
?
. x2  9
Çözüm : x  3tg  dx  3 sec 2  .d
7)

2
3 sec 2  .d .
(3tg ) 2 . (3tg ) 2  9

3 sec 2  .d .
9tg 2 . 9tg 2  9

3 sec 2  .d .
9tg 2 . 9(tg 2  1)

3 sec 2  .d .
9tg 2 .3 sec 
sec  .d . 1
1 cos 2 
1 cos  .d .

. 2 .d  

2
9 cos  sin 
9 sin 2 
9tg 
sin   u cos  .d .  du

1 du 1  2
1 1 
1
1
1
x2  9

u
du

.


c



c



c



c


c


9  u2 9 
9  9u 
9u
9. sin 
9. sin 
9x
x
x
x
x  3tg  tg   sin  
   Arctg  c
3
3
x2  9

8)   
dx
?
6  4 cos x  4 sin x
x
2dt
2t
1 t2
 t  dx 

sin
x


cos
x

2
1 t2
1 t2
1 t2
2dt
2dt
2
dx
2dt
1 t
1 t2



 2

2
2
2
6  4 cos x  4 sin x
4(1  t ) 4(2t )
6  6t  4  4t  8t
2t  8t  10
6

1 t2
1 t2
1 t2
2dt
dt
dt
 x




 Arctg  tg  2   c
2
2
2
 2

2(t  4t  5)
(t  2)  1
(t  4t  4  1)
Çözüm : tan
9)   
dx
?
x . 1 x2
Çözüm : x  sin   dx  cos .d .

2
cos .d .
sin 2  . 1  sin 2 

cos .d
sin  . cos
2

d
sin 2 
cos
1 x2
  cot an  c  
c 
c
sin 
x

x


1 x2
499
2x  5
10)   
dx  ?
4 x 2  8x  9
1
8x  8
dx
Çözüm :   
dx  3
4
4 x 2  8x  9
4 x 2  8x  9
4 x 2  8 x  9  u  (8 x  8)dx  du
(8 x  8)dx

4x  8x  9
dx
2

2(x+1)
4x 2  8x  9


du
1
2
u
 u
1
2
du  2 u  c  2 4 x 2  8 x  9  c
dx
x 2  2x 
9
4

1
2
dx
( x  1) 2 
5
4
4 x 2  8x  9


5
x 1 

1
2
1
 ln
2
2
5
5
tan θ  dx 
sec θ.d.θ
2
2
2
2
5
5
. sec θ.d.θ
sec θ.d.θ
1
1
1
2
  2
  sec θ.d.θ  ln sec θ  tan θ  c
2
2
2
5
5 2
5 sec θ
tan θ 
2
4
4
2
4 x  8x  9 2( x  1)

c
5
5
500
6
11) 
3 (x
dx
2
 6 x  5)
3
?
2
Çözüm : x 2  6 x  5  x 2  6 x  9  9  5  ( x  3) 2  4
6

dx

3
dx

3

du

3
2
 6 x  5) 2
3 (( x  3)  4) 2
(u 2  4) 2
x  3  u  dx  du  u  a sec   x  3  2 sec 
3 (x
2
6
du  a sec  . tan  .d  dx  2 sec  tan  .d .
6

dx

3
6

2 sec  tan  .d .
3


2 sec  . tan  .d
 4) 2
3 ( 4 sec   4) 2
( 4(sec 2   1))
2 sec  . tan  .d .
1 sec  . tan  .d .
1 sec  .d .

 
 
3
3
2
4
4
tan 
tan 2 
( 4 tan  ) 2
3 (( x  3)
2
2
3
2
1
1
cos 2 
1 cos  .d .
1 dt
1
.
.d  
  2   t 2 dt
2
4  cos  sin 2 
4
4
4
sin 
t
sin   t  cos  .d  dt
x 3
x2  6x  5
 sec   sin  
2
x 3
1 1
1 1
1
x 3
  . C   .
C   .
c
4 t
4 sin 
4
x 2  6x  5
x  3  2 sec  
6

dx
3 (( x  3)
2
 4)
3
2
 1
   .
 4
dx
?
3  5cosx
2dt
1  t2
Çözüm : 
1  t2
3  5
1  t2

2
xx2 - 6x6 x+55




x-3

3


4 5
x 2  6x  5 
( x  3)
12) 
2dt
2dt
dt
1 t2



2
2
2
2

3  3t  5  5t
8t  2
4t  1

2

1 t

1
A
B


 1  A(2t  1)  B(2t  1)
2
2t  1 2t  1
4t  1
1
1
1
1
 1  2B  B  
ve t 
 1  2A  A 
2
2
2
2
x
2tg
1
1
dt
1
dt
1
2t  1
1
2

 
 ln
 c  ln
c

x
2 2t  1 2 2t  1
4
2t  1
4
2tg
1
2
du
2t  1  u  2dt  du  dt 
2
t 
501
13) y 
5
eğrisi y = 0 , x = 1, x = 5 doğruları ile sınırlı bölgenin;a) A = ? b) Vx = ? c) Vy = ?
x
Çözüm :
a)
b
5
5
5
5

A   ( y1  y 2 )dx     0 dx   dx

a
1 x
1x
5
 5
1
5
1
dx  5(ln x  5Ln 5
x
1
b)
b 2
5 5  2
5
Vx    y dx      dx  25  x 2 dx
a
1 x 
1
 1
V x  25Π 
 x

b
5
5
 25Π
1
4
 20Π
5
5
5
V y  2  xydx  2  x dx  10  dx
x
a
1
1
c)
V y  10( x
5
 10(5  1)  40
1
14) x2 = y eğrisi , x = 0, y = 1, y = 4 doğruları ile sınırlı
bölgenin y- ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin dönel alanı nedir?
Çözüm :
b
S  2  x 1  ( x' ) 2 dy idi.
a
x
4
y  x' 
dx
1
1

 ( x' ) 2 
dy
4y
2 y
4
4y  1
1
S  2  y 1  dy  2  y 
dy
4y
y
1
1
4y 1  u  4y 1  u2
1
 dy  ud .u
2
 u 3 17
1
S  2  4 y  1dy  2   u u.du 
 3
2
5
1
5

4
 17 17  5 5 

  

3


y  1  u 1  5  y  2  u 2  17
502
17
15) y  3 x
eğrisi y = 0, x = 1, x = 2 doğruları ile sınırlı bölgenin x- ekseni etrafında
dönmesiyle oluşan dönel yüzeyin yanal alanı nedir ?
b
Çözüm : S  2  y 1  ( y' ) 2 dx
a
3
y  3 x  y' 
2
S  2Π  3 x 1 
1
2 x
 ( y' ) 2 
2
9
dx  3Π  x
4x
1
2
9
4x
4x  9
x
dx
17
1
S  3  4 x  9dx  3  u u.du
2
1
13
3Π u 3
S (
2 3
17
ise S   17 17  13 13  olur.
13
4x  9  u
u2  9
1
dx  u.du
2
4
 x  2  u  17
4x  9  u 2  x 
 x  1  u  13
16)  e
Lnx Ln( x2 1)
e
Çözüm :
dx  ?
Lnx Ln( x2 1)
Ln( x )
x2 1 dx   x.dx
dx   e
x2 1
x2 – 1 = u dersek ve x.dx 
1. Yol :
du
olur. Böylece ;
2
x.dx
1 du 1
1
 
 Ln u  c  Ln x 2  1  c
2
2
1 2 u 2
x
2. Yol :
x
x
A
B
ise



x  1 ( x  1)( x  1) x  1 x  1
2
x  x ( A  B )  ( A  B)


 
1
0
ve
x  A( x  1)  B( x  1)
A+B =1
A-B = 0
ise A = B =
1
bulunur . Buna göre;
2
x.dx 1 dx 1 dx 1
1
1
2
 2  2  x  1  2  x  1  2 Ln x 1  2 Ln x  1  c  2 Ln x  1  c aynı sonuç bulunur.
x 1
503
17) y’’= 3x2 – 2x +1 olan ve (-2, 3) 'deki eğimi m 
 y' ' dx y'   (3x
Çözüm :
y '  x 3  x 2  x  c1 
 y' dx y   (3x

3
2
 2 x  1)dx 
3
olan eğrinin denklemini bulunuz.
4
3
4
3
3
59
 (2) 3  (2) 2  (2)  c1   c1 
4
4
4
 x2  x 
59
1
1
1
59
)dx  y  x 4  x 3  x 2 
x  c2  y
4
4
3
2
4
1
1
1
59
143
(2) 4  (2) 3  (2) 2 
(2)  c 2  3  c 2  
4
3
2
4
6
Böylece; y 
x 4 x 3 x 2 59
143
olur.



x
4
3
2
4
6
ln lnx 
dx  ?
xlnx
Çözüm: ln ln x   t
1
x dx  dt  dx  dt  dx  xlnxdt
lnx
xlnx
18) 
1
t2
1
2
xlnxdt

tdt

 c  ln lnx   c
 xlnx

2
2
2
5
19)  sin xcos xdx  ?
Çözüm:  sin 2 x(cos 2 x) 2 cosxdx   sin 2 x(1  sin 2 x) 2 .cosxdx
sinx  u  cosxdx  du


  u 2 1  u 2 du   u 2 (1  2u 2  u 4 )du

2

u3 2 5 u7
sin 3 x 2sin 5 x sin7x
  u  2u  u du 
 u 
c 


c
3 5
7
3
5
7
e x dx
20) 2 x
?
e  ex  2
2
4
6
504
x
x
Çözüm : e  u  e dx  du olur.
x
e
e dx
2x
x
e 2

du
2
u u2

1
2
u u2

1
A
B


(u  2)( u  1) u  2 u  1
1  A(u  1)  B(u  2)  1  (A  B)u  (A  2B)  A  B  0 ve A  2B  1
1
1
Buradan ; A 
B 
3
3
x
e
e dx
2x

x
du
1 du
 
u  2 3 u 1
e 2
x
1
1
1 e 2
 ln u  2  ln u  1  c  ln x
c
3
3
3 e 1
5e x
dx  ?
4  e2x
Çözüm : e x  u  u  2 tan 
21)
u
u
   Arc tan
2
2
2
2
5du
du
2 sec  .d
2 sec  .d
2 sec 2  .d


5

5

5

5
 4  u 2  4  4 tan 2   4(1  tan 2  )  4 sec 2 
4  u2
e x dx  du  du  2 sec 2  .d  tan  
1
5
5
u 5
ex
 5 d    Arc tan  Arc tan
c
2
2
2
2 2
2
cos xdx
?
sin
x
e
22) 
Çözüm : e sin x  t  cos xesin x dx  dt  dx 

dt
cos xesin x
dt
dt
dt
2
2


  (t 1/ 2 .t 1 )dt   (t 3 / 2 )dt  
c
c
sin
x
t cos xesin x
t .t
t
t .e sin x
e
cos x
sin(ln x)
dx  ?
x
1
Çözüm : ln x  t  dx  dt  dx  xdt
x
sin(ln x)
sin t
dx  
.xdt   cos t  c   cos ln x  c

x
x
23) 
505
24) 
dx
x 1 x
?
Çözüm : 1  x  t  1  x  t 2  x  1  t 2

dx
x 1 x
 
2t.dt
dt
dt
A
B
 2 
 2


(1  t 2 ).t
1 t2
t 2  1 (t  1) (t  1)
1  A(t  1)  B (t  1) t  1  1  2 A  A 
t  1  1  2 B  B  

1
2
1
2
1 dt
1 dt
t 1
1 x 1
2 
2 
 ln t  1  ln t  1  ln
 ln
c
2 t 1
2 t 1
t 1
x 1 x
1 x 1
dx
25) Arctgxdx  ?
Çözüm :
Arctgx  u dx  du 

dx

du 
xv 
2
1 x

 Arctgxdx  x.Arctgx -
xdx
1 x
2
1 x2  u
2 xdx  du
 Arctgxdx
xdx
1 x2
1 du
2 u
1
 Ln u  c
2


1
Ln 1  x 2  c
2
 x. Arctgx 
1
Ln 1  x 2  c
2
506
Ek.3.2. Rasyonel Kesirleri İçeren İntegral Örnekleri
x3
dx  ?
x  x2
x3
A B
C
Çözüm : 2
  2 
x 1
x ( x  1) x x
26) 
3
x  3  Ax( x  1)  B ( x  1)  Cx 2
x  3  Ax 2  Ax  Bx  B  Cx 2
A  C  0  A  B  1  B  3
Buradan A=4 ve C=-4 bulunur.Buna göre;
x
x 3
3
x
27)
2
dx  4 ln x 
3
 4 ln x  1  c
x
3x 2  4 x  5dx
?
( x 2  4)( x 2  9)
2
3x  4x  5
A
B
C
D
Çözüm :




( x  2)( x  2)( x  3)( x  3) x  2 x  2 x  3 x  3
2
2
2
2
2
3x  4x  5  A( x  2)( x  9)  B( x  2)( x  9)  C( x  4)( x  3)  D( x  3)( x  4)
20
2
x  2  9  20A A  
x  3  20  30C  C 
19
3
5
 15
x  2  25  20B B  x  3  44  30D  D 
4
22
20 dx
5 dx
2 dx 15 dx
 



9 x  2 4  x  2 3  x  3 22  x  3
 20
5
2
15

ln x  2  ln x  2  ln x  3  ln x  3  c
9
4
3
22
28) 
x3  1
( x  1) 4
Çözüm :
dx  ?
x3  1
( x  1)
4

A
B
C
D



2
3
x  1 ( x  1)
( x  1)
( x  1) 4
x 3  1  A( x  1) 3  B ( x  1) 2  C ( x  1)  D
x 3  1  Ax 3  3 Ax 2  3 Ax  A  Bx 2  2 Bx  B  Cx  C  D
x 3  1  x 3 A  x 2 (3 A  B )  x(3 A  2 B  C )  A  B  C  D ve buradan;
A  1, B  3, C  3, D  2 olur.

x3  1
dx
dx
dx
dx

 3
 3
 2
4
2
3
x 1
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
x3  1
3
3
1
 ( x  1) 4 dx  ln x  1  x  1  2 . ( x  1) 2

2
1
.
c
3 ( x  1) 3
507
3x  1
dx  ?
4x 2  2x
3x  1
3x  1
A
B
Çözüm : 2



4 x  2 x 2 x(2 x  1) 2 x 2 x  1
1
1
3 x  1  A(2 x  1)  B(2 x) ve buradan; x   B   x  0  A  1
2
2
dx 1
dx
1
1

 
 ln x  ln 2 x  1  c
2x 2 2x  1 2
4
29)
30) 
dx
?
sin x. cos x
2dt
Çözüm : 

dx

sin x. cos x 
(1  t 2 )
2

2
(1  t 2 ) 2
1 t 2

.
 1  t 2 2t (1  t 2 )
2t 1  t 2
.
1 t 2 1 t 2
A
B
C


 1  t 2  A(t  1)(t  1)  B.t (t  1)  C.t (t  1)
t t 1 t 1
t (t  1)
t  1  2 B  2  B  1
t  1  2C  2  C  1
t  0   A  1  A  1
dt
dt
dt
t
 

 ln t  ln t  1  ln t  1  c  ln 2
 c  ln
t
t 1
t 1
t 1
x4 1
31)    3
?
x x

x 2  1 
Çözüm :     x  3
dx   xdx  

x  x 

x2 1
3
x x

x2 1
x3  x
x
2
c
2 x
tan
1
2
tg
dx
A
B
C


x x 1 x 1
x 2  1  A( x  1)( x  1)  Bx ( x  1)  Cx( x  1)
x4 1
dx
dx
dx
 3
  xdx  


x
x

1
x
1
x x

( x  1)( x  1)
x2
x2
 ln x  ln( x  1)  ln( x  1)  c 
 ln
c
2
2
x
508
x3  1
32) Ι   5 4
dx  ?
x  x  5x 3  x 2  8x  4
Çözüm : x 5  x 4  5x 3  x 2  8x  4  (x  1)3 (x  2)2
x3  1
5
4
3
2
x  x  5x  x  8x  4

A
B
C
D
E




2
3
x  1 (x  1) (x  1) x  2 (x  2)2
x 3  1  A(x  1)2 (x  2)2  B(x  1)(x  2)2  C(x  2)2  D(x  2)(x  1)3  E(x  1)3
x 3  1  A(x 2  2x  1)(x 2  4x  4)  B(x  1)(x 2  4x  4)  C(x 2  4x  4)
 D(x  2)(x 3  3x 2  3x  1)  E(x 3  3x 2  3x  1)
x 3  1  x 4 (A  D)  x 3 (2A  B  D  E)  x 2 (3E  3B  C  3D  3E)  x( 4A  4B  5D  3E)
 (12A  4B  4C  2D  E)
2
6
x  1   2  9C  C    
9
27
7
x  2 için 7  27E  E 
27
 3A  3B  C  3D  3E  0
2
21
15
 3A  3B   3D   0  3A  3B  3D   (i)
9
27
27
20
 2A  B  D  E  1  2A  B  D  (ii)
27
20
 2A  B  D   A  D  0  A  D
27
15
15
15 5
 3D  3B  3D     3B    B  
27
27
81 27
15 5
20
20
20 15
45
5
D    2A  B  A   3A   B  3A    A  

81 27
27
27
27 81
243
27
I
5
27

dx
5
dx
6
dx
5
dx
2
dx
 x  1  27  x  12 - 27  x  13  27  x  2  27  x  22
5
5
1
3
1
5
2
1
. ln x  1 
.

.

. ln x  2 
.
c
27
27 x  1 27 x  12 27
27 x  2 
509