elektrik devreleri-ı
advertisement
EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku McGraw Hill, 5th edition ISBN: 978-0073380575, 2013. 2. Bölüm: Temel Kanunlar 2.1 Giriş 1. Bölümde, akım, gerilim ve güç gibi temel kavramlardan bahsedilmişti. Verilen bir devrede bu değerleri bulmak için bazı temel kanunları bilmek gerekir. Bu kanunlar, Ohm kanunu ve Kirchhoff kanunlarıdır. 2.2 Ohm Kanunu • Malzemeler genelde, elektrik yükünün akışını engelleme şeklinde bir karakteristik davranışa sahiptirler. Bu fiziksel özellik veya yetenek, direnç olarak bilinir ve R sembolü ile gösterilir. • A kesit alanına sahip herhangi bir malzemenin direnci, A kesiti ile 𝑙 uzunluğuna bağlıdır. • Direnci matematiksel şekilde, 𝑅 = 𝜌 𝑙 𝐴 olarak gösterebiliriz. • Burada, 𝜌 ohm-metre cinsinden malzemenin öz direnci olarak bilinir. 12.10.2015 2 • Tablo 2.1’de bazı genel malzemeler için 𝜌 değerleri verilmiştir ve hangi malzemelerin iletkenler, yalıtkanlar ve yarı iletkenler için kullanıldığı gösterilmiştir. Bazı malzemelerin öz dirençleri: 12.10.2015 3 • Direnç, en basit pasif elemandır. • Şekil 2.1’de direnç ve direncin devre sembolü verilmiştir. • Ohm Kanunu: Bir direncin uçlarındaki 𝑣 gerilimi, dirençten geçen 𝑖 akımıyla doğru orantılıdır. 𝑣 ∝𝑖 • Matematiksel şekilde Ohm Kanunu; 𝑣=𝑖𝑅 olarak tanımlanır. • Bir elemanın direnci; elektrik akımının akışını engelleme yeteneği olarak tanımlanır ve ohm (Ω) ile ölçülür. 𝑅= 𝑣 𝑖 12.10.2015 ve 1 Ω = 1 V/A ’dir. 4 • Akım akışı yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru olduğunda, 𝑣=𝑖𝑅 olur. • Eğer akım düşük potansiyelden yüksek potansiyele doğru akarsa, 𝑣 = −𝑖 𝑅 olur. • 𝑅 = 0 olan bir eleman kısa devre olarak isimlendirilir. 𝑣 = 𝑖 𝑅 = 0 olur. (Akım herhangi bir değer olabilir, gerilim sıfırdır.) • Bir kısa devre, direnci sıfıra yaklaşan bir devre elemanıdır. (Şekil2.2a). • 𝑅 = ∞ olan bir eleman açık devre olarak bilinir. Açık devre için, 𝑣 𝑖 = lim = 0 olur. 𝑅→∞ 𝑅 (Gerilim herhangi bir değer olabilir, akım sıfırdır.) • Bir açık devre, direnci sonsuza yaklaşan bir devre elemanıdır. (Şekil2.2b). 12.10.2015 5 • Bir direnç sabit veya değişken olabilir. • Şekil 2.3’de iki sabit direnç türü gösterilmiştir. a) Tel sarımlı direnç, b) karbon film direnç • Değişken dirençler ayarlanabilen dirençlerdir. • Şekil 2.4a)’da değişken bir direnç sembolü gösterilmiştir. • Şekil2.4b)’deki değişken bir direnç genellikle potansiyometre veya kısaca pot olarak bilinir. 12.10.2015 6 • Potansiyometre, hareketli bir kontağı bulunan üç uçlu bir elemandır. • Şekil 2.5’te pot örnekleri verilmiştir. • Şekil 2.6’da bir görülmektedir. 12.10.2015 devre kartındaki dirençler 7 • Bütün dirençler Ohm kanununu sağlamazlar. • Lineer direnç Ohm kanununu sağlar. Şekil 2.7a)’da gösterildiği gibi akım-gerilim karakteristiği lineerdir ve direnci sabittir. • Nonlineer direnç Ohm kanununu sağlamaz. Şekil 2.7b)’de akım-gerilim karakteristiği gösterildiği gibi direnci akımla değişir. • Ampül ve diyot, nonlineer (doğrusal olmayan) dirençlere örnek olarak gösterilebilir. 12.10.2015 8 • R direncinin tersi, iletkenlik olarak isimlendirilir ve devre analizinde kullanılan faydalı bir büyüklüktür. • İletkenlik G ile gösterilir: 1 𝑖 𝐺= = 𝑅 𝑣 • İletkenlik, bir elemanın elektrik akımını ne kadar iyi ilettiğinin ölçüsüdür. • İletkenliğin birimi siemes (S) veya mho (℧) ’dur. 1 S = 1℧ = 1 A/V • İletkenlik, bir elemanın elektrik akımını iletme yeteneğidir. • Aynı direnç, ohm veya siemens cinsinden ifade edilebilir. • Örnek olarak, 10 Ω ile 0.1 S aynıdır. 𝑖 = 𝐺𝑣 şeklinde yazılabilir. 12.10.2015 9 • Bir direnç tarafından harcanan güç 𝑅 cinsinden, 2 𝑣 𝑝 = 𝑣𝑖 = 𝑖 2 𝑅 = 𝑅 • Bir direnç tarafından harcanan güç 𝐺 cinsinden , 2 𝑖 𝑝 = 𝑣𝑖 = 𝑣 2 𝐺 = 𝐺 şeklinde ifade edilebilir. Bu denklemleri şöyle yorumlayabiliriz: 1. Bir dirençte harcanan güç, hem akımın hem de gerilimin nonlineer bir fonksiyonudur. 2. Direnç (𝑅) ve iletkenlik (𝐺) pozitif büyüklükler olduğundan, bir dirençte harcanan güç her zaman pozitiftir. Böylece, direnç daima devreden güç çeker. 12.10.2015 10 Örnek 2.1: Bir elektrikli ütü 120 V’da 2 A akım çekmektedir. Direncini bulunuz. Çözüm: Ohm kanunundan, 𝑣 120 𝑅= = = 60 Ω 𝑖 2 Ödev 2.1: Bir tost makinesinin temel bileşeni (rezistans), elektrik enerjisini ısı enerjisine dönüştüren elektriksel bir elemandır. Buna göre, 15 Ω ’luk bir rezistansı olan bir tost makinesi 110 V ’da ne kadar akım çeker? (7.333 A) Ödev 2.2: Şekil 2.9’daki devrede, 𝑣 gerilimini, 𝐺 iletkenliğini ve 𝑝 gücünü hesaplayınız. 30 V, 100 µ𝑠, 90 mW 12.10.2015 11 Örnek 2.2: Şekil 2.8’de gösterilen devrede 𝑖 akımını, 𝐺 iletkenliğini ve 𝑝 gücünü hesaplayınız. Çözüm: Direnç ve gerilim kaynağı aynı uçlara bağlandığından, dirençteki gerilim düşümü gerilim kaynağı kadar olur. Burada akım, 𝑣 30 𝑖= = = 6 mA 3 𝑅 5 x 10 İletkenlik, 𝐺= 1 𝑅 = 1 5 x 103 = 0.2 mS Güç değişik yollarla hesaplanabilir: 𝑝 = 𝑣𝑖 = 30 6x10−3 = 180 mW 𝑝 = 𝑖 2 𝑅 = (6x10−3 )2 5x103 = 180 mW 𝑝 = 𝑣 2 𝐺 = (30)2 0.2x10−3 = 180 mW 12.10.2015 12 Örnek 2.2: 20𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 V’luk bir gerilim kaynağı, 5 kΩ’luk bir dirence bağlanmıştır. Dirençten geçen akımı ve harcanan gücü bulunuz. 𝑖= 𝑣 𝑅 = 20𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 5 x 103 = 4𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 mA Buradan, 𝑝 = 𝑣𝑖 = 80𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝑡 mW Ödev 2.3: Bir direnç 𝑣 = 15𝑐𝑜𝑠𝑡V’luk bir kaynağa bağlandığında, 30𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 mW anlık güç çekmektedir. 𝑖 ve 𝑅 ’yi bulunuz. (2𝑐𝑜𝑠𝑡 mA, 7.5 kΩ) 12.10.2015 13 2.3 Düğüm, Dal ve Çevre Kavramları • Bir elektrik devresinin elemanları birbirleriyle çeşitli şekillerde bağlanabildiğinden dolayı, devre topolojisinin temel kavramlarını öğrenmemiz gerekir. • Devre topolojisinde, devredeki elemanların yerleştirilmesiyle ilgili özellikleri ve devre bağlantılarını inceleyeceğiz. • Dal; akım kaynağı, gerilim kaynağı veya direnç gibi iki uçlu tek bir elemanı ifade eder. • Şekil 2.10 ’daki devrede, 10 V ’luk gerilim kaynağı, 2 A ’lik akım kaynağı ve 3 adet direnç olmak üzere 5 adet dal vardır. 12.10.2015 14 • Düğüm; iki veya daha fazla dalın arasındaki bağlantı noktasıdır. • Düğüm, bir devrede genellikle bir nokta ile gösterilir. Eğer iki düğümü bir kısa devre birleştiriyorsa, iki düğüm tek bir düğüm oluşturur. • Şekil 2.10’daki devrede, a, b ve c olmak üzere üç düğüm vardır. • b düğümüne iletken tellerle bağlı olan üç nokta tek bir düğüm oluşturur. Aynı durum c düğümünü oluşturan dört nokta için de geçerlidir. • Şekil 2.10’daki devreyi, Şekil 2.11’deki gibi sadece üç düğümle tekrar çizebiliriz. 12.10.2015 15 • Çevre; bir devrede herhangi bir kapalı yoldur. • Çevre, bir düğümden başlanarak, herhangi bir düğümden birden fazla geçmeksizin başlangıç düğümüne tekrar gelinmesiyle oluşturulan kapalı bir yoldur. • Bir çevre, diğer bir bağımsız çevrede bulunmayan en az bir dalı içeriyorsa bağımsız çevre olarak isimlendirilir. • Bağımsız çevreler veya yollar bağımsız denklem sistemleri oluştururlar. • Şekil 2.11’de, 2 Ω’luk direnç ile oluşturulan abca çevresi bağımsızdır. • 3 Ω’luk direnç ve akım kaynağı ile oluşturulan ikinci bir çevre bağımsızdır. • Üçüncü çevre, 2 Ω’luk direnç ile buna paralel bağlı 3 Ω’luk dirençten oluşur. Bu çevre de bağımsızdır. • Şekil 2.11’de, üç bağımsız çevre bulunmaktadır. 12.10.2015 16 • 𝑏 adet dal, 𝑛 adet düğüm ve 𝑙 adet bağımsız çevreden oluşan bir devre için devre topolojisinin temel teoremi, 𝑏 =𝑙+𝑛−1 • 𝑏 = 5, 𝑛 = 3 ise 𝑙 = 3 olur. • İki veya daha fazla eleman, sadece bir düğümü paylaşıyorsa seri bağlıdır ve sonuç olarak aynı akım geçer. • İki veya daha fazla eleman, aynı iki düğüme bağlıysa paralel bağlıdır ve sonuç olarak aynı gerilim düşümüne sahiptirler. 12.10.2015 17 • Örnek 2.4: Şekil 2.12’deki devrede dal ve düğüm sayısınız bulunuz. • Çözüm: Devrede 4 eleman bulunduğundan, dört dal vardır: 10 V, 5 Ω, 6 Ω ve 2 A. • Şekil 2.13’deki devrede bulunan üç düğüm tanımlanmıştır. • 5 Ω ’luk direnç ile 10 V ’luk gerilim kaynağının her ikisinden aynı akım geçeceğinden seri bağlıdırlar. • 6 Ω ’luk direnç ile 2 A ’lik akım kaynağının her ikisi de aynı düğümlere (2 ve 3 nolu düğümler) bağlandığından paralel bağlıdırlar. 12.10.2015 18 • Ödev 2.4: Şekil 2.14’deki devrede kaç dal ve düğüm vardır? • • • • • Cevap: Devrede 5 dal mevcuttur. Şekil 2.15’te tanımlandığı gibi 3 düğüm vardır. 1 Ω ’luk ve 2 Ω ’luk dirençler paraleldir. 4 Ω’luk direnç ile 10 V’luk gerilim kaynağı da paraleldir. 12.10.2015 19 2.4 Kirchhoff Kanunları • Ohm kanunu, devrelerin analizi için tek başına yeterli değildir. Ohm kanunu ile Kirchhoff’un iki kanunu birleştirildiğinde elektrik devrelerinin büyük bir kısmı analiz edilebilir. • Bu kanunlar; • Kirchhoff akım kanunu (KAK) ve • Kirchhoff gerilim kanunu (KGK) olarak bilinir. • Kirchhoff’un birinci kanunu, bir sistemdeki yüklerin cebirsel toplamı değişmez, şeklinde bilinen yüklerin korunumu kanununa dayanır. • Kirchhoff akım kanunu (KAK): Bir düğüme (veya kapalı bir sınıra) giren akımların cebirsel toplamı sıfırdır. 12.10.2015 20 • Kirchhoff akım kanunu (KAK) matematiksel olarak; 𝑁 𝑖𝑛 = 0 𝑛=1 • şeklinde ifade edilir. Burada 𝑁, düğüme bağlı dal sayısı ve 𝑖𝑛 ise 𝑛. düğüme giren (veya düğümden çıkan) akımdır. • Bu kanuna göre, düğüme giren akımlar pozitif, düğümden çıkan akımlar negatif veya tam tersi alınabilir. Kirchhoff akım kanununun ispatı için, bir düğümden akan akımların • 𝑖𝑘 𝑡 , 𝑘 = 1,2, … , olduğunu kabul edelim. Düğümdeki akımların cebirsel toplamı, 𝑖 𝑇 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡 + 𝑖3 𝑡 + ⋯ • Bu denklemin her iki tarafının integralin alırsak, 𝑞𝑇 𝑡 = 𝑞1 𝑡 + 𝑞2 𝑡 + 𝑞3 𝑡 + ⋯ olur. Burada 𝑞𝑘 𝑡 = • 𝑖𝑘 𝑡 𝑑𝑡 ve 𝑞𝑇 𝑡 = 𝑖 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 ’dir. Ancak elektrik yükünün korunumu kanununa göre, düğümdeki elektrik yüklerinin cebirsel toplamı değişmez, yani düğüm net yük depolamaz. Böylece, 𝑞𝑘 𝑡 = 0 → 𝑖 𝑇 𝑡 = 0 olur ve Kirchhoff akım kanunu sağlanmış olur. 12.10.2015 21 • Şekil 2.16’daki düğüme Kirchhoff akım kanunu uygulanırsa, 𝑖1 + −𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + −𝑖5 = 0 • 𝑖1 , 𝑖3 ve 𝑖4 düğüme giren akımlar, • 𝑖2 ve 𝑖5 düğümden çıkan akımlardır. Terimler yeniden düzenlenirse, 𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖5 olur ve Kirchhoff akım kanununun diğer bir şekli elde edilmiş olur: • Bir düğüme giren akımların toplamı, düğümden çıkan akımların toplamına eşittir. • Kirchhoff akım kanunu kapalı bir sınıra da uygulanabilir. • Şekil 2.17’deki devrede görüldüğü gibi, • Kapalı yüzeye giren toplam akım, yüzeyden çıkan toplam akıma eşittir. 12.10.2015 22 • Kirchhoff akım kanununun basit bir uygulaması paralel akım kaynaklarının birleştirilmesidir. • Birleştirilen akım, ayrı kaynaklar tarafından verilen akımların cebirsel toplamıdır. • Örneğin, Şekil 2.18(a)’daki akım kaynakları, Şekil 2.18(b) ’deki gibi birleştirilebilir. • Birleştirilen (eşdeğer) akım kaynağı, 𝑎 düğümüne Kirchhoff akım kanunu uygulanarak bulunabilir: 𝐼𝑇 + 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3 veya 𝐼𝑇 = 𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 • Akımları 𝐼1 ve 𝐼2 olan iki farklı akım kaynağı 𝐼1 = 𝐼2 olmadıkça seri bağlanamaz. 12.10.2015 23 • Kirchooff’un ikinci kanunu, enerjinin korunumu prensibine dayanan Kirchhoff gerilim kanunu (KGK)’dur. • Kirchhoff gerilim kanunu (KGK): Kapalı bir çevredeki bütün gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. • Kirchhoff gerilim kanunu (KGK) matematiksel olarak; 𝑀 𝑣𝑚 = 0 𝑚=1 • şeklinde ifade edilir. Burada 𝑀 , çevredeki gerilimlerin sayısı (veya çevredeki dal sayısı) ve 𝑣𝑚 ise 𝑚. gerilimidir. • Kirchhoff gerilim kanununu göstermek için Şekil 2.19’daki devreyi göz önüne alalım. Çevre etrafında gidildiğinde ilk karşılaşılan ucun polaritesi, her bir gerilimin işareti olarak belirlenir. Herhangi bir daldan başlayarak, çevre etrafında saat yönünde veya saat yönünün tersinde gidilebilir. • Şekil 2.19’da gösterildiği gibi gerilim kaynağı ile başladığımızı ve çevre etrafında saat yönünde gittiğimizi kabul edelim. • Örneğin, 3. dala ulaştığımızda karşılaşılan ilk uç pozitif olduğundan +𝑣3 alırız. • 4. dala ilk olarak negatif uçtan ulaştığımız için −𝑣4 alırız. 12.10.2015 24 • Böylece Kirchhoff gerilim kanunundan, −𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 − 𝑣4 + 𝑣5 = 0 elde edilir. Terimler yeniden düzenlenirse, 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣5 = 𝑣1 + 𝑣4 olarak elde edilen Kirchhoff gerilim kanunu diğer bir şekilde yorumlanabilir: Düşen gerilimlerin toplamı = Yükselen gerilimlerin toplamı • Gerilim kaynakları seri bağlandığında, toplam gerilimi elde etmek için Kirchhoff gerilim kanunu uygulanabilir. Birleştirilen gerilim, ayrı kaynakların gerilimlerinin cebirsel toplamıdır. • Örneğin, Şekil 2.20(a)’da gösterilen gerilim kaynakları için, Kirchhoff gerilim kanunu uygulanarak, Şekil 2.20(b) ’deki birleştirilen (eşdeğer) gerilim kaynağı elde edilir. −𝑉𝑎𝑏 + 𝑉1 + 𝑉2 − 𝑉3 = 0 veya 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑆 = 𝑉1 + 𝑉2 − 𝑉3 • Gerilimleri 𝑉1 ve 𝑉2 olan iki farklı gerilim kaynağı 𝑉1 = 𝑉2 olmadıkça paralel bağlanamaz. 12.10.2015 25 2.5 Seri Dirençler ve Gerilim Bölme • Şekil 2.29’daki devrede her iki dirençten de aynı 𝑖 akımı geçtiğinden dolayı bu dirençler seri bağlıdır. • Her bir dirence Ohm kanununu uygularsak, 𝑣1 = 𝑖𝑅1 , 𝑣2 = 𝑖𝑅2 elde ederiz. Devredeki çevreye saat yönünde giderek Kirchhoff gerilim kanunu uygularsak, −𝑣 + 𝑣1 + 𝑣2 = 0 olur. Buradan, 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑖(𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑖= 𝑣 𝑅1 +𝑅2 𝑣 = 𝑖𝑅𝑒ş 𝑅𝑒ş = 𝑅1 + 𝑅2 şeklinde iki direnç bir eşdeğer dirençle gösterilebilir. 12.10.2015 26 2.5 Seri Dirençler ve Gerilim Bölme • Şekil 2.29’daki devre, Şekil 2.30’daki eşdeğer devre ile gösterilebilir. Her iki devre, 𝑎 − 𝑏 uçlarında aynı gerilim-akım ilişkisi gösterdiğinden eşdeğerdir. Eşdeğer devre, bir devrenin analizini basitleştirdiği için faydalıdır. • Herhangi bir sayıdaki seri bağlı dirençlerin eşdeğer direnci, ayrı dirençlerin toplamıdır. • Seri bağlı 𝑁 direnç için eşdeğer direnç: 𝑅𝑒ş = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑁 = 𝑁 𝑛=1 𝑅𝑛 Her bir dirençteki gerilim düşümü; 𝑣1 = 𝑅1 𝑣 𝑅1 +𝑅2 ve 𝑣2 = 𝑅2 𝑣 𝑅1 +𝑅2 şeklinde elde edilir. • 𝑣 kaynak gerilimi, dirençler arasında direnç değerleriyle doğru orantılı olarak bölünür; büyük dirençte büyük gerilim düşümü olur. • Buna gerilim bölme kuralı denir ve Şekil 2.29’daki devre gerilim bölen devre olarak isimlendirilir. 12.10.2015 27 2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • Şekil 2.31’deki devrede iki direnç paralel bağlıdır ve bundan dolayı her dirençte de aynı gerilim düşümü olur. • Ohm kanunundan, 𝑣1 = 𝑖1 𝑅1 , 𝑣2 = 𝑖2 𝑅2 veya 𝑖1 = 𝑣 𝑅1 𝑖2 = ve 𝑣 𝑅2 yazılır. 𝑎 düğümüne Kirchhoff akım kanunu uygulanırsa toplam akım, 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 olur. Buradan, 𝑣 𝑣 1 1 𝑣 𝑖1 = + =𝑣 + = 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑒ş elde edilir. Burada 𝑅𝑒ş paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncidir. 1 𝑅𝑒ş 12.10.2015 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 yazılır ve eşdeğer direnç, 𝑅𝑒ş = 𝑅1 𝑅2 𝑅1 +𝑅2 olur. 28 2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • • • • Paralel bağlı iki direncin eşdeğer direnci, iki direncin çarpımının toplamına bölümüne eşittir. 𝑅1 = 𝑅2 ise, 𝑅𝑒ş = 𝑅1 /2 olur. N sayıda direncin paralel bağlandığı bir devrede eşdeğer direnç, 1 𝑅𝑒ş = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + ⋯+ 1 𝑅𝑁 • Genellikle paralel dirençler ile çalışıldığında, dirençten daha çok iletkenlik kullanılır. • 𝐺𝑒ş = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 + ⋯ + 𝐺𝑁 • • Paralel bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği, ayrı ayrı iletkenliklerinin toplamıdır. 1 1 1 1 1 Burada iletkenlikler; 𝐺𝑒ş = 𝑅 , 𝐺1 = 𝑅 , 𝐺2 = 𝑅 , 𝐺3 = 𝑅 , … , 𝐺𝑁 = 𝑅 , • Paralel bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği, seri bağlı dirençlerin eşdeğer direnciyle aynı yolla elde edilir. Seri bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği ise, paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direnciyle aynı yolla elde edilir. • • 𝑒ş 1 𝐺𝑒ş 1 1 1 1 2 3 2 3 𝑁 1 = 𝐺 + 𝐺 + 𝐺 + ⋯+ 𝐺 12.10.2015 1 𝑁 29 2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • Şekil 2.31’deki 𝑎 düğümüne giren toplam 𝑖 akımı verildiğinde, 𝑖1 ve 𝑖2 nasıl elde edilir? Eşdeğer direncin aynı gerilime sahip olduğunu biliyoruz. 𝑣 = 𝑖𝑅𝑒ş = 𝑖𝑅1 𝑅2 𝑅1 +𝑅2 Burada, 𝑖1 = 𝑖1 = 𝑅2 𝑖 veya 𝑅1 +𝑅2 𝑖1 = 𝐺1 𝑖 𝐺1 +𝐺2 𝑖2 = 𝑅1 𝑖 veya 𝑅1 +𝑅2 𝑖2 = 𝐺2 𝑖 𝐺1 +𝐺2 𝑣 𝑅1 ve 𝑖2 = 𝑣 𝑅2 ’yi yerine yazarsak, şeklinde elde edilir. • Toplam 𝑖 akımı, dirençler tarafından direnç değerleriyle ters orantılı olarak paylaşılır; daha küçük dirençten daha büyük akım akar. • Buna akım bölme kuralı denir ve Şekil 2.31’deki devre akım bölen devre olarak bilinir. 12.10.2015 30 • Şekil 2.31’deki bir dirençlerden birisini sıfır kabul edelim. Mesela, 𝑅2 = 0 olsun. Bu durumda Şekil 2.33(a)’da gösterildiği gibi, 𝑅2 direnci kısa devre olur. • 𝑖1 = 𝑅2 𝑖 𝑅1 +𝑅2 denkleminde, 𝑅2 = 0 ise 𝑖1 = 0 olur. • 𝑖2 = 𝑅1 𝑖 𝑅1 +𝑅2 denkleminde, 𝑅2 = 0 ise 𝑖2 = 𝑖 olur. • Bunun anlamı, 𝑖 akımının tamamının 𝑅1 direncini bypass ederek (atlayarak), en küçük direnç yolu olan (𝑅2 = 0) kısa devresinden aktığıdır. • Bir devre, kısa devre edildiğinde iki durum meydana gelir: 1. Eşdeğer direnç, 𝑅𝑒ş = 0 olur. (𝑅2 = 0 ’da olduğu gibi) 2. Akımın tamamı kısa devreden geçer. 12.10.2015 31 • Diğer bir durumda, 𝑅2 = ∞ olduğunu kabul edelim. Bu durumda Şekil 2.33(b)’de gösterildiği gibi, 𝑅2 direnci açık devre olur. • 𝑖 akımı, yine en küçük direnç yolu olan 𝑅1 direncinden akar. • 𝑅𝑒ş = 𝑅1 𝑅2 𝑅1 +𝑅2 denkleminde 𝑅2 → ∞ için limit alarak, eşdeğer direnci, 𝑅𝑒ş = 𝑅1 olarak elde ederiz. 12.10.2015 32 2.7 Yıldız Üçgen Dönüşümleri • Devre analizinde çoğunlukla dirençlerin ne seri ne de paralel olduğu durumlar ortaya çıkar. Örneğin, Şekil 2.46’daki köprü devreyi göz önüne alalım. • Bu şekilde birçok devre, üç uçlu eşdeğer devreler kullanılarak basitleştirilebilir. • Bunlar; Şekil 2.47’de gösterildiği gibi yıldız (Y) veya T devresi ile Şekil 2.48’de gösterildiği gibi üçgen (∆) veya pi (Π) devresi’dir. • Bunlar, üç fazlı devrelerde ve elektrik filtrelerinde kullanılır. • Buradaki amacımız, bir devrenin parçası olarak karşılaştığımızda nasıl özdeşleştireceğimiz ve devre analizinde yıldız-üçgen dönüşümünün nasıl uygulanacağıdır. 12.10.2015 33 Yıldız Üçgen Dönüşümleri Üçgen Yıldız Dönüşümü: • Mevcut üçgen devreyi yıldız bir devre ile eşleştiriyoruz ve yıldız devredeki eşdeğer direnci buluyoruz. 12.10.2015 34 Üçgen - Yıldız Dönüşümü 12.10.2015 35 Üçgen - Yıldız Dönüşümü • Y devredeki her bir direnç, iki komşu Δ dalındaki dirençlerin çarpımının, üç adet Δ direncin toplamına bölümüdür. 12.10.2015 36 Yıldız - Üçgen Dönüşümü • Yıldız bir devrenin üçgen bir devreye dönüşümünü elde etmek için, • Yıldız – Üçgen Dönüşüm Kuralı: • Δ devredeki her bir direnç, Y dirençlerin çarpımlarının toplamının, karşı taraftaki Y direncine bölümüdür. 12.10.2015 37 Yıldız - Üçgen Dönüşümü olduğunda, yıldız ve üçgen devreler dengelidir, denir. Bu şartlar altında, dönüşüm formülleri şu şekilde olur: 12.10.2015 38 Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Dirençler, akım akışını kontrol etmek için kullanılır. • Direncin bu özelliğinin potansiyometre gibi çeşitli uygulamalarda avantajı vardır. • Potansiyometre, potansiyel ile metre kelimelerinden elde edilir ve potansiyel ölçebilen anlamına gelir. • Potansiyometre (veya kısaca pot), gerilim bölme prensibiyle çalışan üç uçlu bir cihazdır. • Aslında potansiyometre, ayarlanabilir bir gerilim bölücüdür. 𝑉𝑜 = 𝑉𝑏𝑐 = 𝑅𝑏𝑐 𝑉 𝑅𝑎𝑐 𝑖 𝑅𝑎𝑐 = 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 • Potun kontağı c veya a ’ya doğru hareket ettirilerek V𝑜𝑢𝑡 çıkışı azaltılır veya artırılır. • Potansiyometre, radyo, televizyon vb. cihazlarda ses veya kademe kontrolü için kullanılan bir gerilim düzenleyicidir. 12.10.2015 39 Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Dirençlerin, akım akışını kontrol etmek için kullanıldığı diğer bir uygulama, akım, gerilim ve direnç ölçmede kullanılan analog doğru akım ölçü aletleri (ampermetre, voltmetre ve ohmmetre)’dir. • Şekil 2.59’da gösterildiği gibi, bir elemana bağlanan voltmetre ve ampermetreyi göz önüne alalım. • Voltmetre, bir yükün uçlarındaki gerilimi ölçmektedir ve bu yüzden elemana paralel bağlanmıştır. • Voltmetrenin devreden çektiği akımı minimize etmek için kendisine paralel bağlı 𝑅𝑚 iç direnci çok büyük (teorik olarak sonsuz) seçilir. • Voltmetrenin ölçme sınırını genişletmek için, genellikle voltmetreye Şekil 2.60(b)’de gösterildiği gibi seri ön dirençler bağlanır. • Şekil 2.60(b)’deki çok kademeli voltmetre, anahtarın 𝑅1 , 𝑅2 veya 𝑅3 ’e bağlı olup olmamasına göre, sırasıyla 0-1 V, 0-10 V veya 0-100 V gerilimlerini ölçebilir. 12.10.2015 40 Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Şimdi Şekil 2.60(a)’daki tek kademeli voltmetrenin 𝑅𝑛 ön direnci ile Şekil 2.60(b)’deki çok kademeli voltmetrenin 𝑅𝑛 = 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 ön dirençlerini hesaplayalım. • Voltmetrenin 𝑅𝑚 iç direnci ile seri bağlanacak 𝑅𝑛 değerini bulmamız gerekir. Herhangi bir tasarımda en kötü şartı göz önüne alırız. • Burada, voltmetreden geçen maksimum skala akımının, 𝐼𝑚𝑠 = 𝐼𝑚 olmasıyla en kötü durum oluşur. • 𝑅𝑛 ön direnci, 𝑅𝑚 iç direnci ile seri bağlı olduğundan voltmetreden okunan maksimum skala gerilimi 𝑉𝑚𝑠 , • Buradan, 𝑉𝑚𝑠 = 𝐼𝑚𝑠 (𝑅𝑛 + 𝑅𝑚 ) 𝑅𝑛 = elde ederiz. 12.10.2015 𝑉𝑚𝑠 𝐼𝑚𝑠 − 𝑅𝑚 41 Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Benzer şekilde, ampermetre, seri olarak bağlandığı yükten geçen akımı ölçmektedir. • Şekil 61(a)’da gösterildiği gibi ampermetrenin kendisine seri bağlı 𝑅𝑚 iç direnci, uçlarındaki gerilim düşümünü minimize etmek için çok küçük (teorik olarak sıfır) seçilir. • Ampermetrenin ölçme sınırını genişletmek için, genellikle ampermetreye Şekil 2.61(b)’de gösterildiği gibi paralel (şönt) dirençler bağlanır. • Şönt dirençler ampermetrenin, anahtarın 𝑅1 , 𝑅2 veya 𝑅3 ’e bağlı olup olmamasına göre, sırasıyla 0-10 mA, 0100 mA veya 0-1 A kademelerinde ölçüm yapmasını sağlar. 12.10.2015 42 Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Şimdi Şekil 2.61(a)’daki tek kademeli ampermetrenin 𝑅𝑛 şönt direnci ile Şekil 2.61(b)’deki çok kademeli ampermetrenin 𝑅𝑛 = 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 şönt dirençlerini elde edelim. • 𝑅𝑚 ile 𝑅𝑛 paralel bağlı olduğundan, ampermetreden okunan maksimum skala akımı, 𝐼 = 𝐼𝑚𝑠 = 𝐼𝑚 + 𝐼𝑛 ’dir. Burada 𝐼𝑛 , şönt dirençten (𝑅𝑛 ) geçen akımdır. • Akım bölme kuralını uygularsak, 𝐼𝑚 = 𝑅𝑛 𝐼 𝑅𝑛 +𝑅𝑚 𝑚𝑠 𝑅𝑛 = 𝐼𝑚 𝑅 𝐼𝑚𝑠 −𝐼𝑚 𝑚 veya olur. 12.10.2015 43 • Örnek 2.17: Bir voltmetrenin iç direnci 𝑅𝑚 = 2 𝑘Ω ve maksimum skala akımı 𝐼𝑚𝑠 = 100 𝜇𝐴 olduğuna göre, aşağıdaki ölçme alanlarında bir voltmetre tasarlamak için gerekli ön direnç değerlerini hesaplayınız. a) 0-1 V b) 0-5 V c) 0-50 V d) 0-100 V Çözüm: a) 0-1 V alanında ölçme yapabilmek için, 1 𝑅1 = − 2000 = 10000 − 2000 = 8 kΩ 100x10−6 b) 0-5 V alanında ölçme yapabilmek için, 5 𝑅2 = − 2000 = 50000 − 2000 = 48 kΩ −6 100x10 c) 0-50 V alanında ölçme yapabilmek için, 50 𝑅3 = − 2000 = 500000 − 2000 = 498 kΩ 100x10−6 d) 0-100 V alanında ölçme yapabilmek için, 100 𝑅4 = − 2000 = 1000000 − 2000 = 998 kΩ 100x10−6 12.10.2015 44
