1.3 Alt ve¨Ust Yarısürekli Fonksiyonlar

1.3. Alt ve Üst Yarısürekli Fonksiyonlar
1.3
9
Alt ve Üst Yarısürekli Fonksiyonlar
f : R → R fonksiyonunun x0 ∈ R noktasında sağdan sürekli olması, f (x0 )
noktasını içeren her açık U ⊂ R için
x0 ≤ x + δ =⇒ f (x) ∈ U
özelliğinde bir δ > 0 gerçel sayısının olması anlamında olduğu standart ve
bilinen bir kavramdır. soldan süreklilik kavramımı da benzer biçimdedir. Bu
kavramlar topolojik uzaylar için üst ve alt yarısüreklilik kavramları ile genellenir. Bunlar kullanılarak topolojik uzayların farklı karakterizosyonu verilebilmektedir.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. x0 ∈ X
verilsin.
(i) Her > 0 için
y ∈ U =⇒ f (y) ≤ f (x0 ) + özelliğinde x0 ’i içeren açık U kümesi var ise f ’ye x0 noktasında üst
yarısürekli denir.
(ii) Her > 0 için
y ∈ U =⇒ f (y) ≥ f (x0 ) − özelliğinde x0 ’i içeren açık U kümesi var ise f ’ye x0 noktasında alt
yarısürekli denir.
Tanım 1.3. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. f , X’nin
her noktasında üst yarısürekli ise f ’ye üst yarısürekli denir. Benzer biçimde,
f , X’nin her alt yarısürekli ise f ’ye alt yarısürekli denir.
Bir f : X → R fonksiyonunun üst yarısürekli olmasını için gerekli ve yeterli
koşulun −f ’nin alt yarısürekli olması gerektiğ barizdir. Dolayısıyla bu tür
fonksiyonların temel özelliklerini anlamak üç aşağı beş yukarı üst yarısürekli
fonksiyonları anlamak yeterlidir. Dolayısı ile üst yarısürekli fonksiyon için bir
teoremin kanıtı, genel olarak, alt yarısüreklilik için verilen teoremin kanıtı ile
hemen hemen aynıdır.
Bir X topolojik uzayından R’ye tanımlı bir fonksiyonun alt yarısürekli
olması için gerekli ve yeterli koşul her r ∈ R için
{x ∈ X : f (x) ≤ r}.
10
1. Tümüyle Düznli Hausdorff Uzaylar
Benzer biçimde üst yarısüreklilik karakterize edilebilir.
Örnekler
1.11. X bir topolojik uzay ve K ⊂ X verilsin. χK üst yarısürekli olması için gerekli ve yeterli
koşul K’nın kapalı olmasıdır. Benzer biçimde χK alt yarısürekli olması için gerekli ve
yeterli koşul K’nın açık olmasıdır, gösteriniz.
1.12. χQ : R → R fonksiyonu her x ∈ Q noktasında üst yarısüreklidir. Her x ∈ R\Q noktasında
alt yarısüreklidir.
1.13. X bir topolojik uzay olsun. R, üzerinde öyle bir topoloji τ vardır ki, aşağıdakiler verilen
her f : X → R fonksiyonu için aşağıdakiler denktir.
(i) f alt yarısüreklidir.
(ii) f , τ topolojisine göre süreklidir.
Aşağıdaki teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem 1.7. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. x ∈ X için
U(x) = {U : U
açık ve
x ∈ U}
olarak tanımlansın. x ∈ X için aşağıdakiler denktir.
(i) f , x noktasında üst yarısüreklidir.
(ii) f (x) = inf U ∈U (x) supy∈U f (y).
Teorem 1.8. X bir topolojik uzay, f ,g : X → R üst yarısürekli fonksiyonlar
ve 0 ≤ r ∈ R verilsin.
(i) f + g, f ∨ g, f ∧ g, rf fonksiyonları üst yarısüreklidir.
(ii) 0 ≤ f, g ise f g üst yarısüreklidir.
Kanıt:
(i) r ∈ R verilsin.
{x : f (x) + g(x) ≥ r} = ∩q∈Q ({x : f (x) ≥ q} ∪ {x : g(x) ≥ r − q}
eşitliğinden f + g’nin üst yarısürekli olduğu görülür.
{x : (f ∨ g)(x) ≤ r} = {x : f (x) ≥ r} ∪ {x : g(x) ≥ r}
eşitliğinde f ∨g üst yarısüreklidir. Benzer biçimde f ∧g üst yarısüreklidir.
rf ’nin üst yarısürekli olduğu barizdir.
(ii) 0 ≤ r verilsin.
{x : (f g)(x) ≤ r} = {x : f (x) ≤
√
r} ∩ {x : g(x) ≤
√
r}
1.3. Alt ve Üst Yarısürekli Fonksiyonlar
11
eşitliğinden istenilen elde edilir.
Alıştırmalar
1.14. X bir topolojik uzay ve f : X → R bir fonksiyon olsun. Aşağıdakilerin denkliğini
gösteriniz.
(i) f ’ üst yarısüreklidir.
(ii) Her r ∈ R için f −1 ([r, ∞)) kapalı.
Benzer biçimde aşağıdakiler denktir.
(i) f alt yarısüreklidir.
(ii) Her r ∈ R için f −1 (−∞, r]) kapalı.
1.15. X bir topolojik uzay, F ⊂ X kapalı, g : F → R üst yarısürekli ve h : X \ F → R sürekli
fonksiyon olsun.
g(x)
;x∈F
f (x) =
h(x)
;x 6∈ F
olarak tanımlanan f : X → R fonksiyonun üst yarısürekli olduğunu gösteriniz.
1.16. X bir topolojik uzay, K ⊂ X kapalı bir küme f : X → R ve g : Y → R fonksiyonları alt
yarısürekli fonksiyonlar olsunlar. Her x ∈ K için g(x) ≤ f (x) sağlansın.
g(x)
;x∈K
h(x) =
f (x)
;x 6∈ X \ K
eşitliği ile tanımlanan h : X → R fonksiyonunun alt yarısürekli olduğunu gösteriniz.
1.17. (fi )i∈I , X’den R’ye tanımlı alt yarısürekli fonksiyonların aillesi ve her x ∈ X için {fi (x) :
i ∈ I} üstten sırlı olsun. f (x) = supi∈I fi (x) olarak tanımlanan f : X → R üst yarı
süreklidir.
1.18. X bir topolojik uzay ve f : X → R üst yarısürekli bir fonksiyon olsun. Her r ∈ Q için
Ar = {x : f (x) < r},
Gr = Ar ∪ (X \ (Ar )
ve
G ∩r∈Q Gr
olarak tanımlansın. Aşağıdakileri gösteriniz.
i.) Her r için Gr açık ve yoğun.
ii.) f , her x ∈ G için süreklidir. (Çözüm için: Fort 1955, Engelking, p. 61)