8 Manyetik alan kaynakları

Manyetik alan kaynakları
Hareketli bir yükün manyetik alanı
Hareketli bir yük tarafından üretilen manyetik alan
r̂  r
r
0 q υ  rˆ
B
4 r 2
r̂  r
r
Elektrostatikte gerekli olan 1/(4πε0) a benzer olarak μ0 /4π orantı sabiti
faktörüne gerek olduğuna işaret edelim.
0  4 107 Tm/A  4 107 N/A2
Bir akım unsurunun manyetik alanı
Bir akım unsuru tarafından üretilen manyetik alan
0 q υ  rˆ
B
4 r 2
ds
r̂  r
I akımı taşıyan bir iletkenin ds unsuru için n A ds kadarlık vd sürüklenme
hızına sahip yükler vardır.
q yükü sayısı
0 qnA dL
ds υd  rˆ
dB 

2
4
r
ds  rˆ
0 I dL
dB 
4 r 2
r
Bir akım unsurunun manyetik alanı
 Biot-Savart
Kanunu
0 I dL
ds  rˆ
dB 
4 r 2
ds
ds nin I nın yönünde olduğuna bununla birlikte düşünülen telin
ds uzunluğunun büyüklüğüne sahip olduğuna dikkat edelim.
Biot ve Savart 1825 de bobinlerle yapılan deneyden çıkarılan
sonuç.
Bir akım unsurunun manyetik alanı
 Biot-Savart
Kanunu
0 I ds ×rˆ
dB 
;
2
4 r
dB P
r

ds
rˆ 
r
r
dB alanının büyüklüğü:
I
0 I ds sin 
dB 
4 r 2
P deki toplam manyetik alan teldeki tüm ds unsurlarının toplamı
ile bulunur.
B   dB
Düz bir akım taşıyan iletkenin
manyetik alanı
L
uzunluklu düz bir tel
•L uzunluklu ince bir telin I sabit akımı taşır .
• P deki toplam B alanını bulalım.
0 I ds  rˆ
dB 
4 r 2
y
P
r
r̂
 dB
R

x
ds
I
x
Böylece dB nin büyüklüğü aşağıdaki gibi
verilir:
0 I ds sin  0 I dx sin 
dB 

2
4
r
4
r2
Düz bir akım taşıyan iletkenin
manyetik alanı
L uzunluklu düz bir tel
0 I ds sin  0 I dx sin 
dBz 

2
4
r
4
r2
y
P
r
r̂
 dB
R
 sin 
r
R

x
ds
I
;
r
x2  R2
0 I
R dx
dBz 
4  x 2  R 2 3/ 2
x
L/2
0 IR L / 2
0 IR
0 I 
dx
x
L

Bz 


2
2 3/ 2
2
2
2 1/ 2 | L / 2


L
/
2
4
(x  R )
4 R ( x  R )
4R  L2 / 4  R 2




Düz bir akım taşıyan iletkenin
manyetik alanı
L uzunluklu düz bir tel
y
P
r
r̂
0 I 
L

Bz 
4R  L2 / 4  R 2
 dB
R





(L/R) →∞ limitinde
x
ds
I
x

L

 2
2
L
/
4

R

Uzun düz bir telin manyetik alanı:

L/R

2

2
( L / R) / 4  1

0 I
Bz 
2 R
Düz bir akım taşıyan iletkenin
manyetik alanı
L uzunluklu düz bir tel
B
B
I
B
B
Düz bir akım taşıyan iletkenin
manyetik alanı
 Örnek:
Uzun düz bir tel
Iron filings
Bir akım unsurunun manyetik alanı
Örnek
Gösterilen tel parçasından dolayı O
noktasındaki manyetik alanı hesaplayalım.Tel
düzgün I akımı taşır ve iki düz parçadan ve θ
açısı ile yayılan R yarıçaplı dairesel bir
arktan oluşur.
A´
A
ds
r̂

C
R
O
I
C´ A´A ve CC´parçalarından dolayı manyetik alan
sıfırdır çünkü ds bu yollar boyunca r̂
ye
paraleldir.
AC yolu boyunca, ds ve r̂
0 I ds ×rˆ
dB 
4 r 2
0 I
0 I
B
ds 
2 
4 R
4 R 2
Not: B alanı ilmek
merkezindeyken, =2 dir.
diktir.
d s  rˆ  ds
0 I ds
dB 
4 R 2
0 I
 R d  4 R
B
0 I
2R
0 I
 d  4 R 
Paralel iletkenler arasındaki kuvvet
 İki
paralel tel
I1 Akımlı telden a uzaklıkta telden dolayı oluşan
manyetik alan aşağıdaki gibi verilir:
0 I1
B1 
2 a
F2  I 2 L  B1
0 I1
0 I1 I 2
F2  I 2 LB1  I 2 L

L
2 a
2 a
Paralel iletkenler arasındaki kuvvet
 İki
paralel tel
Aynı yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirini çeker. Zıt
yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirini iter.
Paralel iletkenler arasındaki kuvvet
 Ampere’nin
tanımı
0 I1
B1 
2 a
F2
F2  I 2 L  B1
0 I1 I 2

L
2 a
Seçilen tanım a = L = 1m içindir I1=I2=1 amper iken, amper F2 =
2×10−7 N şeklinde elde edilen değer için ifade edilir.
Bu seçim iki şey yapar (1) Bu,amperin(ve aynı zamanda voltun) gündelik
yaşam için çok uygun bir büyüklüğe sahip olmasını sağlar ve (2) μ0 =
4π×10−7 büyüklüğünü belirler. Not :ε0 = 1/(μ0c2) dır. Diğer birimlerin
tümü hemen hemen otomatik olarak uyum sağlar.
Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı
Bir ilmek akımı
tarafından üretilen manyetik alan

 0 Ids  rˆ
B
yi bir tel ilmeğin merkezindeki B manyetik
4 r 2
alanı bulmak için kullanalım.
I
Tel ilmek bir düzlemde bulunur.R yarıçapına
sahiptir ve içinden toplam I akımı akar
R
İlk olarak

ds  rˆ daire üzerinde her noktada aynı açıda olan

ds
sayfanın dışını doğru bir vektördür.Açı
sabittir.
r̂

ds
B
r̂
 0I
2R

ds  rˆ
 0 Ids  0 I
0 I
B   dB 

ds 
2R
2
2 
2

4 R
4 R
4 R
İlmeğin merkezindeki B alanının
büyüklüğüdür.Yön sayfa dışına
doğrudur.
i
R
k̂
  0I
B
kˆ
2R
Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı
Örnek 1:
Tel ilmeğin yarıçapı R = 5 cm ve akım I = 10 A dir. Merkezdeki B alanının
büyüklüğü ve yönü nedir?
I
B
 0I
2R
N 10 A
B  4 107 2
A 2(.05m)
B  1.2 10 6 10 2 T
B  1.2 104 T  1.2 Gauss
Yön sayfanın
dışına
doğrudur.
Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı
 Örnek
2:
Telin dairesel arkının yada bir parçasının merkezindeki
B alanı nedir?
0 I
B
ds

2 
ds
4 R
I
r̂
Arkın toplam uzunluğu
S dir.
0
R
P
B
0 I
S burada S ark uzunluğu S =R0
2
4 R
0 radyandır. (derece değildir.)
Niçin telin düz parçasından dolayı P deki B alanına katkı sıfıra eşittir?
Ampere Kanunu
 Ampere
kanunu : Dairesel bir yol
• I akımı taşıyan telin üzerinde merkezlenmiş
her hangi bir R yarıçaplı dairesel yol
düşünelim.
• Bu yol çevresindeki B·ds skaler çarpımını
bulalım
• Yol boyunca her noktada B ve ds nin paralel
olduğuna dikkat edelim
•Ayrıca B nin büyüklüğü bu yol üzerinde
sabittir. Böylece daire çevresinde bütün B·ds
terimlerin toplamı aşağıdaki gibidir:
 B  ds  B  ds  B  2 r 
0 I
Önceki Biot-Savart kanunundan B 
elde
2 r
etmiştik.
B yi yerine yazarsak
 B  ds  0 I olur . Bu Ampere
kanunudur.
z
Ampere kanunu
 Ampere
k
kanunu : Genel bir yol
x
r

y

3 boyutta herhangi bir kapalı yol boyunca integrale
bakalım. En genel ds ifadesi:
ds  dr ur  r d τ  dz k
Burada birim vektörler radyal için r
teğetsel yönlerde  tel boyunca z için k
dır.Bu sistemde biz sadece
0 I r d
B  ds 
2 r
0 I

d .
2
Teli çevreleyen herhangi bir yol için
Teli çevrelemeyen herhangi bir yol için

0 I
B  ds 
2
 d
 d
 2
 d
0
Ampere kanunu
 Ampere
kanunu :
 
 B  ds  0 I
•Sabit bir akım tarafından çevrelenen keyfi bir kapalı yol için bu kural geçerli
olur.
•I akımı kapalı yol tarafından sınırlanmış bir yüzey boyunca geçen toplam
akımdır.
Ampere kanunu

Elektrik alan Manyetik alan kıyaslaması
• Elektrik alan
• Genel: Coulomb kanunu
• Yüksek simetri: Gauss
kanunu
• Manyetik alan
• Genel: Biot-Savart kanunu
• Yüksek simetri: Ampère
kanunu
Ampere kanununun uygulamaları
 Uzun
bir silindiriksel iletkenin manyetik alanı
R yarıçaplı uzun düz bir tel, telin enine kesiti boyunca düzgün bir dağılımı olan
sabit bir I akımı taşır. R nin dışında
 B  ds  B  ds  B  2 r   
I
0 tot
r < R olduğu bölgede İntegrasyon yolu olarak tel üzerinde merkezleşmiş r
yarıçaplı bir daire seçilir. Bu yol boyunca, B yine sabit büyüklükte ve yola daima
paraleldir.
• Şimdi Itot ≠ I.
• Bununla beraber, akım telin enine kesiti boyunca
düzgündür.
• r < R yarıçaplı tarafından çevrelenen I akımlı
bölge r yarıçaplı dairenin alanı ile telin enine kesit
alanı R2 nin oranına eşittir.
I tot
2
I
r
2
 j r 2 

r
 2I
2
R
R
0 I tot 0 I r
B

2 r
2 R 2
for r  R
Ampere kanununun uygulamaları
 Uzun
silindiriksel bir iletken tarafından manyetik alan
0 I r
B
2 R 2
0 I
B
2 r
for r  R
for r  R
B
R
r
Ampere kanununun uygulamaları
 Dairesel
bir akımın manyetik alanı
Dairesel akım taşıyan ilmek düşünelim.
İlmeğin ekseni üzerindeki ilmek
merkezinden bir x uzaklığında P
noktasındaki B alanını hesaplayalım.
ds  rˆ
0 I dL
dB 
4 r 2
Yine bu durumda I ds vektörü ilmeğe teğettir
ve akım unsurundan P noktasına doğru olan r
vektörüne diktir. dB gösterilen yöndedir, r ve
I ds vektörlerine diktir. dB nin büyüklüğü
aşağıdaki gibidir:
ds
ds
0 I dL
0 I dL
dB 

2
4 r
4 ( x 2  R 2 )
Ids
Ampere kanununun uygulamaları
 Dairesel
bir akımın manyetik alanı
ds
ds
0 I dL
0 I dL
dB 

2
4 r
4 ( x 2  R 2 )
Ids
• İlmek çevresinde integral alalım,
eksene dik tüm dB bileşenlerinin
integrali sıfırdır (e.g. dBy).
•Sadece eksene paralel dBx bileşenleri
katkıda bulunur.

R
dBx  dB sin   dB 

2
2
 x R
İlmeğin tamamından
dolayı alan integral
alınarak elde edilir:
 0 I dL
ds 
R
 
2
2 

2
2
 4 x  R  x  R
Bx 
 dBx



Ampere kanununun uygulamaları
 Dairesel
bir akımın manyetik alanı
Sadece I, R ve x sabit
Bx 
 dBx


Bx 
ds
0
IR dL
4 ( x 2  R 2 ) 3 2
 IR (2 R)
Bx  0
4 ( x 2  R 2 ) 3 2
 dBx
0
IR

4 ( x 2  R 2 ) 3 2
Ids
ds
 dL
0
R2 I

2 ( x2  R2 ) 3 2
B bir akım
ilmeğinin
ekseni üzerinde
Ampere kanununun uygulamaları
 Dairesel
Bx 
0
bir akımın manyetik alan
R2 I
2 ( x2  R2 ) 3 2
x >>R
Sınırlar : x 0
0 2 R 2 I
0 I
Bx 
B
4 x3
2R

0 2 
4 x3
Dipolden uzak elektrik dipol ekseni üzerindeki bir
noktada elektrik alan durumuyla kıyaslayalım.
Ex 
2p
4 0 x3
vs.
0 2 R 2 I
Bx 
4 x3

0 2 
4 x3
Ampere kanununun uygulamaları
 Bir
solenoitin manyetik alanı
Solenoitin bobinleri yakın aralıklarla yerleştirildiğinde, her bir dönüşe dairesel
ilmek olarak bakılabilir, ve net manyetik alan her bir ilmek için manyetik
alanların vektör toplamıdır. Bu ,solenoit içinde yaklaşık olarak sabit olan bir
manyetik alan üretir, ve solenoitin dışında sıfıra yakındır.
I
Ampere kanununun uygulamaları
Solenoitin manyetik alanı
Bobinler birbirine çok yaklaştığında ideal solenoite yaklaşır bunun yanında
solenoitin uzunluğu yarıçapından daha büyüktür. Bundan sonra
solenoitin dışında sıfır solenoitin içinde sabit olan manyetik alana
yaklaşabiliriz.
I
Ampere kanununun uygulamaları
 Bir
solenoitin manyetik alanı
İdeal bir solenoit içindeki B manyetik alanını bulmak
için Ampere kanunu kullanılır.
 B  ds   B  ds   B  ds   B  ds   B  ds
12
23
 B  ds  BL  0  0  0
34
 BL
41
 0 NI
Ampere kanununun uygulamaları
Bir toroidin manyetik alanı
Bir toroid gösterildiği gibi bir daire içerisine bükülmüş bir solenoit olarak
düşünülebilir.Toroideki dairesel yol boyunca Ampere kanununu
uygulayabiliriz .
 Bd s   I
0 encl
 B  d s  B  ds  B(2 r )
I encl  NI
N toroidin ilmek sayısıdır, ve I her bir
ilmekteki akımdır.
0 NI
B
2 r
Manyetik maddeler
 Soft
-Ferromanyetikler
Şimdi mıknatıslanmış metalin resmini
çizeriz. Burada elektron dipollerin hepsi
B dış alanı ile sıralanışa sahip olur.
Her ne kadar özgün dipoller kendi
etraflarındaki alanda dönüyor olsalar
bile ,bunların, uygulanan B ile zıt
yönde yöneldiğini ve sonuç olarak
içteki ortalama alan büyüklüğünün
dıştakinden daha küçük olduğunu
görürsünüz.(Elektriksel durumda E için
bulunduğu gibi)
Manyetik maddeler
Soft -ferromanyetikler
•Saf demir ve aynı zamanda silikon demir gibi bazı demir alaşımları ve
özellikle permalloy (mıknatıslanma oranı yüksek nikel demir alaşımı) ve
mumetal gibi bazı nikel demir alaşımları çok kolay mıknatıslanır. Burada
oldukça küçük uygulanan bir manyetik alanın madde içindeki bulunan tüm
elektron spin manyetik dipol momentleri yönlendirdiği anlamını çıkarırız.
•Uygulanan alan hafifçe ters döndürülürse mıknatıslanma neredeyse gözden
kaybolduğu için bu durumlar içindeki üretilen mıknatıslanmayı (birim
hacimdeki manyetik moment ) ‘soft’ olarak ifade ederiz.