Vektör Analizi(Özet)

Vektör Analizi(Özet)
Bir vektörün büyüklüğü(boyu)
⃗ =
A ≡ |A|
√
A2x + A2y + A2z
(1)
Birim vektör
â ≡
⃗
A
⃗
|A|
(2)
İki vektörün skaler(nokta) çarpımı
⃗ = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ,
Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A
⃗
B = Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ
⃗ B|
⃗ cos θ(A,
⃗ B)
⃗
|A||
Ax Bx + Ay By + Az Bz
⃗B
⃗ =
A.
=
(3)
(4)
Buna göre, birim vektörlerin skaler çarpımları şöyledir:
x̂.x̂ = ∥x̂∥∥x̂∥ cos α(x̂, x̂) = (1)(1) cos(0) = 1
ŷ.ŷ = ẑ.ẑ = 1
x̂.ŷ = x̂.ẑ = ŷ.ẑ = 0.
(5)
(6)
(7)
Notasyon: Birim vektörler farklı kaynaklarda farklı gösterimlerle ifade edilebilmektedirler. Örneğin,
sıklıkla kullanılan bir gösterimde kartezyen birim vektörler (î, ĵ, k̂) şeklindedir.
Gradyent
Üç-boyutta tanımlı çok-değişkenli bir f = f (x, y, z) skaler fonksiyonunun tam değişimini (değişkenleri
sonsuz küçük miktarlarda arttığında fonksiyonun tam değişimini) dikkate alalım:
(
df (x, y, z) =
∂f
∂x
)
(
dx +
∂f
∂y
)
(
dy +
∂f
∂z
)
dz
(8)
İki vektörün skaler çarpımının tanımından bu eşitlik aşağıdaki gibi iki vektörün skaler çarpımı olarak
yazılabilir:
1
FZM-301 Elektromagnetik Teori
[(
df =
∂f
∂x
)
(
x̂ +
∂f
∂y
)
(
ŷ +
∂f
∂z
) ]
⃗ ).d⃗ℓ
ẑ .(dxx̂ + dy ŷ + dz ẑ) ≡ (∇f
(9)
⃗ ifadesine f fonksiyonunun gradyenti denir ve ∇
⃗ işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlanır:
Burada ∇f
⃗ = ∂ x̂ + ∂ ŷ + ∂ ẑ
∇
∂x
∂y
∂z
(10)
Geometrik olarak gradyent ifadesinin yorumu için skaler çarpımın tanımı dikkate alınabilir:
⃗ ).d⃗ℓ = |∇f
⃗ ||d⃗ℓ| cos θ((∇f
⃗ ), d⃗ℓ)
df = (∇f
(11)
Buna göre, f ’nin artışının maksimum olduğu açı değeri θ = 0dır. Diğer taraftan, f ’nin gradyentinin
yönü f ’nin tanımladığı eş potansiyel yüzeye dik yöndedir. İspat: Eş potansiyel yüzey üzerinde f ’nin
⃗ ).d⃗ℓ = 0 olur dolayısı gradyent vektörü, yüzey üzerindeki d⃗ℓ vektörüne
değişimi sıfır olacağından df = (∇f
diktir.
Diverjans
Üç-boyutta bir F⃗ (x, y, z) = Fx (x, y, z)x̂+Fy (x, y, z)ŷ+Fz (x, y, z)ẑ vektör alanının diverjansı şöyle tanımlanır:
]
∂
∂
∂
x̂ +
ŷ +
ẑ . [Fx (x, y, z)x̂ + Fy (x, y, z)ŷ + Fz (x, y, z)ẑ]
∂x
∂y
∂z
∂Fx
∂Fy
∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
[
⃗ F⃗
∇.
=
=
(12)
(13)
Rotasyonel
Üç-boyutta tanımlı bir F⃗ (x, y, z) = Fx (x, y, z)x̂ + Fy (x, y, z)ŷ + Fz (x, y, z)ẑ vektör alanının rotasyoneli
şöyle tanımlanır:
[
⃗ F⃗
∇.
]
∂
∂
∂
x̂ +
ŷ +
ẑ × [Fx (x, y, z)x̂ + Fy (x, y, z)ŷ + Fz (x, y, z)ẑ]
∂x
∂y
∂z
(
)
(
)
(
)
∂Fz
∂Fy
∂Fx
∂Fz
∂Fy
∂Fx
=
−
x̂ +
−
ŷ +
−
ẑ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
x̂
ŷ
ẑ ∂
∂
∂ = ∂x ∂y
∂z Fx Fy Fz =
(14)
(15)
(16)
N Uyarı: son satırda, kısmi türev işleminin F⃗ ’ nin bileşenlerine uygulanacağı sıra ile determinant
alınması gerektiğine dikkat etmek gerekmektedir.
Laplasyen
⃗ işlemcisinin kendisi ile skaler çarpımı ile tanımlanır:
Laplasyen işlemcisi ∇
⃗ ∇
⃗ =
∇2 ≡ ∇.
Elektromagnetizma
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
(17)
K.O.Ozansoy, Ankara’11
FZM-301 Elektromagnetik Teori
Bir skaler alanın Laplasyeni şöyle ifade edilir:
∇2 f =
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(18)
Bir vektör alanın Laplasyeni şöyle ifade edilir:
∇2 F⃗ =
∂ 2 Fx
∂ 2 Fy
∂ 2 Fz
x̂ +
ŷ +
ẑ
2
2
∂x
∂y
∂z 2
(19)
Sık kullanılan bazı işlemler
⃗ × (B
⃗ × C)
⃗
⃗ A.
⃗ C)
⃗ − C(
⃗ A.
⃗ B)
⃗
A
= B(
⃗ × (∇
⃗ × A)
⃗ = ∇(
⃗ ∇.
⃗ A)
⃗ − (∇.
⃗ ∇)
⃗ A
⃗
∇
2
⃗ ∇.
⃗ A)
⃗ −∇ A
⃗
= ∇(
(20)
(21)
(22)
Diferensiyel hesabın temel teoremi
∫
b
a
df (x)
dx = f (b) − f (a)
dx
(23)
veya
∫
b
F (x)dx = f (b) − f (a);
F (x) =
a
df (x)
dx
(24)
Gradyentin temel teoremi
∫b
a
⃗ ).d⃗ℓ = F⃗ (b) − F⃗ (a)
(∇F
N İntegralin sonucu, a − b arasındaki seçilen yoldan bağımsızdır!
N Kapalı bir yol üzerinden integralin sonucu, a = b olduğundan sıfırdır!
Diverjans Teoremi
Bir F⃗ vektörünün diverjansının bir V hacmi üzerinde hacim integrali, F⃗ ’nin bu hacmi örten S = ∂V kapalı
yüzeyi üzerinden integraline eşittir:
∫∫∫
∫∫
⃗ F⃗ dτ =
∇.
V
⃗
F⃗ .dA
(25)
S=∂V
⃗ = n̂dA şeklinde yüzey normali doğrultusundaki(yüzeyden dışa doğru) yüzey alanı eleburada dA
manıdır.
Rotasyonel(Stokes) Teoremi
Bir F⃗ vektörünün rotasyonelinin bir S alanı üzerinde yüzey integrali, F⃗ ’nin bu alanı sınırlayan P = ∂S
kapalı yolu üzerinden integraline eşittir:
∫∫
I
F⃗ .d⃗ℓ
⃗ × F⃗ ).dA
⃗=
(∇
S
Elektromagnetizma
(26)
P =∂S
K.O.Ozansoy, Ankara’11
FZM-301 Elektromagnetik Teori
Eğrisel Koordinatlar
Bir P noktasının ⃗r konum vektörü için küresel kutupsal koordinat değişkenleri (r, θ, ϕ) 1 şeklinde gösterilebilir.
z
~r = xx̂ + yŷ + zẑ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
z
θ
~r
y
y
x
φ
r sin θ
x
Şekil 1: ⃗r için küresel koordinat değişkenlerinin gösterimi.
Küresel koordinat değişkenleri şöyle tanımlanır: r, ⃗r vektörünün gösterdiği noktanın orjinden yarıçap
doğrultusunda uzaklığını, θ kutup açısı ⃗r konum vektörünün z-ekseni ile yaptığı açıyı, ϕ boylam açısı ise
⃗r’nin xy−düzlemine izdüşümünün x−ekseni ile yaptığı açıyı göstermektedir.
⃗r’ nin bileşenlerinin küresel koordinat değişkenleri cinsinden ifadeleri şöyledir:
x = r cos θ sin ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
(27)
Küresel koordinatlardaki birim vektörler de benzer olarak kartezyen koordinatlardaki birim vektörler
cinsinden ifade edilebilir:
r̂
=
sin θ cos ϕx̂ + sin θ sin ϕŷ + cos θẑ
(28)
θ̂
=
cos θ cos ϕx̂ + cos θ sin ϕŷ − sin θẑ
(29)
ϕ̂ = − sin ϕx̂ + cos ϕẑ
(30)
N Dikkat: x̂, ŷ, ẑ kartezyen birim vektörler noktadan noktaya değişmezler dolayısı ile kartezyen koordinat çerçevesi bu anlamda sabit bir koordinat çerçevesidir. Halbuki, r̂, θ̂, ϕ̂ birim vektörleri ⃗r’nin tanımladığı
P noktasına bağlı birim vektörlerdir; P ’nin yeri değiştikçe bu vektörlerin yönleri değişir. Dolayısıyla küresel
koordinat çerçevesi bir hareketli koordinat çerçevesidir.
Sonsuzküçük yerdeğiştirme elemanı, küresel koordinatlarda şöyledir:
d⃗ℓ = dxx̂ + dy ŷ + dz ẑ
= drr̂ + rdθθ̂ + r sin θdϕϕ̂
(31)
(32)
Buna göre, yüzey ve hacim elemanları da şöyledir:
Elektromagnetizma
K.O.Ozansoy, Ankara’11
FZM-301 Elektromagnetik Teori
d⃗a =
dτ =
r2 sin θdθdϕr̂
r2 sin θdrdθdϕ
(33)
(34)
Küresel koordinatlarda gradyent, diverjans, rotasyonel ve Laplasyen ifadeleri aşağıdaki gibidir:
⃗ = ∂f r̂ + 1 ∂f θ̂ + 1 ∂f ϕ̂
∇f
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(35)
1
∂
∂
⃗ A
⃗ = 1 ∂ (r2 Ar ) + 1
∇.
(sin θAθ ) +
(Aϕ )
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(36)
⃗ ×A
⃗=
∇
[
]
[
]
∂
1
∂
1
∂
1 ∂
(sin θAϕ ) −
(Aθ ) r̂ +
Ar −
(rAϕ ) θ̂
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
]
[
1 ∂
∂
+
(rAθ ) −
(Ar ) ϕ̂
r ∂r
∂θ
1 ∂
∇ f= 2
r ∂r
2
Elektromagnetizma
(
)
(
)
∂
1
∂f
1 ∂2f
2 ∂f
r
+ 2
sin θ
+ 2
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
(37)
(38)
K.O.Ozansoy, Ankara’11